Încărcăm partea curentă…

Coordonate, drepte și parametri · nivel M2

Vectorul AB și distanța dintre două puncte

Vectorul AB descrie drumul de la A la B. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: «final minus inițial».

Scriem punctele A(x1, y1) și B(x2, y2). Diferența absciselor, x2 − x1, și diferența ordonatelor, y2 − y1, sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța AB este ipotenuza: adunăm pătratele lor, obținem AB2 și extragem radicalul. Pentru distanța de la originea O(0, 0) la A(x, y), diferențele sunt chiar coordonatele lui A.

Dacă sub radical rămâne un număr cu un factor pătrat perfect, îl scoatem în fața radicalului: √18 = 9·2 = 3√2.

În viața reală

Vectorul (3, 4) înseamnă „3 la dreapta, 4 în sus”, iar drumul în linie dreaptă are lungimea 5. Constructorii folosesc chiar triunghiul 3, 4, 5 ca să verifice un colț drept.

De ținut minte

AB = (x2−x1, y2−y1)
AB2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
OA = x2 + y2

Exemplu cu alte date

Pentru A(−1, 2) și B(2, 6), calculează vectorul AB și distanța AB.

-4-2246246xyAB
Segmentul ABDeplasări pe axe
Punctele cu coordonate cunoscute din enunț, cu aceeași unitate pe cele două axe. Coordonatele necunoscute se află prin calcul.

Deplasarea orizontală și cea verticală formează catetele. Segmentul dintre puncte este ipotenuza.

2/2
  1. 1Diferențele: 2 − (−1) = 3 și 6 − 2 = 4.
  2. 2Vectorul este AB = (3, 4).
  3. 3AB2 = 32 + 42 = 25, deci AB = √25 = 5.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Coordonate, drepte și parametri · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Vectorul AB și distanța dintre două puncte

Vectorul AB descrie drumul de la A la B. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: «final minus inițial».

Scriem punctele A(x1, y1) și B(x2, y2). Diferența absciselor, x2 − x1, și diferența ordonatelor, y2 − y1, sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța AB este ipotenuza: adunăm pătratele lor, obținem AB2 și extragem radicalul. Pentru distanța de la originea O(0, 0) la A(x, y), diferențele sunt chiar coordonatele lui A.

Dacă sub radical rămâne un număr cu un factor pătrat perfect, îl scoatem în fața radicalului: √18 = 9·2 = 3√2.

  • AB = (x2−x1, y2−y1)
  • AB2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
  • OA = x2 + y2

Exemplu cu alte date

Pentru A(−1, 2) și B(2, 6), calculează vectorul AB și distanța AB.

  1. Diferențele: 2 − (−1) = 3 și 6 − 2 = 4.
  2. Vectorul este AB = (3, 4).
  3. AB2 = 32 + 42 = 25, deci AB = √25 = 5.

Mijlocul unui segment și capătul necunoscut

Mijlocul unui segment se află la jumătatea drumului pe ambele direcții: abscisa lui este media aritmetică a absciselor capetelor, iar ordonata este media aritmetică a ordonatelor. Adunăm numerele cu semnul lor, apoi împărțim la 2.

Dacă știm mijlocul M și capătul A(x1, y1), aflăm celălalt capăt, B(x2, y2), din aceeași formulă: înmulțim cu 2 și scădem coordonata cunoscută. La final verificăm, calculând mijlocul lui AB.

  • M(x1 + x22, y1 + y22)
  • x2 = 2xM − x1
  • y2 = 2yM − y1

Exemplu cu alte date

M(0, 3) este mijlocul lui AB, iar A(−4, 1). Află B și verifică.

  1. x2 = 2·0 − (−4) = 4.
  2. y2 = 2·3 − 1 = 5, deci B(4, 5).
  3. Verificare: (−4 + 42, 1 + 52) = (0, 3).

Mijlocul, apoi distanța: mediana

Mediana din A unește vârful A cu mijlocul laturii opuse, BC. O calculăm în doi pași: întâi mijlocul M, apoi distanța AM.

La fel lucrăm când se cere distanța până la mijlocul unui segment. La final simplificăm radicalul, scoțând de sub el un pătrat perfect: √20 = 4·5 = 2√5.

