M3 · Tehnologic⏱ 1 sesiune
T8

Teorie înainte de exerciții

Test final mixt 8 · M3 · Tehnologic

Testul 8 din 10 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Răspunsurile scurte se verifică automat și acceptă forme numeric echivalente. La problemele cu demonstrație scrii rezolvarea, apoi o compari cu baremul.
1

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 113 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

De ținut minte

5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.
2

Ce se verifică în acest test

  • Limite
  • Legi de compoziție
  • Trigonometrie și geometrie
  • Progresii aritmetice
  • Derivate
  • Matrice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Probabilități
  • Progresii geometrice
Verifică-te singur · cu răspunsuriItemii testului 8 · 32 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 281Limite · 3pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 sin(2x)x.

    Vezi răspunsul

    2

  2. Ex. 282Legi de compoziție · 3pM3 · Tehnologic

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 1 = y + x + 1 = y ∘ x

  3. Ex. 284Trigonometrie și geometrie · 2pM3 · Tehnologic

    Rezolvați ecuația sin x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π6, 5π6}

  4. Ex. 285Progresii aritmetice · 2pM3 · Tehnologic

    Introduceți 5 medii aritmetice între 10 și 40.

    Vezi răspunsul

    r = (40 − 10) : 6 = 5, deci mediile sunt 15, 20, 25, 30, 35.

  5. Ex. 286Derivate · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 3)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 1, pentru x = 3; valoarea maximă este 1.

  6. Ex. 287Matrice · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați x dacă det = 7.

    Vezi răspunsul

    x + 3 = 7, deci x = 4.

  7. Ex. 288Geometrie analitică și vectori · 5pM3 · Tehnologic

    În reperul xOy, A(1,1) și B(4,5). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  8. Ex. 290Limite · 3pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 1 + x − 1x.

    Vezi răspunsul

    12

  9. Ex. 291Geometrie analitică și vectori · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (8,15).

    Vezi răspunsul

    (817, 1517) (|v| = 17)

  10. Ex. 292Trigonometrie și geometrie · 3pM3 · Tehnologic

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 8, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 49, deci c = 7.

  11. Ex. 294Legi de compoziție · 3pM3 · Tehnologic

    Pentru legea x ∘ y = x + y + 1, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este −1, iar x + x′ + 1 = −1 dă x′ = −x − 2.

  12. Ex. 295Calcule, funcții și ecuații · 5pM3 · Tehnologic

    Rezolvați ecuația log5 x = 2.

    Vezi răspunsul

    x = 52 = 25

  13. Ex. 297Progresii aritmetice · 2pM3 · Tehnologic

    Introduceți 2 medii aritmetice între 3 și 21.

    Vezi răspunsul

    r = (21 − 3) : 3 = 6, deci mediile sunt 9 și 15.

  14. Ex. 298Probabilități · 3pM3 · Tehnologic

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    3090 = 13 (12, 15, …, 99)

  15. Ex. 299Progresii geometrice · 4pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie geometrică, b4 = 54, q = 3. Determinați b1.

    Vezi răspunsul

    b1 = 54 : 33 = 2

  16. Ex. 300Matrice · 4pM3 · Tehnologic

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  17. Ex. 302Trigonometrie și geometrie · 2pM3 · Tehnologic

    Rezolvați ecuația cos x = −1, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x = π

  18. Ex. 303Derivate · 5pM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 13x2 + 2x + 6. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −6x + 2(3x2 + 2x + 6)2

  19. Ex. 304Probabilități · 4pM3 · Tehnologic

    O urnă conține 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    35

  20. Ex. 305Limite · 3pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 e3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    3

  21. Ex. 306Progresii geometrice · 5pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 5, b3 = 45. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q2 = 45 : 5 = 9, iar q > 0, deci q = 3.

  22. Ex. 307Calcule, funcții și ecuații · 3pM3 · Tehnologic

    Simplificați (x − 2)2 − (x + 2)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)2 − (x + 2)2 = −8x, deci expresia este −8.

  23. Ex. 308Matrice · 5pM3 · Tehnologic

    Fie A = și B = . Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B =

  24. Ex. 309Progresii aritmetice · 4pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 2, a7 = 20. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = 20 − 2 = 18, deci r = 3.

