M4 · Pedagogic⏱ Mai multe sesiuni

M4·S

Încărcăm partea curentă…

Determinanți, matrice inversabile și metoda lui Cramer · nivel M4

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.

Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

1Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
2Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
3Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Determinanți, matrice inversabile și metoda lui Cramer · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Din ecuații în matrice: A, X și B

Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.

A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.

AX=B

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → . Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → . B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.

Greșeală frecventă: Pun termenii liberi în matricea A. A are câte o coloană pentru fiecare necunoscută. Termenii liberi formează coloana separată B.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinant 2×2: două produse și o scădere

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinant 3×3: Sarrus, cu primele două linii copiate

Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.

Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.

Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.

De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Inversabilitate · grupa 12

Pentru o matrice pătratică, det A≠0 înseamnă inversabilă: există A⁻¹. Dacă det A=0, matricea este singulară și nu are inversă. Un determinant negativ este la fel de bun ca unul pozitiv pentru inversabilitate.

La sistemul pătratic AX=B, un determinant nenul dă soluție unică și permite Cramer sau X=A⁻¹B. Determinantul zero interzice aceste formule, dar nu spune singur dacă sistemul are nicio soluție sau o infinitate. Matricea și sistemul se clasifică separat.

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Numărul de soluții · grupa 12

Compatibil determinat înseamnă o soluție, compatibil nedeterminat o infinitate, iar incompatibil nicio soluție. Pentru un sistem pătratic, Δ≠0 dă prima situație. La Δ=0 trebuie studiate și ecuațiile ori, pe M1, rangurile.

În exemplele de ordin 2 de aici, dacă a doua linie a coeficienților este dublul primei, comparăm și termenii liberi. Dacă și termenul liber este dublu, cele două ecuații spun același lucru. Dacă nu este, apare o contradicție. Această verificare de proporționalitate se aplică acestei familii, nu oricărui sistem de ordin 3.

Exemplu cu alte date

Clasifică x+y=4, 2x+2y=8, apoi x+y=4, 2x+2y=9.

În ambele cazuri Δ=1·2−1·2=0; Cramer nu se aplică.
În primul caz și 8=2·4: rămâne x+y=4, deci perechile (4−t,t) pentru orice t real. Sistem compatibil nedeterminat.
În al doilea caz, 9≠2·4: din prima ecuație ar rezulta 2x+2y=8, în contradicție cu a doua. Sistem incompatibil.

Numărul de soluții · grupa 22

Exemplu cu alte date

Clasifică x+y=4, 2x+2y=8, apoi x+y=4, 2x+2y=9.

În ambele cazuri Δ=1·2−1·2=0; Cramer nu se aplică.
În primul caz și 8=2·4: rămâne x+y=4, deci perechile (4−t,t) pentru orice t real. Sistem compatibil nedeterminat.
În al doilea caz, 9≠2·4: din prima ecuație ar rezulta 2x+2y=8, în contradicție cu a doua. Sistem incompatibil.

Soluția este deja dată · o verificăm · grupa 11

O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.

În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A⁻¹B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA⁻¹. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Alegerea metodei · grupa 12

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Cramer 2×2: toate matricele, calculele și verificarea

Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δ_x înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δ_y, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δ_z. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.

La final x=Δ_xΔ, y=Δ_yΔ, z=Δ_zΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.

x=Δ_xΔ; y=Δ_yΔ; Δ≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → . Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → . B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δ_x, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_x? → . Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Δ_x: produsul diagonalei principale 5·1 → 5. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 5·1=5.
Δ_x: produsul diagonalei secundare 1·3 → 3. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·3=3. Acest produs se va scădea.
Δ_x, principală minus secundară: 5 − 3 → 2. Δ_x, principală minus secundară: 5 − 3 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 2 : 1 → 2. Aflăm x: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_y, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_y? → . Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Δ_y: produsul diagonalei principale 2·3 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·3=6.
Δ_y: produsul diagonalei secundare 5·1 → 5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 5·1=5. Acest produs se va scădea.
Δ_y, principală minus secundară: 6 − 5 → 1. Δ_y, principală minus secundară: 6 − 5 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 1 : 1 → 1. Aflăm y: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 2·2+1·1 egal cu 5? → Da. 2·2+1·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → . X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=1 și am păstrat ordinea x, y.

Greșeală frecventă: Schimb o linie pentru Δ_x sau scriu x=ΔΔ_x. Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

x=Δ_xΔ; y=Δ_yΔ; z=Δ_zΔ; Δ≠0

Exemplu rezolvat · alte date

1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4

Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → . Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → . B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δ_x, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_x? → . Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_x, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_x, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δ_x: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δ_x, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_y, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_y? → . Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_y, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_y, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_y: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δ_y, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_z, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_z? → . Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_z, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_z, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δ_z: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δ_z, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → . X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.

Greșeală frecventă: Schimb o linie pentru Δ_x sau scriu x=ΔΔ_x. Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

x=Δ_xΔ; y=Δ_yΔ; z=Δ_zΔ; Δ≠0

Exemplu rezolvat · alte date

1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4

Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → . Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → . B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δ_x, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_x? → . Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_x, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_x, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δ_x: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δ_x, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_y, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_y? → . Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_y, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_y, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_y: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δ_y, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_z, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_z? → . Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_z, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_z, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δ_z: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δ_z, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → . X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.

Greșeală frecventă: Schimb o linie pentru Δ_x sau scriu x=ΔΔ_x. Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

x=Δ_xΔ; y=Δ_yΔ; z=Δ_zΔ; Δ≠0

Exemplu rezolvat · alte date

1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4

Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → . Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → . B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δ_x, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_x? → . Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_x, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_x, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_x, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δ_x: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δ_x, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_x: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_y, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_y? → . Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_y, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_y, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ_y, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δ_y: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δ_y, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_y: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δ_z, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δ_z? → . Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δ_z, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ_z, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δ_z, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δ_z: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δ_z, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ_z: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → . X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.

Greșeală frecventă: Schimb o linie pentru Δ_x sau scriu x=ΔΔ_x. Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element

Dacă Δ≠0, există A⁻¹ cu A⁻¹A=AA⁻¹=I. Din AX=B înmulțim la stânga cu A⁻¹ și obținem X=A⁻¹B. Nu există o operație obișnuită de «împărțire la matrice». La XA=B am înmulți la dreapta și am obține X=BA⁻¹.