  • M = mijlocul lui BC
  • AM = distanța de la A la M
  • a2·b = a√b

Exemplu cu alte date

În triunghiul A(0, 0), B(2, 4), C(4, 0), află lungimea medianei din A.

  1. Mijlocul lui BC: M(2 + 42, 4 + 02) = M(3, 2).
  2. AM = 32 + 22 = 9 + 4 = √13.
  3. 13 nu are un factor pătrat perfect, deci AM = √13.

Distanța dată, cu o coordonată necunoscută

Când distanța AB este dată, iar o coordonată este necunoscută, scriem formula distanței cu necunoscuta în ea. Ca să scăpăm de radical, ridicăm ambele părți la pătrat și lucrăm cu AB2.

De obicei ajungem la o ecuație de forma (a − 3)2 = 9. Un număr ridicat la pătrat dă 9 când numărul este 3 sau −3, deci apar două cazuri. Rezolvăm fiecare caz și verificăm valorile în enunț.

  • AB2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
  • t2 = 9 ⇒ t = 3 sau t = −3

Exemplu cu alte date

Distanța dintre A(a, 0) și B(1, 3) este 5. Află valorile lui a.

  1. (a − 1)2 + (0 − 3)2 = 25, deci (a − 1)2 + 9 = 25.
  2. (a − 1)2 = 16, deci a − 1 = 4 sau a − 1 = −4.
  3. a = 5 sau a = −3; ambele verifică enunțul.

Ecuația dreptei și punctele ei

Panta dreptei prin două puncte este diferența ordonatelor împărțită la diferența absciselor, în aceeași ordine. Cu panta și un punct A(x1, y1) scriem ecuația y − y1 = m(x − x1), apoi aducem totul într-o parte.

Un punct aparține dreptei dacă, înlocuind coordonatele lui în ecuație, obținem o egalitate adevărată. Punctul în care dreapta taie axa Ox are ordonata 0, deci punem y = 0; punctul de pe axa Oy are abscisa 0, deci punem x = 0.

  • m = y2 − y1x2 − x1
  • y − y1 = m(x − x1)
  • pe Ox: y = 0
  • pe Oy: x = 0

Exemplu cu alte date

Dreapta x + 2y − 4 = 0 taie axele în A și B. Află A și B.

  1. Pe Ox punem y = 0: x − 4 = 0, deci A(4, 0).
  2. Pe Oy punem x = 0: 2y − 4 = 0, deci B(0, 2).
  3. Verificare: 4 + 0 − 4 = 0 și 0 + 4 − 4 = 0.

Dreapta perpendiculară: panta, apoi ecuația

Ca să citim panta unei drepte scrise ax + by + c = 0, o aducem la forma y = mx + n, lăsându-l pe y singur într-o parte. Numărul din fața lui x este panta.

Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor este −1. Panta perpendicularei se obține întorcând fracția și schimbând semnul; apoi scriem ecuația prin punctul dat.

  • ax + by + c = 0 → y = mx + n
  • perpendiculare: m1·m2 = −1

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin P(0, 1), perpendiculară pe x − 3y + 3 = 0.

  1. 3y = x + 3, deci y = x3 + 1, iar panta este 13.
  2. Panta perpendicularei: (13)·m = −1, deci m = −3.
  3. y − 1 = −3x, adică 3x + y − 1 = 0.

Determinant sau produs scalar

Pentru vectorii u = (u1, u2) și v = (v1, v2), determinantul u1v2 − u2v1 (înmulțim în cruce și scădem) este 0 exact când vectorii sunt paraleli. Așa arătăm că două drepte sunt paralele sau, cu vectorii AB și AC, că trei puncte sunt coliniare.

Produsul scalar u1v1 + u2v2 (înmulțim pe poziții și adunăm) este 0 exact când vectorii sunt perpendiculari. Dacă apare un parametru, egalăm calculul potrivit cu 0 și rezolvăm ecuația.

  • u ∥ v ⇔ u1v2 − u2v1 = 0
  • u ⟂ v ⇔ u1v1 + u2v2 = 0
  • A, B, C coliniare ⇔ AB ∥ AC

Exemplu cu alte date

Pentru ce valoare a lui k sunt coliniare punctele A(1, 0), B(3, 2) și C(k, 5)?

