M2 · Științe⏱ 1 sesiune
T8

Teorie înainte de exerciții

Test final mixt 8 · M2 · Științe

Testul 8 din 11 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Răspunsurile scurte se verifică automat și acceptă forme numeric echivalente. La problemele cu demonstrație scrii rezolvarea, apoi o compari cu baremul.
1

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 120 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

De ținut minte

5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.
2

Ce se verifică în acest test

  • Probabilități
  • Progresii geometrice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Matrice
  • Legi de compoziție
  • Derivate
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Trigonometrie și geometrie
  • Numere complexe
  • Progresii aritmetice
  • Limite
Verifică-te singur · cu răspunsuriItemii testului 8 · 32 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 245Probabilități · 3pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    1890 = 15

  2. Ex. 246Progresii geometrice · 4pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică, b4 = -32, q = -2. Determinați b1.

    Vezi răspunsul

    b1 = b4 : q3 = −32 : (−8) = 4

  3. Ex. 247Geometrie analitică și vectori · 5pM2 · Științe

    În reperul xOy, A(0,0) și B(8,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    64 + 225 = 17

  4. Ex. 249Matrice · 3pM2 · Științe

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 3 și x − y = −1, deci x = 1, y = 2.

  5. Ex. 250Legi de compoziție · 3pM2 · Științe

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 5 = y + x + 5 = y ∘ x

  6. Ex. 251Derivate · 2pM2 · Științe

    Folosind derivate, demonstrați că x2 + 1 ≥ 2x pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x2 − 2x + 1 are g′(x) = 2x − 2, deci minimul este g(1) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică x2 + 1 ≥ 2x.

  7. Ex. 252Calcule, funcții și ecuații · 4pM2 · Științe

    Rezolvați inegalitatea (x + 2)(x − 3) ≤ 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ [−2, 3]

  8. Ex. 253Matrice · 5pM2 · Științe

    Fie A = . Calculați −A.

    Vezi răspunsul

    −A =

  9. Ex. 254Legi de compoziție · 3pM2 · Științe

    Pentru legea x ∘ y = x + y − 2, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este 2, iar x + x′ − 2 = 2 dă x′ = 4 − x.

  10. Ex. 255Trigonometrie și geometrie · 2pM2 · Științe

    Rezolvați ecuația cos x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π3, 5π3}

  11. Ex. 256Geometrie analitică și vectori · 5pM2 · Științe

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (6, −2)

  12. Ex. 257Calcule, funcții și ecuații · 5pM2 · Științe

    Rezolvați ecuația 7x + 2 = 44.

    Vezi răspunsul

    7x = 42, deci x = 6.

  13. Ex. 258Numere complexe · 5pM2 · Științe

    Pentru z = 5 + 12i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 25 + 144 = 13; z̄ = 5 − 12i.

  14. Ex. 259Progresii aritmetice · 3pM2 · Științe

    Într-o progresie aritmetică, a2 = -1 și a8 = 17. Calculați a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = (a2 + a8) : 2 = 8

  15. Ex. 261Probabilități · 4pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    620 = 310 (3, 6, …, 18)

  16. Ex. 262Limite · 5pM2 · Științe

    Calculați limx→3 (−4x + 7).

    Vezi răspunsul

    −12 + 7 = −5

  17. Ex. 263Progresii geometrice · 2pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică, b1 = 3, q = -2. Calculați b4.

    Vezi răspunsul

    b4 = 3 · (−2)3 = −24

  18. Ex. 264Derivate · 3pM2 · Științe

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x + 2)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 1, pentru x = −2; valoarea maximă este 1.

  19. Ex. 265Geometrie analitică și vectori · 5pM2 · Științe

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(1, 2)

  20. Ex. 266Calcule, funcții și ecuații · 5pM2 · Științe

    Rezolvați ecuația 3x−2 = 9.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 2, deci x = 4.

  21. Ex. 267Probabilități · 3pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra zecilor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    1090 = 19 (50, 51, …, 59)

  22. Ex. 268Trigonometrie și geometrie · 5pM2 · Științe

    Calculați cos 30°.

    Vezi răspunsul

    √32

  23. Ex. 270Matrice · 3pM2 · Științe

    Fie A = . Determinați A−1.

    Vezi răspunsul

    A−1 =

  24. Ex. 271Legi de compoziție · 3pM2 · Științe

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -3.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −3, deci a = 3.

  25. Ex. 272Limite · 3pM2 · Științe

    Calculați limx→0 sin(5x)x.

    Vezi răspunsul

    5

  26. Ex. 273Progresii aritmetice · 4pM2 · Științe

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 10, a7 = -8. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = −8 − 10 = −18, deci r = −3.

  27. Ex. 274Progresii geometrice · 2pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică, b1 = 4, q = -1. Calculați b9.