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

În produsul A⁻¹B, fiecare element se obține dintr-o linie și o coloană. Înmulțim elementele corespondente și adunăm produsele. La B coloană obținem soluția sistemului; la B matrice obținem o matrice X. Verificăm produsul AX=B.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Parametrul: determinant și valorile critice

Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.

Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.

Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.

soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)

Exemplu rezolvat · alte date

Discută mx+y=2, x+y=1.

A=, B=. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δ_x=2·1−1·1=1. Pentru y: Δ_y=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.

Greșeală frecventă: Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții. Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.

Parametrul: determinant și valorile critice

soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)

Exemplu rezolvat · alte date

Discută mx+y=2, x+y=1.

A=, B=. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δ_x=2·1−1·1=1. Pentru y: Δ_y=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.

Greșeală frecventă: Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții. Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.

Parametrul: determinant și valorile critice

soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)

Exemplu rezolvat · alte date

Discută mx+y=2, x+y=1.

A=, B=. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δ_x=2·1−1·1=1. Pentru y: Δ_y=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.

Greșeală frecventă: Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții. Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.

Sistemul omogen: soluția zero și soluțiile nebanale

Calculăm matricea coeficienților și determinantul înainte de a decide metoda. Nu folosim formulele lui Cramer la Δ=0. Pentru o matrice pătratică, Δ≠0 înseamnă inversabilitate și soluție unică.

La AX=0, coloana zero este mereu soluție. Dacă Δ≠0, Cramer dă toate necunoscutele zero și este singura soluție. La Δ=0, pentru un sistem pătratic omogen există și soluții nebanale. Rezolvăm condiția Δ(m)=0.

La Δ=0 putem compara ecuațiile sau, la M1, rangurile matricei coeficienților și matricei extinse [A|B]. Ranguri diferite înseamnă incompatibil; ranguri egale, mai mici decât numărul necunoscutelor, înseamnă infinitate de soluții. Eliminarea este utilă aici, după constatarea că Cramer nu se aplică.

Δ≠0 ⇔ soluție unică (sistem pătratic)
AX=0 și Δ≠0 ⇒ X=0

Exemplu rezolvat · alte date

Discută x+2y=4, 2x+4y=t.

A=, deci Δ=1·4−2·2=0.
A doua linie a coeficienților este dublul primei. Aceeași relație trebuie să existe între termenii liberi: t=2·4=8.
Pentru t=8, orice pereche (4−2s,s), s real, verifică ambele ecuații: infinitate de soluții.
Pentru t≠8, aceiași membri stângi ar trebui să aibă termeni liberi diferiți: nicio soluție.
Nu împărțim la Δ=0 și nu declarăm automat sistemul incompatibil.

Greșeală frecventă: Δ=0 ⇒ nicio soluție. Δ=0 exclude numai soluția unică. Termenii liberi decid dacă rămâne o infinitate sau apare o contradicție.

Δ=0: verificăm compatibilitatea, fără împărțire

Dacă un parametru apare în coeficienți, determinantul rămâne o expresie în acel parametru. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să găsim valorile excluse pentru soluția unică. Înlocuim fiecare valoare critică în sistem înainte de concluzia despre numărul de soluții.

Δ≠0 ⇔ soluție unică (sistem pătratic)
AX=0 și Δ≠0 ⇒ X=0

Exemplu rezolvat · alte date

Discută x+2y=4, 2x+4y=t.

A=, deci Δ=1·4−2·2=0.
A doua linie a coeficienților este dublul primei. Aceeași relație trebuie să existe între termenii liberi: t=2·4=8.
Pentru t=8, orice pereche (4−2s,s), s real, verifică ambele ecuații: infinitate de soluții.
Pentru t≠8, aceiași membri stângi ar trebui să aibă termeni liberi diferiți: nicio soluție.
Nu împărțim la Δ=0 și nu declarăm automat sistemul incompatibil.

Greșeală frecventă: Δ=0 ⇒ nicio soluție. Δ=0 exclude numai soluția unică. Termenii liberi decid dacă rămâne o infinitate sau apare o contradicție.

