Divizibilitate

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Divizori și multipli

Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b, diferit de 0, dacă împărțirea lui a la b este exactă, adică se face fără rest. În acest caz spunem că b este divizor al lui a și că a este multiplu al lui b.

De exemplu, 20 : 5 = 4 este o împărțire exactă, deci 5 este divizor al lui 20, iar 20 este multiplu al lui 5. În schimb, 20 : 6 dă câtul 3 și restul 2, deci 6 nu este divizor al lui 20.

Divizorii unui număr se găsesc încercând pe rând numerele de la 1 până la număr. Pentru 12: 12 : 1, 12 : 2, 12 : 3, 12 : 4, 12 : 6 și 12 : 12 sunt exacte, deci mulțimea divizorilor este D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Divizorii unui număr formează întotdeauna o mulțime finită.

De ținut minte

b | a se citește „b divide a”

D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși.
Divizorii se caută în perechi: dacă 2 este divizor al lui 12, atunci și 6 este.

Exemplu rezolvat

Scrie mulțimea divizorilor numărului 18.

1Încercăm pe rând: 18 : 1 = 18, 18 : 2 = 9, 18 : 3 = 6 — toate exacte.
218 : 4 și 18 : 5 dau rest, dar 18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2 și 18 : 18 = 1 sunt exacte.
3Mulțimea divizorilor este D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, adică 6 divizori.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Divizibilitate: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Spunem că a divide pe b dacă există un număr natural k astfel încât b = a × k.

Divizori și multipli

De exemplu, 20 : 5 = 4 este o împărțire exactă, deci 5 este divizor al lui 20, iar 20 este multiplu al lui 5. În schimb, 20 : 6 dă câtul 3 și restul 2, deci 6 nu este divizor al lui 20.

b | a se citește „b divide a”
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși.
Divizorii se caută în perechi: dacă 2 este divizor al lui 12, atunci și 6 este.

Exemplu rezolvat

Scrie mulțimea divizorilor numărului 18.

Încercăm pe rând: 18 : 1 = 18, 18 : 2 = 9, 18 : 3 = 6 — toate exacte.
18 : 4 și 18 : 5 dau rest, dar 18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2 și 18 : 18 = 1 sunt exacte.
Mulțimea divizorilor este D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, adică 6 divizori.

Multiplii unui număr

Multiplii unui număr natural se obțin înmulțind acel număr cu 0, 1, 2, 3, 4 și așa mai departe. Spre deosebire de divizori, multiplii unui număr formează o mulțime infinită.

Pentru 4: 4 × 0 = 0, 4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12, deci M₄ = {0, 4, 8, 12, 16, 20, …}. Cel mai mic multiplu al oricărui număr este 0, iar cel mai mic multiplu nenul este numărul însuși.

M₄ = {0, 4, 8, 12, 16, 20, …}
multiplii lui n sunt n × 0, n × 1, n × 2, …

0 este multiplu al oricărui număr natural.
Ca să afli câți multipli ai lui n sunt până la un număr, împarte acel număr la n.

Exemplu rezolvat

Care este cel mai mic multiplu al lui 7 mai mare decât 30?

Scriem multiplii lui 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, …
Primul care depășește 30 este 35.
Verificăm: 35 : 7 = 5, împărțire exactă, deci 35 este multiplu al lui 7.

Criteriile de divizibilitate cu 2, 5 și 10

Criteriile de divizibilitate arată rapid, fără să faci împărțirea, dacă un număr se împarte exact la altul. Primele trei se uită doar la ultima cifră.

Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară (0, 2, 4, 6 sau 8), este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5 și este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0.

348 este divizibil cu 2, fiindcă se termină în 8
265 este divizibil cu 5, fiindcă se termină în 5
470 este divizibil cu 10, fiindcă se termină în 0

Un număr divizibil cu 10 este automat divizibil și cu 2, și cu 5.
Nu te uita la toate cifrele: pentru 2, 5 și 10 contează doar ultima.

Exemplu rezolvat

Care este cel mai mare număr de două cifre divizibil și cu 2, și cu 5?

