Test final mixt 3 · M1 · Mate-Info

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 65 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 2. Calculați S₁₅.

   Vezi rezolvarea

   1. S₁₅ = 32767.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 32767

2. Exercițiul 2

   Itemul 66 · Fie A = 120-1 și B = 3-241. Calculați A + B.

   Vezi rezolvarea

   1. A + B = 4040.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

3. Exercițiul 3

   Itemul 67 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 5.

   Vezi rezolvarea

   1. P = 16.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 16

4. Exercițiul 4

   Itemul 68 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 5 și 12, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

   Vezi rezolvarea

   1. Aria este 30.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 30

5. Exercițiul 5

   Itemul 69 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Calculați 4 ∘ 5.

   Vezi rezolvarea

   1. 4 ∘ 5 = 7.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 7

6. Exercițiul 6

   Itemul 70 · Fie P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3). Arătați că x + 1 divide P(x).

   Vezi rezolvarea

   1. P(-1) = 0, deci x + 1 divide P.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 71 · Fie f(x) = e^x(x² − 2x + 3). Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x) = e^x(x² + 1).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

8. Exercițiul 8

   Itemul 72 · Într-o progresie aritmetică, a₈ = 25, r = 3. Determinați a₁.

   Vezi rezolvarea

   1. a₁ = a₈ − 7r = 4.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 4

9. Exercițiul 9

   Itemul 73 · Calculați 3 + i1 − i.

   Vezi rezolvarea

   1. 1 + 2i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 74 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 725. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea

    1. cos α = 2425.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2425

11. Exercițiul 11

    Itemul 75 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați S₆.

    Vezi rezolvarea

    1. S₆ = 728.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 728

12. Exercițiul 12

    Itemul 76 · În reperul xOy, A(3,4) și B(-1,6). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. AB = (-4,2).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 77 · Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 2.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 23.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 23

14. Exercițiul 14

    Itemul 78 · Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

15. Exercițiul 15

    Itemul 79 · Fie A = 40-12. Calculați det A.

    Vezi rezolvarea

    1. det A = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

16. Exercițiul 16

    Itemul 80 · Simplificați (x − 5)² − (x + 5)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Expresia este -20.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -20

17. Exercițiul 17

    Itemul 81 · Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru g=e^x−x−1, g are minimul 0 la x=0; inegalitatea este adevărată.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

18. Exercițiul 18

    Itemul 82 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = -2. Calculați a₆.

    Vezi rezolvarea

    1. a₆ = a₁ + 5r = -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

19. Exercițiul 19

    Itemul 83 · Pentru legea x ∘ y = x + y + 5, determinați simetricul lui x.

    Vezi rezolvarea

    1. Simetricul lui x este −x − 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

20. Exercițiul 20

    Itemul 84 · Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² + x − 6 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi rezolvarea

    1. x₁ + x₂ = -1, x₁x₂ = -6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -6

21. Exercițiul 21

    Itemul 85 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 10; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

22. Exercițiul 22

    Itemul 86 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 2, b₃ = 18. Determinați q.

    Vezi rezolvarea

    1. q = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

23. Exercițiul 23

    Itemul 87 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 2. Calculați S₁₀.

    Vezi rezolvarea

    1. S₁₀ = 102[2·1+9·2] = 100.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 100

24. Exercițiul 24

    Itemul 88 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați tg α.

    Vezi rezolvarea

    1. tg α = 34.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 34

25. Exercițiul 25

    Itemul 89 · Fie A = 312-1. Calculați det A.

    Vezi rezolvarea

    1. det A = -5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -5

26. Exercițiul 26

    Itemul 90 · Fie f(x) = x³ − 3x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 3x² − 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

27. Exercițiul 27

    Itemul 91 · Factorizați complet P(x) = x³ + x² − 6x.

    Vezi rezolvarea

    1. P(x) = x · (x − 2) · (x + 3).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

28. Exercițiul 28

    Itemul 92 · Calculați limx→3 x² − 9x − 3.

    Vezi rezolvarea

    1. După factorizare, limita este 6.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 6

29. Exercițiul 29

    Itemul 93 · Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 6.

    Vezi rezolvarea

    1. Sunt 5 cazuri favorabile din 36; P = 536.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 536

30. Exercițiul 30

    Itemul 94 · Determinați ecuația dreptei de pantă 2 care trece prin A(1,2).

    Vezi rezolvarea

    1. y = 2x.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

31. Exercițiul 31

    Itemul 95 · Rezolvați ecuația 5^x+2 = 625.

    Vezi rezolvarea

    1. Egalând exponenții: x = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

32. Exercițiul 32

    Itemul 96 · Rezolvați ecuația (1 + i)z + (3 + 2i) = 6 + 3i.

    Vezi rezolvarea

    1. z = 2 − i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

Itemii testului 3 (32)

1. 65. Progresii geometrice · 1p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 2. Calculați S₁₅.