Exerciții rezolvate din lecție (78)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
A=. Ce dimensiune are?
Vezi rezolvarea
1. Numărăm 2 linii, cu câte 3 elemente: 2×3. Nu este pătratică.
Răspuns: 2×3
Exercițiul 2
A=. Putem calcula determinantul acestei matrice?
Vezi rezolvarea
1. Are 2 linii și 2 coloane. Existența zerourilor nu interzice determinantul.
Răspuns: Da, este pătratică de ordin 2
Exercițiul 3
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Pe diagonala principală avem numai 1, în rest numai 0. Identitatea este elementul neutru al produsului.
Răspuns: A=I₃, matricea identitate de ordin 3
Exercițiul 4
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Toate cele patru elemente sunt 0. Matricea este și diagonală, însă nu este identitate.
Răspuns: A este matricea nulă de ordin 2
Exercițiul 5
A=. Este diagonală?
Vezi rezolvarea
1. Condiția privește elementele din afara diagonalei. Un zero pe diagonală este permis; această matrice nu este identitate.
Răspuns: Da, toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0
Exercițiul 6
A=. Ce proprietate observăm?
Vezi rezolvarea
1. Pozițiile (2,1), (3,1), (3,2) sunt 0. Elementele de deasupra diagonalei pot fi nenule; nu este diagonală.
Răspuns: Este triunghiulară superior: sub diagonala principală sunt zerouri
Exercițiul 7
Scrie în formă matriceală: 1x +1y = 7; 2x +1y = 10.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 8
Scrie în formă matriceală: 2x +1y = 8; 1x −1y = 1.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 9
Scrie în formă matriceală: 3x +1y = 10; 1x +1y = 6.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 10
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 11
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·1=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 13
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − (−2) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 14
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −5
Exercițiul 15
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·(−1)=−3. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 16
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·1=0.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·3=6. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 0 − 6 = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −6
Exercițiul 17
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−2)=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 0 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −4
Exercițiul 18
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 19
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 20
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 21
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 22
Calculați determinantul ||.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−7) − (−12) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este 5. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 5
Exercițiul 23
Calculați determinantul ||.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·4=12.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 12 − 2 = 10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este 10. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 10
Exercițiul 24
Calculează determinantul .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 25
Calculați determinantul ||.
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, 10, deci produsul este 1·5·10=50. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, 8, 3, deci produsul este 4·8·3=96. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 7, 2, 6, deci produsul este 7·2·6=84. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 50+96+84=230.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 3, 5, 7, deci produsul este 3·5·7=105. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 6, 8, 1, deci produsul este 6·8·1=48. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 10, 2, 4, deci produsul este 10·2·4=80. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 105+48+80=233.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 230 − 233 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Rezultatul cerut este −3. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: −3
Exercițiul 26
Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+(−2)+(−1)=−1.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+1+4=6.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−1) − 6 = −7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Rezultatul cerut este −7. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: −7
Exercițiul 27
Calculați determinantul ||.
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 3, deci produsul este 1·2·3=6. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 6+0+0=6.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − 0 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Rezultatul cerut este 6. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 6
Exercițiul 28
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 29
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-5. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 30
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 31
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=4. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 32
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 33
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 34
Clasifică sistemul x+y=1, x−y=1, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−1) − 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Δ=−2≠0, deci soluția este unică.
Răspuns: Compatibil determinat: soluție unică
Exercițiul 35
Clasifică sistemul x+y=2, 2x+2y=4, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. A doua ecuație este exact dublul primei, inclusiv 4=2·2. Rămâne x+y=2, cu soluțiile (2−t,t), t∈ℝ.
Răspuns: Compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții
Exercițiul 36
Clasifică sistemul x+y=3, 2x+2y=7, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Coeficienții celei de-a doua ecuații sunt dubli, însă 7≠2·3. Cele două ecuații se contrazic.
Răspuns: Incompatibil: nicio soluție
Exercițiul 37
Clasifică sistemul x+y=4, x−y=1, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−1) − 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Δ=−2≠0, deci soluția este unică.
Răspuns: Compatibil determinat: soluție unică
Exercițiul 38
Clasifică sistemul x+y=5, 2x+2y=10, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. A doua ecuație este exact dublul primei, inclusiv 10=2·5. Rămâne x+y=5, cu soluțiile (5−t,t), t∈ℝ.
Răspuns: Compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții
Exercițiul 39
Clasifică sistemul x+y=6, 2x+2y=13, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Coeficienții celei de-a doua ecuații sunt dubli, însă 13≠2·6. Cele două ecuații se contrazic.
Răspuns: Incompatibil: nicio soluție
Exercițiul 40
Verifică perechea (1;2) în sistemul x·1+y·(1)=3, x·2+y·(-1)=0.
Vezi rezolvarea
1. 1·1+1·2=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2. 2·1+(−1)·2=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
3. Ambele egalități sunt adevărate. Perechea este soluție, fără să o mai căutăm prin Cramer.
Răspuns: Este soluție
Exercițiul 41
Verifică perechea (2;2) în sistemul x·1+y·(-1)=0, x·1+y·(1)=5.
Vezi rezolvarea
1. 1·2+(−1)·2=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2. 1·2+1·2=4 ≠ 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
3. Prima egalitate este adevărată, a doua falsă. O soluție trebuie să le verifice pe toate.
Răspuns: Nu este soluție
Exercițiul 42
Verifică perechea (3;2) în sistemul x·2+y·(1)=8, x·1+y·(2)=7.
Vezi rezolvarea
1. 2·3+1·2=8 = 8. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2. 1·3+2·2=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
3. Ambele egalități sunt adevărate. Perechea este soluție, fără să o mai căutăm prin Cramer.
Răspuns: Este soluție
Exercițiul 43
Ți se dă perechea (1,2). Cum verifici că este soluția unui sistem?
Vezi rezolvarea
1. Enunțul cere verificarea unei perechi cunoscute. Substituția în toate ecuațiile este suficientă; un singur rând adevărat nu ajunge.
Răspuns: O înlocuiesc în fiecare ecuație
Exercițiul 44
Trebuie să afli X din AX=B, iar det A=−3. Ce metode sunt permise?
Vezi rezolvarea
1. −3≠0. Matricea este inversabilă și sistemul pătratic are soluție unică; ambele metode sunt valabile.
Răspuns: Cramer sau X=A⁻¹B
Exercițiul 45
În AX=B ai găsit det A=0. Care este următorul lucru de făcut?
Vezi rezolvarea
1. Determinantul zero exclude Cramer și inversa. Termenii liberi trebuie analizați; pot exista o infinitate de soluții sau nicio soluție.
Răspuns: Studiez compatibilitatea ecuațiilor; pe M1 pot compara rangurile
Exercițiul 46
În XA=B se știe că A este inversabilă. Cum izolezi X?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la dreapta cu A⁻¹: XAA⁻¹=BA⁻¹, deci XI=BA⁻¹. Ordinea este obligatorie.
Răspuns: X=BA⁻¹
Exercițiul 47
În AX=B, inversa A⁻¹ este deja dată. Care este calculul direct?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la stânga cu inversa. Nu este necesar să reconstruim inversa deja dată în enunț.
Răspuns: X=A⁻¹B
Exercițiul 48
În AX+X=B, ce matrice trebuie studiată înainte de folosirea inversei?
Vezi rezolvarea
1. X=IX și distributivitatea dau (A+I)X=B. Inversa necesară este a matricei A+I, dacă determinantul ei este nenul.
Răspuns: A+I
Exercițiul 49
Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: (−7) − (−12) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
8. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
9. Înlocuim coloana 1 cu 2; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
10. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
11. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
12. Δ_x, principală minus secundară: (−2) − (−12) = 10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Aflăm x: 10 : 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
15. Înlocuim coloana 2 cu 2; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
16. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·4=28.
17. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·4=8. Acest produs se va scădea.
18. Δ_y, principală minus secundară: 28 − 8 = 20. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
19. Aflăm y: 20 : 5 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
20. 7·2+(−3)·4=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
21. 4·2+(−1)·4=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
22. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=5 și am păstrat ordinea x, y.
23. Rezultatul cerut este 2,4. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
24. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=5≠0, deci soluție unică. Δ_x=10; x=105=2. Δ_y=20; y=205=4. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 2,4
Exercițiul 50
Rezolvați cu Cramer sistemul 2x + y = 7, x − y = 2.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
8. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
9. Înlocuim coloana 1 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
10. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
11. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
12. Δ_x, principală minus secundară: (−7) − 2 = −9. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Aflăm x: (−9) : (−3) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
15. Înlocuim coloana 2 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
16. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
17. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 7·1=7. Acest produs se va scădea.
18. Δ_y, principală minus secundară: 4 − 7 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
19. Aflăm y: (−3) : (−3) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
20. 2·3+1·1=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
21. 1·3+(−1)·1=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
22. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-3 și am păstrat ordinea x, y.
23. Rezultatul cerut este 3,1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
24. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=-3≠0, deci soluție unică. Δ_x=-9; x=-9-3=3. Δ_y=-3; y=-3-3=1. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 3,1
Exercițiul 51
Rezolvă integral prin Cramer: 1x +1y = 7; 2x +1y = 10.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
8. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
9. Înlocuim coloana 1 cu 7; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
10. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·1=7.
11. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·10=10. Acest produs se va scădea.
12. Δ_x, principală minus secundară: 7 − 10 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Aflăm x: (−3) : (−1) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
15. Înlocuim coloana 2 cu 7; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
16. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·10=10.
17. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 7·2=14. Acest produs se va scădea.
18. Δ_y, principală minus secundară: 10 − 14 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
19. Aflăm y: (−4) : (−1) = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
20. 1·3+1·4=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
21. 2·3+1·4=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
22. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-1 și am păstrat ordinea x, y.
23. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=-1≠0, deci soluție unică. Δ_x=-3; x=-3-1=3. Δ_y=-4; y=-4-1=4. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns:
Exercițiul 52
Exercițiul 5 ghidat · Vrem să rezolvăm x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14. Pasul 1: ce calculăm mai întâi?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Rezultatul cerut este Determinantul sistemului, ca să vedem dacă este nenul. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Determinantul sistemului, ca să vedem dacă este nenul
Exercițiul 53
Pasul 2: determinantul sistemului este −34. Cum obținem d_x?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
1. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
2. Înlocuim coloana 1 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
3. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 6, (−3), (−6), deci produsul este 6·(−3)·(−6)=108. Îl includem în suma principală.
5. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 1, (−4), deci produsul este 9·1·(−4)=−36. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 14, 1, 1, deci produsul este 14·1·1=14. Îl includem în suma principală.
7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 108+(−36)+14=86.
8. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 14, deci produsul este (−4)·(−3)·14=168. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 9, deci produsul este (−6)·1·9=−54. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 168+6+(−54)=120.
12. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 86 − 120 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Rezultatul cerut este Înlocuim coloana coeficienților lui x cu termenii liberi. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Înlocuim coloana coeficienților lui x cu termenii liberi
Exercițiul 54
Pasul 3: știind că d_x = −34, d_y = 102 și d_z = 68, cum aflăm necunoscutele?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
1. Aflăm x: (−34) : (−34) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
2. Aflăm y: 102 : (−34) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
3. Aflăm z: 68 : (−34) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este Împărțim fiecare determinant la determinantul sistemului. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Împărțim fiecare determinant la determinantul sistemului
Exercițiul 55
Pasul 4: scrieți soluția sistemului.
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−3), (−6), deci produsul este 1·(−3)·(−6)=18. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, (−4), deci produsul este 2·1·(−4)=−8. Îl includem în suma principală.
7. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 18+(−8)+5=15.
9. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 5, deci produsul este (−4)·(−3)·5=60. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 2, deci produsul este (−6)·1·2=−12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
12. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 60+1+(−12)=49.
13. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − 49 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
15. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
16. Înlocuim coloana 1 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
17. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
18. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 6, (−3), (−6), deci produsul este 6·(−3)·(−6)=108. Îl includem în suma principală.
19. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 1, (−4), deci produsul este 9·1·(−4)=−36. Îl includem în suma principală.
20. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 14, 1, 1, deci produsul este 14·1·1=14. Îl includem în suma principală.
21. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 108+(−36)+14=86.
22. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 14, deci produsul este (−4)·(−3)·14=168. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
23. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
24. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 9, deci produsul este (−6)·1·9=−54. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
25. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 168+6+(−54)=120.
26. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 86 − 120 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
27. Aflăm x: (−34) : (−34) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
28. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
29. Înlocuim coloana 2 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
30. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
31. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 9, (−6), deci produsul este 1·9·(−6)=−54. Îl includem în suma principală.
32. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 14, (−4), deci produsul este 2·14·(−4)=−112. Îl includem în suma principală.
33. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 6, 1, deci produsul este 5·6·1=30. Îl includem în suma principală.
34. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−54)+(−112)+30=−136.
35. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), 9, 5, deci produsul este (−4)·9·5=−180. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
36. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 14, 1, deci produsul este 1·14·1=14. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
37. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 6, 2, deci produsul este (−6)·6·2=−72. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
38. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−180)+14+(−72)=−238.
39. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−136) − (−238) = 102. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
40. Aflăm y: 102 : (−34) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
41. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
42. Înlocuim coloana 3 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
43. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
44. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−3), 14, deci produsul este 1·(−3)·14=−42. Îl includem în suma principală.
45. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 6, deci produsul este 2·1·6=12. Îl includem în suma principală.
46. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 1, 9, deci produsul este 5·1·9=45. Îl includem în suma principală.
47. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−42)+12+45=15.
48. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 6, (−3), 5, deci produsul este 6·(−3)·5=−90. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
49. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
50. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 14, 1, 2, deci produsul este 14·1·2=28. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
51. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−90)+9+28=−53.
52. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − (−53) = 68. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
53. Aflăm z: 68 : (−34) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
54. 1·1+1·(−3)+(−4)·(−2)=6 = 6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
55. 2·1+(−3)·(−3)+1·(−2)=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
56. 5·1+1·(−3)+(−6)·(−2)=14 = 14. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
57. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-34 și am păstrat ordinea x, y, z.
58. Rezultatul cerut este 1,−3,−2. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 1,−3,−2
Exercițiul 56
Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma principală.
7. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
9. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 2, deci produsul este 4·1·2=8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
12. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+8=9.
13. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 9 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
15. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
16. Înlocuim coloana 1 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
17. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
18. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 4, deci produsul este 5·1·4=20. Îl includem în suma principală.
19. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 0, 1, deci produsul este 9·0·1=0. Îl includem în suma principală.
20. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 6, 1, 3, deci produsul este 6·1·3=18. Îl includem în suma principală.
21. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 20+0+18=38.
22. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
23. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 5, deci produsul este 3·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
24. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 9, deci produsul este 4·1·9=36. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
25. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 6+0+36=42.
26. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 38 − 42 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
27. Aflăm x: (−4) : (−2) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
28. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
29. Înlocuim coloana 2 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
30. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
31. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 9, 4, deci produsul este 1·9·4=36. Îl includem în suma principală.
32. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 6, 1, deci produsul este 2·6·1=12. Îl includem în suma principală.
33. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 3, deci produsul este 1·5·3=15. Îl includem în suma principală.
34. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 36+12+15=63.
35. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 9, 1, deci produsul este 1·9·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
36. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 6, 1, deci produsul este 3·6·1=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
37. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 5, 2, deci produsul este 4·5·2=40. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
38. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 9+18+40=67.
39. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 63 − 67 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
40. Aflăm y: (−4) : (−2) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
41. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
42. Înlocuim coloana 3 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
43. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
44. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma principală.
45. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 0, 5, deci produsul este 2·0·5=0. Îl includem în suma principală.
46. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 9, deci produsul este 1·1·9=9. Îl includem în suma principală.
47. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 6+0+9=15.
48. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
49. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 9, 0, 1, deci produsul este 9·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
50. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 6, 1, 2, deci produsul este 6·1·2=12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
51. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+12=17.
52. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − 17 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
53. Aflăm z: (−2) : (−2) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
54. 1·2+1·2+1·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
55. 2·2+1·2+3·1=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
56. 1·2+0·2+4·1=6 = 6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
57. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-2 și am păstrat ordinea x, y, z.
58. Rezultatul cerut este 2,2,1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
59. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=-2≠0, deci soluție unică. Δ_x=-4; x=-4-2=2. Δ_y=-4; y=-4-2=2. Δ_z=-2; z=-2-2=1. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 2,2,1
Exercițiul 57
Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−5), (−1), deci produsul este 1·(−5)·(−1)=5. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−1), (−1), deci produsul este 4·(−1)·(−1)=4. Îl includem în suma principală.
7. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, 1, (−2), deci produsul este 3·1·(−2)=−6. Îl includem în suma principală.