    Vezi răspunsul

    b9 = 4 · (−1)8 = 4

  28. Ex. 275Numere complexe · 5pM2 · Științe

    Pentru z = 3 − 4i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 5; z̄ = 3 + 4i.

  29. Ex. 276Derivate · 4pM2 · Științe

    Fie f(x) = ex(2x2 + x ). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = ex(2x2 + x) + ex(4x + 1) = ex(2x2 + 5x + 1)

  30. Ex. 277Numere complexe · 5pM2 · Științe

    Pentru z = 8 + 15i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 64 + 225 = 17; z̄ = 8 − 15i.

  31. Ex. 278Probabilități · 4pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

    Vezi răspunsul

    730 (4, 8, …, 28)

  32. Ex. 279Progresii geometrice · 3pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică, b2 = 6, b5 = 48. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q3 = 48 : 6 = 8, deci q = 2.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Test final mixt 8 · M2 · Științe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Testul 8 din 11 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 120 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

  • 5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
  • 4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
  • 3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
  • 2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
  • 1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.

Ce se verifică în acest test

  • Probabilități
  • Progresii geometrice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Matrice
  • Legi de compoziție
  • Derivate
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Trigonometrie și geometrie
  • Numere complexe
  • Progresii aritmetice
  • Limite

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Itemul 245 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 18 cazuri favorabile din 90; P = 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

  2. Exercițiul 2

    Itemul 246 · Într-o progresie geometrică, b4 = -32, q = -2. Determinați b1.

    Vezi rezolvarea
    1. b1 = b4q3 = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

  3. Exercițiul 3

    Itemul 247 · În reperul xOy, A(0,0) și B(8,15). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = 17.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 17

  4. Exercițiul 4

    Itemul 249 · Determinați x și y dacă = .

    Vezi rezolvarea
    1. x = 1, y = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  5. Exercițiul 5

    Itemul 250 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  6. Exercițiul 6

    Itemul 251 · Folosind derivate, demonstrați că x2 + 1 ≥ 2x pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru g=x2−2x+1, g are minimul 0 la x=1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

  7. Exercițiul 7

    Itemul 252 · Rezolvați inegalitatea (x + 2)(x − 3) ≤ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. x ∈ [-2,3].
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  8. Exercițiul 8

    Itemul 253 · Fie A = . Calculați −A.

    Vezi rezolvarea
    1. −A = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  9. Exercițiul 9

    Itemul 254 · Pentru legea x ∘ y = x + y − 2, determinați simetricul lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui x este −x + 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  10. Exercițiul 10

    Itemul 255 · Rezolvați ecuația cos x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi rezolvarea
    1. x ∈ {π3, 5π3}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  11. Exercițiul 11

    Itemul 256 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (6,-2).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  12. Exercițiul 12

    Itemul 257 · Rezolvați ecuația 7x + 2 = 44.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

  13. Exercițiul 13

    Itemul 258 · Pentru z = 5 + 12i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea
    1. |z| = 13, iar conjugatul este 5 − 12i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  14. Exercițiul 14

    Itemul 259 · Într-o progresie aritmetică, a2 = -1 și a8 = 17. Calculați a5.

    Vezi rezolvarea
    1. a5 = a2+a82 = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

  15. Exercițiul 15

    Itemul 261 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 6 cazuri favorabile; P = 310.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 310

  16. Exercițiul 16

    Itemul 262 · Calculați limx→3 (−4x + 7).

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

  17. Exercițiul 17

    Itemul 263 · Într-o progresie geometrică, b1 = 3, q = -2. Calculați b4.

    Vezi rezolvarea
    1. b4 = -24.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -24

  18. Exercițiul 18

    Itemul 264 · Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x + 2)2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Valoarea maximă este f(-2) = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

  19. Exercițiul 19

    Itemul 265 · În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. M(1,2).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  20. Exercițiul 20

    Itemul 266 · Rezolvați ecuația 3x−2 = 9.

    Vezi rezolvarea
    1. Egalând exponenții: x = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

  21. Exercițiul 21

    Itemul 267 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra zecilor să fie 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 10 cazuri favorabile din 90; P = 19.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 19

  22. Exercițiul 22

    Itemul 268 · Calculați cos 30°.

    Vezi rezolvarea
    1. cos 30° = √32.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  23. Exercițiul 23

    Itemul 270 · Fie A = . Determinați A−1.

    Vezi rezolvarea
    1. A−1 = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  24. Exercițiul 24

    Itemul 271 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -3.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  25. Exercițiul 25

    Itemul 272 · Calculați limx→0 sin(5x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

  26. Exercițiul 26

    Itemul 273 · Într-o progresie aritmetică, a1 = 10, a7 = -8. Determinați r.

