Puteri cu exponent natural

Puterea aⁿ este produsul a × a × … × a, în care factorul a apare de n ori.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Ce este o putere

Puterea este o scriere prescurtată pentru înmulțirea repetată a aceluiași număr. În loc de 2 × 2 × 2 × 2 scriem 2⁴ și citim „2 la puterea a patra”.

Numărul care se repetă se numește bază, numărul care arată de câte ori se repetă se numește exponent, iar rezultatul înmulțirii se numește valoarea puterii.

aⁿ = a × a × … × a (de n ori)

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

În 2⁴, baza este 2, exponentul este 4, iar valoarea puterii este 16.
Exponentul nu se înmulțește cu baza: 2⁴ înseamnă 16, nu 8.

Exemplu rezolvat

Scrie produsul 5 × 5 × 5 ca putere și calculează-i valoarea.

1.Factorul care se repetă este 5, deci baza este 5.
2.Factorul apare de 3 ori, deci exponentul este 3: produsul se scrie 5³.
3.5³ = 5 × 5 × 5 = 125.

Cazuri particulare

Patru situații se rețin ca atare, fiindcă apar în aproape orice calcul cu puteri.

Orice număr la puterea 1 rămâne neschimbat, iar orice număr natural nenul ridicat la puterea 0 dă 1. Baza 0 dă 0 la orice exponent mai mare decât 0, iar baza 1 dă 1 la orice exponent.

a¹ = a

a⁰ = 1, pentru a ≠ 0

0ⁿ = 0, pentru n ≥ 1

1ⁿ = 1

7¹ = 7, 9⁰ = 1, 0⁵ = 0, 1⁷ = 1.
Singura excepție este 0⁰, care nu se definește.

Exemplu rezolvat

Calculează 12⁰ + 1⁵ + 0³.

1.12⁰ = 1, fiindcă baza este un număr nenul.
2.1⁵ = 1, fiindcă baza 1 rămâne 1 la orice exponent.
3.0³ = 0, deci suma este 1 + 1 + 0 = 2.

Pătratul și cubul unui număr

Pătratul unui număr este acel număr ridicat la puterea a doua, iar cubul este numărul ridicat la puterea a treia. Apar atât de des încât au primit denumiri proprii.

Denumirile vin din geometrie: a² este aria unui pătrat cu latura a, iar a³ este volumul unui cub cu muchia a.

a² = a × a, se citește „a la pătrat”

a³ = a × a × a, se citește „a la cub”

6² = 36, iar 4³ = 64.
Pătratele primelor zece numere se învață pe de rost: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Exemplu rezolvat

Calculează 3² + 2³ − 5¹.

1.Calculăm fiecare putere: 3² = 3 × 3 = 9.
2.2³ = 2 × 2 × 2 = 8, iar 5¹ = 5.
3.Înlocuim în expresie: 9 + 8 − 5 = 12.

Operații cu puteri cu aceeași bază

Când puterile au aceeași bază, nu mai e nevoie să calculezi fiecare putere: la înmulțire se adună exponenții, iar la împărțire se scad.

La ridicarea unei puteri la altă putere, exponenții se înmulțesc. Toate aceste reguli funcționează numai dacă baza este aceeași.

a^m × aⁿ = a^m+n

a^m : aⁿ = a^m−n, m ≥ n

(a^m)ⁿ = a^mxn

2³ × 2⁴ = 2⁷, nu 4⁷: baza rămâne neschimbată.
Puterile cu baze diferite se compară calculându-le valorile.

Exemplu rezolvat

Calculează 2³ × 2⁴ : 2².

1.Toate puterile au aceeași bază, 2.
2.La înmulțire adunăm exponenții, la împărțire îl scădem: 2³⁺⁴⁻².
3.Rămâne 2⁵ = 32.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Scrie ca înmulțire repetată și calculează: 2⁶.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează: 4², 3³, 7¹.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16, 27, 7
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează: 6⁰, 1⁸, 0⁴.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1, 1, 0
Ex. 4Dificultate redusă
Care este pătratul numărului 9? Dar cubul numărului 5?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9² = 81; 5³ = 125.
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează: 3² + 2².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 4 = 13
Ex. 6Dificultate medie
Calculează: 5² − 2³ + 3¹.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25 − 8 + 3 = 20
Ex. 7Dificultate medie
Scrie numărul 64 ca pătrat al unui număr natural, apoi ca cub al unui alt număr natural.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64 = 8² și 64 = 4³.
Ex. 8Dificultate medie
Calculează: (3² − 4) × 2³.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(9 − 4) × 8 = 5 × 8 = 40
Ex. 9Dificultate medie
Compară, fără să calculezi complet: 3⁴ și 4³. Care este mai mare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3⁴ = 81 este mai mare decât 4³ = 64.
Ex. 10Dificultate medie
Calculează: 8² − 7² + 0⁵.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64 − 49 + 0 = 15
Ex. 11Dificultate ridicată
O grădină pătrată are latura de 15 metri. Se amenajează o a doua grădină pătrată, cu latura de 2 ori mai mică decât prima. Calculează aria fiecărei grădini, apoi află de câte ori este mai mică aria celei de-a doua grădini față de prima.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Prima: 15² = 225 m². A doua are latura 7,5 m, deci aria 7,5² = 56,25 m². Aria este de 4 ori mai mică (225 : 56,25 = 4).
Ex. 12Dificultate ridicată
Calculează: 3³ − 2⁴ + 5² × 0⁶ + 1⁷, respectând ordinea corectă a operațiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
27 − 16 + 25 × 0 + 1 = 27 − 16 + 0 + 1 = 12
Ex. 13Dificultate ridicată
Suma a două puteri cu exponentul 2 este 61. Dacă una dintre baze este 5, află cealaltă bază.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6: 61 − 5² = 61 − 25 = 36 = 6².
Ex. 14Dificultate ridicată
Un cub are muchia de 4 cm. Calculează volumul cubului, apoi calculează cu cât crește volumul dacă muchia devine de 3 ori mai mare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 4³ = 64 cm³. Cu muchia 12 cm: V = 12³ = 1.728 cm³, deci volumul crește cu 1.728 − 64 = 1.664 cm³ (devine de 27 de ori mai mare).
Ex. 15Dificultate ridicată
Calculează valoarea expresiei E = 2³ + 3² − 4¹ + 0⁹ − 1⁵, precizând la final care termen din expresie are cea mai mare valoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
E = 8 + 9 − 4 + 0 − 1 = 12; termenul cu cea mai mare valoare este 3² = 9.