Test final mixt 4 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 97 · Rezolvați inegalitatea (x + 1)(x − 2) > 0.

   Vezi rezolvarea

   1. x ∈ (−∞,-1) ∪ (2,+∞).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

2. Exercițiul 2

   Itemul 98 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifrele să fie egale.

   Vezi rezolvarea

   1. Sunt 9 cazuri favorabile din 90; P = 110.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 110

3. Exercițiul 3

   Itemul 99 · În reperul xOy, A(4,-1) și B(11,23). Calculați distanța AB.

   Vezi rezolvarea

   1. AB = 25.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 25

4. Exercițiul 4

   Itemul 100 · Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 6 și 8. Calculați ipotenuza.

   Vezi rezolvarea

   1. Ipotenuza este 10.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 10

5. Exercițiul 5

   Itemul 101 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y − 2. Rezolvați ecuația 5 ∘ x = 10.

   Vezi rezolvarea

   1. x = 7.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 7

6. Exercițiul 6

   Itemul 102 · Fie z = (4 − 2i) − (2 − i). Determinați Re(z) și Im(z).

   Vezi rezolvarea

   1. Re(z) = 2, Im(z) = -1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -1

7. Exercițiul 7

   Itemul 103 · Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 3x² + 2x în punctul de abscisă -1.

   Vezi rezolvarea

   1. Tangenta este y = −4x − 3.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

8. Exercițiul 8

   Itemul 104 · Într-o progresie geometrică, b₁ = -1, q = 2. Calculați b₆.

   Vezi rezolvarea

   1. b₆ = b₁·q⁵ = -32.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: -32

9. Exercițiul 9

   Itemul 105 · Fie P(x)=x² + 3x + 1 și Q(x)=x² + x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

   Vezi rezolvarea

   1. P(x) − Q(x) = 2x + 2.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 106 · Calculați limx→+∞ -2x² + 15x² + 4.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este −25.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: −25

11. Exercițiul 11

    Itemul 107 · Determinați x dacă det x211 = 5.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

12. Exercițiul 12

    Itemul 108 · Introduceți 4 medii aritmetice între -5 și 15.

    Vezi rezolvarea

    1. Rația este 4; mediile sunt −1, 3, 7, 11.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 109 · O urnă conține 5 bile roșii și 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 58.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 58

14. Exercițiul 14

    Itemul 110 · Fie A = 1-101. Calculați A⁴.

    Vezi rezolvarea

    1. A⁴ = 1-401.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

15. Exercițiul 15

    Itemul 111 · Fie P(x) = 3x³ − x + 5. Determinați restul împărțirii la x − 2.

    Vezi rezolvarea

    1. Restul este P(2) = 27.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 27

16. Exercițiul 16

    Itemul 112 · Rezolvați ecuația 5(x − 2) = 3x + 4.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 7.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 7

17. Exercițiul 17

    Itemul 113 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = 2. Calculați S₈.

    Vezi rezolvarea

    1. S₈ = 765.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 765

18. Exercițiul 18

    Itemul 114 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 5. Determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea

    1. Elementul neutru este e = -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

19. Exercițiul 19

    Itemul 115 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați sin 2α.

    Vezi rezolvarea

    1. sin 2α = 2425.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2425

20. Exercițiul 20

    Itemul 116 · Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

21. Exercițiul 21

    Itemul 117 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5 și a₉ = 29. Calculați a₅.

    Vezi rezolvarea

    1. a₅ = a₁+a₉2 = 17.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 17

22. Exercițiul 22

    Itemul 118 · Fie f(x) = e^x(x² + x − 1). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = e^x(x² + 3x ).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

23. Exercițiul 23

    Itemul 119 · Calculați i²⁰²⁷.

    Vezi rezolvarea

    1. i²⁰²⁷ = −i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

24. Exercițiul 24

    Itemul 120 · În reperul xOy, A(0,-1) și B(5,2). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = (5,3).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

25. Exercițiul 25

    Itemul 121 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 4 și 10, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea

    1. Aria este 20.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 20

26. Exercițiul 26

    Itemul 122 · Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (5,12).

    Vezi rezolvarea

    1. u = 513, 1213.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 123 · Calculați (7 + 3i) − (2 + 5i).

    Vezi rezolvarea

    1. Rezultatul este 5 − 2i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

28. Exercițiul 28

    Itemul 124 · Determinați x dacă det x121 = 3.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

29. Exercițiul 29

    Itemul 125 · În progresia geometrică cu b₁ = 3, q = 3, determinați n dacă b_n = 243.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

30. Exercițiul 30

    Itemul 126 · Simplificați (x − 1)² − (x + 1)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia este -4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -4

31. Exercițiul 31

    Itemul 127 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 4. Calculați a₈.

    Vezi rezolvarea

    1. a₈ = a₁ + 7r = 29.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 29

32. Exercițiul 32

    Itemul 128 · Fie P(x) = (x − 3)²(x + 1). Arătați că 3 este rădăcină dublă.

