M3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
M3·C

Teorie înainte de exerciții

Continuitate în punct și funcții continue · nivel M3

Lecția M3 construiește temeinic definiția continuității într-un punct și verificarea ei pe funcții definite pe ramuri.

Reține unde stă semnul egal în definiția ramurilor: acolo se citește valoarea funcției în punct.
1

Continuitatea într-un punct

O funcție este continuă într-un punct dacă graficul ei nu se rupe acolo. Formal, sunt trei mărimi care trebuie să coincidă: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în punct. La funcțiile definite pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei, iar valoarea în punct se ia din ramura care conține semnul egal.

De ținut minte

f continuă în a ⇔ limx→a, x < a f(x) = limx→a, x > a f(x) = f(a)
Dacă limitele laterale diferă, limita nu există și funcția nu e continuă
Discontinuitate de prima speță: limitele laterale există, finite, dar diferă
Discontinuitate de a doua speță: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există
Prelungire prin continuitate: se alege f(a) egal cu limita
  • Continuitatea se discută numai în puncte ale domeniului de definiție.
  • Un punct scos din domeniu nu dă discontinuitate, ci eventual asimptotă.
  • Un colț în grafic nu strică continuitatea: |x| este continuă în 0.
2

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · parametru și existența unei soluții

Fie f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2. Determinați m pentru care f este continuă în 2, apoi studiați dacă ecuația f(x) = 3 are soluție în intervalul (2, 3).

  1. 1Pasul 1 — punctul studiat este 2, iar semnul egal se află la a doua ramură, deci f(2) = 22 = 4.
  2. 2Pasul 2 — limita la stânga se calculează cu prima ramură: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
  3. 3Pasul 3 — limita la dreapta se calculează cu a doua ramură: limx→2, x > 2 x2 = 4.
  4. 4Pasul 4 — condiția de continuitate cere ca toate trei să coincidă: 2 + m = 4, deci m = 2.
  5. 5Pasul 5 — verificăm: ramura stângă devine x + 2, iar în 2 dă 4, exact cât f(2) ✓.
  6. 6Pasul 6 — pentru a doua cerință lucrăm pe [2, 3], unde funcția este x2, continuă.
  7. 7Pasul 7 — notăm g(x) = x2 − 3 și calculăm la capete: g(2) = 1 și g(3) = 6.
  8. 8Pasul 8 — ambele valori sunt pozitive, deci criteriul cu semne contrare nu se aplică. Mai mult, pe (2, 3) avem x2 > 4 > 3, deci ecuația chiar nu are soluție acolo.
  9. 9Concluzie: m = 2, iar ecuația f(x) = 3 nu are soluție în (2, 3). Verificarea semnelor la capete este primul lucru de făcut: ea îți spune dacă are rost să inviți Darboux.
3

Operații cu funcții continue

Continuitatea se păstrează prin toate operațiile obișnuite, ceea ce înseamnă că funcțiile întâlnite la examen sunt continue pe domeniul lor fără să fie nevoie de verificări. Singura atenție este la cât, unde numitorul nu are voie să se anuleze.

De ținut minte

f, g continue în a ⇒ f + g, f − g, f·g continue în a
f, g continue în a și g(a) ≠ 0 ⇒ fg continuă în a
Compunerea a două funcții continue este continuă
Funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiție
f continuă ⇒ |f| continuă, dar reciproca este falsă
  • Polinoamele, radicalii, exponențialele și logaritmii sunt continue pe domeniu.
  • Verificările au sens doar în punctele de legătură ale funcțiilor pe ramuri.
  • La cât, verifică întâi dacă numitorul se anulează în punctul studiat.
4

Proprietatea lui Darboux și semnul

O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre oricare două valori pe care le atinge. Consecința practică este metoda standard de la examen: dacă la capetele unui interval funcția are semne contrare, atunci ecuația f(x) = 0 are soluție în interior.

