M3 · Tehnologic⏱ 3 sesiuni
M3·T

Teorie înainte de exerciții

Convexitate, puncte de inflexiune și l'Hospital · nivel M3

Lecția M3 construiește temeinic derivata a doua, semnul ei și legătura cu convexitatea, plus regulile lui l'Hospital.

Reține deosebirea: prima derivată dă monotonia, a doua dă curbura. Anularea lui f″ nu ajunge pentru inflexiune, trebuie și schimbare de semn.
1

Derivata a doua, convexitate și inflexiune

Prima derivată spune dacă funcția urcă sau coboară. A doua spune cum se curbează: dacă panta crește, graficul se deschide în sus și funcția este convexă; dacă panta scade, funcția este concavă. Punctele unde curbura își schimbă sensul se numesc puncte de inflexiune.

De ținut minte

f″ > 0 pe un interval ⇒ f convexă acolo
f″ < 0 pe un interval ⇒ f concavă acolo
Punct de inflexiune: f″ se anulează și își schimbă semnul
Anularea singură nu ajunge: la f(x) = x4 avem f″(0) = 0 fără inflexiune
La produse cu ex, factorul exponențial este mereu pozitiv: semnul vine din paranteză
  • Plus înseamnă convexă, minus înseamnă concavă.
  • Verifică întotdeauna schimbarea de semn, nu doar anularea.
  • La funcții raționale, semnul numitorului la putere impară contează.
2

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · convexitate și punct de inflexiune

Studiați convexitatea funcției f : (1, ∞) → ℝ, f(x) = x + 2x − 1 și arătați că nu are puncte de inflexiune pe acest interval.

  1. 1Pasul 1 — rescriem funcția ca să derivăm mai ușor: x + 2x − 1 = 1 + 3x − 1.
  2. 2Pasul 2 — derivăm: f′(x) = 3·(−1)·(x − 1)−2 = −3(x − 1)2.
  3. 3Pasul 3 — derivăm din nou: f″(x) = −3·(−2)·(x − 1)−3 = 6(x − 1)3.
  4. 4Pasul 4 — studiem semnul pe (1, ∞): acolo x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv.
  5. 5Pasul 5 — rezultă f″(x) > 0 pe tot intervalul, deci funcția este convexă.
  6. 6Pasul 6 — pentru inflexiune ar trebui ca f″ să se anuleze. Dar numărătorul este constant 6, deci f″ nu se anulează niciodată.
  7. 7Pasul 7 — prin urmare nu există puncte de inflexiune pe (1, ∞).
  8. 8Observație: pe (−∞, 1) cubul devine negativ, deci acolo funcția este concavă. Schimbarea are loc în x = 1, care însă nu aparține domeniului, deci nu este punct de inflexiune.
3

Regulile lui l'Hospital

Regula transformă o limită nedeterminată într-una mai simplă, derivând separat numărătorul și numitorul. Atenție: nu se derivează raportul ca un cât. Se aplică numai la cazurile 00 și ∞∞, iar dacă nedeterminarea persistă, regula se poate repeta.

De ținut minte

Cazuri admise: 00 și ∞∞
lim (f)g = lim (f′)g′, dacă noua limită există
Se derivează separat sus și jos, nu cu regula câtului
Repetabilă: limx→0 ex − x − 1x2 cere două aplicări
Ierarhia creșterilor: ln x mai lent decât x, iar x mai lent decât ex
  • Verifică întâi cazul: fără nedeterminare, regula dă rezultate false.
  • Dacă după derivare tot ai nedeterminare, aplică din nou.
  • Uneori o simplificare algebrică este mai rapidă decât regula.
4

Algoritmul universal în 5 pași

  • Citește ce se cere: monotonie, convexitate, o valoare c dintr-o teoremă sau numărul de soluții.
  • Pentru convexitate și inflexiune, calculează f″ și studiază-i semnul, nu doar zerourile.
  • Pentru teoreme, verifică întâi ipotezele, apoi scrie concluzia și rezolvă ecuația din ea.
  • Pentru numărul de soluții, alcătuiește șirul semnelor și numără alternanțele.
  • Verifică dacă valoarea găsită aparține intervalului cerut.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Derivata a douaM3 · Tehnologic

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2 − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10

  2. Ex. 2ExponențialăM3 · Tehnologic

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e3x.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 9e3x

  3. Ex. 3Logaritm compusM3 · Tehnologic

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)2

  4. Ex. 4ConvexitateM3 · Tehnologic

    Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 2x2 > 0.