  25. Ex. 310Legi de compoziție · 4pM3 · Tehnologic

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = 2

  26. Ex. 312Geometrie analitică și vectori · 5pM3 · Tehnologic

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(3,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = 13

  27. Ex. 313Trigonometrie și geometrie · 3pM3 · Tehnologic

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 3 și 5, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c2 = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 12 = 19, deci c = √19.

  28. Ex. 314Derivate · 5pM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 12x2 − 2x + 3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −4x − 2(2x2 − 2x + 3)2

  29. Ex. 315Geometrie analitică și vectori · 4pM3 · Tehnologic

    Pentru dreapta d: 5x − 2y + 1 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (5, −2); director: u = (2, 5).

  30. Ex. 316Progresii geometrice · 3pM3 · Tehnologic

    În progresia geometrică cu b1 = 2, q = 2, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi răspunsul

    2 · 2n−1 = 2n = 256, deci n = 8.

  31. Ex. 318Matrice · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 5 și x − y = 1, deci x = 3, y = 2.

  32. Ex. 319Probabilități · 4pM3 · Tehnologic

    Se alege la întâmplare x din {−5,−3,−1,1,3,5}. Calculați probabilitatea ca |x| < 4.

    Vezi răspunsul

    46 = 23: x ∈ {−3, −1, 1, 3}.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Test final mixt 8 · M3 · Tehnologic: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Testul 8 din 10 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 113 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

  • 5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
  • 4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
  • 3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
  • 2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
  • 1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.

Ce se verifică în acest test

  • Limite
  • Legi de compoziție
  • Trigonometrie și geometrie
  • Progresii aritmetice
  • Derivate
  • Matrice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Probabilități
  • Progresii geometrice

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Itemul 281 · Calculați limx→0 sin(2x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  2. Exercițiul 2

    Itemul 282 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  3. Exercițiul 3

    Itemul 284 · Rezolvați ecuația sin x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea
    1. x ∈ {π6, 5π6}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  4. Exercițiul 4

    Itemul 285 · Introduceți 5 medii aritmetice între 10 și 40.

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 5; mediile sunt 15, 20, 25, 30, 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  5. Exercițiul 5

    Itemul 286 · Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 3)2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Valoarea maximă este f(3) = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

  6. Exercițiul 6

    Itemul 287 · Determinați x dacă det = 7.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

  7. Exercițiul 7

    Itemul 288 · În reperul xOy, A(1,1) și B(4,5). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

  8. Exercițiul 8

    Itemul 290 · Calculați limx→0 1 + x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin raționalizare, limita este 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

  9. Exercițiul 9

    Itemul 291 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (8,15).

    Vezi rezolvarea
    1. u = 817, 1517.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  10. Exercițiul 10

    Itemul 292 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 8, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin teorema cosinusului, latura este 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

  11. Exercițiul 11

    Itemul 294 · Pentru legea x ∘ y = x + y + 1, determinați simetricul lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui x este −x − 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  12. Exercițiul 12

    Itemul 295 · Rezolvați ecuația log5 x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 25.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 25

  13. Exercițiul 13

    Itemul 297 · Introduceți 2 medii aritmetice între 3 și 21.

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 6; mediile sunt 9, 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  14. Exercițiul 14

    Itemul 298 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 30 cazuri favorabile din 90; P = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

  15. Exercițiul 15

    Itemul 299 · Într-o progresie geometrică, b4 = 54, q = 3. Determinați b1.

    Vezi rezolvarea
    1. b1 = b4q3 = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  16. Exercițiul 16

    Itemul 300 · Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  17. Exercițiul 17

    Itemul 302 · Rezolvați ecuația cos x = −1, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea
    1. x ∈ {π}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  18. Exercițiul 18

    Itemul 303 · Fie f(x) = 13x2 + 2x + 6. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = −(6x + 2)(3x2 + 2x + 6)2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  19. Exercițiul 19

    Itemul 304 · O urnă conține 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

  20. Exercițiul 20

    Itemul 305 · Calculați limx→0 e3x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  21. Exercițiul 21

    Itemul 306 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 5, b3 = 45. Determinați q.

    Vezi rezolvarea
    1. q = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  22. Exercițiul 22

    Itemul 307 · Simplificați (x − 2)2 − (x + 2)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este -8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -8

  23. Exercițiul 23

    Itemul 308 · Fie A = și B = . Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea
    1. A + B = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  24. Exercițiul 24

    Itemul 309 · Într-o progresie aritmetică, a1 = 2, a7 = 20. Determinați r.