De ținut minte

f continuă pe interval ⇒ f are proprietatea lui Darboux
f continuă pe [a, b] cu f(a)·f(b) < 0 ⇒ ecuația f(x) = 0 are soluție în (a, b)
f continuă și fără zerouri pe un interval ⇒ f păstrează semn constant
Existență din Darboux, unicitate din stricta monotonie
Weierstrass: f continuă pe [a, b] este mărginită și își atinge marginile
  • Darboux dă existența, nu numărul soluțiilor.
  • Pentru unicitate ai nevoie, în plus, de monotonie strictă.
  • Reciproca este falsă: există funcții cu proprietatea Darboux care nu sunt continue.
5

Algoritmul universal în 5 pași

  • Identifică punctul studiat și verifică dacă aparține domeniului.
  • Calculează limita la stânga, folosind ramura pentru valori mai mici.
  • Calculează limita la dreapta, folosind ramura pentru valori mai mari.
  • Citește f(a) din ramura care conține semnul egal.
  • Compară cele trei mărimi; dacă apare un parametru, egalitatea lor îl determină.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 22 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Definiția continuitățiiM3 · Tehnologic

    Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

    Vezi răspunsul

    Trei: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(a) trebuie să existe și să fie egale.

  2. Ex. 2Funcție continuă pe ramuriM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ls = 2 · 1 + 1 = 3, ld = 1 + 2 = 3 și f(1) = 3.

  3. Ex. 3Funcție discontinuăM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: ls = 1, iar ld = 3.

  4. Ex. 4Parametru pentru continuitateM3 · Tehnologic

    Determinați a real astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    a + 5 = 1 + 2, deci a = −2.

  5. Ex. 5Parametru cu inegalitate strictăM3 · Tehnologic

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi răspunsul

    2 + m = 4, deci m = 2.

  6. Ex. 6Funcții elementareM3 · Tehnologic

    Este funcția f(x) = x3 − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (funcție polinomială).

  7. Ex. 7Operații cu funcții continueM3 · Tehnologic

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  8. Ex. 8Câtul a două funcții continueM3 · Tehnologic

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da, dacă g(a) ≠ 0.

  9. Ex. 9Punct în afara domeniuluiM3 · Tehnologic

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 0 nu aparține domeniului, iar în rest funcția este continuă.

  10. Ex. 10Proprietatea lui DarbouxM3 · Tehnologic

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (proprietatea lui Darboux).

  11. Ex. 11Existența unei soluțiiM3 · Tehnologic

    Are ecuația x3 + x − 1 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, iar f este continuă.

  12. Ex. 12Ecuație cu exponențialăM3 · Tehnologic

    Are ecuația ex + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(−1) = e−1 − 1 < 0 și f(0) = 1 > 0.

  13. Ex. 13Semnul unei funcții continueM3 · Tehnologic

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  14. Ex. 14Valoarea din punct conteazăM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x2 − 1x − 1 pentru x ≠ 1 și f(1) = 5. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: limita în 1 este 2, dar f(1) = 5.

  15. Ex. 15Prelungire prin continuitateM3 · Tehnologic

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x2 − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi răspunsul

    f(1) = 2 (limita lui x + 1 în 1)

  16. Ex. 16Radical pe ramuriM3 · Tehnologic

    Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    √4 = 2 = 1 + a, deci a = 1.

  17. Ex. 17Ramuri cu constantăM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = 2x + 1 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ls = 3, ld = 2 · 1 + 1 = 3 și f(1) = 3.

  18. Ex. 18SaltM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x pentru x < 2 și f(x) = x + 3 pentru x ≥ 2. Calculați mărimea saltului în x = 2.

    Vezi răspunsul

    f(2) − ls = 5 − 2 = 3

  19. Ex. 19Parametru simpluM3 · Tehnologic

    Determinați a real astfel încât f(x) = 2x + a pentru x ≤ 0 și f(x) = x2 + 3 pentru x > 0 să fie continuă în x = 0.

    Vezi răspunsul

    a = 3 (ls = a, ld = 3)

  20. Ex. 20Funcție raționalăM3 · Tehnologic

    Este funcția f(x) = x + 1x − 3 continuă în x = 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 2 aparține domeniului, iar funcțiile raționale sunt continue pe domeniu.

  21. Ex. 21Ecuație cu soluțieM3 · Tehnologic

    Are ecuația x2 − 2 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (1, 2)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(1) = −1 < 0 și f(2) = 2 > 0.