8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+4+(−6)=3.
9. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), (−5), 3, deci produsul este (−1)·(−5)·3=15. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−1), 1, deci produsul este (−2)·(−1)·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 4, deci produsul este (−1)·1·4=−4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
12. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 15+2+(−4)=13.
13. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 3 − 13 = −10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
15. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
16. Înlocuim coloana 1 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
17. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
18. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt (−6), (−5), (−1), deci produsul este (−6)·(−5)·(−1)=−30. Îl includem în suma principală.
19. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 5, (−1), (−1), deci produsul este 5·(−1)·(−1)=5. Îl includem în suma principală.
20. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt (−4), 1, (−2), deci produsul este (−4)·1·(−2)=8. Îl includem în suma principală.
21. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−30)+5+8=−17.
22. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), (−5), (−4), deci produsul este (−1)·(−5)·(−4)=−20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
23. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−1), (−6), deci produsul este (−2)·(−1)·(−6)=−12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
24. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 5, deci produsul este (−1)·1·5=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
25. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−20)+(−12)+(−5)=−37.
26. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−17) − (−37) = 20. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
27. Aflăm x: 20 : (−10) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
28. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
29. Înlocuim coloana 2 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
30. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
31. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, (−1), deci produsul este 1·5·(−1)=−5. Îl includem în suma principală.
32. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−4), (−1), deci produsul este 4·(−4)·(−1)=16. Îl includem în suma principală.
33. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, (−6), (−2), deci produsul este 3·(−6)·(−2)=36. Îl includem în suma principală.
34. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−5)+16+36=47.
35. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), 5, 3, deci produsul este (−1)·5·3=−15. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
36. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−4), 1, deci produsul este (−2)·(−4)·1=8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
37. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), (−6), 4, deci produsul este (−1)·(−6)·4=24. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
38. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−15)+8+24=17.
39. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 47 − 17 = 30. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
40. Aflăm y: 30 : (−10) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
41. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
42. Înlocuim coloana 3 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
43. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
44. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−5), (−4), deci produsul este 1·(−5)·(−4)=20. Îl includem în suma principală.
45. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−1), (−6), deci produsul este 4·(−1)·(−6)=24. Îl includem în suma principală.
46. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, 1, 5, deci produsul este 3·1·5=15. Îl includem în suma principală.
47. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 20+24+15=59.
48. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−6), (−5), 3, deci produsul este (−6)·(−5)·3=90. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
49. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 5, (−1), 1, deci produsul este 5·(−1)·1=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
50. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−4), 1, 4, deci produsul este (−4)·1·4=−16. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
51. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 90+(−5)+(−16)=69.
52. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 59 − 69 = −10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
53. Aflăm z: (−10) : (−10) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
54. 1·(−2)+1·(−3)+(−1)·1=−6 = -6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
55. 4·(−2)+(−5)·(−3)+(−2)·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
56. 3·(−2)+(−1)·(−3)+(−1)·1=−4 = -4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
57. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-10 și am păstrat ordinea x, y, z.
58. Rezultatul cerut este −2,−3,1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
59. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=-10≠0, deci soluție unică. Δ_x=20; x=20-10=−2. Δ_y=30; y=30-10=−3. Δ_z=-10; z=-10-10=1. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: −2,−3,1
Exercițiul 58
Rezolvă prin Cramer sistemul 2x+y=7, x−y=2.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
8. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
9. Înlocuim coloana 1 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
10. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
11. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
12. Δ_x, principală minus secundară: (−7) − 2 = −9. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Aflăm x: (−9) : (−3) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
15. Înlocuim coloana 2 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
16. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
17. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 7·1=7. Acest produs se va scădea.
18. Δ_y, principală minus secundară: 4 − 7 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
19. Aflăm y: (−3) : (−3) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
20. 2·3+1·1=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
21. 1·3+(−1)·1=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
22. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-3 și am păstrat ordinea x, y.
23. Rezultatul cerut este x=3, y=1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: x=3, y=1
Exercițiul 59
Rezolvă integral prin Cramer: 1x +1y +1z = 9; 2x −1y +1z = 5; 1x +2y −1z = 1.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), (−1), deci produsul este 1·(−1)·(−1)=1. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
7. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+4+1=6.
9. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 2, deci produsul este (−1)·1·2=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
12. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+2+(−2)=−1.
13. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−1) = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
15. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
16. Înlocuim coloana 1 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
17. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
18. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 9, (−1), (−1), deci produsul este 9·(−1)·(−1)=9. Îl includem în suma principală.
19. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 5, 2, 1, deci produsul este 5·2·1=10. Îl includem în suma principală.
20. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
21. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 9+10+1=20.
22. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
23. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 9, deci produsul este 1·2·9=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
24. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 5, deci produsul este (−1)·1·5=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
25. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+18+(−5)=12.
26. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 20 − 12 = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
27. x=87. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
28. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
29. Înlocuim coloana 2 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
30. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
31. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, (−1), deci produsul este 1·5·(−1)=−5. Îl includem în suma principală.
32. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma principală.
33. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 9, 1, deci produsul este 1·9·1=9. Îl includem în suma principală.
34. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−5)+2+9=6.
35. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
36. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
37. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 9, 2, deci produsul este (−1)·9·2=−18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
38. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+1+(−18)=−12.
39. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−12) = 18. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
40. y=187. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
41. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
42. Înlocuim coloana 3 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
43. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
44. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma principală.
45. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 9, deci produsul este 2·2·9=36. Îl includem în suma principală.
46. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 5, deci produsul este 1·1·5=5. Îl includem în suma principală.
47. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+36+5=40.
48. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 9, (−1), 1, deci produsul este 9·(−1)·1=−9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
49. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 5, 2, 1, deci produsul este 5·2·1=10. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
50. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
51. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−9)+10+2=3.
52. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 40 − 3 = 37. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
53. z=377. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
54. 1·87+1·187+1·377=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
55. 2·87+(−1)·187+1·377=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
56. 1·87+2·187+(−1)·377=1 = 1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
57. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=7 și am păstrat ordinea x, y, z.
58. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=7≠0, deci soluție unică. Δ_x=8; x=87=87. Δ_y=18; y=187=187. Δ_z=37; z=377=377. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns:
Exercițiul 60
Rezolvă integral prin Cramer: 2x +1y +0z = 7; 1x +2y +1z = 10; 0x +1y +2z = 9.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 2, deci produsul este 2·2·2=8. Îl includem în suma principală.
6. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma principală.
7. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma principală.
8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 8+0+0=8.
9. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
10. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
11. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
12. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+2+2=4.
13. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
15. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
16. Înlocuim coloana 1 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
17. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
18. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 7, 2, 2, deci produsul este 7·2·2=28. Îl includem în suma principală.
19. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 10, 1, 0, deci produsul este 10·1·0=0. Îl includem în suma principală.
20. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma principală.
21. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 28+0+9=37.
22. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 9, deci produsul este 0·2·9=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
23. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 7, deci produsul este 1·1·7=7. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
24. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 10, deci produsul este 2·1·10=20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
25. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+7+20=27.
26. Δ_x, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 37 − 27 = 10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
27. x=104. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
28. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
29. Înlocuim coloana 2 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
30. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
31. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 10, 2, deci produsul este 2·10·2=40. Îl includem în suma principală.
32. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 9, 0, deci produsul este 1·9·0=0. Îl includem în suma principală.
33. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 7, 1, deci produsul este 0·7·1=0. Îl includem în suma principală.
34. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 40+0+0=40.
35. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 10, 0, deci produsul este 0·10·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
36. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 9, 2, deci produsul este 1·9·2=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
37. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 7, 1, deci produsul este 2·7·1=14. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
38. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+18+14=32.
39. Δ_y, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 40 − 32 = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
40. Aflăm y: 8 : 4 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
41. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
42. Înlocuim coloana 3 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
43. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
44. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 9, deci produsul este 2·2·9=36. Îl includem în suma principală.
45. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 7, deci produsul este 1·1·7=7. Îl includem în suma principală.
46. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 10, deci produsul este 0·1·10=0. Îl includem în suma principală.
47. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 36+7+0=43.
48. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 7, 2, 0, deci produsul este 7·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
49. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 10, 1, 2, deci produsul este 10·1·2=20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
50. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
51. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+20+9=29.
52. Δ_z, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 43 − 29 = 14. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
53. z=144. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
54. 2·52+1·2+0·72=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
55. 1·52+2·2+1·72=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
56. 0·52+1·2+2·72=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
57. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=4 și am păstrat ordinea x, y, z.
58. Redactare pentru Bac: AX=B, A=, B=. Δ=4≠0, deci soluție unică. Δ_x=10; x=104=52. Δ_y=8; y=84=2. Δ_z=14; z=144=72. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns:
Exercițiul 61
Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Coeficienții necunoscutelor se așază pe linii, formând matricea A.
2. Necunoscutele se scriu într-o matrice coloană X, iar termenii liberi într-o matrice coloană B.
3. Înmulțirea AX reproduce exact membrii stângi ai ecuațiilor.
4. Răspuns final: da. Când A este inversabilă, soluția se scrie direct X = A⁻¹B.
Răspuns: da
Exercițiul 62
Rezolvă prin matricea inversă: 1x +1y = 7; 2x +1y = 10.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : (−1) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−2) : (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·7+1·10=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 2·7+(−1)·10=4. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Rezultatul este (3; 4). Verificăm AX=B, nu XA=B.
14. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 1·3+1·4=7, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
15. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 2·3+1·4=10, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
16. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
17. 1·3+1·4=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
18. 2·3+1·4=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Răspuns: Da
Exercițiul 63
Rezolvă prin matricea inversă: 2x +1y = 8; 1x −1y = 1.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. elementul (1,1) al inversei=-1/-3. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
7. elementul (1,2) al inversei=-1/-3. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
8. elementul (2,1) al inversei=-1/-3. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
9. elementul (2,2) al inversei=2/-3. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 13·8+13·1=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 13·8+(−23)·1=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Rezultatul este (3; 2). Verificăm AX=B, nu XA=B.
14. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·3+1·2=8, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
15. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·3+(−1)·2=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
16. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
17. 2·3+1·2=8 = 8. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
18. 1·3+(−1)·2=1 = 1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Răspuns: Da
Exercițiul 64
Determinantul sistemului x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 este 3m − 3. Determinați m.
Vezi rezolvarea
1. Din 3m−3=0 aflăm 3m: calculăm 0 + 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
2. Împărțim ambii membri la 3: calculăm 3 : 3 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
3. Rezultatul cerut este 1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 1
Exercițiul 65
Exercițiul 9 semi-ghidat · La ||, de ce nu putem calcula direct o valoare numerică?
Vezi rezolvarea
1. Două elemente ale matricei conțin litera m, deci determinantul va depinde de ea.
2. Dezvoltarea se face la fel ca la o matrice numerică, doar că păstrăm m ca simbol.
3. Rezultatul este o expresie, care abia apoi se egalează cu valoarea cerută.
4. Matricea este pătratică, de ordinul 3, deci determinantul există.
Răspuns: Pentru că matricea conține parametrul m, deci rezultatul este o expresie în m
Exercițiul 66
Știind că determinantul este −5m − 2, determinați m pentru care el este egal cu −12.
Vezi rezolvarea
1. Din −5m−2=−12 aflăm −5m: calculăm (-12) + 2 și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
2. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-10) : (-5) și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
3. Rezultatul cerut este 2. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 2
Exercițiul 67
Un sistem se poate rezolva cu formulele lui Cramer dacă determinantul lui este 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Formulele lui Cramer împart la determinantul sistemului, deci acesta trebuie să fie nenul.
2. Dacă determinantul este 0, împărțirea nu are sens.
3. În acel caz sistemul fie nu are soluție, fie are o infinitate, dar niciodată soluție unică.
4. Răspuns final: nu. Determinantul nenul este exact condiția ca sistemul să fie de tip Cramer.
Răspuns: nu
Exercițiul 68
Pentru ce m tripletul (2, 1, 3) este soluție a sistemului 2x − y + z = 6, x + y + mz = 3, x − (m + 1)y + z = 4?
Vezi rezolvarea
1. Înlocuim tripletul în ecuația care conține parametrul, a doua: 2 + 1 + 3m = 3.
2. Rezultă 3m = 0, deci m = 0.
3. Verificăm și în a treia ecuație, care conține tot parametrul: 2 − (0 + 1)·1 + 3 = 4 ✓.
4. Prima ecuație nu conține m: 4 − 1 + 3 = 6 ✓. Răspuns final: m = 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 69
Determinați m pentru care matricea nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. O matrice nu este inversabilă exact când determinantul ei este 0.
2. Calculăm: det = m·6 − 2·3 = 6m − 6.
3. Punem condiția 6m − 6 = 0.
4. Răspuns final: m = 1. Pentru m = 1 liniile devin proporționale.
Răspuns: 1
Exercițiul 70
Este perechea (1, 2) soluție a sistemului x + y = 3, 2x − y = 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. 1·1+1·2=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2. 2·1+(−1)·2=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
3. Rezultatul cerut este da. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: da
Exercițiul 71
A=. Ce valoare trebuie exclusă pentru Cramer?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțirea cu 1 păstrează m; acesta rămâne parametru.
2. Produsul diagonalei secundare: 1 · 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
3. Δ=m·1−1·2=m−2.
4. Mai întâi aflăm când Δ=0. Acea valoare este exclusă pentru inversă și pentru Cramer.
5. Din m−k=0 aflăm valoarea exclusă: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 2
Exercițiul 72
A=. Ce valoare trebuie exclusă pentru Cramer?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțirea cu 1 păstrează m; acesta rămâne parametru.
2. Produsul diagonalei secundare: 1 · 3 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
3. Δ=m·1−1·3=m−3.
4. Mai întâi aflăm când Δ=0. Acea valoare este exclusă pentru inversă și pentru Cramer.
5. Din m−k=0 aflăm valoarea exclusă: 3 : 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 73
Exercițiul 14 semi-ghidat · Când admite un sistem omogen și alte soluții în afară de cea banală?
Vezi rezolvarea
1. Un sistem omogen are întotdeauna soluția banală (0, 0, 0).
2. Dacă determinantul este nenul, sistemul este de tip Cramer, deci soluția este unică — și anume cea banală.
3. Prin urmare alte soluții pot apărea doar când determinantul se anulează.
4. Deci condiția căutată este det = 0.
Răspuns: Exact când determinantul sistemului este 0
Exercițiul 74
Un sistem omogen, cu toți termenii liberi nuli, are întotdeauna cel puțin o soluție? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Un sistem omogen are toate ecuațiile de forma … = 0.
2. Tripletul (0, 0, 0) verifică orice astfel de ecuație, pentru că toți termenii se anulează.
3. Se numește soluția banală și există întotdeauna.
4. Răspuns final: da. Întrebarea interesantă este dacă mai există și altele, iar asta depinde de determinant.
Răspuns: da
Exercițiul 75
Rezolvă sistemul omogen 1x +1y = 0; 2x +1y = 0.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
8. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
9. Înlocuim coloana 1 cu 0; 0; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
10. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·1=0.
11. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·0=0. Acest produs se va scădea.
12. Δ_x, principală minus secundară: 0 − 0 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. Aflăm x: 0 : (−1) = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
14. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
15. Înlocuim coloana 2 cu 0; 0; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
16. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·0=0.
17. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·2=0. Acest produs se va scădea.
18. Δ_y, principală minus secundară: 0 − 0 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
19. Aflăm y: 0 : (−1) = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
20. 1·0+1·0=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
21. 2·0+1·0=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
22. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-1 și am păstrat ordinea x, y.
Răspuns:
Exercițiul 76
Dacă determinantul matricei sistemului este nenul, matricea este inversabilă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este diferit de zero.
2. Este aceeași condiție care permite aplicarea formulelor lui Cramer.
3. Cele două afirmații sunt echivalente: sistem de tip Cramer înseamnă matrice inversabilă.
4. Răspuns final: da. Atunci soluția este unică și se scrie X = A⁻¹B.
Răspuns: da
Exercițiul 77
Sistemul 2x + y = 5, 4x + 2y = 10 are soluție unică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Calculăm determinantul: || = 4 − 4 = 0.
2. Determinantul fiind nul, sistemul nu este de tip Cramer.
3. Observăm că a doua ecuație este dublul primei, deci cele două ecuații spun același lucru.
4. Răspuns final: nu, sistemul are o infinitate de soluții.
Răspuns: nu
Exercițiul 78
Discută sistemul 1x +1y = 2; 2x +2y = 4.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
2. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
3. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Cramer ar cere împărțire la 0. Trebuie să studiem compatibilitatea separat; Δ=0 nu înseamnă automat lipsa soluțiilor.
8. Comparam 4 cu 2·2=4. Dacă sunt egale, ecuațiile sunt echivalente; dacă diferă, se contrazic.
9. Rămâne x+y=2. Perechile (2−t,t), t real, verifică sistemul.
Răspuns: O infinitate de soluții

Fișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic (20)

1. Determinant de ordin 2
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsul
7 · (−1) − (−3) · 4 = 5
2. Sistem 2×2 cu Cramer
Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.
Vezi răspunsul
Δ = 5, Δx = 10, Δy = 20, deci x = 2 și y = 4.
3. Determinant de ordin 3
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsul
−3
4. Condiția lui Cramer
Un sistem se poate rezolva cu formulele lui Cramer dacă determinantul lui este 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Nu: formulele lui Cramer cer determinant nenul.
5. Sistem 3×3
Rezolvați sistemul x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14.
Vezi răspunsul
x = 1, y = −3, z = −2 (Δ = −34)
6. Sistem cu coeficient nul
Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.
Vezi răspunsul
x = 2, y = 2, z = 1
7. Sistem cu termeni negativi
Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.
Vezi răspunsul
x = −2, y = −3, z = 1
8. Verificarea unei soluții
Pentru ce m tripletul (2, 1, 3) este soluție a sistemului 2x − y + z = 6, x + y + mz = 3, x − (m + 1)y + z = 4?
Vezi răspunsul
m = 0: din a doua ecuație, 2 + 1 + 3m = 3; a treia dă tot m = 0.
9. Determinant cu parametru
Determinați m real știind că || = −12.
Vezi răspunsul
Determinantul este −5m − 2, iar −5m − 2 = −12 dă m = 2.
10. Forma matriceală
Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da.
11. Matrice inversabilă
Dacă determinantul matricei sistemului este nenul, matricea este inversabilă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da.
12. Determinantul unui sistem
Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.
Vezi răspunsul
−7
13. Sistem omogen
Un sistem omogen, cu toți termenii liberi nuli, are întotdeauna cel puțin o soluție? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da: are cel puțin soluția banală (0, 0, 0).
14. Soluții nebanale
Determinați m pentru care sistemul omogen x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 admite și soluții nebanale.
Vezi răspunsul
Determinantul este 3m − 3, care se anulează pentru m = 1.
15. Determinant de ordin 2
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsul
3 · 4 − 1 · 2 = 10
16. Sistem 2×2
Rezolvați cu Cramer sistemul 2x + y = 7, x − y = 2.
Vezi răspunsul
Δ = −3, Δx = −9, Δy = −3, deci x = 3 și y = 1.
17. Matrice singulară
Determinați m pentru care matricea nu este inversabilă.
Vezi răspunsul
6m − 6 = 0, deci m = 1.
18. Sistem cu parametru
Sistemul 2x + y = 5, 4x + 2y = 10 are soluție unică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Nu: a doua ecuație este prima înmulțită cu 2, deci are o infinitate de soluții.
19. Verificarea unei soluții
Este perechea (1, 2) soluție a sistemului x + y = 3, 2x − y = 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da: 1 + 2 = 3 și 2 − 2 = 0.
20. Determinant de ordin 3 simplu
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsul
1 · 2 · 3 = 6

