M3 · Tehnologic⏱ 1 sesiune
T4

Teorie înainte de exerciții

Test final mixt 4 · M3 · Tehnologic

Testul 4 din 10 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Răspunsurile scurte se verifică automat și acceptă forme numeric echivalente. La problemele cu demonstrație scrii rezolvarea, apoi o compari cu baremul.
1

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 118 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

De ținut minte

5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.
2

Ce se verifică în acest test

  • Trigonometrie și geometrie
  • Geometrie analitică și vectori
  • Matrice
  • Progresii geometrice
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Progresii aritmetice
  • Probabilități
  • Legi de compoziție
  • Derivate
  • Limite
Verifică-te singur · cu răspunsuriItemii testului 4 · 32 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 121Trigonometrie și geometrie · 3pM3 · Tehnologic

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 4 și 10, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    4 · 10 : 2 = 20

  2. Ex. 122Geometrie analitică și vectori · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (5,12).

    Vezi răspunsul

    (513, 1213) (|v| = 13)

  3. Ex. 124Matrice · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați x dacă det = 3.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 3, deci x = 5.

  4. Ex. 125Progresii geometrice · 3pM3 · Tehnologic

    În progresia geometrică cu b1 = 3, q = 3, determinați n dacă bn = 243.

    Vezi răspunsul

    3 · 3n−1 = 3n = 243, deci n = 5.

  5. Ex. 126Calcule, funcții și ecuații · 3pM3 · Tehnologic

    Simplificați (x − 1)2 − (x + 1)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 1)2 − (x + 1)2 = −4x, deci expresia este −4.

  6. Ex. 127Progresii aritmetice · 5pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 1, r = 4. Calculați a8.

    Vezi răspunsul

    a8 = 1 + 7 · 4 = 29

  7. Ex. 129Probabilități · 4pM3 · Tehnologic

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,50}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 6.

    Vezi răspunsul

    850 = 425 (6, 12, …, 48)

  8. Ex. 130Legi de compoziție · 3pM3 · Tehnologic

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 4.

    Vezi răspunsul

    Neutrul verifică x + e + a = x, deci e = −a = 4 și a = −4.

  9. Ex. 131Derivate · 5pM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 2x4 + 5x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 8x3 + 5

  10. Ex. 132Limite · 4pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 12x2 + 3.

    Vezi răspunsul

    2

  11. Ex. 134Limite · 3pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    32

  12. Ex. 135Calcule, funcții și ecuații · 5pM3 · Tehnologic

    Rezolvați ecuația x + 4 = 5.

    Vezi răspunsul

    x + 4 = 25, deci x = 21.

  13. Ex. 136Progresii aritmetice · 3pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie aritmetică, a4 = 12 și a10 = 30. Calculați a7.

    Vezi răspunsul

    a7 = (a4 + a10) : 2 = 21

  14. Ex. 137Matrice · 4pM3 · Tehnologic

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  15. Ex. 138Legi de compoziție · 4pM3 · Tehnologic

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 1. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = −1

  16. Ex. 139Probabilități · 5pM3 · Tehnologic

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 4.

    Vezi răspunsul

    26 = 13

  17. Ex. 140Trigonometrie și geometrie · 3pM3 · Tehnologic

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    6 · 8 : 2 = 24

  18. Ex. 143Geometrie analitică și vectori · 4pM3 · Tehnologic

    Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (3, 4); director: u = (4, −3).

  19. Ex. 144Progresii geometrice · 5pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie geometrică, b1 = 2, q = 3. Calculați b5.

    Vezi răspunsul

    b5 = 2 · 34 = 162

  20. Ex. 145Trigonometrie și geometrie · 5pM3 · Tehnologic

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1213

  21. Ex. 147Derivate · 3pM3 · Tehnologic

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2(x + 2): crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); maximul este f(−2) = 1.

  22. Ex. 148Progresii geometrice · 1pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie geometrică, b1 = 1, q = 4. Calculați S7.

    Vezi răspunsul

    S7 = 47 − 14 − 1 = 5.461

  23. Ex. 150Legi de compoziție · 3pM3 · Tehnologic

    Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y − 2 = y + x − 2 = y ∘ x

  24. Ex. 151Limite · 3pM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

  25. Ex. 152Calcule, funcții și ecuații · 5pM3 · Tehnologic

    Rezolvați ecuația log2 x = 3.

