Teorie înainte de exerciții
Numere prime și numere compuse
Un număr prim are exact doi divizori naturali: 1 și numărul însuși. Un număr compus are mai mult de doi divizori.
Numere prime
Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Numărul 7, de exemplu, se împarte exact doar la 1 și la 7, deci este prim.
Primele numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr prim par — toate celelalte numere prime sunt impare, fiindcă orice alt număr par se împarte și la 2.
- Divizorii unui număr prim p sunt doar 1 și p.
- Numerele prime devin tot mai rare pe măsură ce numerele cresc, dar nu se termină niciodată.
Exemplu rezolvat
Arată că 17 este număr prim.
- 1.Încercăm să-l împărțim la numerele mai mici: 17 : 2 dă rest 1, 17 : 3 dă rest 2.
- 2.17 : 4 dă rest 1, iar de la 5 în sus câtul ar fi mai mic decât împărțitorul, deci nu mai are rost să căutăm.
- 3.Singurii divizori sunt 1 și 17, deci 17 este număr prim.
Numere compuse. Cazul lui 0 și al lui 1
Un număr natural este compus dacă are mai mult de doi divizori. De exemplu, 12 are divizorii 1, 2, 3, 4, 6 și 12, adică șase divizori, deci este compus. Alte numere compuse sunt 4, 6, 8, 9, 10, 14, 15.
Orice număr natural mai mare decât 1 este fie prim, fie compus. Numerele 0 și 1 nu intră în nicio categorie: 1 are un singur divizor, pe el însuși, deci nu este prim, dar nici compus.
- „Mai mult de doi divizori” este singura condiție pentru un număr compus.
- Greșeala clasică este să spui că 1 este prim; el are un singur divizor, nu doi.
Exemplu rezolvat
Este 21 prim sau compus?
- 1.Căutăm un divizor diferit de 1 și de 21.
- 2.21 : 3 = 7 este împărțire exactă, deci 3 este divizor.
- 3.Numărul are divizorii 1, 3, 7 și 21, adică mai mult de doi, deci 21 este compus.
Cum stabilești natura unui număr
Ca să afli dacă un număr este prim sau compus, îl împarți pe rând la numerele prime mai mici: 2, 3, 5, 7, 11 și așa mai departe. Dacă găsești o împărțire exactă, numărul este compus; dacă nu găsești niciuna, este prim.
Nu e nevoie să încerci toate numerele: te oprești când câtul devine mai mic decât împărțitorul. Pentru 91, de exemplu, ajungi la 91 : 7 = 13 și afli imediat că este compus.
- Începe cu criteriile de divizibilitate: dacă numărul e par sau are suma cifrelor divizibilă cu 3, e deja compus.
- Între 10 și 20 sunt patru numere prime: 11, 13, 17 și 19.
Exemplu rezolvat
Câte numere prime sunt mai mici decât 20?
- 1.Le scriem pe rând: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- 2.Eliminăm numerele pare (în afară de 2) și pe cele cu suma cifrelor divizibilă cu 3.
- 3.Rămân 8 numere prime mai mici decât 20.
Descompunerea în produs de numere prime
Orice număr compus poate fi scris ca produs de numere prime. Metoda este simplă: împarți numărul, pas cu pas, la cel mai mic număr prim posibil, până ajungi la 1.
Pentru 60: 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1, deci 60 = 2 × 2 × 3 × 5, scris prescurtat 22 × 3 × 5. Descompunerea se verifică înmulțind factorii la loc.
- Se începe mereu cu cel mai mic număr prim care divide numărul.
- Descompunerea unui număr este unică, oricum ai lucra.
Exemplu rezolvat
Descompune 84 în produs de numere prime și verifică.
- 1.84 : 2 = 42, apoi 42 : 2 = 21.
- 2.21 nu se mai împarte exact la 2, trecem la 3: 21 : 3 = 7, iar 7 : 7 = 1.
- 3.Deci 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7; verificare: 4 × 3 × 7 = 84.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Scrie divizorii numerelor 6, 11 și 15, apoi stabilește care dintre ele sunt numere prime.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
D6 = {1, 2, 3, 6}, D11 = {1, 11}, D15 = {1, 3, 5, 15}. Doar 11 este prim (are exact doi divizori).
- Ex. 2Dificultate redusă
Scrie toate numerele prime mai mici decât 25.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
- Ex. 3Dificultate redusă
Este numărul 0 prim sau compus? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nici prim, nici compus: 0 se împarte la orice număr nenul, deci nu are exact doi divizori.
- Ex. 4Dificultate redusă
Stabilește dacă numărul 33 este prim sau compus.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Compus: 33 = 3 × 11.
- Ex. 5Dificultate redusă
Descompune numărul 18 în produs de numere prime.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 = 2 × 32
- Ex. 6Dificultate medie
Descompune în produs de numere prime numerele 40 și 54.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
40 = 23 × 5; 54 = 2 × 33.
- Ex. 7Dificultate medie
Găsește toate numerele prime cuprinse între 50 și 70.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
53, 59, 61, 67
- Ex. 8Dificultate medie
Un număr are exact 2 divizori. Ce poți spune despre acest număr?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este număr prim: divizorii lui sunt doar 1 și el însuși.
- Ex. 9Dificultate medie
Stabilește dacă numărul 77 este prim sau compus (verifică împărțirea la 7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Compus: 77 = 7 × 11.
- Ex. 10Dificultate medie
Scrie toate numerele compuse mai mici decât 20.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18
- Ex. 11Dificultate ridicată
Suma a două numere prime este 30. Află cele două numere, știind că sunt diferite între ele. (Există mai multe variante corecte, găsește cel puțin două.)
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 + 23, 11 + 19 sau 13 + 17.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Descompune numărul 360 în produs de numere prime, apoi calculează câți factori primi diferiți are.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360 = 23 × 32 × 5; are 3 factori primi diferiți (2, 3 și 5).
- Ex. 13Dificultate ridicată
Un număr compus are exact 4 divizori, iar descompunerea sa în produs de numere prime este p × q, unde p și q sunt numere prime diferite. Găsește un astfel de număr mai mic decât 30 și scrie descompunerea lui.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De exemplu 6 = 2 × 3, cu divizorii 1, 2, 3, 6. Merg și 10, 14, 15, 21, 22, 26.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Numărul de forma 2 × 5 × a este egal cu 70, unde a este un număr necunoscut. Află valoarea lui a și stabilește dacă este număr prim sau compus.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 7 (2 × 5 × a = 10 × a = 70); 7 este număr prim.
- Ex. 15Dificultate ridicată
Într-o cutie sunt un număr de bomboane egal cu produsul primelor 4 numere prime. Câte bomboane sunt în cutie? Descompune apoi acest număr pentru a verifica rezultatul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 3 × 5 × 7 = 210 de bomboane; descompunerea: 210 = 2 × 3 × 5 × 7.