Test final mixt 2 · M2 · Științe

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 36 · Se alege la întâmplare x din {−3,−2,−1,0,1,2,3}. Calculați probabilitatea ca |x| < 3.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 57.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 57

2. Exercițiul 2

   Itemul 37 · Fie f(x) = −x⁵ + 2x + 1. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x) = -5x⁴ + 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

3. Exercițiul 3

   Itemul 38 · Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y + 2xy. Calculați 1 ∗ 4.

   Vezi rezolvarea

   1. 1 ∗ 4 = 13.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 13

4. Exercițiul 4

   Itemul 40 · Rezolvați ecuația log₃ x = 2.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 9.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 9

5. Exercițiul 5

   Itemul 41 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 725, cos α = 2425. Calculați tg α.

   Vezi rezolvarea

   1. tg α = 724.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 724

6. Exercițiul 6

   Itemul 42 · Într-o progresie geometrică, b₅ = 80, q = 2. Determinați b₁.

   Vezi rezolvarea

   1. b₁ = b₅q⁴ = 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5

7. Exercițiul 7

   Itemul 43 · Determinați ecuația dreptei de pantă -2 care trece prin A(-1,3).

   Vezi rezolvarea

   1. y = −2x + 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

8. Exercițiul 8

   Itemul 44 · Introduceți 3 medii aritmetice între 2 și 18.

   Vezi rezolvarea

   1. Rația este 4; mediile sunt 6, 10, 14.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

9. Exercițiul 9

   Itemul 45 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 12.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 12

10. Exercițiul 10

    Itemul 46 · Calculați limx→0 √1 + 5x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Prin raționalizare, limita este 52.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 52

11. Exercițiul 11

    Itemul 47 · Fie A = -100-1. Determinați A⁻¹.

    Vezi rezolvarea

    1. A⁻¹ = -100-1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

12. Exercițiul 12

    Itemul 48 · Calculați (-1 + 2i)(4 + i).

    Vezi rezolvarea

    1. -6 + 7i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 49 · Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru g=x−1−ln x, g are minimul 0 la x=1; inegalitatea este adevărată.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 50 · Calculați sin 30°.

    Vezi rezolvarea

    1. sin 30° = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

15. Exercițiul 15

    Itemul 52 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 53 · Calculați limx→5 x² − 25x − 5.

    Vezi rezolvarea

    1. După factorizare, limita este 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 10

17. Exercițiul 17

    Itemul 54 · Fie A = 2-130 și B = -2415. Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea

    1. A + B = 0345.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

18. Exercițiul 18

    Itemul 55 · Rezolvați inegalitatea (x − 1)(x − 5) ≥ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ (−∞,1] ∪ [5,+∞).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

19. Exercițiul 19

    Itemul 56 · În reperul xOy, A(0,0), B(4,0), C(0,3). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

20. Exercițiul 20

    Itemul 57 · Calculați 2 + 2i1 + i.

    Vezi rezolvarea

    1. 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

21. Exercițiul 21

    Itemul 58 · În progresia aritmetică cu a₁ = 15, r = -2, determinați n dacă a_n = 5.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

22. Exercițiul 22

    Itemul 59 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca numărul să se termine în 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 9 cazuri favorabile din 90; P = 110.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 110

23. Exercițiul 23

    Itemul 60 · Numerele pozitive 1, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi rezolvarea

    1. x² = 25, deci x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

24. Exercițiul 24

    Itemul 61 · Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

25. Exercițiul 25

    Itemul 62 · Fie z = (2 + 3i) − (1 + i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi rezolvarea

    1. Re(z) = 1, Im(z) = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

26. Exercițiul 26

    Itemul 63 · Rezolvați ecuația 4x − 9 = -17.

    Vezi rezolvarea

    1. x = -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

27. Exercițiul 27

    Itemul 64 · În reperul xOy, A(0,0), B(6,0), C(0,5). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

28. Exercițiul 28

    Itemul 65 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 2. Calculați S₁₅.

    Vezi rezolvarea

    1. S₁₅ = 32767.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 32767

29. Exercițiul 29

    Itemul 66 · Fie A = 120-1 și B = 3-241. Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea

    1. A + B = 4040.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

30. Exercițiul 30

    Itemul 67 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 5.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 16.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 16

31. Exercițiul 31

    Itemul 68 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 5 și 12, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 30.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 30

32. Exercițiul 32

    Itemul 69 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Calculați 4 ∘ 5.