    Vezi rezolvarea

    1. P(3) = 0 și P′3 = 0; rădăcina este dublă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

Itemii testului 4 (32)

1. 97. Calcule, funcții și ecuații · 4p

   Rezolvați inegalitatea (x + 1)(x − 2) > 0.

   Vezi răspunsul

   x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)

2. 98. Probabilități · 3p

   Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifrele să fie egale.

   Vezi răspunsul

   990 = 110 (11, 22, …, 99)

3. 99. Geometrie analitică și vectori · 5p

   În reperul xOy, A(4,-1) și B(11,23). Calculați distanța AB.

   Vezi răspunsul

   AB = √7² + 24² = √625 = 25

4. 100. Trigonometrie și geometrie · 5p

   Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 6 și 8. Calculați ipotenuza.

   Vezi răspunsul

   √36 + 64 = 10

5. 101. Legi de compoziție · 5p

   Pe ℝ, x ∘ y = x + y − 2. Rezolvați ecuația 5 ∘ x = 10.

   Vezi răspunsul

   5 + x − 2 = 10, deci x = 7.

6. 102. Numere complexe · 3p

   Fie z = (4 − 2i) − (2 − i). Determinați Re(z) și Im(z).

   Vezi răspunsul

   z = 2 − i: Re(z) = 2, Im(z) = −1.

7. 103. Derivate · 4p

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 3x² + 2x în punctul de abscisă -1.

   Vezi răspunsul

   f(−1) = 1, f′(x) = 6x + 2, f′(−1) = −4: y = −4x − 3.

8. 104. Progresii geometrice · 5p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = -1, q = 2. Calculați b₆.

   Vezi răspunsul

   b₆ = −1 · 2⁵ = −32

9. 105. Polinoame · 3p

   Fie P(x)=x² + 3x + 1 și Q(x)=x² + x − 1. Calculați P(x) − Q(x).

   Vezi răspunsul

   P(x) − Q(x) = 2x + 2

10. 106. Limite · 4p

    Calculați limx→+∞ -2x² + 15x² + 4.

    Vezi răspunsul

    −25

11. 107. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det x211 = 5.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 5, deci x = 7.

12. 108. Progresii aritmetice · 2p

    Introduceți 4 medii aritmetice între -5 și 15.

    Vezi răspunsul

    r = (15 − (−5)) : 5 = 4, deci mediile sunt −1, 3, 7, 11.

13. 109. Probabilități · 4p

    O urnă conține 5 bile roșii și 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    58

14. 110. Matrice · 2p

    Fie A = 1-101. Calculați A⁴.

    Vezi răspunsul

    A⁴ = 1−401

15. 111. Polinoame · 5p

    Fie P(x) = 3x³ − x + 5. Determinați restul împărțirii la x − 2.

    Vezi răspunsul

    Restul este P(2) = 24 − 2 + 5 = 27.

16. 112. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 5(x − 2) = 3x + 4.

    Vezi răspunsul

    5x − 10 = 3x + 4, deci x = 7.

17. 113. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 3, q = 2. Calculați S₈.

    Vezi răspunsul

    S₈ = 3(2⁸ − 1) = 765

18. 114. Legi de compoziție · 4p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 5. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    e = −5

19. 115. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (35) · (45) = 2425

20. 116. Limite · 2p

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi răspunsul

    4

21. 117. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5 și a₉ = 29. Calculați a₅.

    Vezi răspunsul

    a₅ = (a₁ + a₉) : 2 = (5 + 29) : 2 = 17

22. 118. Derivate · 4p

    Fie f(x) = e^x(x² + x − 1). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = e^x(x² + x − 1) + e^x(2x + 1) = e^x(x² + 3x)

23. 119. Numere complexe · 5p

    Calculați i²⁰²⁷.

    Vezi răspunsul

    2027 = 4 · 506 + 3, deci i²⁰²⁷ = i³ = −i.

24. 120. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,-1) și B(5,2). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (5, 3)

25. 121. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 4 și 10, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    4 · 10 : 2 = 20

26. 122. Geometrie analitică și vectori · 3p

    Determinați versorul cu aceeași orientare ca vectorul v = (5,12).

    Vezi răspunsul

    (513, 1213) (|v| = 13)

27. 123. Numere complexe · 5p

    Calculați (7 + 3i) − (2 + 5i).

    Vezi răspunsul

    5 − 2i

28. 124. Matrice · 3p

    Determinați x dacă det x121 = 3.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 3, deci x = 5.

29. 125. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b₁ = 3, q = 3, determinați n dacă b_n = 243.

    Vezi răspunsul

    3 · 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ = 243, deci n = 5.

30. 126. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 1)² − (x + 1)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 1)² − (x + 1)² = −4x, deci expresia este −4.

31. 127. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 4. Calculați a₈.

    Vezi răspunsul

    a₈ = 1 + 7 · 4 = 29

32. 128. Polinoame · 2p

    Fie P(x) = (x − 3)²(x + 1). Arătați că 3 este rădăcină dublă.

    Vezi răspunsul

    P(x) conține factorul (x − 3)², iar x + 1 nu se anulează în 3 (dă 4), deci 3 este rădăcină dublă.