Test final mixt 5 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 129 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,50}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 6.

   Vezi rezolvarea

   1. Sunt 8 cazuri favorabile; P = 425.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 425

2. Exercițiul 2

   Itemul 130 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 4.

   Vezi rezolvarea

   1. a = -4.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -4

3. Exercițiul 3

   Itemul 131 · Fie f(x) = 2x⁴ + 5x + 1. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x) = 8x³ + 5.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 132 · Calculați limx→+∞ 4x² − 12x² + 3.

   Vezi rezolvarea

   1. Limita este 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 2

5. Exercițiul 5

   Itemul 133 · Calculați 1 + i1 − i.

   Vezi rezolvarea

   1. 0 + i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

6. Exercițiul 6

   Itemul 134 · Calculați limx→0 √1 + 3x − 1x.

   Vezi rezolvarea

   1. Prin raționalizare, limita este 32.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 32

7. Exercițiul 7

   Itemul 135 · Rezolvați ecuația √x + 4 = 5.

   Vezi rezolvarea

   1. Condiția de existență este îndeplinită; x = 21.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 21

8. Exercițiul 8

   Itemul 136 · Într-o progresie aritmetică, a₄ = 12 și a₁₀ = 30. Calculați a₇.

   Vezi rezolvarea

   1. a₇ = a₄+a₁₀2 = 21.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 21

9. Exercițiul 9

   Itemul 137 · Fie A = 3021 și B = 120-1. Calculați AB.

   Vezi rezolvarea

   1. AB = 3623.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 138 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 1. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea

    1. Elementul neutru este e = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

11. Exercițiul 11

    Itemul 139 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 4.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

12. Exercițiul 12

    Itemul 140 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 24.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 24

13. Exercițiul 13

    Itemul 141 · Determinați m astfel încât x − 1 să dividă P(x) = x² + 5x + m.

    Vezi rezolvarea

    1. P(1) = 0, deci m = -6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -6

14. Exercițiul 14

    Itemul 142 · Fie f(x)=(2x−1)⁵. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=10(2x−1)⁴.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 143 · Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi rezolvarea

    1. n = (3,4), v = (-4,3).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

16. Exercițiul 16

    Itemul 144 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați b₅.

    Vezi rezolvarea

    1. b₅ = b₁·q⁴ = 162.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 162

17. Exercițiul 17

    Itemul 145 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea

    1. cos α = 1213.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1213

18. Exercițiul 18

    Itemul 146 · Calculați i¹⁹⁹⁹.

    Vezi rezolvarea

    1. i¹⁹⁹⁹ = −i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

19. Exercițiul 19

    Itemul 147 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)² + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Funcția crește pe (−∞,-2), descrește pe (-2,+∞), maxim 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

20. Exercițiul 20

    Itemul 148 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 4. Calculați S₇.

    Vezi rezolvarea

    1. S₇ = 5461.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5461

21. Exercițiul 21

    Itemul 149 · Fie P(x) = 2x³ − x² + 3x − 4. Determinați restul împărțirii la x − 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Restul este P(1) = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

22. Exercițiul 22

    Itemul 150 · Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

23. Exercițiul 23

    Itemul 151 · Calculați limx→0 e^2x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

24. Exercițiul 24

    Itemul 152 · Rezolvați ecuația log₂ x = 3.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

25. Exercițiul 25

    Itemul 153 · În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. M(3,−1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

26. Exercițiul 26

    Itemul 154 · Determinați x și y dacă x + y00x − y = 8002.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 5, y = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

27. Exercițiul 27

    Itemul 155 · Într-o progresie aritmetică, a₄ = -7, r = -2. Determinați a₁.

    Vezi rezolvarea

    1. a₁ = a₄ − 3r = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

28. Exercițiul 28

    Itemul 156 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

29. Exercițiul 29

    Itemul 157 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 6; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

30. Exercițiul 30

    Itemul 158 · Fie f(x)=e^x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=2x·e^x2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

31. Exercițiul 31

    Itemul 159 · Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

32. Exercițiul 32

    Itemul 160 · În progresia geometrică cu b₁ = 1, q = 4, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

Itemii testului 5 (32)

1. 129. Probabilități · 4p

   Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,50}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 6.