  1. AB = (2, 2) și AC = (k − 1, 5).
  2. Determinantul: 2·5 − 2·(k − 1) = 10 − 2k + 2 = 12 − 2k.
  3. 12 − 2k = 0, deci k = 6.

Unghi drept și aria triunghiului

Triunghiul ABC este dreptunghic în A când vectorii AB și AC sunt perpendiculari, adică produsul lor scalar este 0. Produsul scalar înmulțește coordonatele pe poziții și adună rezultatele.

Dacă o latură stă pe axa Ox, o luăm ca bază. Înălțimea este distanța pe verticală de la al treilea vârf până la axă, adică ordonata lui, luată pozitiv. Aria este baza ori înălțimea, împărțit la 2.

  • u·v = u1v1 + u2v2
  • Aria = bază·înălțime2

Exemplu cu alte date

Pentru A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3), arată că unghiul A este drept și calculează aria.

  1. AB = (4, 0) și AC = (0, 3); AB·AC = 4·0 + 0·3 = 0, deci unghiul A este drept.
  2. Latura AB stă pe Ox și are lungimea 4.
  3. Înălțimea din C este ordonata lui C, 3.
  4. Aria = 4·32 = 6.

Ecuația unei mediane

Ecuația medianei din A este ecuația dreptei AM, unde M este mijlocul laturii BC. Aflăm M, calculăm panta dreptei AM cu formula pantei prin două puncte, apoi scriem ecuația prin A.

Dacă vârful și mijlocul au aceeași abscisă, numitorul pantei este 0: dreapta este verticală și are ecuația x = c, unde c este abscisa comună. Lungimea unui segment vertical este diferența ordonatelor.

  • M = mijlocul laturii opuse
  • m = y2 − y1x2 − x1
  • dreaptă verticală: x = c

Exemplu cu alte date

În triunghiul A(0, 0), B(4, 2), C(2, 6), scrie ecuația medianei din A.

  1. Mijlocul lui BC: M(4 + 22, 2 + 62) = M(3, 4).
  2. Panta dreptei AM: m = 4 − 03 − 0 = 43.
  3. y = (43)x; înmulțim cu 3: 3y = 4x, deci 4x − 3y = 0.

Exerciții rezolvate din lecție (30)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
    2. Diferențele sunt 4 − 1 = 3 și 6 − 2 = 4.
    3. AB = 32 + 42 = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: AB = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: M(x1 + x22, y1 + y22).
    2. Abscisa: xm = −2 + 42 = 1.
    3. Ordonata: ym = 3 − 12 = 1.
    4. Răspuns final: M(1, 1).

    Răspuns: (1, 1)

  3. Exercițiul 3

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1, y2 − y1), adică final minus inițial.
    2. Prima coordonată: −3 − 2 = −5.
    3. A doua coordonată: 5 − (−1) = 6.
    4. Răspuns final: AB = (−5, 6).

    Răspuns: (−5, 6)

  4. Exercițiul 4

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Formula scurtă: OA = x2 + y2.
    3. OA = 62 + 82 = 36 + 64 = √100.
    4. Răspuns final: OA = 10.

    Răspuns: 10

  5. Exercițiul 5

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Aplicăm formula mijlocului: C(0 + 82, 0 − 42).
    3. Răspuns final: C(4, −2).

    Răspuns: (4, −2)

  6. Exercițiul 6

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. Din xm = x1 + x22 obținem x2 = 2xm − x1 = 2·2 − (−1) = 5.
    2. Analog, y2 = 2ym − y1 = 2·3 − 5 = 1.
    3. Control: mijlocul lui A(−1, 5) și B(5, 1) este (−1 + 52, 5 + 12) = (2, 3).
    4. Răspuns final: B(5, 1).

