Încărcăm partea curentă…

Vectori de la zero la aplicații Bac · nivel M2

Vectorul: o săgeată cu direcție, sens și lungime

Un vector este un segment pe care am ales un sens, adică o săgeată. Vectorul AB pleacă din A, numit originea, și ajunge în B, numit extremitatea. Ordinea literelor contează.

Orice vector are direcție (dreapta pe care stă), sens (încotro merge) și modul (lungimea lui). Vectorul BA stă pe aceeași dreaptă și are aceeași lungime, dar merge invers: BA = −AB.

ABCABBCAC
AB+BC=AC
Săgeata AB pleacă din A și se termină în B.

În viața reală

Săgețile de pe un indicator sau de pe harta metroului spun același lucru ca un vector: de unde pleci, încotro mergi și cât de departe.

De ținut minte

AB: pleacă din A, ajunge în B
BA = −AB

Exemplu cu alte date

Un vector pleacă din P și ajunge în Q. Cum îl scriem și cum scriem drumul înapoi?

  1. 1Prima literă este punctul de plecare, deci vectorul este PQ.
  2. 2Drumul înapoi pleacă din Q și ajunge în P: QP.
  3. 3QP are aceeași direcție și aceeași lungime, dar sens opus: QP = −PQ.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Vectori de la zero la aplicații Bac · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Vectorul: o săgeată cu direcție, sens și lungime

Un vector este un segment pe care am ales un sens, adică o săgeată. Vectorul AB pleacă din A, numit originea, și ajunge în B, numit extremitatea. Ordinea literelor contează.

Orice vector are direcție (dreapta pe care stă), sens (încotro merge) și modul (lungimea lui). Vectorul BA stă pe aceeași dreaptă și are aceeași lungime, dar merge invers: BA = −AB.

  • AB: pleacă din A, ajunge în B
  • BA = −AB

Exemplu cu alte date

Un vector pleacă din P și ajunge în Q. Cum îl scriem și cum scriem drumul înapoi?

  1. Prima literă este punctul de plecare, deci vectorul este PQ.
  2. Drumul înapoi pleacă din Q și ajunge în P: QP.
  3. QP are aceeași direcție și aceeași lungime, dar sens opus: QP = −PQ.

Regula triunghiului: două drumuri devin unul

Dacă al doilea vector pornește exact din punctul în care se termină primul, spunem că vectorii sunt consecutivi. Atunci îi putem lega unul după altul.

Suma lor este drumul direct de la primul punct la ultimul: AB + BC = AC. Regula funcționează în orice triunghi, nu doar în cel dreptunghic.

  • AB + BC = AC

Exemplu cu alte date

Cu ce este egală suma PQ + QR?

  1. Primul vector se termină în Q.
  2. Al doilea pornește tot din Q, deci vectorii sunt consecutivi.
  3. Drumul direct de la P la R: PQ + QR = PR.

Vectorul AB în coordonate: final minus inițial

Pentru A(x1, y1) și B(x2, y2), vectorul AB spune cât ne deplasăm pe orizontală și cât pe verticală. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: final minus inițial.

Vectorul BA are aceleași numere, cu semnele schimbate, pentru că merge în sens invers.

  • AB = (x2−x1, y2−y1)
  • BA = −AB

Exemplu cu alte date

Pentru P(2, −1) și Q(5, 3), calculează PQ și QP.

  1. PQ = (5 − 2, 3 − (−1)) = (3, 4).
  2. QP are semnele schimbate: QP = (−3, −4).
  3. Verificare: PQ + QP = (0, 0), adică drumul dus-întors.

Adunăm, scădem și înmulțim cu un număr

Vectorii dați prin coordonate se adună pe poziții: primele coordonate între ele, a doua cu a doua. La scădere procedăm la fel. Regula triunghiului în coordonate devine AC = AB + BC, iar BC = AC − AB.

Înmulțirea cu un număr k înmulțește ambele coordonate. Dacă k este negativ, săgeata își schimbă sensul; lungimea ei se înmulțește cu k fără semn.

  • u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
  • k·u = (k·u1, k·u2)

Exemplu cu alte date

Pentru u = (1, −2) și v = (3, 5), calculează u + v, v − u și −2u.

  1. u + v = (1 + 3, −2 + 5) = (4, 3).
  2. v − u = (3 − 1, 5 − (−2)) = (2, 7).
  3. −2u = (−2·1, −2·(−2)) = (−2, 4).