    Vezi rezolvarea

    1. 4 ∘ 5 = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

Itemii testului 2 (32)

1. 36. Probabilități · 4p

   Se alege la întâmplare x din {−3,−2,−1,0,1,2,3}. Calculați probabilitatea ca |x| < 3.

   Vezi răspunsul

   57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

2. 37. Derivate · 5p

   Fie f(x) = −x⁵ + 2x + 1. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = −5x⁴ + 2

3. 38. Legi de compoziție · 3p

   Pe domeniul unde este definită, x ∗ y = x + y + 2xy. Calculați 1 ∗ 4.

   Vezi răspunsul

   1 + 4 + 2 · 1 · 4 = 13

4. 40. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația log₃ x = 2.

   Vezi răspunsul

   x = 3² = 9

5. 41. Trigonometrie și geometrie · 4p

   Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 725, cos α = 2425. Calculați tg α.

   Vezi răspunsul

   tg α = 724

6. 42. Progresii geometrice · 4p

   Într-o progresie geometrică, b₅ = 80, q = 2. Determinați b₁.

   Vezi răspunsul

   b₁ = 80 : 2⁴ = 5

7. 43. Geometrie analitică și vectori · 5p

   Determinați ecuația dreptei de pantă -2 care trece prin A(-1,3).

   Vezi răspunsul

   y − 3 = −2(x + 1), adică y = −2x + 1.

8. 44. Progresii aritmetice · 2p

   Introduceți 3 medii aritmetice între 2 și 18.

   Vezi răspunsul

   r = (18 − 2) : 4 = 4, deci mediile sunt 6, 10, 14.

9. 45. Probabilități · 5p

   Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,30}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

   Vezi răspunsul

   1530 = 12

10. 46. Limite · 3p

    Calculați limx→0 √1 + 5x − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim 5√1 + 5x + 1 = 52

11. 47. Matrice · 3p

    Fie A = -100-1. Determinați A⁻¹.

    Vezi răspunsul

    A⁻¹ = −100−1 (A² = I₂)

12. 48. Numere complexe · 4p

    Calculați (-1 + 2i)(4 + i).

    Vezi răspunsul

    −4 − i + 8i + 2i² = −6 + 7i

13. 49. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x − 1 − ln x are g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.

14. 50. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Calculați sin 30°.

    Vezi răspunsul

    12

15. 52. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y + 3 = y + x + 3 = y ∘ x

16. 53. Limite · 5p

    Calculați limx→5 x² − 25x − 5.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 5) = 10

17. 54. Matrice · 5p

    Fie A = 2-130 și B = -2415. Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B = 0345

18. 55. Calcule, funcții și ecuații · 4p

    Rezolvați inegalitatea (x − 1)(x − 5) ≥ 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ (−∞, 1] ∪ [5, +∞)

19. 56. Geometrie analitică și vectori · 3p

    În reperul xOy, A(0,0), B(4,0), C(0,3). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi răspunsul

    4 · 3 : 2 = 6

20. 57. Numere complexe · 3p

    Calculați 2 + 2i1 + i.

    Vezi răspunsul

    2(1 + i)1 + i = 2

21. 58. Progresii aritmetice · 4p

    În progresia aritmetică cu a₁ = 15, r = -2, determinați n dacă a_n = 5.

    Vezi răspunsul

    15 − 2(n − 1) = 5, deci n = 6.

22. 59. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca numărul să se termine în 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110

23. 60. Progresii geometrice · 3p

    Numerele pozitive 1, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi răspunsul

    x² = 1 · 25, iar x > 0, deci x = 5.

24. 61. Limite · 2p

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

25. 62. Numere complexe · 3p

    Fie z = (2 + 3i) − (1 + i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    z = 1 + 2i: Re(z) = 1, Im(z) = 2.

26. 63. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 4x − 9 = -17.

    Vezi răspunsul

    4x = −8, deci x = −2.

27. 64. Geometrie analitică și vectori · 3p

    În reperul xOy, A(0,0), B(6,0), C(0,5). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi răspunsul

    6 · 5 : 2 = 15

28. 65. Progresii geometrice · 1p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 2. Calculați S₁₅.

    Vezi răspunsul

    S₁₅ = 2¹⁵ − 12 − 1 = 32.767

29. 66. Matrice · 5p

    Fie A = 120-1 și B = 3-241. Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B = 4040

30. 67. Probabilități · 5p

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    16 (doar 6)

31. 68. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 5 și 12, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    5 · 12 : 2 = 30

32. 69. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Calculați 4 ∘ 5.

    Vezi răspunsul

    4 + 5 − 2 = 7