  5. Ex. 5Punct de inflexiuneM3 · Tehnologic

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5.

    Vezi răspunsul

    6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).

  6. Ex. 6Capcana derivatei nuleM3 · Tehnologic

    Pentru f(x) = x4 avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: f″(x) = 12x2 ≥ 0 nu își schimbă semnul.

  7. Ex. 7RadicalM3 · Tehnologic

    Funcția f(x) = x2 + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 4x2 + 4^(32) > 0.

  8. Ex. 8Produs cu exponențialăM3 · Tehnologic

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)ex.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = (x − 3)ex, deci x = 3.

  9. Ex. 9Două puncte de inflexiuneM3 · Tehnologic

    Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x2 − 5x + 6)ex?

    Vezi răspunsul

    2: f″(x) = (x2 − x − 2)ex = (x − 2)(x + 1)ex se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.

  10. Ex. 10Funcție raționalăM3 · Tehnologic

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 6(x − 1)3 > 0 pe (1, ∞).

  11. Ex. 11l'Hospital, cazul 0/0M3 · Tehnologic

    Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim ex1 = 1

  12. Ex. 12l'Hospital cu logaritmM3 · Tehnologic

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi răspunsul

    lim (1x)1 = 0

  13. Ex. 13l'Hospital cu exponențialăM3 · Tehnologic

    Calculați limx→∞ xex.

    Vezi răspunsul

    lim 1ex = 0

  14. Ex. 14Condiția de aplicareM3 · Tehnologic

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).

  15. Ex. 15Semnul derivatei a douaM3 · Tehnologic

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  16. Ex. 16Tangentă paralelăM3 · Tehnologic

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −3(x − 1)2 = −3, deci (x − 1)2 = 1 și x = 2.

  17. Ex. 17Derivata a doua a unui polinomM3 · Tehnologic

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = 2x3 + x2 − 4.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 12x + 2

  18. Ex. 18Convexitate pe intervalM3 · Tehnologic

    Este funcția f(x) = x2 convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 2 > 0.

  19. Ex. 19l'Hospital simpluM3 · Tehnologic

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  20. Ex. 20Inflexiune la polinomM3 · Tehnologic

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x3 − 3x.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 6x, deci x = 0.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Convexitate, puncte de inflexiune și l'Hospital · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lecția M3 construiește temeinic derivata a doua, semnul ei și legătura cu convexitatea, plus regulile lui l'Hospital.

Derivata a doua, convexitate și inflexiune

Prima derivată spune dacă funcția urcă sau coboară. A doua spune cum se curbează: dacă panta crește, graficul se deschide în sus și funcția este convexă; dacă panta scade, funcția este concavă. Punctele unde curbura își schimbă sensul se numesc puncte de inflexiune.

  • f″ > 0 pe un interval ⇒ f convexă acolo
  • f″ < 0 pe un interval ⇒ f concavă acolo
  • Punct de inflexiune: f″ se anulează și își schimbă semnul
  • Anularea singură nu ajunge: la f(x) = x4 avem f″(0) = 0 fără inflexiune
  • La produse cu ex, factorul exponențial este mereu pozitiv: semnul vine din paranteză
  • Plus înseamnă convexă, minus înseamnă concavă.
  • Verifică întotdeauna schimbarea de semn, nu doar anularea.
  • La funcții raționale, semnul numitorului la putere impară contează.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · convexitate și punct de inflexiune

Studiați convexitatea funcției f : (1, ∞) → ℝ, f(x) = x + 2x − 1 și arătați că nu are puncte de inflexiune pe acest interval.