Ca să fie divizibil cu 5, numărul trebuie să se termine în 0 sau 5.
Ca să fie divizibil și cu 2, ultima cifră trebuie să fie pară, deci rămâne 0.
Cel mai mare număr de două cifre care se termină în 0 este 90.

Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9

Pentru 3 și 9 nu mai contează ultima cifră, ci suma tuturor cifrelor numărului.

Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3 și este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. De exemplu, 471 are suma cifrelor 4 + 7 + 1 = 12, iar 12 se împarte exact la 3, deci 471 este divizibil cu 3.

471 → 4 + 7 + 1 = 12, divizibil cu 3
549 → 5 + 4 + 9 = 18, divizibil cu 9

Orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3, dar nu invers.
Dacă suma cifrelor este tot mare, adună din nou cifrele rezultatului.

Exemplu rezolvat

Stabilește cu care dintre numerele 2, 3, 5, 9 și 10 este divizibil 342.

Ultima cifră este 2, deci numărul este divizibil cu 2, dar nu cu 5 și nici cu 10.
Suma cifrelor este 3 + 4 + 2 = 9.
9 se împarte exact la 3 și la 9, deci 342 este divizibil cu 2, cu 3 și cu 9.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care număr este divizibil cu 5?
Vezi rezolvarea
1. Un multiplu al lui 5 se termină în 0 sau 5.
2. 1 230 se termină în 0.
3. Deci este divizibil cu 5.
Răspuns: 1 230
Exercițiul 2
Numărul 7 236 este divizibil cu 3 deoarece:
Vezi rezolvarea
1. Calculăm 7 + 2 + 3 + 6 = 18.
2. 18 este divizibil cu 3.
3. Prin urmare, 7 236 este divizibil cu 3.
Răspuns: Suma cifrelor este 18
Exercițiul 3
Care este cel mai mic multiplu pozitiv al lui 17?
Vezi rezolvarea
1. Primul multiplu pozitiv se obține pentru factorul 1.
2. 17 × 1 = 17.
3. Răspunsul este 17.
Răspuns: 17
Exercițiul 4
Câți divizori naturali are numărul 12?
Vezi rezolvarea
1. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.
2. Sunt 6 numere.
3. Răspunsul este 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 5
Ce cifră poate înlocui □ pentru ca 43□ să fie divizibil cu 10?
Vezi rezolvarea
1. Divizibilitatea cu 10 cere ultima cifră 0.
2. Cifra lipsă este ultima cifră.
3. Alegem 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 6
Care număr este divizibil cu 2?
Vezi rezolvarea
1. Un număr se împarte la 2 dacă ultima cifră este pară.
2. Doar 2 468 se termină cu o cifră pară, 8.
3. 2 468 este divizibil cu 2.
Răspuns: 2 468
Exercițiul 7
Scrie cel mai mic multiplu al lui 6 mai mare decât 50.
Vezi rezolvarea
1. 6 × 8 = 48, care este mai mic decât 50.
2. 6 × 9 = 54.
3. Cel mai mic multiplu al lui 6 mai mare decât 50 este 54.
Răspuns: 54
Exercițiul 8
Care număr este divizibil cu 9?
Vezi rezolvarea
1. Sumele cifrelor sunt 10, 18, 13 și 10.
2. Doar 18 se împarte la 9.
3. 5 670 este divizibil cu 9.
Răspuns: 5 670
Exercițiul 9
Câți divizori naturali are numărul 18?
Vezi rezolvarea
1. 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6.
2. Divizorii sunt 1, 2, 3, 6, 9, 18.
3. Numărul 18 are 6 divizori.
Răspuns: 6
Exercițiul 10
Numărul 2□4 este divizibil cu 3. Ce cifră poate fi □?
Vezi rezolvarea
1. Suma cifrelor este 6 + □.
2. Pentru □ = 3 obținem 9, care se împarte la 3.
3. Numărul 234 este divizibil cu 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 11
Câte numere de la 1 la 50 sunt divizibile cu 7?
Vezi rezolvarea
1. Multiplii lui 7 sunt 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49.
2. 56 depășește 50.
3. Sunt 7 numere.
Răspuns: 7
Exercițiul 12
Care este cel mai mare număr de două cifre divizibil atât cu 2, cât și cu 5?
Vezi rezolvarea
1. Divizibil cu 2 și cu 5 înseamnă divizibil cu 10.
2. Numerele de două cifre terminate în 0 sunt 10, 20, …, 90.
3. Cel mai mare este 90.
Răspuns: 90