Modulul: cât de lungă e săgeata

Lungimea vectorului v = (v1, v2) se numește modul și se scrie |v|. Coordonatele sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar săgeata este ipotenuza: ridicăm coordonatele la pătrat, le adunăm și extragem radicalul.

Modulul nu este niciodată negativ. Versorii axelor sunt i = (1, 0) și j = (0, 1), iar v = p·i + q·j înseamnă chiar v = (p, q).

  • |v|2 = v12 + v22
  • i = (1, 0), j = (0, 1)

Exemplu cu alte date

Cât este lungimea vectorului w = 6i − 8j?

  1. w = 6·(1, 0) − 8·(0, 1) = (6, −8).
  2. |w|2 = 62 + (−8)2 = 36 + 64 = 100.
  3. |w| = √100 = 10.

Versorul: aceeași direcție, lungimea 1

Versorul unui vector v păstrează direcția și sensul lui, dar are lungimea 1. Îl obținem împărțind fiecare coordonată la modulul |v|.

Verificarea este mereu aceeași: modulul versorului trebuie să iasă 1. Semnele coordonatelor se păstrează. Vectorul zero (0, 0) nu are versor: modulul lui este 0 și nu putem împărți la 0.

  • e = v|v|
  • |e| = 1

Exemplu cu alte date

Află versorul vectorului w = (8, −6).

  1. |w| = 64 + 36 = √100 = 10.
  2. e = (810, −610) = (45, −35).
  3. Verificare: (45)2 + (−35)2 = 1625 + 925 = 1.

Versor cu o coordonată necunoscută

Un vector este versor când modulul lui este 1. Dacă o coordonată este necunoscută, scriem că suma pătratelor coordonatelor este 1 și rezolvăm ecuația.

Din ecuația k2 = un număr pozitiv obținem două valori, una pozitivă și una negativă. Enunțul spune pe care o păstrăm.

  • e = (k, q) versor ⇔ k2 + q2 = 1

Exemplu cu alte date

Află k < 0 astfel încât e = (12, k) să fie versor.

  1. (12)2 + k2 = 1, deci 14 + k2 = 1.
  2. k2 = 34, deci k = √32 sau k = −√32.
  3. Enunțul cere k < 0, deci k = −√32.

Versorul unui vector dat prin două puncte

Lucrăm în trei pași: calculăm vectorul (final minus inițial), apoi modulul lui, apoi împărțim fiecare coordonată la modul.

Dacă A și B sunt puncte diferite, versorul lui BA este opusul versorului lui AB: aceeași direcție, sens invers. Dacă punctele coincid, vectorul este zero și nu are versor.

  • vectorul → modulul → vectorul/modulul
  • versorul lui BA = −versorul lui AB

Exemplu cu alte date

Pentru P(0, 1) și Q(6, 9), află versorul lui PQ și al lui QP.

  1. PQ = (6, 8), iar |PQ| = 36 + 64 = 10.
  2. Versorul lui PQ este (610, 810) = (35, 45).
  3. Versorul lui QP este opusul: (−35, −45).

Vector normal și vector director

Pentru dreapta ax + by + c = 0, vectorul n = (a, b), format din coeficienții lui x și y, este perpendicular pe dreaptă: se numește vector normal. Termenul liber c nu intră în el.

Vectorul director merge de-a lungul dreptei. Îl obținem inversând coordonatele normalei și schimbând un semn: u = (b, −a). Verificăm că produsul scalar n·u este 0.

  • ax + by + c = 0: n = (a, b)
  • u = (b, −a)
  • n·u = 0

Exemplu cu alte date

Pentru dreapta x − 4y + 2 = 0, scrie un vector normal și un vector director.

  1. Coeficienții sunt a = 1 și b = −4, deci n = (1, −4).
  2. u = (b, −a) = (−4, −1).
  3. Verificare: 1·(−4) + (−4)·(−1) = −4 + 4 = 0.

Normala unitară: vectorul normal cu lungimea 1

Pentru dreapta ax + by + c = 0, normala n = (a, b) are de obicei altă lungime decât 1. Ca s-o facem unitară, o împărțim la modulul ei, exact ca la versor.

Există două normale unitare: n|n| și opusul ei. Oricare dintre ele este corectă.

  • n = (a, b)
  • n|n| are lungimea 1

Exemplu cu alte date

Află o normală unitară a dreptei 6x − 8y + 1 = 0.