  22. Ex. 22Continuitate pe tot domeniulM3 · Tehnologic

    Este funcția f(x) = |x| continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Continuitate în punct și funcții continue · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lecția M3 construiește temeinic definiția continuității într-un punct și verificarea ei pe funcții definite pe ramuri.

Continuitatea într-un punct

O funcție este continuă într-un punct dacă graficul ei nu se rupe acolo. Formal, sunt trei mărimi care trebuie să coincidă: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în punct. La funcțiile definite pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei, iar valoarea în punct se ia din ramura care conține semnul egal.

  • f continuă în a ⇔ limx→a, x < a f(x) = limx→a, x > a f(x) = f(a)
  • Dacă limitele laterale diferă, limita nu există și funcția nu e continuă
  • Discontinuitate de prima speță: limitele laterale există, finite, dar diferă
  • Discontinuitate de a doua speță: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există
  • Prelungire prin continuitate: se alege f(a) egal cu limita
  • Continuitatea se discută numai în puncte ale domeniului de definiție.
  • Un punct scos din domeniu nu dă discontinuitate, ci eventual asimptotă.
  • Un colț în grafic nu strică continuitatea: |x| este continuă în 0.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · parametru și existența unei soluții

Fie f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2. Determinați m pentru care f este continuă în 2, apoi studiați dacă ecuația f(x) = 3 are soluție în intervalul (2, 3).

  1. Pasul 1 — punctul studiat este 2, iar semnul egal se află la a doua ramură, deci f(2) = 22 = 4.
  2. Pasul 2 — limita la stânga se calculează cu prima ramură: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
  3. Pasul 3 — limita la dreapta se calculează cu a doua ramură: limx→2, x > 2 x2 = 4.
  4. Pasul 4 — condiția de continuitate cere ca toate trei să coincidă: 2 + m = 4, deci m = 2.
  5. Pasul 5 — verificăm: ramura stângă devine x + 2, iar în 2 dă 4, exact cât f(2) ✓.
  6. Pasul 6 — pentru a doua cerință lucrăm pe [2, 3], unde funcția este x2, continuă.
  7. Pasul 7 — notăm g(x) = x2 − 3 și calculăm la capete: g(2) = 1 și g(3) = 6.
  8. Pasul 8 — ambele valori sunt pozitive, deci criteriul cu semne contrare nu se aplică. Mai mult, pe (2, 3) avem x2 > 4 > 3, deci ecuația chiar nu are soluție acolo.
  9. Concluzie: m = 2, iar ecuația f(x) = 3 nu are soluție în (2, 3). Verificarea semnelor la capete este primul lucru de făcut: ea îți spune dacă are rost să inviți Darboux.

Operații cu funcții continue

Continuitatea se păstrează prin toate operațiile obișnuite, ceea ce înseamnă că funcțiile întâlnite la examen sunt continue pe domeniul lor fără să fie nevoie de verificări. Singura atenție este la cât, unde numitorul nu are voie să se anuleze.

  • f, g continue în a ⇒ f + g, f − g, f·g continue în a
  • f, g continue în a și g(a) ≠ 0 ⇒ fg continuă în a
  • Compunerea a două funcții continue este continuă
  • Funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiție
  • f continuă ⇒ |f| continuă, dar reciproca este falsă
  • Polinoamele, radicalii, exponențialele și logaritmii sunt continue pe domeniu.
  • Verificările au sens doar în punctele de legătură ale funcțiilor pe ramuri.
  • La cât, verifică întâi dacă numitorul se anulează în punctul studiat.

Proprietatea lui Darboux și semnul

O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre oricare două valori pe care le atinge. Consecința practică este metoda standard de la examen: dacă la capetele unui interval funcția are semne contrare, atunci ecuația f(x) = 0 are soluție în interior.

  • f continuă pe interval ⇒ f are proprietatea lui Darboux
  • f continuă pe [a, b] cu f(a)·f(b) < 0 ⇒ ecuația f(x) = 0 are soluție în (a, b)
  • f continuă și fără zerouri pe un interval ⇒ f păstrează semn constant
  • Existență din Darboux, unicitate din stricta monotonie
  • Weierstrass: f continuă pe [a, b] este mărginită și își atinge marginile
  • Darboux dă existența, nu numărul soluțiilor.
  • Pentru unicitate ai nevoie, în plus, de monotonie strictă.
  • Reciproca este falsă: există funcții cu proprietatea Darboux care nu sunt continue.

