M4 · Pedagogic⏱ 2 sesiuni
M4·S

Teorie înainte de exerciții

Determinanți, matrice inversabile și metoda lui Cramer · nivel M4

Lecția M4 pornește de la determinantul de ordin 2 și ajunge la rezolvarea sistemelor cu formulele lui Cramer, trecând prin condiția de inversabilitate a unei matrice.

Programa profilului Pedagogic include metoda Cramer pentru sisteme cu cel mult 3 necunoscute, matricele inversabile și ecuațiile matriceale.
1

Determinanți

Determinantul este numărul care decide totul la sistemele liniare: dacă este nenul, sistemul are soluție unică și matricea este inversabilă. Pentru ordinul 2 formula se memorează direct, iar pentru ordinul 3 se dezvoltă după o linie, alternând semnele.

Ordin 2: || = ad − bc
Ordin 3, dezvoltare după prima linie: a·|| − b·|| + c·||
Semnele alternează: plus, minus, plus
Matrice diagonală: determinantul este produsul elementelor de pe diagonală
Dacă două linii sunt proporționale, determinantul este 0
  • Alege pentru dezvoltare linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.
  • Un determinant nul înseamnă linii dependente, deci informație care se repetă.
  • Determinantul matricei sistemului conține doar coeficienții, nu și termenii liberi.
2

Metoda lui Cramer

Metoda se aplică sistemelor cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu determinantul nenul. Ideea este simplă: pentru fiecare necunoscută se înlocuiește coloana ei cu coloana termenilor liberi, se calculează noul determinant și se împarte la determinantul sistemului.

Condiția de aplicare: d = det(A) ≠ 0
x = dx/d, y = d_yd, z = d_zd
dx se obține înlocuind coloana lui x cu coloana termenilor liberi
Forma matriceală: AX = B, cu soluția X = A−1B
Sistem de tip Cramer ⇔ matrice pătratică cu determinant nenul
  • Calculează întâi d: dacă este 0, oprește-te, metoda nu se aplică.
  • Se schimbă o singură coloană pentru fiecare necunoscută, restul rămâne neatins.
  • Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.
3

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · sistem 3×3 cu metoda lui Cramer

Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.

  1. 1.Pasul 1 — atenție la a treia ecuație: nu conține y, deci coeficientul lui y este 0. O rescriem ca x + 0·y + 4z = 6.
  2. 2.Pasul 2 — matricea sistemului este , iar coloana termenilor liberi este (5, 9, 6).
  3. 3.Pasul 3 — calculăm determinantul: 1·(1·4 − 3·0) − 1·(2·4 − 3·1) + 1·(2·0 − 1·1) = 4 − 5 − 1 = −2.
  4. 4.Pasul 4 — determinantul fiind nenul, sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.
  5. 5.Pasul 5 — pentru dx înlocuim prima coloană cu termenii liberi: || = −4.
  6. 6.Pasul 6 — analog obținem d_y = −4 și d_z = −2.
  7. 7.Pasul 7 — împărțim la d = −2: x = 2, y = 2, z = 1.
  8. 8.Pasul 8 — verificăm în a treia ecuație, pe care nu am folosit-o direct: 2 + 4·1 = 6 ✓. Soluția este (2, 2, 1).
4

Sisteme omogene și cazul determinantului nul

Când determinantul se anulează, sistemul nu mai are soluție unică: fie nu are niciuna, fie are o infinitate. La sistemele omogene, cu toți termenii liberi nuli, situația este mai simplă, pentru că soluția banală există întotdeauna.

Sistem omogen: toate ecuațiile de forma … = 0
Soluția banală (0, 0, 0) verifică orice sistem omogen
det ≠ 0 ⇒ numai soluția banală
det = 0 ⇒ există și soluții nebanale, o infinitate
La sisteme neomogene cu det = 0: fie incompatibil, fie o infinitate de soluții
  • Întrebarea „are soluții nebanale?” se traduce imediat în „determinantul este 0”.
  • Dacă ecuațiile se contrazic, sistemul este incompatibil.
  • Dacă o ecuație este multiplu al alteia, ea nu aduce informație nouă.
5

Algoritmul universal în 5 pași

  • Scrie matricea sistemului, luând coeficienții în aceeași ordine în fiecare ecuație.
  • Completează cu 0 coeficienții necunoscutelor care lipsesc dintr-o ecuație.
  • Calculează determinantul sistemului și decide dacă metoda lui Cramer se aplică.
  • Dacă da, calculează câte un determinant pentru fiecare necunoscută și împarte.
  • Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Determinant de ordin 2M4 · Pedagogic

    Calculați determinantul ||.

