Matrice, determinant și ecuații · nivel M4

Lecția M4 construiește temeinic operațiile cu matrice, determinantul de ordinul 2, matricele inversabile și ecuațiile matriceale.

Programa profilului Pedagogic include matricele inversabile și ecuațiile matriceale, deci fișa conține și exerciții de acest tip.

Cum citim și scriem o matrice

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. În această lecție scriem matricele pe linii, separate prin punct și virgulă: înseamnă prima linie a, b și a doua linie c, d. Folosește același format și când introduci răspunsul.

M₂,₃(ℝ): matrice cu 2 linii și 3 coloane

a_ij: elementul de pe linia i și coloana j

I₂ = — matricea unitate

O₂ = — matricea nulă

Egalitate: A = B ⇔ aceeași dimensiune și elemente egale pe aceleași poziții

Numără întotdeauna întâi liniile, apoi coloanele.
Adunarea și scăderea se fac numai între matrice de aceeași dimensiune.
Înmulțirea cu un scalar afectează fiecare element.

Produsul a două matrice

La produs nu se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții. Elementul din linia i și coloana j a produsului se obține combinând linia i a primei matrice cu coloana j a celei de-a doua.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B

Condiție: numărul de coloane al lui A = numărul de linii al lui B

A² = A·A, nu pătratul fiecărui element

A·I₂ = I₂·A = A

În general AB ≠ BA: produsul matricelor nu este comutativ.
Nu schimba ordinea factorilor într-o ecuație matricială.
Verifică dimensiunile înainte de a începe calculul.

Determinantul și inversa

det() = ad − bc

A este inversabilă ⇔ det(A) ≠ 0

A⁻¹ = (1ad − bc)·

det(AB) = det(A)·det(B), deci det(Aⁿ) = det(A)ⁿ

Pentru ordinul 2: det(kA) = k²·det(A)

Verifică det(A) ≠ 0 înainte de a scrie inversa.
La inversă, elementele de pe diagonala principală își schimbă locul, iar celelalte două își schimbă semnul.
O matrice cu determinantul 0 se numește singulară și nu are inversă.

Ecuații matriceale

Ordinea factorilor decide dacă inversa se pune la stânga sau la dreapta. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Din AX = B rezultă X = A⁻¹B (inversa la stânga)

Din XA = B rezultă X = BA⁻¹ (inversa la dreapta)

Ecuațiile cu adunare se rezolvă direct: X + A = B ⇒ X = B − A

Metoda identificării: notezi X = și egalezi elementele

Dacă matricea nu este inversabilă, folosește metoda identificării.
Când X apare de mai multe ori, dă factor comun cu grijă la poziția lui X.
Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · ecuație matricială fără inversă

Determinați X dacă 2X − = I₂.

1.Pasul 1 — identificăm tipul ecuației: apare o adunare și o înmulțire cu scalar, nu un produs de matrice.
2.Pasul 2 — izolăm termenul cu X, mutând matricea în membrul drept: 2X = + I₂.
3.Pasul 3 — scriem matricea unitate: I₂ = .
4.Pasul 4 — adunăm pe poziții: 1 + 1 = 2, 2 + 0 = 2, 0 + 0 = 0 și 3 + 1 = 4, deci 2X = .
5.Pasul 5 — împărțim fiecare element la 2: X = .
6.Pasul 6 — verificăm: 2X − = − = = I₂. Răspuns final: X = .

Algoritmul universal în 7 pași

Identifică dimensiunea: numără liniile și coloanele.
Verifică operația: adunare pe poziții sau produs linie cu coloană.
Pentru determinant, scrie ad − bc înainte de a înlocui numerele.
Pentru inversă, verifică mai întâi det(A) ≠ 0.
Pentru ecuații, păstrează ordinea factorilor când înmulțești cu inversa.
Pentru puteri, calculează A² și A³, caută tiparul, apoi justifică prin inducție.
Verifică: înmulțește A cu A⁻¹ sau înlocuiește rezultatul în relația inițială.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 27 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Citirea matriceiM4 · Pedagogic
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
Ex. 2EgalitateM4 · Pedagogic
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1,−4
Ex. 3AdunareM4 · Pedagogic
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 4ScădereM4 · Pedagogic
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 5Înmulțire cu scalarM4 · Pedagogic
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 6Matricea unitateM4 · Pedagogic
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 7ProdusM4 · Pedagogic
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 8Produs necomutativM4 · Pedagogic
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BA = (diferit de AB)
Ex. 9PutereM4 · Pedagogic
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² =
Ex. 10DeterminantM4 · Pedagogic
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
Ex. 11Determinant cu parametruM4 · Pedagogic
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
Ex. 12MixtM4 · Pedagogic
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = 2I₂
Ex. 13Combinație liniarăM4 · Pedagogic
Calculați 2A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2A − B = − =
Ex. 14EgalitateM4 · Pedagogic
Determinați x dacă = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 1 = 4, deci x = 3.
Ex. 15DeterminantM4 · Pedagogic
Calculați det().
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 · 2 − 1 · 2 = 4
Ex. 16Matrice singularăM4 · Pedagogic
Determinați m pentru care matricea este singulară.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Singulară înseamnă determinant nul: 2m − 2 = 0, deci m = 1.
Ex. 17PutereM4 · Pedagogic
Calculați A², unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² =
Ex. 18PutereM4 · Pedagogic
Arătați că A² = I₂ pentru A = . Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = I₂
Ex. 19Ecuație cu adunareM4 · Pedagogic
Determinați X dacă X + = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X = − =
Ex. 20Ecuație cu scalarM4 · Pedagogic
Determinați X dacă 2X = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X =
Ex. 21ProdusM4 · Pedagogic
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 22Familie de matriceM4 · Pedagogic
Pentru M(x) = , calculați M(2) + M(−2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(2) + M(−2) =
Ex. 23IdentitateM4 · Pedagogic
Pentru M(x) = , arătați că M(x)M(y) = M(x + y). Scrieți elementul de pe linia 2, coloana 1 al produsului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(x)M(y) = = M(x + y); elementul este x + y.
Ex. 24Ecuație matricialăM4 · Pedagogic
Determinați X dacă ·X = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X = · =
Ex. 61InversăM4 · Pedagogic
Calculați inversa matricei A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 1, deci A⁻¹ = .
Ex. 62Ecuație matricialăM4 · Pedagogic
Determinați X din AX = B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X = A⁻¹B = · =
Ex. 63InversabilitateM4 · Pedagogic
Determinați valorile lui m pentru care A = nu este inversabilă. Scrieți valorile separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m² − 1 = 0: 1, −1