Algoritmul universal în 5 pași

  • Identifică punctul studiat și verifică dacă aparține domeniului.
  • Calculează limita la stânga, folosind ramura pentru valori mai mici.
  • Calculează limita la dreapta, folosind ramura pentru valori mai mari.
  • Citește f(a) din ramura care conține semnul egal.
  • Compară cele trei mărimi; dacă apare un parametru, egalitatea lor îl determină.

Exerciții rezolvate din lecție (28)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Exercițiul 4 ghidat · Vrem a astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1. Pasul 1: ce trebuie să verificăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Continuitatea într-un punct înseamnă că limita există și coincide cu valoarea funcției.
    2. Limita există doar dacă cele două limite laterale sunt egale.
    3. Deci avem trei mărimi de comparat, iar toate trebuie să fie egale.
    4. La funcțiile pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura ei.

    Răspuns: Limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(1) trebuie să fie egale

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: calculați limita la stânga și valoarea f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția x ≤ 1 include punctul 1, deci prima ramură dă și limita la stânga, și valoarea în punct.
    2. Înlocuim: a·1 + 5 = a + 5.
    3. Prin urmare limita la stânga este a + 5, la fel ca f(1).
    4. Când semnul egal este la prima ramură, cele două coincid automat.

    Răspuns: Ambele sunt a + 5

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: calculați limita la dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x > 1 funcția este x2 + 2.
    2. Limita este valoarea acestei expresii în 1, funcția fiind polinomială și deci continuă.
    3. Calculăm 12 + 2 = 3.
    4. Limita la dreapta este 3, independentă de a.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pasul 4: determinați a.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem egalitatea dintre limita la stânga și cea la dreapta: a + 5 = 3.
    2. Rezultă a = −2.
    3. Verificăm și a treia mărime: f(1) = −2 + 5 = 3, egală cu limita ✓.
    4. Răspuns final: a = −2.

    Răspuns: −2

  5. Exercițiul 5

    Exercițiul 11 semi-ghidat · Vrem să arătăm că x3 + x − 1 = 0 are soluție în (0, 1). Ce teoremă folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Proprietatea lui Darboux spune că o funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre două valori atinse.
    2. Dacă la capete valorile au semne contrare, atunci valoarea 0 este între ele, deci este atinsă.
    3. Rolle și Lagrange sunt teoreme despre derivate, nu despre continuitate.
    4. Weierstrass se referă la mărginire și la atingerea marginilor.

    Răspuns: Proprietatea lui Darboux, pentru funcții continue pe interval

  6. Exercițiul 6

    Calculați f(0) și f(1) pentru f(x) = x3 + x − 1, apoi scrieți valoarea lui f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. La capătul 0: f(0) = 0 + 0 − 1 = −1, valoare negativă.
    2. La capătul 1: f(1) = 1 + 1 − 1 = 1, valoare pozitivă.
    3. Semnele fiind contrare, condiția din teoremă este îndeplinită.
    4. Răspuns final: f(1) = 1, deci ecuația are cel puțin o soluție în (0, 1).

    Răspuns: 1

  7. Exercițiul 7

    Exercițiul 14 semi-ghidat · La f(x) = x2 − 1x − 1 pentru x ≠ 1, care este limita în x = 1?

    Vezi rezolvarea
    1. În 1 atât numărătorul cât și numitorul se anulează, deci avem forma nedeterminată 00.
    2. Descompunem numărătorul: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
    3. Simplificăm cu x − 1, permis pentru x ≠ 1, și rămâne x + 1.
    4. Limita este 1 + 1 = 2, aceeași din ambele părți.

    Răspuns: 2, după simplificarea cu x − 1

  8. Exercițiul 8

    Ce valoare trebuie să aibă f(1) ca funcția să fie continuă în 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    2. Limita calculată este 2.
    3. Deci singura alegere care face funcția continuă este f(1) = 2.
    4. Răspuns final: 2. Dacă valoarea impusă ar fi alta, de exemplu 5, funcția ar rămâne discontinuă.

