Coordonate, drepte și parametri · nivel M2

Lecția M2 combină formulele de bază cu ecuația dreptei și cu condițiile de coliniaritate, paralelism și perpendicularitate.

La condițiile cu parametru, scrie întâi vectorii, apoi condiția; abia la final rezolvă ecuația obținută.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).

Formulele de bază

Exercițiul 5 se rezolvă în reperul cartezian xOy. Nu ai nevoie de un desen perfect: citești coordonatele, alegi formula potrivită și lucrezi ordonat. La radicali, ține minte că întreaga sumă a pătratelor stă sub radical.

Vectorul AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) — final minus inițial

Distanța AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

Mijlocul M(x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

Capăt necunoscut: x₂ = 2x_m − x₁ și y₂ = 2y_m − y₁

Originea reperului este O(0, 0)

Ordinea punctelor contează la vector, dar nu și la distanță.
Folosește paranteze la coordonatele negative: (−3)² = 9, nu −9.
Distanța este întotdeauna un număr nenegativ.

Drepte, pantă și poziții relative

Panta prin două puncte: m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Dreapta prin punct cu pantă dată: y − y₀ = m(x − x₀)

Forma generală: ax + by + c = 0

Paralelism: m₁ = m₂, echivalent u₁v₂ − u₂v₁ = 0

Perpendicularitate: m₁·m₂ = −1, echivalent u·v = u₁v₁ + u₂v₂ = 0

Verifică întotdeauna ecuația obținută cu unul dintre punctele date.
Dacă cele două puncte au aceeași abscisă, dreapta este verticală și are ecuația x = constant, iar panta nu există.
Pe axa Ox punem y = 0, iar pe axa Oy punem x = 0.

Linii importante în triunghi

Programa profilului tău numește explicit liniile importante în triunghi, iar mediana este cea care apare cel mai des la exercițiul 5. Rezolvarea are întotdeauna doi pași.

Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC

Pasul 1: M(x_B + x_C2, y_B + y_C2)

Pasul 2: lungimea medianei este distanța AM

Nu confunda vârful din care pleacă mediana cu latura pe care se sprijină.
Pentru ecuația medianei, folosește punctele A și M ca pe două puncte oarecare.
Dacă A și M au aceeași abscisă, mediana este verticală.

Arii și coliniaritate

Aria cu determinant: A = |AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁|/2

Coliniaritate: AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁ = 0

Dacă o latură este orizontală sau verticală: A = bază × înălțime2

Aria și coliniaritatea folosesc același determinant: aria este jumătate din modulul lui.
Un determinant nul înseamnă triunghi degenerat, adică puncte coliniare.
Ambii vectori trebuie să plece din același vârf.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · intersecția cu axele și distanța

Dreapta 3x + 4y − 12 = 0 intersectează axele în A și B. Calculați AB.

1.Pasul 1 — traducem cerința: A este pe Ox, iar B este pe Oy.
2.Pasul 2 — pe axa Ox avem y = 0: 3x − 12 = 0, deci x = 4 și A(4, 0).
3.Pasul 3 — pe axa Oy avem x = 0: 4y − 12 = 0, deci y = 3 și B(0, 3).
4.Pasul 4 — scriem formula distanței: AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
5.Pasul 5 — înlocuim: AB = (0 − 4)² + (3 − 0)² = 16 + 9.
6.Pasul 6 — controlăm: AB = √25 = 5. Răspuns final: AB = 5.

Algoritmul universal în 6 pași

Notează punctele și identifică originea O(0, 0), dacă apare în enunț.
Tradu cerința: distanță, mijloc, mediană, dreaptă, normal, director sau versor.
Scrie formula înainte de a înlocui numerele; astfel reduci erorile de semn.
Folosește paranteze, mai ales la coordonate negative.
Simplifică radicalul, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Controlează: verifică punctul în ecuație, n·u = 0 sau |e| = 1, după caz.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1DistanțăM2 · Științe
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 3² + 4² = 5
Ex. 2MijlocM2 · Științe
Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(1, 1)
Ex. 3VectorM2 · Științe
Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (−5, 6)
Ex. 4DistanțăM2 · Științe
Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OA = 36 + 64 = 10
Ex. 5MijlocM2 · Științe
Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(4, −2)
Ex. 6Capăt necunoscutM2 · Științe
Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
B(5, 1): x_B = 2 · 2 − (−1) = 5, y_B = 2 · 3 − 5 = 1.
Ex. 7ColiniaritateM2 · Științe
Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.
Ex. 8MixtM2 · Științe
Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(2, 4), deci BC = 3² + 4² = 5.
Ex. 9MedianăM2 · Științe
În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.
Ex. 10Ecuația drepteiM2 · Științe
Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.
Ex. 11Punct pe dreaptăM2 · Științe
Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2a + 1 = 5, deci a = 2.
Ex. 12ParalelismM2 · Științe
Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB₁·CD₂ − AB₂·CD₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.
Ex. 37DistanțăM2 · Științe
Calculați distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 16 = √52 = 2√13
Ex. 38MedianăM2 · Științe
În triunghiul A(2, 4), B(−2, 2), C(4, −2), calculați lungimea medianei duse din A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui BC este (1, 0), deci mediana are 1 + 16 = √17.
Ex. 39ParametruM2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ pentru care distanța dintre A(a, 0) și B(3, 4) este 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(3 − a)² + 16 = 25, deci (3 − a)² = 9: a = 0 sau a = 6.
Ex. 40ColiniaritateM2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ astfel încât punctele A(1, 2), B(3, 6), C(a, 10) să fie coliniare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A și B sunt pe dreapta y = 2x, deci 10 = 2a și a = 5.
Ex. 41ParalelismM2 · Științe
Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât dreptele OB și AC să fie paralele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OB = (2, 4), AC = (3, a); 2a − 4 · 3 = 0, deci a = 6.
Ex. 42Ecuația drepteiM2 · Științe
Determinați ecuația dreptei care trece prin A(2, 3) și B(−1, 0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este 1, deci y = x + 1.
Ex. 43Intersecția cu axeleM2 · Științe
Dreapta d: 2x + 3y − 6 = 0 intersectează axele în A și B. Calculați AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(3, 0) și B(0, 2), deci AB = √13.
Ex. 44PerpendicularitateM2 · Științe
Scrieți ecuația dreptei care trece prin P(1, −2) și este perpendiculară pe d: 2x − y + 4 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d are panta 2, deci perpendiculara are panta −12: x + 2y + 3 = 0.
Ex. 45PerpendicularitateM2 · Științe
Arătați că triunghiul A(0, 0), B(4, 2), C(−1, 2) este dreptunghic în A. Scrieți valoarea produsului scalar AB·AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (4, 2), AC = (−1, 2); AB · AC = −4 + 4 = 0, deci unghiul din A este drept.
Ex. 46ArieM2 · Științe
Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Baza 6, înălțimea 4, deci aria = 12.
Ex. 47ParalelismM2 · Științe
Se consideră A(1, −1), B(5, 3), C(a, 2). Determinați a astfel încât AB ∥ OC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (4, 4), OC = (a, 2); 4 · 2 − 4 · a = 0, deci a = 2.
Ex. 48MedianăM2 · Științe
În triunghiul A(−2, 2), B(3, 0), C(4, 6), determinați ecuația medianei duse din B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui AC este (1, 4); mediana din B(3, 0): 2x + y − 6 = 0.