Fișă de consolidare din material (15)

1. Dificultate redusă
Este 6 divizor al lui 42? Justifică prin împărțire.
Vezi răspunsul
Da: 42 : 6 = 7, rest 0.
2. Dificultate redusă
Scrie primii 5 multipli ai numărului 9.
Vezi răspunsul
0, 9, 18, 27, 36 (fără 0: 9, 18, 27, 36, 45).
3. Dificultate redusă
Stabilește, folosind criteriul de divizibilitate, dacă 156 este divizibil cu 2.
Vezi răspunsul
Da: ultima cifră, 6, este pară.
4. Dificultate redusă
Stabilește, folosind criteriul de divizibilitate, dacă 480 este divizibil cu 10.
Vezi răspunsul
Da: ultima cifră este 0.
5. Dificultate redusă
Scrie mulțimea divizorilor numărului 14.
Vezi răspunsul
D₁₄ = {1, 2, 7, 14}
6. Dificultate medie
Scrie mulțimea divizorilor numărului 30.
Vezi răspunsul
D₃₀ = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
7. Dificultate medie
Verifică, folosind criteriul de divizibilitate cu 3, dacă numărul 645 este divizibil cu 3.
Vezi răspunsul
Da: 6 + 4 + 5 = 15, iar 15 se împarte exact la 3.
8. Dificultate medie
Verifică, folosind criteriul de divizibilitate cu 9, dacă numărul 828 este divizibil cu 9.
Vezi răspunsul
Da: 8 + 2 + 8 = 18, iar 18 se împarte exact la 9.
9. Dificultate medie
Găsește toți multiplii lui 8, cuprinși între 15 și 60.
Vezi răspunsul
16, 24, 32, 40, 48, 56
10. Dificultate medie
Un număr are ultima cifră 5. Cu care dintre numerele 2, 5, 10 este cu siguranță divizibil?
Vezi răspunsul
Doar cu 5. Ultima cifră fiind 5, numărul este impar, deci nu se împarte la 2 sau la 10.
11. Dificultate ridicată
Un grădinar are 42 de răsaduri. Vrea să le planteze în rânduri egale, fiecare rând având același număr de răsaduri, mai mare decât 1 și mai mic decât 10. În câte moduri diferite poate face acest lucru? Scrie toate variantele posibile.
Vezi răspunsul
În 4 moduri: 21 de rânduri a câte 2, 14 rânduri a câte 3, 7 rânduri a câte 6 sau 6 rânduri a câte 7 răsaduri.
12. Dificultate ridicată
Un număr de trei cifre are forma 3a6, unde a este o cifră necunoscută. Află pentru ce valori ale cifrei a numărul este divizibil cu 3.
Vezi răspunsul
a ∈ {0, 3, 6, 9}: suma cifrelor 3 + a + 6 = 9 + a trebuie să se împartă la 3.
13. Dificultate ridicată
Suma a doi divizori ai numărului 48 este 14. Află cei doi divizori.
Vezi răspunsul
Două variante: 2 și 12, sau 6 și 8 (D₄₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}).
14. Dificultate ridicată
Un număr este divizibil atât cu 2, cât și cu 5. Ce poți spune despre ultima sa cifră? Găsește cel mai mare număr de trei cifre care îndeplinește această condiție.
Vezi răspunsul
Ultima cifră este 0. Cel mai mare număr de trei cifre: 990.
15. Dificultate ridicată
Numărul de forma 6b3, unde b este o cifră necunoscută, este divizibil cu 9. Află valoarea cifrei b, apoi verifică dacă numărul obținut este divizibil și cu 3.
Vezi răspunsul
b = 0 sau b = 9 (suma cifrelor 9 + b se împarte la 9): 603 și 693. Ambele se împart și la 3, ca orice număr divizibil cu 9.