    Răspuns: 2

  9. Exercițiul 9

    Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima: să existe limita la stânga în acel punct.
    2. A doua: să existe limita la dreapta și să fie egală cu cea la stânga.
    3. A treia: valoarea comună a limitelor să fie chiar f(a), valoarea funcției în punct.
    4. Răspuns final: 3 condiții. Pe scurt, limita laterală stângă = limita laterală dreaptă = f(a).

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga folosește prima ramură: limx→1, x < 1 (2x + 1) = 3.
    2. Limita la dreapta folosește a doua ramură: limx→1, x > 1 (x2 + 2) = 1 + 2 = 3.
    3. Valoarea funcției se ia din ramura care conține semnul egal: f(1) = 2·1 + 1 = 3.
    4. Toate trei coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga: lim (x + 1) = 1, iar f(0) = 1.
    2. Limita la dreapta: lim (x + 3) = 3.
    3. Cele două limite laterale sunt diferite, 1 față de 3, deci limita în punct nici nu există.
    4. Răspuns final: nu. Graficul are un salt de 2 unități în origine.

    Răspuns: nu

  12. Exercițiul 12

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga: limx→2, x < 2 (x + m) = 2 + m.
    2. Limita la dreapta și valoarea în punct: f(2) = 22 = 4, pentru că semnul egal este la a doua ramură.
    3. Condiția de continuitate cere 2 + m = 4.
    4. Răspuns final: m = 2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    Este funcția f(x) = x3 − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcțiile polinomiale sunt continue pe tot domeniul lor de definiție.
    2. Domeniul unui polinom este întreg ℝ.
    3. Deci în orice punct limita coincide cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. La fel sunt continue pe domeniul lor și funcțiile raționale, radicalii, exponențialele și logaritmii.

    Răspuns: da

  14. Exercițiul 14

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita unei sume este suma limitelor, atunci când ambele există.
    2. Din continuitate avem lim f = f(a) și lim g = g(a).
    3. Deci lim (f + g) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).
    4. Răspuns final: da. La fel se comportă diferența, produsul, iar câtul acolo unde numitorul nu se anulează.

    Răspuns: da

  15. Exercițiul 15

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula pentru cât cere o condiție suplimentară: numitorul să nu se anuleze în punct.
    2. Dacă g(a) = 0, raportul nici nu este definit în a, deci nu se poate pune problema continuității.
    3. Formularea corectă este: fg este continuă în a dacă g(a) ≠ 0.
    4. Răspuns final: nu, afirmația generală este falsă fără această condiție.

    Răspuns: nu

  16. Exercițiul 16

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul de definiție este ℝ \ {0}, deci punctul 0 nici nu face parte din el.
    2. Continuitatea se discută numai în punctele domeniului.
    3. În orice punct a nenul, limita este 1a, egală cu valoarea funcției.
    4. Răspuns final: da. În 0 nu vorbim de discontinuitate, ci de asimptotă verticală.

    Răspuns: da

  17. Exercițiul 17

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția este continuă pe un interval, deci are proprietatea lui Darboux: ia toate valorile intermediare.
    2. Valorile de la capete au semne contrare, deci 0 se află între f(0) și f(1).
    3. Prin urmare există cel puțin un punct interior unde funcția ia valoarea 0.
    4. Răspuns final: da. Nu putem spune însă câte astfel de puncte sunt, ci doar că există măcar unul.

    Răspuns: da

  18. Exercițiul 18

    Are ecuația ex + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm f(x) = ex + x, sumă de funcții continue, deci continuă pe [−1, 0].
    2. La capătul −1: f(−1) = 1e − 1, iar cum e > 1 avem 1e < 1, deci valoarea este negativă.
    3. La capătul 0: f(0) = 1 + 0 = 1, pozitivă.
    4. Semnele fiind contrare, ecuația are soluție în interior. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  19. Exercițiul 19

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Presupunem prin absurd că ar lua și valori pozitive, și negative.
    2. Fiind continuă pe interval, ar avea proprietatea lui Darboux, deci ar trebui să ia și valoarea 0 undeva între ele.
    3. Asta contrazice ipoteza că nu se anulează nicăieri.
    4. Răspuns final: da. Pe această idee se bazează tabelul de semn: rădăcinile împart intervalul în zone de semn constant.

