Test final mixt 3 · M2 · Științe

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 71 · Fie f(x) = e^x(x² − 2x + 3). Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x) = e^x(x² + 1).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 72 · Într-o progresie aritmetică, a₈ = 25, r = 3. Determinați a₁.

   Vezi rezolvarea

   1. a₁ = a₈ − 7r = 4.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 4

3. Exercițiul 3

   Itemul 73 · Calculați 3 + i1 − i.

   Vezi rezolvarea

   1. 1 + 2i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 74 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 725. Calculați cos α.

   Vezi rezolvarea

   1. cos α = 2425.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 2425

5. Exercițiul 5

   Itemul 75 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați S₆.

   Vezi rezolvarea

   1. S₆ = 728.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 728

6. Exercițiul 6

   Itemul 76 · În reperul xOy, A(3,4) și B(-1,6). Determinați coordonatele vectorului AB.

   Vezi rezolvarea

   1. AB = (-4,2).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 77 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 2.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 23.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 23

8. Exercițiul 8

   Itemul 78 · Calculați limx→2 (3x − 1).

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5

9. Exercițiul 9

   Itemul 79 · Fie A = 40-12. Calculați det A.

   Vezi rezolvarea

   1. det A = 8.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 8

10. Exercițiul 10

    Itemul 80 · Simplificați (x − 5)² − (x + 5)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia este -20.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -20

11. Exercițiul 11

    Itemul 81 · Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru g=e^x−x−1, g are minimul 0 la x=0; inegalitatea este adevărată.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

12. Exercițiul 12

    Itemul 82 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = -2. Calculați a₆.

    Vezi rezolvarea

    1. a₆ = a₁ + 5r = -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

13. Exercițiul 13

    Itemul 83 · Pentru legea x ∘ y = x + y + 5, determinați simetricul lui x.

    Vezi rezolvarea

    1. Simetricul lui x este −x − 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 85 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 10; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 86 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 2, b₃ = 18. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

16. Exercițiul 16

    Itemul 87 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 2. Calculați S₁₀.

    Vezi rezolvarea

    1. S₁₀ = 102[2·1+9·2] = 100.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 100

17. Exercițiul 17

    Itemul 88 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați tg α.

    Vezi rezolvarea

    1. tg α = 34.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 34

18. Exercițiul 18

    Itemul 89 · Fie A = 312-1. Calculați det A.

    Vezi rezolvarea

    1. det A = -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

19. Exercițiul 19

    Itemul 90 · Fie f(x) = x³ − 3x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 3x² − 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

20. Exercițiul 20

    Itemul 92 · Calculați limx→3 x² − 9x − 3.

    Vezi rezolvarea

    1. După factorizare, limita este 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

21. Exercițiul 21

    Itemul 93 · Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 6.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 5 cazuri favorabile din 36; P = 536.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 536

22. Exercițiul 22

    Itemul 94 · Determinați ecuația dreptei de pantă 2 care trece prin A(1,2).

    Vezi rezolvarea

    1. y = 2x.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

23. Exercițiul 23

    Itemul 95 · Rezolvați ecuația 5^x+2 = 625.

    Vezi rezolvarea

    1. Egalând exponenții: x = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

24. Exercițiul 24

    Itemul 96 · Rezolvați ecuația (1 + i)z + (3 + 2i) = 6 + 3i.

    Vezi rezolvarea

    1. z = 2 − i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 97 · Rezolvați inegalitatea (x + 1)(x − 2) > 0.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ (−∞,-1) ∪ (2,+∞).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

26. Exercițiul 26

    Itemul 98 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifrele să fie egale.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 9 cazuri favorabile din 90; P = 110.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 110

27. Exercițiul 27

    Itemul 99 · În reperul xOy, A(4,-1) și B(11,23). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = 25.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 25

28. Exercițiul 28

    Itemul 100 · Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 6 și 8. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea

    1. Ipotenuza este 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 10

29. Exercițiul 29

    Itemul 101 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y − 2. Rezolvați ecuația 5 ∘ x = 10.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

30. Exercițiul 30

    Itemul 102 · Fie z = (4 − 2i) − (2 − i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi rezolvarea

    1. Re(z) = 2, Im(z) = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

31. Exercițiul 31

    Itemul 103 · Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 3x² + 2x în punctul de abscisă -1.

    Vezi rezolvarea

    1. Tangenta este y = −4x − 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

32. Exercițiul 32

    Itemul 104 · Într-o progresie geometrică, b₁ = -1, q = 2. Calculați b₆.