  1. n = (6, −8), iar |n| = 36 + 64 = 10.
  2. n|n| = (610, −810) = (35, −45).
  3. Verificare: 925 + 1625 = 1.

Dreapta printr-un punct, cu vectorul normal dat

Dacă dreapta trece prin A(x0, y0) și are normala n = (a, b), ecuația ei este a(x − x0) + b(y − y0) = 0: pentru orice punct al dreptei, săgeata de la A la el este perpendiculară pe n.

Înlocuim, desfacem parantezele cu atenție la semne și adunăm termenii liberi. La final verificăm ecuația cu punctul dat.

  • a(x − x0) + b(y − y0) = 0

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin P(2, −1) cu normala n = (1, 3).

  1. 1·(x − 2) + 3·(y − (−1)) = 0, adică (x − 2) + 3(y + 1) = 0.
  2. Desfacem: x − 2 + 3y + 3 = 0.
  3. x + 3y + 1 = 0. Verificare cu P: 2 − 3 + 1 = 0.

Paralel sau perpendicular: comparăm normalele

Două drepte sunt paralele când normalele lor sunt proporționale: determinantul lor este 0. Un parametru dintr-o normală se află din aceeași proporție.

Două drepte sunt perpendiculare când normalele lor sunt perpendiculare: produsul lor scalar este 0.

  • paralele ⇔ a1b2 − b1a2 = 0
  • perpendiculare ⇔ a1a2 + b1b2 = 0

Exemplu cu alte date

Pentru d1: x + 2y − 3 = 0 și d2: 4x − 2y + 1 = 0, sunt dreptele paralele sau perpendiculare?

  1. n1 = (1, 2) și n2 = (4, −2).
  2. Determinantul: 1·(−2) − 2·4 = −10, nu 0, deci dreptele nu sunt paralele.
  3. Produsul scalar: 1·4 + 2·(−2) = 0, deci dreptele sunt perpendiculare.

Exerciții rezolvate din lecție (41)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pornim de la zero · Ce este un vector?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector este un segment orientat, adică un segment pe care alegem un sens.
    2. Săgeata ne arată originea, extremitatea și sensul deplasării.
    3. Vectorul are direcție, sens și modul (lungime).

    Răspuns: Un segment orientat

  2. Exercițiul 2

    Privește săgeata AB din desen. Care este originea vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. În scrierea AB, prima literă arată punctul de plecare.
    2. Vectorul AB pornește din A și ajunge în B.
    3. Prin urmare, originea lui AB este A.

    Răspuns: Punctul A

  3. Exercițiul 3

    Privește săgeata AB. Care este extremitatea vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul AB pornește din A și se termină în B.
    2. A este originea, iar B este extremitatea.
    3. Ordinea literelor păstrează exact traseul săgeții.

    Răspuns: Punctul B

  4. Exercițiul 4

    Ce relație există între vectorii AB și BA?

    Vezi rezolvarea
    1. AB și BA se află pe aceeași dreaptă, deci au aceeași direcție.
    2. Ei sunt parcurși în sensuri opuse.
    3. Au același modul și BA = −AB.

    Răspuns: Au aceeași direcție și sensuri opuse

  5. Exercițiul 5

    Regula triunghiului · Completează relația din desen: AB + BC = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Primul vector ne duce din A în B.
    2. Al doilea pornește exact din B și ne duce în C.
    3. Drumul direct de la punctul inițial A la punctul final C este AC.
    4. Regula triunghiului este AB + BC = AC.

    Răspuns: AC

  6. Exercițiul 6

    Când putem aplica direct regula triunghiului AB + BC = AC?

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii AB și BC sunt consecutivi deoarece primul ajunge în B, iar al doilea pleacă din B.
    2. Forma triunghiului și lungimile laturilor nu contează.
    3. Suma leagă punctul de plecare A de punctul final C.

    Răspuns: Când vectorii sunt consecutivi: primul se termină unde începe al doilea

  7. Exercițiul 7

    Primul calcul ușor · Pentru A(1, 2) și B(4, 6), care sunt coordonatele vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim AB = (xB − xA, yB − yA).
    2. Prima coordonată este 4 − 1 = 3.
    3. A doua coordonată este 6 − 2 = 4.
    4. Rezultă AB = (3, 4).

    Răspuns: (3, 4)

  8. Exercițiul 8

    Pentru aceleași puncte A(1, 2) și B(4, 6), care este vectorul BA?