    Răspuns: da

  20. Exercițiul 20

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x2 − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x ≠ 1 simplificăm: f(x) = x + 1.
    2. Limita în 1 este 2, aceeași din ambele părți.
    3. Continuitatea cere ca valoarea în punct să fie egală cu limita.
    4. Răspuns final: f(1) = 2. Operația se numește prelungire prin continuitate.

    Răspuns: 2

  21. Exercițiul 21

    Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga și valoarea în punct: f(1) = 1 + 3 = √4 = 2.
    2. Limita la dreapta: limx→1, x > 1 (x + a) = 1 + a.
    3. Condiția de continuitate cere 1 + a = 2.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Fie f(x) = 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = 2x + 1 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima ramură este constantă, deci limita la stânga este 3, la fel ca f(1).
    2. A doua ramură dă limita la dreapta: 2·1 + 1 = 3.
    3. Cele trei valori coincid.
    4. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  23. Exercițiul 23

    Fie f(x) = x pentru x < 2 și f(x) = x + 3 pentru x ≥ 2. Calculați mărimea saltului în x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga este 2, iar limita la dreapta este 2 + 3 = 5.
    2. Saltul este diferența dintre limita la dreapta și cea la stânga.
    3. Calculăm 5 − 2.
    4. Răspuns final: saltul este 3, deci funcția are o discontinuitate de prima speță.

    Răspuns: 3

  24. Exercițiul 24

    Determinați a real astfel încât f(x) = 2x + a pentru x ≤ 0 și f(x) = x2 + 3 pentru x > 0 să fie continuă în x = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita la stânga și valoarea în punct: f(0) = 2·0 + a = a.
    2. Limita la dreapta: 02 + 3 = 3.
    3. Punem a = 3.
    4. Răspuns final: a = 3.

    Răspuns: 3

  25. Exercițiul 25

    Este funcția f(x) = x + 1x − 3 continuă în x = 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Punctul 2 aparține domeniului, pentru că numitorul 2 − 3 = −1 nu este zero.
    2. Funcțiile raționale sunt continue în orice punct al domeniului lor.
    3. Verificăm: limita în 2 este 2 + 12 − 3 = −3, egală cu f(2).
    4. Răspuns final: da. Problema ar apărea doar în x = 3, punct care nu este în domeniu.

    Răspuns: da

  26. Exercițiul 26

    Are ecuația x2 − 2 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (1, 2)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm f(x) = x2 − 2, funcție continuă pe [1, 2].
    2. La capete: f(1) = −1 și f(2) = 2, valori de semne contrare.
    3. Proprietatea lui Darboux garantează o soluție în interior.
    4. Răspuns final: da. Soluția este chiar √2 ≈ 1,41.

    Răspuns: da

  27. Exercițiul 27

    Este funcția f(x) = |x| continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe ramuri, f(x) = −x pentru x < 0 și f(x) = x pentru x ≥ 0.
    2. Limita la stânga: lim (−x) = 0. Limita la dreapta: lim x = 0.
    3. Valoarea în punct: f(0) = 0.
    4. Răspuns final: da. Funcția este continuă în 0, deși graficul are un colț acolo: continuitatea nu cere ca graficul să fie neted.

    Răspuns: da

  28. Exercițiul 28

    Pentru x≠1, f(x)=x2−1x−1, iar f(1)=a. Află a pentru continuitate în 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x)=x+1. x2−1=(x−1)(x+1). Valoarea în 1 rămâne cea definită separat.
    2. limx→1 f(x)=2. x+1 tinde la 2 din ambele părți.
    3. a=2. Continuitatea cere f(1)=limx→1f(x), deci a=2.

    Răspuns: a=2

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (22)

  1. 1. Definiția continuității

    Câte condiții trebuie verificate ca o funcție să fie continuă într-un punct interior domeniului?