    Vezi rezolvarea

    1. b₆ = b₁·q⁵ = -32.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -32

Itemii testului 3 (32)

1. 71. Derivate · 4p

   Fie f(x) = e^x(x² − 2x + 3). Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = e^x(x² − 2x + 3) + e^x(2x − 2) = e^x(x² + 1)

2. 72. Progresii aritmetice · 4p

   Într-o progresie aritmetică, a₈ = 25, r = 3. Determinați a₁.

   Vezi răspunsul

   a₁ = 25 − 7 · 3 = 4

3. 73. Numere complexe · 3p

   Calculați 3 + i1 − i.

   Vezi răspunsul

   (3 + i)1 + i2 = 2 + 4i2 = 1 + 2i

4. 74. Trigonometrie și geometrie · 5p

   Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 725. Calculați cos α.

   Vezi răspunsul

   cos α = √1 − 49625 = 2425

5. 75. Progresii geometrice · 2p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați S₆.

   Vezi răspunsul

   S₆ = 2(3⁶ − 1)3 − 1 = 728

6. 76. Geometrie analitică și vectori · 5p

   În reperul xOy, A(3,4) și B(-1,6). Determinați coordonatele vectorului AB.

   Vezi răspunsul

   AB = (−4, 2)

7. 77. Probabilități · 5p

   Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 2.

   Vezi răspunsul

   46 = 23

8. 78. Limite · 5p

   Calculați limx→2 (3x − 1).

   Vezi răspunsul

   5

9. 79. Matrice · 5p

   Fie A = 40-12. Calculați det A.

   Vezi răspunsul

   det A = 8 − 0 = 8

10. 80. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 5)² − (x + 5)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 5)² − (x + 5)² = −20x, deci expresia este −20.

11. 81. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi răspunsul

    g(x) = e^x − x − 1 are g′(x) = e^x − 1, deci minimul este g(0) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică e^x ≥ x + 1.

12. 82. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = -2. Calculați a₆.

    Vezi răspunsul

    a₆ = 5 + 5 · (−2) = −5

13. 83. Legi de compoziție · 3p

    Pentru legea x ∘ y = x + y + 5, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este −5, iar x + x′ + 5 = −5 dă x′ = −x − 10.

14. 85. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 10 = x ∘ (y ∘ z)

15. 86. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 2, b₃ = 18. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q² = 18 : 2 = 9, iar q > 0, deci q = 3.

16. 87. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 2. Calculați S₁₀.

    Vezi răspunsul

    S₁₀ = 10 · (1 + 19) : 2 = 100

17. 88. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați tg α.

    Vezi răspunsul

    tg α = 34

18. 89. Matrice · 5p

    Fie A = 312-1. Calculați det A.

    Vezi răspunsul

    det A = −3 − 2 = −5

19. 90. Derivate · 5p

    Fie f(x) = x³ − 3x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x² − 3

20. 92. Limite · 5p

    Calculați limx→3 x² − 9x − 3.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 3) = 6

21. 93. Probabilități · 2p

    Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 6.

    Vezi răspunsul

    536: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).

22. 94. Geometrie analitică și vectori · 5p

    Determinați ecuația dreptei de pantă 2 care trece prin A(1,2).

    Vezi răspunsul

    y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x.

23. 95. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 5^x+2 = 625.

    Vezi răspunsul

    5^{x + 2} = 5⁴, deci x = 2.

24. 96. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (1 + i)z + (3 + 2i) = 6 + 3i.

    Vezi răspunsul

    (1 + i)z = 3 + i, deci z = 3 + i1 + i = 2 − i.

25. 97. Calcule, funcții și ecuații · 4p

    Rezolvați inegalitatea (x + 1)(x − 2) > 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)

26. 98. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifrele să fie egale.

    Vezi răspunsul

    990 = 110 (11, 22, …, 99)

27. 99. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(4,-1) și B(11,23). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    AB = √7² + 24² = √625 = 25

28. 100. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 6 și 8. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    √36 + 64 = 10

29. 101. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ, x ∘ y = x + y − 2. Rezolvați ecuația 5 ∘ x = 10.

    Vezi răspunsul

    5 + x − 2 = 10, deci x = 7.

30. 102. Numere complexe · 3p

    Fie z = (4 − 2i) − (2 − i). Determinați Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    z = 2 − i: Re(z) = 2, Im(z) = −1.

31. 103. Derivate · 4p

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 3x² + 2x în punctul de abscisă -1.

    Vezi răspunsul

    f(−1) = 1, f′(x) = 6x + 2, f′(−1) = −4: y = −4x − 3.

32. 104. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = -1, q = 2. Calculați b₆.

    Vezi răspunsul

    b₆ = −1 · 2⁵ = −32