   Vezi răspunsul

   S₁₅ = 2¹⁵ − 12 − 1 = 32.767

2. 66. Matrice · 5p

   Fie A = 120-1 și B = 3-241. Calculați A + B.

   Vezi răspunsul

   A + B = 4040

3. 67. Probabilități · 5p

   Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 5.

   Vezi răspunsul

   16 (doar 6)

4. 68. Trigonometrie și geometrie · 3p

   Două laturi ale unui triunghi au lungimile 5 și 12, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

   Vezi răspunsul

   5 · 12 : 2 = 30

5. 69. Legi de compoziție · 5p

   Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y − 2. Calculați 4 ∘ 5.

   Vezi răspunsul

   4 + 5 − 2 = 7

6. 70. Polinoame · 5p

   Fie P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3). Arătați că x + 1 divide P(x).

   Vezi răspunsul

   P(−1) = 0, deci x + 1 divide P(x).

7. 71. Derivate · 4p

   Fie f(x) = e^x(x² − 2x + 3). Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = e^x(x² − 2x + 3) + e^x(2x − 2) = e^x(x² + 1)

8. 72. Progresii aritmetice · 4p

   Într-o progresie aritmetică, a₈ = 25, r = 3. Determinați a₁.

   Vezi răspunsul

   a₁ = 25 − 7 · 3 = 4

9. 73. Numere complexe · 3p

   Calculați 3 + i1 − i.

   Vezi răspunsul

   (3 + i)1 + i2 = 2 + 4i2 = 1 + 2i

10. 74. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 725. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = √1 − 49625 = 2425

11. 75. Progresii geometrice · 2p

    Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați S₆.

    Vezi răspunsul

    S₆ = 2(3⁶ − 1)3 − 1 = 728

12. 76. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(3,4) și B(-1,6). Determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (−4, 2)

13. 77. Probabilități · 5p

    Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca rezultatul să fie mai mare decât 2.

    Vezi răspunsul

    46 = 23

14. 78. Limite · 5p

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi răspunsul

    5

15. 79. Matrice · 5p

    Fie A = 40-12. Calculați det A.

    Vezi răspunsul

    det A = 8 − 0 = 8

16. 80. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 5)² − (x + 5)²x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 5)² − (x + 5)² = −20x, deci expresia este −20.

17. 81. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ.

    Vezi răspunsul

    g(x) = e^x − x − 1 are g′(x) = e^x − 1, deci minimul este g(0) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică e^x ≥ x + 1.

18. 82. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = -2. Calculați a₆.

    Vezi răspunsul

    a₆ = 5 + 5 · (−2) = −5

19. 83. Legi de compoziție · 3p

    Pentru legea x ∘ y = x + y + 5, determinați simetricul lui x.

    Vezi răspunsul

    Neutrul este −5, iar x + x′ + 5 = −5 dă x′ = −x − 10.

20. 84. Polinoame · 3p

    Fie x₁ și x₂ rădăcinile ecuației x² + x − 6 = 0. Calculați x₁ + x₂ și x₁x₂.

    Vezi răspunsul

    x₁ + x₂ = −1, x₁x₂ = −6

21. 85. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 5 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 10 = x ∘ (y ∘ z)

22. 86. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b₁ = 2, b₃ = 18. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q² = 18 : 2 = 9, iar q > 0, deci q = 3.

23. 87. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 1, r = 2. Calculați S₁₀.

    Vezi răspunsul

    S₁₀ = 10 · (1 + 19) : 2 = 100

24. 88. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 35, cos α = 45. Calculați tg α.

    Vezi răspunsul

    tg α = 34

25. 89. Matrice · 5p

    Fie A = 312-1. Calculați det A.

    Vezi răspunsul

    det A = −3 − 2 = −5

26. 90. Derivate · 5p

    Fie f(x) = x³ − 3x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x² − 3

27. 91. Polinoame · 4p

    Factorizați complet P(x) = x³ + x² − 6x.

    Vezi răspunsul

    x(x² + x − 6) = x(x + 3)(x − 2)

28. 92. Limite · 5p

    Calculați limx→3 x² − 9x − 3.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 3) = 6

29. 93. Probabilități · 2p

    Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma rezultatelor să fie 6.

    Vezi răspunsul

    536: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).

30. 94. Geometrie analitică și vectori · 5p

    Determinați ecuația dreptei de pantă 2 care trece prin A(1,2).

    Vezi răspunsul

    y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x.

31. 95. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 5^x+2 = 625.

    Vezi răspunsul

    5^{x + 2} = 5⁴, deci x = 2.

32. 96. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (1 + i)z + (3 + 2i) = 6 + 3i.

    Vezi răspunsul

    (1 + i)z = 3 + i, deci z = 3 + i1 + i = 2 − i.