Test final mixt 6 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 161 · Rezolvați ecuația (1 − 2i)z + (4 + i) = 9 + 6i.

   Vezi rezolvarea

   1. z = -1 + 3i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 162 · Fie A = 1-235. Calculați det A.

   Vezi rezolvarea

   1. det A = 11.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 11

3. Exercițiul 3

   Itemul 163 · Factorizați complet P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

   Vezi rezolvarea

   1. P(x) = (x − 1) · (x − 2) · (x − 3).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 164 · Pentru dreapta d: −x + 2y + 5 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

   Vezi rezolvarea

   1. n = (-1,2), v = (-2,-1).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

5. Exercițiul 5

   Itemul 165 · Calculați cos 60°.

   Vezi rezolvarea

   1. cos 60° = 12.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 12

6. Exercițiul 6

   Itemul 166 · Calculați limx→0 e^x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1

7. Exercițiul 7

   Itemul 167 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = 2. Calculați S₁₅.

   Vezi rezolvarea

   1. S₁₅ = 152[2·5+14·2] = 285.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 285

8. Exercițiul 8

   Itemul 168 · Rezolvați ecuația √x − 2 = 4.

   Vezi rezolvarea

   1. Condiția de existență este îndeplinită; x = 18.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 18

9. Exercițiul 9

   Itemul 169 · Calculați limx→-1 x² − 1x + 1.

   Vezi rezolvarea

   1. După factorizare, limita este -2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -2

10. Exercițiul 10

    Itemul 170 · Fie A = 4012 și B = -1321. Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea

    1. A + B = 3333.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

11. Exercițiul 11

    Itemul 171 · Determinați m astfel încât x + 1 să dividă P(x) = x² + 2x + m.

    Vezi rezolvarea

    1. P(-1) = 0, deci m = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

12. Exercițiul 12

    Itemul 172 · Rezolvați ecuația 2(x − 3) = x + 4.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 10

13. Exercițiul 13

    Itemul 173 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 7, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi rezolvarea

    1. Prin teorema cosinusului, latura este √39.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

14. Exercițiul 14

    Itemul 174 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Calculați -1 ∘ 2.

    Vezi rezolvarea

    1. -1 ∘ 2 = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

15. Exercițiul 15

    Itemul 175 · Rezolvați în ℂ ecuația z² = -4.

    Vezi rezolvarea

    1. z ∈ {−2i, 2i}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 176 · În reperul xOy, A(-5,-3) și B(3,7). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. M(−1,2).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

17. Exercițiul 17

    Itemul 177 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = (x − 1)² − 3.

    Vezi rezolvarea

    1. Funcția descrește pe (−∞,1), crește pe (1,+∞), minim -3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

18. Exercițiul 18

    Itemul 178 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,12}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

19. Exercițiul 19

    Itemul 179 · Într-o progresie geometrică, b₁ = -2, q = -2. Calculați b₆.

    Vezi rezolvarea

    1. b₆ = 64.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 64

20. Exercițiul 20

    Itemul 180 · În progresia aritmetică cu a₁ = 2, r = 3, determinați n dacă a_n = 26.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 9.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 9

21. Exercițiul 21

    Itemul 181 · Fie P(x)=x² + 5x + 1 și Q(x)=x² − 2x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

    Vezi rezolvarea

    1. P(x) − Q(x) = 7x + 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 182 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 3, r = 3. Calculați S₁₂.

    Vezi rezolvarea

    1. S₁₂ = 122[2·3+11·3] = 234.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 234

23. Exercițiul 23

    Itemul 183 · Fie A = 1201. Calculați A³.

    Vezi rezolvarea

    1. A³ = 1601.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

24. Exercițiul 24

    Itemul 184 · Calculați 4 − 2i2.

    Vezi rezolvarea

    1. 2 − i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 185 · Rezolvați inegalitatea (x + 3)(x − 4) < 0.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∈ (-3,4).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

26. Exercițiul 26

    Itemul 186 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 3, b₄ = 24. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

27. Exercițiul 27

    Itemul 187 · Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 8 și 15. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea

    1. Ipotenuza este 17.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 17

28. Exercițiul 28

    Itemul 188 · Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 7.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 6 cazuri favorabile din 36; P = 16.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 16

29. Exercițiul 29

    Itemul 189 · În reperul xOy, A(0,0), B(8,0), C(0,2). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

30. Exercițiul 30

    Itemul 190 · Fie f(x) = 1x² − 6x + 10. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = −(2x − 6)(x² − 6x + 10)².
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

31. Exercițiul 31

    Itemul 191 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 2.

    Vezi rezolvarea

    1. a = -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

32. Exercițiul 32

    Itemul 192 · Calculați limx→-1 (2x + 5).