    Vezi rezolvarea
    1. r = a7 − a16 = −3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −3

  27. Exercițiul 27

    Itemul 274 · Într-o progresie geometrică, b1 = 4, q = -1. Calculați b9.

    Vezi rezolvarea
    1. b9 = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

  28. Exercițiul 28

    Itemul 275 · Pentru z = 3 − 4i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea
    1. |z| = 5, iar conjugatul este 3 + 4i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  29. Exercițiul 29

    Itemul 276 · Fie f(x) = ex(2x2 + x ). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = ex(2x2 + 5x + 1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  30. Exercițiul 30

    Itemul 277 · Pentru z = 8 + 15i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea
    1. |z| = 17, iar conjugatul este 8 − 15i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  31. Exercițiul 31

    Itemul 278 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 7 cazuri favorabile; P = 730.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 730

  32. Exercițiul 32

    Itemul 279 · Într-o progresie geometrică, b2 = 6, b5 = 48. Determinați q.

    Vezi rezolvarea
    1. q3 = b5b2 = 8, deci q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

Itemii testului 8 (32)

  1. 245. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    1890 = 15

  2. 246. Progresii geometrice · 4p

    Într-o progresie geometrică, b4 = -32, q = -2. Determinați b1.

    Vezi răspunsul

    b1 = b4 : q3 = −32 : (−8) = 4

  3. 247. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,0) și B(8,15). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    64 + 225 = 17

  4. 249. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 3 și x − y = −1, deci x = 1, y = 2.

  5. 250. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 5 = y + x + 5 = y ∘ x

  6. 251. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că x2 + 1 ≥ 2x pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x2 − 2x + 1 are g′(x) = 2x − 2, deci minimul este g(1) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică x2 + 1 ≥ 2x.

  7. 252. Calcule, funcții și ecuații · 4p

    Rezolvați inegalitatea (x + 2)(x − 3) ≤ 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ [−2, 3]

  8. 253. Matrice · 5p

    Fie A = . Calculați −A.

    Vezi răspunsul

    −A =

  9. 254. Legi de compoziție · 3p

    Pentru legea x ∘ y = x + y − 2, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este 2, iar x + x′ − 2 = 2 dă x′ = 4 − x.

  10. 255. Trigonometrie și geometrie · 2p

    Rezolvați ecuația cos x = 12, pentru x ∈ [0,2π].

    Vezi răspunsul

    x ∈ {π3, 5π3}

  11. 256. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (6, −2)

  12. 257. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 7x + 2 = 44.

    Vezi răspunsul

    7x = 42, deci x = 6.

  13. 258. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 5 + 12i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 25 + 144 = 13; z̄ = 5 − 12i.

  14. 259. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a2 = -1 și a8 = 17. Calculați a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = (a2 + a8) : 2 = 8

  15. 261. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,20}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    620 = 310 (3, 6, …, 18)

  16. 262. Limite · 5p

    Calculați limx→3 (−4x + 7).

    Vezi răspunsul

    −12 + 7 = −5

  17. 263. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b1 = 3, q = -2. Calculați b4.

    Vezi răspunsul

    b4 = 3 · (−2)3 = −24

  18. 264. Derivate · 3p

    Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = 1(x + 2)2 + 1.

    Vezi răspunsul

    Numitorul este minim, 1, pentru x = −2; valoarea maximă este 1.

  19. 265. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-2,3) și B(4,1). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(1, 2)

  20. 266. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 3x−2 = 9.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 2, deci x = 4.

  21. 267. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra zecilor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    1090 = 19 (50, 51, …, 59)

  22. 268. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Calculați cos 30°.

    Vezi răspunsul

    √32

  23. 270. Matrice · 3p

    Fie A = . Determinați A−1.

    Vezi răspunsul

    A−1 =

  24. 271. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -3.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −3, deci a = 3.

  25. 272. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(5x)x.

    Vezi răspunsul

    5

  26. 273. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 10, a7 = -8. Determinați r.

    Vezi răspunsul

    6r = −8 − 10 = −18, deci r = −3.

  27. 274. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b1 = 4, q = -1. Calculați b9.

    Vezi răspunsul

    b9 = 4 · (−1)8 = 4

  28. 275. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 3 − 4i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 5; z̄ = 3 + 4i.

  29. 276. Derivate · 4p

    Fie f(x) = ex(2x2 + x ). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = ex(2x2 + x) + ex(4x + 1) = ex(2x2 + 5x + 1)

  30. 277. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 8 + 15i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 64 + 225 = 17; z̄ = 8 − 15i.

  31. 278. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 4.

    Vezi răspunsul

    730 (4, 8, …, 28)

  32. 279. Progresii geometrice · 3p

    Într-o progresie geometrică, b2 = 6, b5 = 48. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q3 = 48 : 6 = 8, deci q = 2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.