    Vezi răspunsul

    x = 23 = 8

  26. Ex. 153Geometrie analitică și vectori · 5pM3 · Tehnologic

    În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(3, −1)

  27. Ex. 154Matrice · 3pM3 · Tehnologic

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 8 și x − y = 2, deci x = 5, y = 3.

  28. Ex. 155Progresii aritmetice · 4pM3 · Tehnologic

    Într-o progresie aritmetică, a4 = -7, r = -2. Determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a1 = a4 − 3r = −7 + 6 = −1

  29. Ex. 156Probabilități · 5pM3 · Tehnologic

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi răspunsul

    510 = 12

  30. Ex. 157Legi de compoziție · 2pM3 · Tehnologic

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 6 = x ∘ (y ∘ z)

  31. Ex. 159Probabilități · 4pM3 · Tehnologic

    Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi răspunsul

    35: x ∈ {−1, 0, 1}.

  32. Ex. 160Progresii geometrice · 3pM3 · Tehnologic

    În progresia geometrică cu b1 = 1, q = 4, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi răspunsul

    4n−1 = 256 = 44, deci n = 5.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Test final mixt 4 · M3 · Tehnologic: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Testul 4 din 10 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 118 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

  • 5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
  • 4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
  • 3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
  • 2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
  • 1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.

Ce se verifică în acest test

  • Trigonometrie și geometrie
  • Geometrie analitică și vectori
  • Matrice
  • Progresii geometrice
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Progresii aritmetice
  • Probabilități
  • Legi de compoziție
  • Derivate
  • Limite

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Itemul 121 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 4 și 10, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria este 20.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 20

  2. Exercițiul 2

    Itemul 122 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (5,12).

    Vezi rezolvarea
    1. u = 513, 1213.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  3. Exercițiul 3

    Itemul 124 · Determinați x dacă det = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

  4. Exercițiul 4

    Itemul 125 · În progresia geometrică cu b1 = 3, q = 3, determinați n dacă bn = 243.

    Vezi rezolvarea
    1. n = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

  5. Exercițiul 5

    Itemul 126 · Simplificați (x − 1)2 − (x + 1)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este -4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -4

  6. Exercițiul 6

    Itemul 127 · Într-o progresie aritmetică, a1 = 1, r = 4. Calculați a8.

    Vezi rezolvarea
    1. a8 = a1 + 7r = 29.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 29

  7. Exercițiul 7

    Itemul 129 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,50}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 8 cazuri favorabile; P = 425.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 425

  8. Exercițiul 8

    Itemul 130 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 4.

    Vezi rezolvarea
    1. a = -4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -4

  9. Exercițiul 9

    Itemul 131 · Fie f(x) = 2x4 + 5x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 8x3 + 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  10. Exercițiul 10

    Itemul 132 · Calculați limx→+∞ 4x2 − 12x2 + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Itemul 134 · Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin raționalizare, limita este 32.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 32

  12. Exercițiul 12

    Itemul 135 · Rezolvați ecuația x + 4 = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția de existență este îndeplinită; x = 21.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 21

  13. Exercițiul 13

    Itemul 136 · Într-o progresie aritmetică, a4 = 12 și a10 = 30. Calculați a7.

    Vezi rezolvarea
    1. a7 = a4+a102 = 21.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 21

  14. Exercițiul 14

    Itemul 137 · Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  15. Exercițiul 15

    Itemul 138 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 1. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru este e = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

  16. Exercițiul 16

    Itemul 139 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 4.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

  17. Exercițiul 17

    Itemul 140 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria este 24.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 24

  18. Exercițiul 18

    Itemul 143 · Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi rezolvarea
    1. n = (3,4), v = (-4,3).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  19. Exercițiul 19

    Itemul 144 · Într-o progresie geometrică, b1 = 2, q = 3. Calculați b5.

    Vezi rezolvarea
    1. b5 = b1·q4 = 162.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 162

  20. Exercițiul 20

    Itemul 145 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea
    1. cos α = 1213.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1213

  21. Exercițiul 21

    Itemul 147 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția crește pe (−∞,-2), descrește pe (-2,+∞), maxim 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  22. Exercițiul 22

    Itemul 148 · Într-o progresie geometrică, b1 = 1, q = 4. Calculați S7.