Recunoaștem matricele · grupa 12

Determinanți, matrice inversabile și metoda lui Cramer · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Din ecuații în matrice: A, X și B

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Exemplu rezolvat · alte date

Determinant 2×2: două produse și o scădere

Exemplu rezolvat · alte date

Determinant 3×3: Sarrus, cu primele două linii copiate

Exemplu rezolvat · alte date

Inversabilitate · grupa 12

Exemplu cu alte date

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Numărul de soluții · grupa 12

Exemplu cu alte date

Numărul de soluții · grupa 22

Exemplu cu alte date

Soluția este deja dată · o verificăm · grupa 11

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 12

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Cramer 2×2: toate matricele, calculele și verificarea

Exemplu rezolvat · alte date

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

Exemplu rezolvat · alte date

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

Exemplu rezolvat · alte date

Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral

Exemplu rezolvat · alte date

Metoda matricei inverse: X=A−1B, element cu element

Exemplu rezolvat · alte date

Parametrul: determinant și valorile critice

Exemplu rezolvat · alte date

Parametrul: determinant și valorile critice

Exemplu rezolvat · alte date

Parametrul: determinant și valorile critice

Exemplu rezolvat · alte date

Sistemul omogen: soluția zero și soluțiile nebanale

Exemplu rezolvat · alte date

Δ=0: verificăm compatibilitatea, fără împărțire

Exemplu rezolvat · alte date

Exerciții rezolvate din lecție (78)

Fișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic (20)

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element