    Vezi răspunsul

    Trei: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(a) trebuie să existe și să fie egale.

  2. 2. Funcție continuă pe ramuri

    Fie f(x) = 2x + 1 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ls = 2 · 1 + 1 = 3, ld = 1 + 2 = 3 și f(1) = 3.

  3. 3. Funcție discontinuă

    Fie f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = x + 3 pentru x > 0. Este f continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: ls = 1, iar ld = 3.

  4. 4. Parametru pentru continuitate

    Determinați a real astfel încât f(x) = ax + 5 pentru x ≤ 1 și f(x) = x2 + 2 pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    a + 5 = 1 + 2, deci a = −2.

  5. 5. Parametru cu inegalitate strictă

    Determinați m real astfel încât f(x) = x + m pentru x < 2 și f(x) = x2 pentru x ≥ 2 să fie continuă în x = 2.

    Vezi răspunsul

    2 + m = 4, deci m = 2.

  6. 6. Funcții elementare

    Este funcția f(x) = x3 − 2x + 5 continuă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (funcție polinomială).

  7. 7. Operații cu funcții continue

    Dacă f și g sunt continue în a, este f + g continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  8. 8. Câtul a două funcții continue

    Dacă f și g sunt continue în a, este fg continuă în a? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da, dacă g(a) ≠ 0.

  9. 9. Punct în afara domeniului

    Este funcția f(x) = 1x continuă pe domeniul ei de definiție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 0 nu aparține domeniului, iar în rest funcția este continuă.

  10. 10. Proprietatea lui Darboux

    Fie f continuă pe [0, 1], cu f(0) = −1 și f(1) = 1. Există un punct în (0, 1) unde f se anulează? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da (proprietatea lui Darboux).

  11. 11. Existența unei soluții

    Are ecuația x3 + x − 1 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, iar f este continuă.

  12. 12. Ecuație cu exponențială

    Are ecuația ex + x = 0 cel puțin o soluție în intervalul (−1, 0)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(−1) = e−1 − 1 < 0 și f(0) = 1 > 0.

  13. 13. Semnul unei funcții continue

    O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează nicăieri pe el, păstrează același semn pe tot intervalul? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  14. 14. Valoarea din punct contează

    Fie f(x) = x2 − 1x − 1 pentru x ≠ 1 și f(1) = 5. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: limita în 1 este 2, dar f(1) = 5.

  15. 15. Prelungire prin continuitate

    Ce valoare trebuie dată lui f(1) pentru ca f(x) = x2 − 1x − 1, definită pentru x ≠ 1, să devină continuă în x = 1?

    Vezi răspunsul

    f(1) = 2 (limita lui x + 1 în 1)

  16. 16. Radical pe ramuri

    Determinați a real astfel încât f(x) = x + 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = x + a pentru x > 1 să fie continuă în x = 1.

    Vezi răspunsul

    √4 = 2 = 1 + a, deci a = 1.

  17. 17. Ramuri cu constantă

    Fie f(x) = 3 pentru x ≤ 1 și f(x) = 2x + 1 pentru x > 1. Este f continuă în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: ls = 3, ld = 2 · 1 + 1 = 3 și f(1) = 3.

  18. 18. Salt

    Fie f(x) = x pentru x < 2 și f(x) = x + 3 pentru x ≥ 2. Calculați mărimea saltului în x = 2.

    Vezi răspunsul

    f(2) − ls = 5 − 2 = 3

  19. 19. Parametru simplu

    Determinați a real astfel încât f(x) = 2x + a pentru x ≤ 0 și f(x) = x2 + 3 pentru x > 0 să fie continuă în x = 0.

    Vezi răspunsul

    a = 3 (ls = a, ld = 3)

  20. 20. Funcție rațională

    Este funcția f(x) = x + 1x − 3 continuă în x = 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 2 aparține domeniului, iar funcțiile raționale sunt continue pe domeniu.

  21. 21. Ecuație cu soluție

    Are ecuația x2 − 2 = 0 cel puțin o soluție în intervalul (1, 2)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(1) = −1 < 0 și f(2) = 2 > 0.

  22. 22. Continuitate pe tot domeniul

    Este funcția f(x) = |x| continuă în x = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.