Probabilități, divizibilitate și cifre · nivel M4

Lecția M4 construiește pas cu pas numărarea explicită: mulțimea de cazuri, condiția tradusă în șiruri de numere și raportul simplificat.

Redactează întotdeauna cazurile posibile, cazurile favorabile și fracția simplificată; baremul acordă puncte pentru fiecare etapă.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

P(E) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile = |E|/|Ω|

Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90

Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)

Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …

Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}

Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1

Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · rest la împărțire

Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie 2.

1.Pasul 1 — scriem Ω: mulțimea A conține numerele de la 1 la 30, deci |Ω| = 30 − 1 + 1 = 30.
2.Pasul 2 — traducem condiția: n dă restul 2 la împărțirea cu 5, adică n = 5k + 2.
3.Pasul 3 — enumerăm favorabilele: 2, 7, 12, 17, 22 și 27, un șir cu pasul 5.
4.Pasul 4 — numărăm: 27 − 25 + 1 = 6 cazuri favorabile.
5.Pasul 5 — formăm raportul: P = 630.
6.Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Mulțime datăM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.
Ex. 2MultipliM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Ex. 3IntervalM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.
Ex. 4InegalitateM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de o cifră din mulțimea {1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
49: 6, 7, 8, 9.
Ex. 5Mulțime datăM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
35: 2, 8, 14.
Ex. 6Pătrate perfecteM4 · Pedagogic
Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.
Ex. 7CifreM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 10, 20, …, 90.
Ex. 8InegalitateM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Ex. 9RestM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.
Ex. 10Numărare directăM4 · Pedagogic
Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
310: litera A apare de 3 ori din 10.
Ex. 11Numere primeM4 · Pedagogic
Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 = 12: 2, 3, 5.
Ex. 12MixtM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x² ≤ 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.
Ex. 13MultipliM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 13.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
790: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.
Ex. 14RestM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1050 = 15: 4, 9, 14, …, 49.
Ex. 15IntervalM4 · Pedagogic
Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n + 2 să aparțină mulțimii A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
620 = 310: 3n + 2 ≤ 19 dă n ≤ 5.
Ex. 16MultipliM4 · Pedagogic
Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
410 = 25: 0, 3, 6, 9.
Ex. 17MultipliM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 11.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 11, 22, …, 99.
Ex. 18Cuburi perfecteM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie cub perfect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
290 = 145: 27 și 64.
Ex. 19ModulM4 · Pedagogic
Din A = {0, 1, 2, …, 10} se alege n. Calculați probabilitatea ca |2n − 3| ≤ 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
511: |2n − 3| ≤ 5 dă −1 ≤ n ≤ 4, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.
Ex. 20DivizoriM4 · Pedagogic
Din mulțimea A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 60.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1140: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.
Ex. 21CifreM4 · Pedagogic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să fie egale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 11, 22, …, 99.
Ex. 22RestM4 · Pedagogic
Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 6 să fie 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
425: 1, 7, 13, 19.
Ex. 23DivizibilitateM4 · Pedagogic
Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca 5n + 1 să fie divizibil cu 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1030 = 13: 5n + 1 se împarte la 3 exact când n dă restul 1 la împărțirea la 3.
Ex. 24ReuniuneM4 · Pedagogic
Din A = {1, 2, …, 36} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4 sau cu 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1236 = 13: 9 multipli de 4, 4 multipli de 9, iar 36 se numără de două ori.