    Răspuns: (5, 1)

  7. Exercițiul 7

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (2, 2) și AC = (4, 4).
    2. Determinantul este 2·4 − 2·4 = 8 − 8 = 0.
    3. Un determinant nul înseamnă vectori proporționali, deci AC = 2·AB.
    4. Prin urmare punctele A, B și C sunt coliniare. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Mai întâi determinăm C, mijlocul lui OA: C(0 + 42, 0 + 82) = C(2, 4).
    2. Aplicăm formula distanței: BC = (2 − 5)2 + (4 − 0)2.
    3. BC = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: BC = 5.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC.
    2. Mijlocul lui BC este M(2 + 62, 2 + 22) = M(4, 2).
    3. AM = (4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 16 + 4 = √20.
    4. Simplificăm radicalul: √20 = 2√5.
    5. Răspuns final: AM = 2√5.

    Răspuns: 2√5

  10. Exercițiul 10

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 6 − 23 − 1 = 42 = 2.
    2. Folosim ecuația prin punct cu pantă dată: y − 2 = 2(x − 1).
    3. Desfacem: y − 2 = 2x − 2, deci y = 2x.
    4. Răspuns final: 2x − y = 0.

    Răspuns: 2x − y = 0

  11. Exercițiul 11

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi rezolvarea
    1. Un punct aparține dreptei dacă îi verifică ecuația.
    2. Înlocuim x = a și y = 5: 5 = 2a + 1.
    3. 2a = 4, deci a = 2.
    4. Răspuns final: a = 2.

    Răspuns: a = 2

  12. Exercițiul 12

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (3, 2) și CD = (6, 4).
    2. Condiția de paralelism este u1v2 − u2v1 = 0.
    3. Obținem 3·4 − 2·6 = 12 − 12 = 0.
    4. Vectorii sunt proporționali (CD = 2·AB), deci AB ∥ CD. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  13. Exercițiul 13

    Calculați distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Diferențele sunt 4 − (−2) = 6 și 5 − 1 = 4.
    2. AB = 62 + 42 = 36 + 16 = √52.
    3. Simplificăm: √52 = 4·13 = 2√13.
    4. Răspuns final: AB = 2√13.

    Răspuns: 2√13

  14. Exercițiul 14

    În triunghiul A(2, 4), B(−2, 2), C(4, −2), calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul laturii BC este M(−2 + 42, 2 − 22) = M(1, 0).
    2. AM = (1 − 2)2 + (0 − 4)2 = (−1)2 + (−4)2.
    3. AM = 1 + 16 = √17, care nu se simplifică.
    4. Răspuns final: AM = √17.

    Răspuns: √17

  15. Exercițiul 15

    Exercițiul 39 semi-ghidat · Distanța dintre A(a, 0) și B(3, 4) este 5. Ce ecuație obținem după ridicarea la pătrat?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula distanței dă (a − 3)2 + (0 − 4)2 = 5.
    2. Sub radical avem (a − 3)2 + 16.
    3. Ridicăm ambii membri la pătrat: (a − 3)2 + 16 = 25.

    Răspuns: (a − 3)2 + 16 = 25

  16. Exercițiul 16

    Acum determinați valorile reale ale lui a.

    Vezi rezolvarea
    1. Din (a − 3)2 + 16 = 25 obținem (a − 3)2 = 9.
    2. Extragem radicalul: a − 3 = 3 sau a − 3 = −3.
    3. Rezultă a = 6 sau a = 0.
    4. Ambele valori verifică enunțul. Răspuns final: a ∈ {0, 6}.

    Răspuns: a ∈ {0, 6}

  17. Exercițiul 17

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât punctele A(1, 2), B(3, 6), C(a, 10) să fie coliniare.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (2, 4) și AC = (a − 1, 8).
    2. Condiția de coliniaritate este determinantul nul: 2·8 − 4·(a − 1) = 0.
    3. 16 − 4a + 4 = 0, deci 20 = 4a.
    4. Răspuns final: a = 5.

    Răspuns: a = 5

  18. Exercițiul 18

    Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât dreptele OB și AC să fie paralele.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii sunt OB = (2, 4) și AC = (5 − 2, a − 0) = (3, a).
    2. Condiția de paralelism este u1v2 − u2v1 = 0, adică 2·a − 4·3 = 0.
    3. 2a = 12, deci a = 6.
    4. Răspuns final: a = 6.