    Vezi răspunsul

    7 · (−1) − (−3) · 4 = 5

  2. Ex. 2Sistem 2×2 cu CramerM4 · Pedagogic

    Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.

    Vezi răspunsul

    Δ = 5, Δx = 10, Δy = 20, deci x = 2 și y = 4.

  3. Ex. 3Determinant de ordin 3M4 · Pedagogic

    Calculați determinantul ||.

    Vezi răspunsul

    −3

  4. Ex. 4Condiția lui CramerM4 · Pedagogic

    Un sistem se poate rezolva cu formulele lui Cramer dacă determinantul lui este 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: formulele lui Cramer cer determinant nenul.

  5. Ex. 5Sistem 3×3M4 · Pedagogic

    Rezolvați sistemul x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14.

    Vezi răspunsul

    x = 1, y = −3, z = −2 (Δ = −34)

  6. Ex. 6Sistem cu coeficient nulM4 · Pedagogic

    Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.

    Vezi răspunsul

    x = 2, y = 2, z = 1

  7. Ex. 7Sistem cu termeni negativiM4 · Pedagogic

    Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.

    Vezi răspunsul

    x = −2, y = −3, z = 1

  8. Ex. 8Verificarea unei soluțiiM4 · Pedagogic

    Pentru ce m tripletul (2, 1, 3) este soluție a sistemului 2x − y + z = 6, x + y + mz = 3, x − (m + 1)y + z = 4?

    Vezi răspunsul

    m = 0: din a doua ecuație, 2 + 1 + 3m = 3; a treia dă tot m = 0.

  9. Ex. 9Determinant cu parametruM4 · Pedagogic

    Determinați m real știind că || = −12.

    Vezi răspunsul

    Determinantul este −5m − 2, iar −5m − 2 = −12 dă m = 2.

  10. Ex. 10Forma matricealăM4 · Pedagogic

    Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  11. Ex. 11Matrice inversabilăM4 · Pedagogic

    Dacă determinantul matricei sistemului este nenul, matricea este inversabilă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  12. Ex. 12Determinantul unui sistemM4 · Pedagogic

    Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.

    Vezi răspunsul

    −7

  13. Ex. 13Sistem omogenM4 · Pedagogic

    Un sistem omogen, cu toți termenii liberi nuli, are întotdeauna cel puțin o soluție? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: are cel puțin soluția banală (0, 0, 0).

  14. Ex. 14Soluții nebanaleM4 · Pedagogic

    Determinați m pentru care sistemul omogen x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 admite și soluții nebanale.

    Vezi răspunsul

    Determinantul este 3m − 3, care se anulează pentru m = 1.

  15. Ex. 15Determinant de ordin 2M4 · Pedagogic

    Calculați determinantul ||.

    Vezi răspunsul

    3 · 4 − 1 · 2 = 10

  16. Ex. 16Sistem 2×2M4 · Pedagogic

    Rezolvați cu Cramer sistemul 2x + y = 7, x − y = 2.

    Vezi răspunsul

    Δ = −3, Δx = −9, Δy = −3, deci x = 3 și y = 1.

  17. Ex. 17Matrice singularăM4 · Pedagogic

    Determinați m pentru care matricea nu este inversabilă.

    Vezi răspunsul

    6m − 6 = 0, deci m = 1.

  18. Ex. 18Sistem cu parametruM4 · Pedagogic

    Sistemul 2x + y = 5, 4x + 2y = 10 are soluție unică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: a doua ecuație este prima înmulțită cu 2, deci are o infinitate de soluții.

  19. Ex. 19Verificarea unei soluțiiM4 · Pedagogic

    Este perechea (1, 2) soluție a sistemului x + y = 3, 2x − y = 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 1 + 2 = 3 și 2 − 2 = 0.

  20. Ex. 20Determinant de ordin 3 simpluM4 · Pedagogic

    Calculați determinantul ||.

    Vezi răspunsul

    1 · 2 · 3 = 6

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.