  1. Pasul 1 — rescriem funcția ca să derivăm mai ușor: x + 2x − 1 = 1 + 3x − 1.
  2. Pasul 2 — derivăm: f′(x) = 3·(−1)·(x − 1)−2 = −3(x − 1)2.
  3. Pasul 3 — derivăm din nou: f″(x) = −3·(−2)·(x − 1)−3 = 6(x − 1)3.
  4. Pasul 4 — studiem semnul pe (1, ∞): acolo x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv.
  5. Pasul 5 — rezultă f″(x) > 0 pe tot intervalul, deci funcția este convexă.
  6. Pasul 6 — pentru inflexiune ar trebui ca f″ să se anuleze. Dar numărătorul este constant 6, deci f″ nu se anulează niciodată.
  7. Pasul 7 — prin urmare nu există puncte de inflexiune pe (1, ∞).
  8. Observație: pe (−∞, 1) cubul devine negativ, deci acolo funcția este concavă. Schimbarea are loc în x = 1, care însă nu aparține domeniului, deci nu este punct de inflexiune.

Regulile lui l'Hospital

Regula transformă o limită nedeterminată într-una mai simplă, derivând separat numărătorul și numitorul. Atenție: nu se derivează raportul ca un cât. Se aplică numai la cazurile 00 și ∞∞, iar dacă nedeterminarea persistă, regula se poate repeta.

  • Cazuri admise: 00 și ∞∞
  • lim (f)g = lim (f′)g′, dacă noua limită există
  • Se derivează separat sus și jos, nu cu regula câtului
  • Repetabilă: limx→0 ex − x − 1x2 cere două aplicări
  • Ierarhia creșterilor: ln x mai lent decât x, iar x mai lent decât ex
  • Verifică întâi cazul: fără nedeterminare, regula dă rezultate false.
  • Dacă după derivare tot ai nedeterminare, aplică din nou.
  • Uneori o simplificare algebrică este mai rapidă decât regula.

Algoritmul universal în 5 pași

  • Citește ce se cere: monotonie, convexitate, o valoare c dintr-o teoremă sau numărul de soluții.
  • Pentru convexitate și inflexiune, calculează f″ și studiază-i semnul, nu doar zerourile.
  • Pentru teoreme, verifică întâi ipotezele, apoi scrie concluzia și rezolvă ecuația din ea.
  • Pentru numărul de soluții, alcătuiește șirul semnelor și numără alternanțele.
  • Verifică dacă valoarea găsită aparține intervalului cerut.

Exerciții rezolvate din lecție (26)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Exercițiul 9 ghidat · Vrem punctele de inflexiune ale funcției f(x) = (x2 − 5x + 6)ex. Pasul 1: ce derivată ne trebuie?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată dă monotonia și punctele de extrem.
    2. A doua derivată dă convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.
    3. Un punct de inflexiune este unde curbura își schimbă sensul.
    4. Deci trebuie să calculăm f″ și să îi studiem semnul.

    Răspuns: Derivata a doua, pentru că semnul ei dă convexitatea

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata produsului: (u·v)′ = u′v + uv′, cu u = x2 − 5x + 6 și v = ex.
    2. Obținem (2x − 5)ex + (x2 − 5x + 6)ex.
    3. Dăm factor comun ex și adunăm parantezele: x2 − 5x + 6 + 2x − 5 = x2 − 3x + 1.
    4. Deci f′(x) = (x2 − 3x + 1)ex.

    Răspuns: (x2 − 3x + 1)ex

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: calculați f″(x) și descompuneți paranteza.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm din nou produsul: (2x − 3)ex + (x2 − 3x + 1)ex.
    2. Adunăm parantezele: x2 − 3x + 1 + 2x − 3 = x2 − x − 2.
    3. Descompunem trinomul: rădăcinile sunt −1 și 2, deci x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
    4. Deci f″(x) = (x − 2)(x + 1)ex.

    Răspuns: (x − 2)(x + 1)ex

  4. Exercițiul 4

    Pasul 4: câte puncte de inflexiune are funcția?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul ex este mereu pozitiv, deci semnul lui f″ vine din trinom.
    2. Trinomul (x − 2)(x + 1) își schimbă semnul în fiecare dintre rădăcinile −1 și 2.
    3. Ambele schimbări sunt reale, deci ambele puncte sunt de inflexiune.
    4. Răspuns final: 2 puncte de inflexiune, în x = −1 și x = 2.