    Vezi rezolvarea
    1. BA = (xA − xB, yA − yB).
    2. BA = (1 − 4, 2 − 6) = (−3, −4).
    3. Control: BA = −AB.

    Răspuns: (−3, −4)

  9. Exercițiul 9

    Calcul pe componente · Dacă AB = (2, 1) și BC = (3, −1), cât este AC?

    Vezi rezolvarea
    1. Regula triunghiului spune AB + BC = AC.
    2. Adunăm primele coordonate: 2 + 3 = 5.
    3. Adunăm a doua coordonată: 1 + (−1) = 0.
    4. Rezultă AC = (5, 0).

    Răspuns: (5, 0)

  10. Exercițiul 10

    Află vectorul lipsă · Dacă AB = (1, 2) și AC = (4, 7), cât este BC?

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la regula AB + BC = AC.
    2. Izolăm vectorul necunoscut: BC = AC − AB.
    3. BC = (4 − 1, 7 − 2) = (3, 5).

    Răspuns: (3, 5)

  11. Exercițiul 11

    Modulul unui vector · Cât este |v| pentru v = (3, 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula este |v| = v12 + v22.
    2. |v| = 32 + 42 = 9 + 16.
    3. |v| = √25 = 5.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Înmulțire cu un număr · Dacă u = (2, −1), cât este 2u?

    Vezi rezolvarea
    1. La înmulțirea cu un scalar, fiecare componentă se înmulțește cu acel număr.
    2. 2u = (2·2, 2·(−1)).
    3. Rezultă 2u = (4, −2).

    Răspuns: (4, −2)

  13. Exercițiul 13

    Dacă v = −2u, cum sunt vectorii u și v?

    Vezi rezolvarea
    1. Un multiplu scalar nenul păstrează direcția, deci vectorii sunt paraleli.
    2. Semnul minus inversează sensul.
    3. Factorul 2 dublează modulul: |v| = 2|u|.

    Răspuns: Paraleli, de sens opus, iar |v| = 2|u|

  14. Exercițiul 14

    Acum scrii singur · Dacă u = (2, 3) și v = (−1, 4), calculează u + v.

    Vezi rezolvarea
    1. u + v = (2 + (−1), 3 + 4).
    2. Prima coordonată este 1, iar a doua este 7.
    3. Răspuns final: u + v = (1, 7).

    Răspuns: (1, 7)

  15. Exercițiul 15

    Exercițiu independent · Pentru A(−2, 1) și B(3, 5), calculează vectorul AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (3 − (−2), 5 − 1).
    2. AB = (3 + 2, 4).
    3. Răspuns final: AB = (5, 4).

    Răspuns: (5, 4)

  16. Exercițiul 16

    Exercițiul 70 ghidat · Se cere un vector normal unitar al dreptei 3x + 4y − 5 = 0. Pasul 1: scrieți un vector normal al dreptei.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal se citește din coeficienții lui x și y.
    2. Aici a = 3 și b = 4.
    3. Rezultă n = (3, 4). Vectorul (−4, 3) ar fi un vector director.

    Răspuns: (3, 4)

  17. Exercițiul 17

    Pasul 2: ce înseamnă că un vector este unitar?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector unitar, numit și versor, are modulul egal cu 1.
    2. El indică numai direcția și sensul, nu și mărimea.
    3. Se obține împărțind vectorul la modulul său: e = v|v|.

    Răspuns: Are modulul egal cu 1

  18. Exercițiul 18

    Pasul 3: calculați modulul vectorului n = (3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. |n| = 32 + 42.
    2. |n| = 9 + 16 = √25.
    3. Rezultă |n| = 5.

    Răspuns: 5

  19. Exercițiul 19

    Pasul 4: scrieți vectorul normal unitar.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim fiecare coordonată la modul: n0 = (35, 45).
    2. Control: |n0| = 925 + 1625 = √1 = 1.
    3. Și opusul, (−35, −45), este vector normal unitar.
    4. Răspuns final: n0 = (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  20. Exercițiul 20

    Exercițiul 79 semi-ghidat · Se cere k > 0 astfel încât e = (k, 35) să fie versor. Ce ecuație scriem?

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este |e| = 1, adică k2 + (35)2 = 1.
    2. Ridicăm la pătrat: k2 + (35)2 = 1.
    3. Cum (35)2 = 925, obținem k2 + 925 = 1.