    Răspuns: a = 6

  19. Exercițiul 19

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(2, 3) și B(−1, 0).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 3 − 02 − (−1) = 33 = 1.
    2. Ecuația prin B(−1, 0): y − 0 = 1·(x + 1).
    3. Rezultă y = x + 1.
    4. Răspuns final: x − y + 1 = 0.

    Răspuns: x − y + 1 = 0

  20. Exercițiul 20

    Dreapta d: 2x + 3y − 6 = 0 intersectează axele în A și B. Calculați AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe axa Ox punem y = 0: 2x − 6 = 0, deci A(3, 0).
    2. Pe axa Oy punem x = 0: 3y − 6 = 0, deci B(0, 2).
    3. AB = (3 − 0)2 + (0 − 2)2 = 9 + 4.
    4. Răspuns final: AB = √13.

    Răspuns: √13

  21. Exercițiul 21

    Exercițiul 44 semi-ghidat · Dreapta d: 2x − y + 4 = 0. Ce pantă are o dreaptă perpendiculară pe d?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem d sub forma y = 2x + 4, deci panta lui d este m1 = 2.
    2. Condiția de perpendicularitate a două drepte este m1·m2 = −1.
    3. Rezultă 2·m2 = −1, deci m2 = −12.

    Răspuns: −12

  22. Exercițiul 22

    Acum scrieți ecuația dreptei perpendiculare care trece prin P(1, −2).

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația prin punct cu pantă dată: y + 2 = (−12)(x − 1).
    2. Înmulțim cu 2: 2y + 4 = −x + 1.
    3. Aducem la forma generală: x + 2y + 3 = 0.
    4. Verificare cu P(1, −2): 1 − 4 + 3 = 0. Răspuns final: x + 2y + 3 = 0.

    Răspuns: x + 2y + 3 = 0

  23. Exercițiul 23

    Arătați că triunghiul A(0, 0), B(4, 2), C(−1, 2) este dreptunghic în A. Scrieți valoarea produsului scalar AB·AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii care pleacă din A sunt AB = (4, 2) și AC = (−1, 2).
    2. Produsul scalar: AB·AC = 4·(−1) + 2·2 = −4 + 4 = 0.
    3. Produsul scalar nul înseamnă AB ⟂ AC.
    4. Prin urmare unghiul A este drept. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  24. Exercițiul 24

    Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Latura AB se află pe axa Ox și are lungimea 6.
    2. Înălțimea din C pe AB este ordonata lui C, adică 4.
    3. Aria = bază × înălțime2 = 6·42.
    4. Răspuns final: aria este 12.

    Răspuns: 12

  25. Exercițiul 25

    Se consideră A(1, −1), B(5, 3), C(a, 2). Determinați a astfel încât AB ∥ OC.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii sunt AB = (4, 4) și OC = (a, 2).
    2. Condiția de paralelism: 4·2 − 4·a = 0.
    3. 8 = 4a, deci a = 2.
    4. Răspuns final: a = 2.

    Răspuns: a = 2

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 48 ghidat · În triunghiul A(−2, 2), B(3, 0), C(4, 6). Pasul 1: de ce punct avem nevoie pentru mediana dusă din B?

    Vezi rezolvarea
    1. Latura opusă vârfului B este AC.
    2. Mediana din B unește B cu mijlocul laturii AC.
    3. Deci trebuie să determinăm întâi mijlocul lui AC.

    Răspuns: Mijlocul laturii AC

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: determinați mijlocul D al laturii AC, unde A(−2, 2) și C(4, 6).

    Vezi rezolvarea
    1. Abscisa: −2 + 42 = 1.
    2. Ordonata: 2 + 62 = 4.
    3. Rezultă D(1, 4).

    Răspuns: D(1, 4)

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: calculați panta dreptei BD, unde B(3, 0) și D(1, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm formula pantei: m = 4 − 01 − 3.
    2. m = 4−2 = −2.
    3. Panta negativă arată o dreaptă descrescătoare.

    Răspuns: m = −2

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: scrieți ecuația medianei din B, sub forma ax + by + c = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim ecuația prin punct cu pantă dată: y − 0 = −2(x − 3).
    2. Desfacem: y = −2x + 6.
    3. Aducem la forma generală: 2x + y − 6 = 0.
    4. Verificare cu D(1, 4): 2·1 + 4 − 6 = 0. Răspuns final: 2x + y − 6 = 0.