   Vezi răspunsul

   850 = 425 (6, 12, …, 48)

2. 130. Legi de compoziție · 3p

   Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie 4.

   Vezi răspunsul

   Neutrul verifică x + e + a = x, deci e = −a = 4 și a = −4.

3. 131. Derivate · 5p

   Fie f(x) = 2x⁴ + 5x + 1. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 8x³ + 5

4. 132. Limite · 4p

   Calculați limx→+∞ 4x² − 12x² + 3.

   Vezi răspunsul

   2

5. 133. Numere complexe · 3p

   Calculați 1 + i1 − i.

   Vezi răspunsul

   (1 + i)²(1 − i)(1 + i) = 2i2 = i

6. 134. Limite · 3p

   Calculați limx→0 √1 + 3x − 1x.

   Vezi răspunsul

   32

7. 135. Calcule, funcții și ecuații · 5p

   Rezolvați ecuația √x + 4 = 5.

   Vezi răspunsul

   x + 4 = 25, deci x = 21.

8. 136. Progresii aritmetice · 3p

   Într-o progresie aritmetică, a₄ = 12 și a₁₀ = 30. Calculați a₇.

   Vezi răspunsul

   a₇ = (a₄ + a₁₀) : 2 = 21

9. 137. Matrice · 4p

   Fie A = 3021 și B = 120-1. Calculați AB.

   Vezi răspunsul

   AB = 3623

10. 138. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 1. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = −1

11. 139. Probabilități · 5p

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 4.

    Vezi răspunsul

    26 = 13

12. 140. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    6 · 8 : 2 = 24

13. 141. Polinoame · 4p

    Determinați m astfel încât x − 1 să dividă P(x) = x² + 5x + m.

    Vezi răspunsul

    P(1) = 1 + 5 + m = 0, deci m = −6.

14. 142. Derivate · 3p

    Fie f(x)=(2x−1)⁵. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 10(2x − 1)⁴

15. 143. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (3, 4); director: u = (4, −3).

16. 144. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați b₅.

    Vezi răspunsul

    b₅ = 2 · 3⁴ = 162

17. 145. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1213

18. 146. Numere complexe · 5p

    Calculați i¹⁹⁹⁹.

    Vezi răspunsul

    1999 = 4 · 499 + 3, deci i¹⁹⁹⁹ = i³ = −i.

19. 147. Derivate · 3p

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)² + 1.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2(x + 2): crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); maximul este f(−2) = 1.

20. 148. Progresii geometrice · 1p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 4. Calculați S₇.

    Vezi răspunsul

    S₇ = 4⁷ − 14 − 1 = 5.461

21. 149. Polinoame · 5p

    Fie P(x) = 2x³ − x² + 3x − 4. Determinați restul împărțirii la x − 1.

    Vezi răspunsul

    Restul este P(1) = 2 − 1 + 3 − 4 = 0.

22. 150. Legi de compoziție · 3p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x ∘ y = x + y − 2 = y + x − 2 = y ∘ x

23. 151. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e^2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

24. 152. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația log₂ x = 3.

    Vezi răspunsul

    x = 2³ = 8

25. 153. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(3, −1)

26. 154. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă x + y00x − y = 8002.

    Vezi răspunsul

    x + y = 8 și x − y = 2, deci x = 5, y = 3.

27. 155. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a₄ = -7, r = -2. Determinați a₁.

    Vezi răspunsul

    a₁ = a₄ − 3r = −7 + 6 = −1

28. 156. Probabilități · 5p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi răspunsul

    510 = 12

29. 157. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 6 = x ∘ (y ∘ z)

30. 158. Derivate · 3p

    Fie f(x)=e^x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x · e^x2

31. 159. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi răspunsul

    35: x ∈ {−1, 0, 1}.

32. 160. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b₁ = 1, q = 4, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi răspunsul

    4ⁿ⁻¹ = 256 = 4⁴, deci n = 5.