    Răspuns: k2 + 925 = 1

  21. Exercițiul 21

    Acum determinați valoarea lui k.

    Vezi rezolvarea
    1. Din k2 + 925 = 1 obținem k2 = 1 − 925 = 1625.
    2. Extragem radicalul: k = 45 sau k = −45.
    3. Condiția k > 0 păstrează numai k = 45.
    4. Răspuns final: k = 45.

    Răspuns: 45

  22. Exercițiul 22

    Exercițiul 78 semi-ghidat · Ce coordonate are vectorul v = 3i − 4j, unde i = (1, 0) și j = (0, 1)?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem v = 3·(1, 0) − 4·(0, 1).
    2. Obținem v = (3, 0) − (0, 4) = (3, −4).
    3. Coeficientul lui i dă prima coordonată, iar cel al lui j pe a doua, cu semnul lui.

    Răspuns: (3, −4)

  23. Exercițiul 23

    Acum calculați modulul |v|.

    Vezi rezolvarea
    1. |v| = 32 + (−4)2 = 9 + 16 = √25.
    2. Rezultă |v| = 5.
    3. Versorul lui v este (35, −45), adică (35)i − (45)j.
    4. Răspuns final: |v| = 5.

    Răspuns: 5

  24. Exercițiul 24

    Pentru dreapta d: 3x − 2y + 5 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru o dreaptă scrisă sub forma ax + by + c = 0, un vector normal este n = (a, b).
    2. Identificăm coeficienții: a = 3 și b = −2.
    3. Termenul liber c = 5 nu intră în vectorul normal.
    4. Răspuns final: n = (3, −2).

    Răspuns: (3, −2)

  25. Exercițiul 25

    Pentru dreapta d: 4x + y − 7 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal este format din coeficienții lui x și y.
    2. Aici a = 4, iar coeficientul lui y este 1, deoarece y = 1·y.
    3. Răspuns final: n = (4, 1).

    Răspuns: (4, 1)

  26. Exercițiul 26

    Pentru dreapta d: 2x + 3y − 1 = 0, scrieți un vector director.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal al dreptei este n = (2, 3).
    2. Un vector director este perpendicular pe normal: putem lua u = (b, −a) = (3, −2).
    3. Control: n·u = 2·3 + 3·(−2) = 6 − 6 = 0.
    4. Răspuns final: u = (3, −2); și u = (−3, 2) este corect.

    Răspuns: (3, −2)

  27. Exercițiul 27

    Arătați că u = (2, 5) este vector director al dreptei d: 5x − 2y + 1 = 0. Scrieți valoarea produsului scalar n·u, unde n este vectorul normal al dreptei.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal al dreptei este n = (5, −2).
    2. Calculăm produsul scalar: n·u = 5·2 + (−2)·5 = 10 − 10 = 0.
    3. Produsul scalar nul arată că u este perpendicular pe normal, deci paralel cu dreapta.
    4. Prin urmare u este vector director. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  28. Exercițiul 28

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și are vector normal n = (3, −4).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula dreptei prin punct cu normală dată: a(x − x0) + b(y − y0) = 0.
    2. Înlocuim: 3(x − 1) − 4(y − 2) = 0.
    3. Desfacem parantezele: 3x − 3 − 4y + 8 = 0.
    4. Răspuns final: 3x − 4y + 5 = 0.

    Răspuns: 3x − 4y + 5 = 0

  29. Exercițiul 29

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(−2, 1) și are vector normal n = (1, 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm a(x − x0) + b(y − y0) = 0.
    2. Înlocuim: 1·(x + 2) + 2·(y − 1) = 0.
    3. Desfacem: x + 2 + 2y − 2 = 0.
    4. Termenii liberi se reduc. Răspuns final: x + 2y = 0.

    Răspuns: x + 2y = 0

  30. Exercițiul 30

    Determinați a, știind că n = (a, 2) este vector normal al dreptei 3x + 6y − 1 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal al dreptei date este (3, 6).
    2. Doi vectori normali ai aceleiași drepte sunt proporționali.
    3. Scriem a3 = 26 = 13.
    4. Răspuns final: a = 1.