    Vezi rezolvarea
    1. r = a7 − a16 = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  25. Exercițiul 25

    Itemul 310 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru este e = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  26. Exercițiul 26

    Itemul 312 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(3,15). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

  27. Exercițiul 27

    Itemul 313 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 3 și 5, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin teorema cosinusului, latura este √19.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  28. Exercițiul 28

    Itemul 314 · Fie f(x) = 12x2 − 2x + 3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = −(4x − 2)(2x2 − 2x + 3)2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  29. Exercițiul 29

    Itemul 315 · Pentru dreapta d: 5x − 2y + 1 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi rezolvarea
    1. n = (5,-2), v = (2,5).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  30. Exercițiul 30

    Itemul 316 · În progresia geometrică cu b1 = 2, q = 2, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi rezolvarea
    1. n = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

  31. Exercițiul 31

    Itemul 318 · Determinați x și y dacă = .

    Vezi rezolvarea
    1. x = 3, y = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  32. Exercițiul 32

    Itemul 319 · Se alege la întâmplare x din {−5,−3,−1,1,3,5}. Calculați probabilitatea ca |x| < 4.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 23.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 23

Itemii testului 8 (32)

  1. 281. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(2x)x.

    Vezi răspunsul

    2

  2. 282. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 1 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 1 = y + x + 1 = y ∘ x

  3. 284. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația sin x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π6, 5π6}

  4. 285. Progresii aritmetice · 2p

    Introduceți 5 medii aritmetice între 10 și 40.

    Vezi răspunsul

    r = (40 − 10) : 6 = 5, deci mediile sunt 15, 20, 25, 30, 35.

  5. 286. Derivate · 3p

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x − 3)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 1, pentru x = 3; valoarea maximă este 1.

  6. 287. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det = 7.

    Vezi răspunsul

    x + 3 = 7, deci x = 4.

  7. 288. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(1,1) și B(4,5). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  8. 290. Limite · 3p

    Calculați limx→0 1 + x − 1x.

    Vezi răspunsul

    12

  9. 291. Geometrie analitică și vectori · 3p

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (8,15).

    Vezi răspunsul

    (817, 1517) (|v| = 17)

  10. 292. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 8, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 49, deci c = 7.

  11. 294. Legi de compoziție · 3p

    Pentru legea x ∘ y = x + y + 1, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este −1, iar x + x′ + 1 = −1 dă x′ = −x − 2.

  12. 295. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația log5 x = 2.

    Vezi răspunsul

    x = 52 = 25

  13. 297. Progresii aritmetice · 2p

    Introduceți 2 medii aritmetice între 3 și 21.

    Vezi răspunsul

    r = (21 − 3) : 3 = 6, deci mediile sunt 9 și 15.

  14. 298. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    3090 = 13 (12, 15, …, 99)

  15. 299. Progresii geometrice · 4p

    Într-o progresie geometrică, b4 = 54, q = 3. Determinați b1.

    Vezi răspunsul

    b1 = 54 : 33 = 2

  16. 300. Matrice · 4p

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  17. 302. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația cos x = −1, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x = π

  18. 303. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 13x2 + 2x + 6. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −6x + 2(3x2 + 2x + 6)2

  19. 304. Probabilități · 4p

    O urnă conține 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    35

  20. 305. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    3

  21. 306. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 5, b3 = 45. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q2 = 45 : 5 = 9, iar q > 0, deci q = 3.

  22. 307. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 2)2 − (x + 2)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)2 − (x + 2)2 = −8x, deci expresia este −8.

  23. 308. Matrice · 5p

    Fie A = și B = . Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B =

  24. 309. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 2, a7 = 20. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = 20 − 2 = 18, deci r = 3.

  25. 310. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = 2

  26. 312. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(3,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = 13

  27. 313. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 3 și 5, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c2 = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 12 = 19, deci c = √19.

  28. 314. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 12x2 − 2x + 3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −4x − 2(2x2 − 2x + 3)2

  29. 315. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Pentru dreapta d: 5x − 2y + 1 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (5, −2); director: u = (2, 5).

  30. 316. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b1 = 2, q = 2, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi răspunsul

    2 · 2n−1 = 2n = 256, deci n = 8.

  31. 318. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 5 și x − y = 1, deci x = 3, y = 2.

  32. 319. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−5,−3,−1,1,3,5}. Calculați probabilitatea ca |x| < 4.

    Vezi răspunsul

    46 = 23: x ∈ {−3, −1, 1, 3}.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.