    Răspuns: 2

  5. Exercițiul 5

    Exercițiul 5 semi-ghidat · Pentru a găsi punctele de inflexiune, ce condiție punem?

    Vezi rezolvarea
    1. Anularea singură nu este suficientă: la f(x) = x4 avem f″(0) = 0, dar 0 nu este punct de inflexiune.
    2. Este nevoie ca semnul lui f″ să difere de o parte și de alta a punctului.
    3. Doar atunci curbura chiar își schimbă sensul.
    4. Deci se rezolvă f″(x) = 0 și apoi se studiază semnul în jurul soluțiilor.

    Răspuns: Ca f″ să se anuleze și să își schimbe semnul în acel punct

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5, determinați abscisa punctului de inflexiune.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm f″(x) = 6x − 10.
    2. Rezolvăm 6x − 10 = 0, deci x = 53.
    3. Verificăm semnul: la stânga lui 53 avem f″ < 0, la dreapta f″ > 0.
    4. Semnul se schimbă, deci este punct de inflexiune. Răspuns final: 53.

    Răspuns: 53

  7. Exercițiul 7

    Exercițiul 11 semi-ghidat · Înainte de a aplica regula lui l'Hospital, ce verificăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Regula lui l'Hospital se aplică numai la nedeterminările 00 și ∞∞.
    2. Dacă limita se calculează direct, aplicarea regulii duce la un rezultat fals.
    3. De exemplu la limx→0 x + 1x + 2 răspunsul corect este 12, dar l'Hospital ar da 1.
    4. Deci primul pas este întotdeauna verificarea cazului.

    Răspuns: Că avem un caz nedeterminat, 00 sau ∞∞

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm cazul: numărătorul e0 − 1 = 0 și numitorul 0, deci 00 ✓.
    2. Derivăm separat numărătorul și numitorul, nu raportul: ex1.
    3. Calculăm limita noului raport în 0: e0 = 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  9. Exercițiul 9

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata a doua înseamnă derivarea de două ori la rând.
    2. Prima derivată: f′(x) = 3x2 − 10x + 3.
    3. Derivăm încă o dată: f″(x) = 6x − 10.
    4. Răspuns final: 6x − 10. Semnul ei va decide convexitatea.

    Răspuns: 6x−10

  10. Exercițiul 10

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e3x.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată, prin regula lanțului: f′(x) = 3·e3x.
    2. Derivăm din nou, factorul 3 rămânând în față: f″(x) = 3·3·e3x.
    3. Fiecare derivare aduce încă un factor 3.
    4. Răspuns final: 9e3x.

    Răspuns: 9e3x

  11. Exercițiul 11

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = 22x + 1, din regula lanțului.
    2. Scriem f′(x) = 2·(2x + 1)−1 și derivăm: 2·(−1)·(2x + 1)−2·2.
    3. Obținem −4(2x + 1)2.
    4. Răspuns final: −4(2x + 1)2. Fiind mereu negativă, funcția este concavă pe tot domeniul.

    Răspuns: −4(2x+1)2

  12. Exercițiul 12

    Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = 1 − 2x.
    2. A doua derivată: f″(x) = 2x2.
    3. Pe (0, ∞) numitorul x2 este strict pozitiv, deci f″ > 0 peste tot.
    4. Răspuns final: da, funcția este convexă pe tot domeniul.

    Răspuns: da

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x4 avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm f″(x) = 12x2, care se anulează într-adevăr în 0.
    2. Dar condiția pentru inflexiune nu este anularea, ci schimbarea de semn a lui f″.
    3. Aici 12x2 ≥ 0 pentru orice x, deci semnul rămâne pozitiv de ambele părți.
    4. Răspuns final: nu. Funcția este convexă pe tot ℝ, iar în 0 doar se aplatizează.