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

Itemii testului 6 (32)

1. 161. Numere complexe · 4p

   Rezolvați ecuația (1 − 2i)z + (4 + i) = 9 + 6i.

   Vezi răspunsul

   (1 − 2i)z = 5 + 5i, deci z = (5 + 5i)1 + 2i5 = −1 + 3i.

2. 162. Matrice · 5p

   Fie A = 1-235. Calculați det A.

   Vezi răspunsul

   det A = 5 + 6 = 11

3. 163. Polinoame · 4p

   Factorizați complet P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

   Vezi răspunsul

   (x − 1)(x − 2)(x − 3)

4. 164. Geometrie analitică și vectori · 4p

   Pentru dreapta d: −x + 2y + 5 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

   Vezi răspunsul

   Normal: n = (−1, 2); director: u = (2, 1).

5. 165. Trigonometrie și geometrie · 5p

   Calculați cos 60°.

   Vezi răspunsul

   12

6. 166. Limite · 3p

   Calculați limx→0 e^x − 1x.

   Vezi răspunsul

   1

7. 167. Progresii aritmetice · 1p

   Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = 2. Calculați S₁₅.

   Vezi răspunsul

   S₁₅ = 15 · (2 · 5 + 14 · 2) : 2 = 285

8. 168. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația √x − 2 = 4.

   Vezi răspunsul

   x − 2 = 16, deci x = 18.

9. 169. Limite · 5p

   Calculați limx→-1 x² − 1x + 1.

   Vezi răspunsul

   lim (x − 1) = −2

10. 170. Matrice · 5p

    Fie A = 4012 și B = -1321. Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B = 3333

11. 171. Polinoame · 4p

    Determinați m astfel încât x + 1 să dividă P(x) = x² + 2x + m.

    Vezi răspunsul

    P(−1) = 1 − 2 + m = 0, deci m = 1.

12. 172. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 2(x − 3) = x + 4.

    Vezi răspunsul

    2x − 6 = x + 4, deci x = 10.

13. 173. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 7, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 12 = 39, deci c = √39.

14. 174. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Calculați -1 ∘ 2.

    Vezi răspunsul

    −1 + 2 + 3 = 4

15. 175. Numere complexe · 2p

    Rezolvați în ℂ ecuația z² = -4.

    Vezi răspunsul

    z = 2i sau z = −2i

16. 176. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(-5,-3) și B(3,7). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(−1, 2)

17. 177. Derivate · 3p

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = (x − 1)² − 3.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2(x − 1): descrescătoare pe (−∞, 1], crescătoare pe [1, +∞); minimul este f(1) = −3.

18. 178. Probabilități · 5p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,12}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi răspunsul

    612 = 12

19. 179. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = -2, q = -2. Calculați b₆.

    Vezi răspunsul

    b₆ = −2 · (−2)⁵ = 64

20. 180. Progresii aritmetice · 4p

    În progresia aritmetică cu a₁ = 2, r = 3, determinați n dacă a_n = 26.

    Vezi răspunsul

    2 + 3(n − 1) = 26, deci n = 9.

21. 181. Polinoame · 3p

    Fie P(x)=x² + 5x + 1 și Q(x)=x² − 2x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

    Vezi răspunsul

    P(x) − Q(x) = 7x + 2

22. 182. Progresii aritmetice · 2p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 3, r = 3. Calculați S₁₂.

    Vezi răspunsul

    S₁₂ = 12 · (2 · 3 + 11 · 3) : 2 = 234

23. 183. Matrice · 2p

    Fie A = 1201. Calculați A³.

    Vezi răspunsul

    A³ = 1601

24. 184. Numere complexe · 3p

    Calculați 4 − 2i2.

    Vezi răspunsul

    2 − i

25. 185. Calcule, funcții și ecuații · 4p

    Rezolvați inegalitatea (x + 3)(x − 4) < 0.

    Vezi răspunsul

    x ∈ (−3, 4)

26. 186. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 3, b₄ = 24. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q³ = 24 : 3 = 8, deci q = 2.

27. 187. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 8 și 15. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    √64 + 225 = 17

28. 188. Probabilități · 2p

    Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 7.

    Vezi răspunsul

    636 = 16

29. 189. Geometrie analitică și vectori · 3p

    În reperul xOy, A(0,0), B(8,0), C(0,2). Calculați aria triunghiului ABC.

    Vezi răspunsul

    8 · 2 : 2 = 8

30. 190. Derivate · 5p

    Fie f(x) = 1x² − 6x + 10. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x − 6(x² − 6x + 10)²

31. 191. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 2.

    Vezi răspunsul

    e = −a = 2, deci a = −2.

32. 192. Limite · 5p

    Calculați limx→-1 (2x + 5).

    Vezi răspunsul

    3