    Vezi rezolvarea
    1. S7 = 5461.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5461

  23. Exercițiul 23

    Itemul 150 · Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  24. Exercițiul 24

    Itemul 151 · Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  25. Exercițiul 25

    Itemul 152 · Rezolvați ecuația log2 x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

  26. Exercițiul 26

    Itemul 153 · În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. M(3,−1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  27. Exercițiul 27

    Itemul 154 · Determinați x și y dacă = .

    Vezi rezolvarea
    1. x = 5, y = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  28. Exercițiul 28

    Itemul 155 · Într-o progresie aritmetică, a4 = -7, r = -2. Determinați a1.

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = a4 − 3r = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

  29. Exercițiul 29

    Itemul 156 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

  30. Exercițiul 30

    Itemul 157 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 6; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  31. Exercițiul 31

    Itemul 159 · Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

  32. Exercițiul 32

    Itemul 160 · În progresia geometrică cu b1 = 1, q = 4, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi rezolvarea
    1. n = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

Itemii testului 4 (32)

  1. 121. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 4 și 10, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    4 · 10 : 2 = 20

  2. 122. Geometrie analitică și vectori · 3p

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (5,12).

    Vezi răspunsul

    (513, 1213) (|v| = 13)

  3. 124. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det = 3.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 3, deci x = 5.

  4. 125. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b1 = 3, q = 3, determinați n dacă bn = 243.

    Vezi răspunsul

    3 · 3n−1 = 3n = 243, deci n = 5.

  5. 126. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 1)2 − (x + 1)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 1)2 − (x + 1)2 = −4x, deci expresia este −4.

  6. 127. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 1, r = 4. Calculați a8.

    Vezi răspunsul

    a8 = 1 + 7 · 4 = 29

  7. 129. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,50}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 6.

    Vezi răspunsul

    850 = 425 (6, 12, …, 48)

  8. 130. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 4.

    Vezi răspunsul

    Neutrul verifică x + e + a = x, deci e = −a = 4 și a = −4.

  9. 131. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 2x4 + 5x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 8x3 + 5

  10. 132. Limite · 4p

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 12x2 + 3.

    Vezi răspunsul

    2

  11. 134. Limite · 3p

    Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    32

  12. 135. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația x + 4 = 5.

    Vezi răspunsul

    x + 4 = 25, deci x = 21.

  13. 136. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a4 = 12 și a10 = 30. Calculați a7.

    Vezi răspunsul

    a7 = (a4 + a10) : 2 = 21

  14. 137. Matrice · 4p

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  15. 138. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 1. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = −1

  16. 139. Probabilități · 5p

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 4.

    Vezi răspunsul

    26 = 13

  17. 140. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    6 · 8 : 2 = 24

  18. 143. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (3, 4); director: u = (4, −3).

  19. 144. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică, b1 = 2, q = 3. Calculați b5.

    Vezi răspunsul

    b5 = 2 · 34 = 162

  20. 145. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1213

  21. 147. Derivate · 3p

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2(x + 2): crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); maximul este f(−2) = 1.

  22. 148. Progresii geometrice · 1p

    Într-o progresie geometrică, b1 = 1, q = 4. Calculați S7.

    Vezi răspunsul

    S7 = 47 − 14 − 1 = 5.461

  23. 150. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y − 2 = y + x − 2 = y ∘ x

  24. 151. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

  25. 152. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația log2 x = 3.

    Vezi răspunsul

    x = 23 = 8

  26. 153. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(3, −1)

  27. 154. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 8 și x − y = 2, deci x = 5, y = 3.

  28. 155. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a4 = -7, r = -2. Determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a1 = a4 − 3r = −7 + 6 = −1

  29. 156. Probabilități · 5p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi răspunsul

    510 = 12

  30. 157. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 6 = x ∘ (y ∘ z)

  31. 159. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi răspunsul

    35: x ∈ {−1, 0, 1}.

  32. 160. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b1 = 1, q = 4, determinați n dacă bn = 256.

    Vezi răspunsul

    4n−1 = 256 = 44, deci n = 5.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.