    Răspuns: nu

  14. Exercițiul 14

    Funcția f(x) = x2 + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = xx2 + 4.
    2. A doua derivată, după calcul: f″(x) = 4(x2 + 4)x2 + 4.
    3. Numărătorul este 4, iar numitorul strict pozitiv pentru orice x real.
    4. Deci f″ > 0 peste tot. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  15. Exercițiul 15

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)ex.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm produsul: f′(x) = ex + (x − 5)ex = (x − 4)ex.
    2. Derivăm din nou: f″(x) = ex + (x − 4)ex = (x − 3)ex.
    3. Cum ex > 0 mereu, semnul lui f″ este dat de x − 3, care își schimbă semnul în 3.
    4. Răspuns final: x = 3.

    Răspuns: 3

  16. Exercițiul 16

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = −3(x − 1)2, calculată cu regula câtului.
    2. A doua derivată: f″(x) = 6(x − 1)3.
    3. Pe (1, ∞) avem x − 1 > 0, deci și cubul este pozitiv, iar f″ > 0.
    4. Răspuns final: da. Pe (−∞, 1) semnul se inversează și funcția devine concavă.

    Răspuns: da

  17. Exercițiul 17

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi rezolvarea
    1. La infinit atât numărătorul cât și numitorul tind la +∞, deci avem cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x)′ = 1.
    3. Noua limită este lim (1)x = 0.
    4. Răspuns final: 0. Rezultatul arată că x crește mai repede decât ln x.

    Răspuns: 0

  18. Exercițiul 18

    Calculați limx→∞ xex.

    Vezi rezolvarea
    1. Ambii termeni tind la +∞, deci suntem în cazul ∞∞.
    2. Derivăm separat: (x)′ = 1 și (ex)′ = ex.
    3. Noua limită este lim (1)ex = 0, pentru că numitorul crește nemărginit.
    4. Răspuns final: 0. Exponențiala învinge orice putere a lui x.

    Răspuns: 0

  19. Exercițiul 19

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula se aplică numai la cazurile nedeterminate 00 și ∞∞.
    2. Aici numărătorul tinde la 1, iar numitorul la 2, deci limita este direct 12.
    3. Nu există nedeterminare, deci nu avem ce rezolva cu l'Hospital.
    4. Răspuns final: nu. Aplicarea greșită ar da 11 = 1, un rezultat fals.

    Răspuns: nu

  20. Exercițiul 20

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata a doua măsoară cum se schimbă panta tangentei.
    2. Dacă f″ < 0, panta scade, deci graficul se curbează în jos.
    3. Aceasta este exact definiția concavității.
    4. Răspuns final: da. Reținere utilă: minus înseamnă concavă, plus înseamnă convexă.

    Răspuns: da

  21. Exercițiul 21

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi rezolvarea
    1. Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă, iar panta dreptei date este −3.
    2. Panta tangentei în x este f′(x) = −3(x − 1)2.
    3. Punem condiția −3(x − 1)2 = −3, deci (x − 1)2 = 1.
    4. Rezultă x − 1 = 1 sau x − 1 = −1, adică x = 2 sau x = 0. Cum lucrăm pe (1, ∞), răspunsul este x = 2.

    Răspuns: 2

  22. Exercițiul 22

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = 2x3 + x2 − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = 6x2 + 2x.
    2. Derivăm din nou fiecare termen: (6x2)′ = 12x și (2x)′ = 2.
    3. Termenul liber a dispărut încă de la prima derivare.
    4. Răspuns final: 12x + 2.

    Răspuns: 12x+2

  23. Exercițiul 23

    Este funcția f(x) = x2 convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = 2x.
    2. A doua derivată: f″(x) = 2, o constantă pozitivă.
    3. Fiind strict pozitivă peste tot, funcția este convexă pe tot ℝ.
    4. Răspuns final: da. Parabola cu ramurile în sus este exemplul standard de funcție convexă.

    Răspuns: da

  24. Exercițiul 24

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 0 avem sin 0 = 0 și numitorul 0, deci cazul 00.
    2. Derivăm separat: (sin x)′ = cos x și (x)′ = 1.
    3. Noua limită este lim cos x = cos 0 = 1.
    4. Răspuns final: 1. Este limita fundamentală, regăsită aici prin l'Hospital.