    Răspuns: a = 1

  31. Exercițiul 31

    Arătați că dreptele d1: 2x − y + 3 = 0 și d2: 4x − 2y − 5 = 0 sunt paralele. Scrieți valoarea n11·n22 − n12·n21, unde n1 și n2 sunt vectorii normali.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii normali sunt n1 = (2, −1) și n2 = (4, −2).
    2. Calculăm determinantul: 2·(−2) − (−1)·4 = −4 + 4 = 0.
    3. Determinantul nul arată că normalele sunt proporționale (n2 = 2·n1).
    4. Dreptele cu normale proporționale sunt paralele. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  32. Exercițiul 32

    Arătați că dreptele d1: 2x + y − 1 = 0 și d2: x − 2y + 3 = 0 sunt perpendiculare. Scrieți valoarea produsului scalar n1·n2.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii normali sunt n1 = (2, 1) și n2 = (1, −2).
    2. Produsul scalar: n1·n2 = 2·1 + 1·(−2) = 2 − 2 = 0.
    3. Normalele sunt perpendiculare, deci și dreptele sunt perpendiculare.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  33. Exercițiul 33

    Calculați modulul vectorului v = (3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula modulului: |v| = v12 + v22.
    2. Înlocuim: |v| = 32 + 42 = 9 + 16.
    3. |v| = √25.
    4. Răspuns final: |v| = 5.

    Răspuns: 5

  34. Exercițiul 34

    Determinați versorul vectorului v = (3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Versorul este e = v|v|, definit pentru v ≠ 0.
    2. Calculăm modulul: |v| = 32 + 42 = 5.
    3. Împărțim fiecare coordonată la 5: e = (35, 45).
    4. Control: |e| = 925 + 1625 = 1. Răspuns final: e = (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  35. Exercițiul 35

    Determinați versorul vectorului v = (−5, 12).

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm modulul: |v| = (−5)2 + 122 = 25 + 144 = √169 = 13.
    2. Împărțim fiecare coordonată la 13.
    3. Semnul minus se păstrează pe prima coordonată.
    4. Răspuns final: e = (−513, 1213).

    Răspuns: (−513, 1213)

  36. Exercițiul 36

    Determinați versorul vectorului v = (0, −7).

    Vezi rezolvarea
    1. Modulul este |v| = 02 + (−7)2 = 7.
    2. Împărțim: e = (07, −77).
    3. Vectorul are direcția axei Oy, cu sensul negativ.
    4. Răspuns final: e = (0, −1).

    Răspuns: (0, −1)

  37. Exercițiul 37

    Arătați că e = (√22, √22) este versor. Scrieți valoarea modulului |e|.

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector este versor dacă are modulul egal cu 1.
    2. Calculăm: |e| = (√22)2 + (√22)2.
    3. Fiecare pătrat este 24 = 12, deci |e| = 12 + 12 = √1.
    4. Răspuns final: |e| = 1, deci e este versor.

    Răspuns: 1

  38. Exercițiul 38

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Determinăm vectorul: AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).
    2. Calculăm modulul: |AB| = 32 + 42 = 5.
    3. Versorul este e = AB|AB| = (35, 45).
    4. Răspuns final: e = (35, 45).

    Răspuns: (35, 45)

  39. Exercițiul 39

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului BA.

    Vezi rezolvarea
    1. Atenție la ordine: BA = (1 − 4, 2 − 6) = (−3, −4).
    2. Modulul este |BA| = (−3)2 + (−4)2 = 5.
    3. Versorul este e = (−35, −45).
    4. Observă că versorul lui BA este opusul versorului lui AB. Răspuns final: e = (−35, −45).

    Răspuns: (−35, −45)

  40. Exercițiul 40

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(2, −1) și are vector normal unitar e = (35, 45).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm formula a(x − x0) + b(y − y0) = 0 cu a = 35 și b = 45.
    2. (35)(x − 2) + (45)(y + 1) = 0.
    3. Înmulțim toată egalitatea cu 5: 3(x − 2) + 4(y + 1) = 0.
    4. Desfacem: 3x − 6 + 4y + 4 = 0.
    5. Răspuns final: 3x + 4y − 2 = 0.

    Răspuns: 3x + 4y − 2 = 0

  41. Exercițiul 41

    Pentru A(−1,2), B(3,5), C(5,1), calculează vectorul AB+BC.

    Vezi rezolvarea
    1. AB=(4;3). Coordonate finale minus inițiale: (3−(−1),5−2)=(4,3).
    2. BC=(2;−4). (5−3,1−5)=(2,−4). Păstrăm semnul ordonatei.
    3. AB+BC=(6;−1)=AC. Adunăm coordonatele corespunzătoare: (4+2,3−4). Direct, AC=(5−(−1),1−2)=(6,−1).