    Răspuns: 2x + y − 6 = 0

  30. Exercițiul 30

    A(1,2) și B(7,10). Află mijlocul M al segmentului AB și lungimea AB.

    Vezi rezolvarea
    1. M(1+72; 2+102)=M(4;6). Facem separat media aritmetică a absciselor și a ordonatelor.
    2. 7−1=6; 10−2=8. Scădem coordonatele lui A din cele ale lui B, nu pe ale mijlocului: abscisele între ele, ordonatele între ele.
    3. AB=62+82=10. Teorema lui Pitagora dă √100=10. Coordonatele mijlocului nu sunt lungimi ale catetelor pentru AB.

    Răspuns: AB=62+82=10

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (24)

  1. 1. Distanță

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 32 + 42 = 5

  2. 2. Mijloc

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi răspunsul

    M(1, 1)

  3. 3. Vector

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (−5, 6)

  4. 4. Distanță

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi răspunsul

    OA = 36 + 64 = 10

  5. 5. Mijloc

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi răspunsul

    C(4, −2)

  6. 6. Capăt necunoscut

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi răspunsul

    B(5, 1): xB = 2 · 2 − (−1) = 5, yB = 2 · 3 − 5 = 1.

  7. 7. Coliniaritate

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.

  8. 8. Mixt

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    C(2, 4), deci BC = 32 + 42 = 5.

  9. 9. Mediană

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.

  10. 10. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi răspunsul

    Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.

  11. 11. Punct pe dreaptă

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    2a + 1 = 5, deci a = 2.

  12. 12. Paralelism

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.

  13. 37. Distanță

    Calculați distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 5).

    Vezi răspunsul

    36 + 16 = √52 = 2√13

  14. 38. Mediană

    În triunghiul A(2, 4), B(−2, 2), C(4, −2), calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (1, 0), deci mediana are 1 + 16 = √17.

  15. 39. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ pentru care distanța dintre A(a, 0) și B(3, 4) este 5.

    Vezi răspunsul

    (3 − a)2 + 16 = 25, deci (3 − a)2 = 9: a = 0 sau a = 6.

  16. 40. Coliniaritate

    Determinați a ∈ ℝ astfel încât punctele A(1, 2), B(3, 6), C(a, 10) să fie coliniare.

    Vezi răspunsul

    A și B sunt pe dreapta y = 2x, deci 10 = 2a și a = 5.

  17. 41. Paralelism

    Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât dreptele OB și AC să fie paralele.

    Vezi răspunsul

    OB = (2, 4), AC = (3, a); 2a − 4 · 3 = 0, deci a = 6.

  18. 42. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(2, 3) și B(−1, 0).

    Vezi răspunsul

    Panta este 1, deci y = x + 1.

  19. 43. Intersecția cu axele

    Dreapta d: 2x + 3y − 6 = 0 intersectează axele în A și B. Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    A(3, 0) și B(0, 2), deci AB = √13.

  20. 44. Perpendicularitate

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin P(1, −2) și este perpendiculară pe d: 2x − y + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    d are panta 2, deci perpendiculara are panta −12: x + 2y + 3 = 0.

  21. 45. Perpendicularitate

    Arătați că triunghiul A(0, 0), B(4, 2), C(−1, 2) este dreptunghic în A. Scrieți valoarea produsului scalar AB·AC.

    Vezi răspunsul

    AB = (4, 2), AC = (−1, 2); AB · AC = −4 + 4 = 0, deci unghiul din A este drept.

  22. 46. Arie

    Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4).

    Vezi răspunsul

    Baza 6, înălțimea 4, deci aria = 12.

  23. 47. Paralelism

    Se consideră A(1, −1), B(5, 3), C(a, 2). Determinați a astfel încât AB ∥ OC.

    Vezi răspunsul

    AB = (4, 4), OC = (a, 2); 4 · 2 − 4 · a = 0, deci a = 2.

  24. 48. Mediană

    În triunghiul A(−2, 2), B(3, 0), C(4, 6), determinați ecuația medianei duse din B.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui AC este (1, 4); mediana din B(3, 0): 2x + y − 6 = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.