    Răspuns: 1

  25. Exercițiul 25

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x3 − 3x.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f′(x) = 3x2 − 3.
    2. A doua derivată: f″(x) = 6x, care se anulează în x = 0.
    3. Semnul lui 6x se schimbă din negativ în pozitiv la trecerea prin 0.
    4. Răspuns final: x = 0. Funcția este concavă pe (−∞, 0) și convexă pe (0, ∞).

    Răspuns: 0

  26. Exercițiul 26

    Pentru f(x)=x3−3x, află punctul de inflexiune.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)=3x2−3; f″(x)=6x. Derivăm de două ori; punctele critice ale lui f nu sunt automat puncte de inflexiune.
    2. f″<0 pentru x<0 și f″>0 pentru x>0. 6x are semnul lui x, deci convexitatea se schimbă la 0.
    3. I(0,0). f(0)=0. Continuitatea funcției și schimbarea convexitații confirmă punctul de inflexiune.

    Răspuns: I(0,0)

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (20)

  1. 1. Derivata a doua

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2 − 10x + 3, f″(x) = 6x − 10

  2. 2. Exponențială

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = e3x.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 9e3x

  3. 3. Logaritm compus

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = ln(2x + 1) pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 22x + 1, f″(x) = −4(2x + 1)2

  4. 4. Convexitate

    Funcția f(x) = x − 2ln x, definită pe (0, ∞), este convexă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 2x2 > 0.

  5. 5. Punct de inflexiune

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x3 − 5x2 + 3x − 5.

    Vezi răspunsul

    6x − 10 = 0, deci x = 53 (f″ își schimbă semnul).

  6. 6. Capcana derivatei nule

    Pentru f(x) = x4 avem f″(0) = 0. Este x = 0 punct de inflexiune? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: f″(x) = 12x2 ≥ 0 nu își schimbă semnul.

  7. 7. Radical

    Funcția f(x) = x2 + 4 este convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 4x2 + 4^(32) > 0.

  8. 8. Produs cu exponențială

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = (x − 5)ex.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = (x − 3)ex, deci x = 3.

  9. 9. Două puncte de inflexiune

    Câte puncte de inflexiune are funcția f(x) = (x2 − 5x + 6)ex?

    Vezi răspunsul

    2: f″(x) = (x2 − x − 2)ex = (x − 2)(x + 1)ex se anulează și își schimbă semnul în −1 și în 2.

  10. 10. Funcție rațională

    Funcția f(x) = x + 2x − 1 este convexă pe intervalul (1, ∞)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 6(x − 1)3 > 0 pe (1, ∞).

  11. 11. l'Hospital, cazul 0/0

    Calculați cu regula lui l'Hospital limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim ex1 = 1

  12. 12. l'Hospital cu logaritm

    Calculați limx→∞ ln xx.

    Vezi răspunsul

    lim (1x)1 = 0

  13. 13. l'Hospital cu exponențială

    Calculați limx→∞ xex.

    Vezi răspunsul

    lim 1ex = 0

  14. 14. Condiția de aplicare

    Se poate aplica regula lui l'Hospital la limx→0 x + 1x + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: nu este caz de nedeterminare (limita este direct 12).

  15. 15. Semnul derivatei a doua

    Dacă f″ < 0 pe un interval, funcția este concavă acolo? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  16. 16. Tangentă paralelă

    Pentru f(x) = x + 2x − 1 pe (1, ∞), determinați abscisa punctului în care tangenta este paralelă cu dreapta y = −3x.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −3(x − 1)2 = −3, deci (x − 1)2 = 1 și x = 2.

  17. 17. Derivata a doua a unui polinom

    Calculați derivata a doua a funcției f(x) = 2x3 + x2 − 4.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 12x + 2

  18. 18. Convexitate pe interval

    Este funcția f(x) = x2 convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f″(x) = 2 > 0.

  19. 19. l'Hospital simplu

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  20. 20. Inflexiune la polinom

    Determinați abscisa punctului de inflexiune al funcției f(x) = x3 − 3x.

    Vezi răspunsul

    f″(x) = 6x, deci x = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.