    Răspuns: AB+BC=(6;−1)=AC

Fișa integrală · vectori normali, directori și versori (20)

  1. 61. Vector normal

    Pentru dreapta d: 3x − 2y + 5 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi răspunsul

    n = (3, −2) (coeficienții lui x și y)

  2. 62. Vector normal

    Pentru dreapta d: 4x + y − 7 = 0, scrieți un vector normal.

    Vezi răspunsul

    n = (4, 1)

  3. 63. Vector director

    Pentru dreapta d: 2x + 3y − 1 = 0, scrieți un vector director.

    Vezi răspunsul

    u = (3, −2) (perpendicular pe normala (2, 3); merge și (−3, 2)).

  4. 64. Vector director

    Arătați că u = (2, 5) este vector director al dreptei d: 5x − 2y + 1 = 0. Scrieți valoarea produsului scalar n·u, unde n este vectorul normal al dreptei.

    Vezi răspunsul

    n = (5, −2), iar n · u = 5 · 2 + (−2) · 5 = 0, deci u este paralel cu dreapta.

  5. 65. Dreaptă cu normală

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și are vector normal n = (3, −4).

    Vezi răspunsul

    3(x − 1) − 4(y − 2) = 0, adică 3x − 4y + 5 = 0.

  6. 66. Dreaptă cu normală

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(−2, 1) și are vector normal n = (1, 2).

    Vezi răspunsul

    (x + 2) + 2(y − 1) = 0, adică x + 2y = 0.

  7. 67. Parametru

    Determinați a, știind că n = (a, 2) este vector normal al dreptei 3x + 6y − 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    (a, 2) trebuie să fie proporțional cu (3, 6): a3 = 26, deci a = 1.

  8. 68. Paralelism

    Arătați că dreptele d1: 2x − y + 3 = 0 și d2: 4x − 2y − 5 = 0 sunt paralele. Scrieți valoarea n11·n22 − n12·n21, unde n1 și n2 sunt vectorii normali.

    Vezi răspunsul

    n1 = (2, −1), n2 = (4, −2): 2 · (−2) − (−1) · 4 = 0. Normalele sunt coliniare, iar dreptele nu coincid, deci sunt paralele.

  9. 69. Perpendicularitate

    Arătați că dreptele d1: 2x + y − 1 = 0 și d2: x − 2y + 3 = 0 sunt perpendiculare. Scrieți valoarea produsului scalar n1·n2.

    Vezi răspunsul

    n1 · n2 = 2 · 1 + 1 · (−2) = 0, deci dreptele sunt perpendiculare.

  10. 70. Normal unitar

    Determinați un vector normal unitar al dreptei 3x + 4y − 5 = 0.

    Vezi răspunsul

    (35, 45) (sau opusul lui, (−35, −45)).

  11. 71. Modul

    Calculați modulul vectorului v = (3, 4).

    Vezi răspunsul

    |v| = 9 + 16 = 5

  12. 72. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (3, 4).

    Vezi răspunsul

    (35, 45)

  13. 73. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (−5, 12).

    Vezi răspunsul

    |v| = 13, deci versorul este (−513, 1213).

  14. 74. Versor

    Determinați versorul vectorului v = (0, −7).

    Vezi răspunsul

    (0, −1)

  15. 75. Versor

    Arătați că e = (√22, √22) este versor. Scrieți valoarea modulului |e|.

    Vezi răspunsul

    |e| = 12 + 12 = 1, deci e este versor.

  16. 76. Versorul unei direcții

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 4), cu modulul 5: versorul este (35, 45).

  17. 77. Versorul unei direcții

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), determinați versorul vectorului BA.

    Vezi răspunsul

    (−35, −45)

  18. 78. Versorii axelor

    Se consideră versorii axelor i = (1, 0), j = (0, 1) și vectorul v = 3i − 4j. Determinați |v|.

    Vezi răspunsul

    v = (3, −4), deci |v| = 5.

  19. 79. Parametru

    Determinați k > 0 astfel încât e = (k, 35) să fie versor.

    Vezi răspunsul

    k2 + 925 = 1, deci k2 = 1625 și k = 45.

  20. 80. Mixt

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin A(2, −1) și are vector normal unitar e = (35, 45).

    Vezi răspunsul

    (35)(x − 2) + (45)(y + 1) = 0, adică 3x + 4y − 2 = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.