M4 · Pedagogic⏱ 3 sesiuni
M4·P

Teorie înainte de exerciții

Probabilități, divizibilitate și cifre · nivel M4

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

1

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

De ținut minte

P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. 1B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. 2Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. 3Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități, divizibilitate și cifre · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lecția M4 construiește pas cu pas numărarea explicită: mulțimea de cazuri, condiția tradusă în șiruri de numere și raportul simplificat.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

  • P(E) = numărul cazurilor favorabilenumărul cazurilor posibile = |E||Ω|
  • Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente
  • Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90
  • Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
  • Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
  • Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

  • Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)
  • Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …
  • Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}
  • Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1
  • Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
  • Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
  • La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · rest la împărțire

Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie 2.

  1. Pasul 1 — scriem Ω: mulțimea A conține numerele de la 1 la 30, deci |Ω| = 30 − 1 + 1 = 30.
  2. Pasul 2 — traducem condiția: n dă restul 2 la împărțirea cu 5, adică n = 5k + 2.
  3. Pasul 3 — enumerăm favorabilele: 2, 7, 12, 17, 22 și 27, un șir cu pasul 5.
  4. Pasul 4 — numărăm: 27 − 25 + 1 = 6 cazuri favorabile.
  5. Pasul 5 — formăm raportul: P = 630.
  6. Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

  • Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
  • Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
  • Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
  • Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
  • Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
  • Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.

Cum numărăm numerele de două cifre

Numerele de două cifre sunt de la 10 la 99. Totalul este 99−10+1=90; zero nu este număr de două cifre. Dacă numărăm multipli, scriem primul și ultimul care se încadrează, apoi îi numărăm fără să-l includem pe următorul cu trei cifre.

După ce aflăm totalul și cazurile favorabile, formăm fracția și o simplificăm. Două fracții echivalente sunt același răspuns, chiar dacă sunt scrise diferit.

  • Totalul numerelor de două cifre = 90
  • P = favorabile90

Alt exemplu, rezolvat complet

Alegem un număr de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de 7?

  1. De la 10 la 99 sunt 90 de numere de două cifre.
  2. Multiplii lui 7 sunt 14,21,…,98. De la 7·2 la 7·14 sunt 14−2+1=13 numere.
  3. Probabilitatea este 1390. Numărătorul și numitorul nu au divizor comun mai mare decât 1.

Intervale, zero și șiruri cu pas constant

Mulțimea {a,a+1,…,b} are b−a+1 numere, fiindcă le numărăm pe ambele capete. Dacă a=0, zero intră în total și poate fi și caz favorabil.

Transformăm mai întâi condiția într-o listă de valori permise. Un rest fix la împărțire produce un șir cu pas constant; o inegalitate ne spune unde începe și unde se termină lista.

  • Număr de valori de la a la b = b−a+1
  • P = favorabileposibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={0,1,…,12} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 4?

  1. Mulțimea are 12−0+1=13 elemente, deci 13 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 4 din B sunt 0,4,8,12. Îl includem și pe 0: patru cazuri favorabile.
  3. Probabilitatea este 413, o valoare între 0 și 1.

Cum numărăm multiplii și resturile

Mai întâi scriem intervalul din care alegem numărul. Apoi găsim primul număr care respectă condiția și adăugăm același pas până la ultimul număr permis.

Nu includem numărul imediat următor dacă iese din interval. Pentru restul r la împărțirea cu d, începem cu r, apoi adăugăm d de fiecare dată.

Alt exemplu, rezolvat complet

Alegem un număr din {1,2,…,15}. Care este probabilitatea să lase restul 2 la împărțirea cu 5?

  1. Sunt 15 cazuri posibile.
  2. Valorile cu restul 2 sunt 2,7,12: trei cazuri favorabile.
  3. Scriem 315 și simplificăm prin 3: probabilitatea este 15.

Dintr-o inegalitate la lista valorilor permise

Rezolvăm inegalitatea ca să aflăm între ce valori se poate afla numărul. Verificăm separat dacă marginile sunt incluse: semnul ≤ le include, semnul < nu le include.

Apoi păstrăm numai numerele din mulțimea problemei și le numărăm. Nu împărțim la total înainte să știm câte valori sunt favorabile.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {0,1,…,9} alegem n. Care este probabilitatea ca n+2≤5?

  1. Scădem 2 și obținem n≤3.
  2. Valorile permise sunt 0,1,2,3: patru din cele 10 valori ale mulțimii.
  3. Probabilitatea este 410=25.

Divizori și cifre: numărăm doar ce este permis

La divizori, scriem lista completă și eliminăm elementele care nu se află în mulțimea dată. La numere de două cifre, cifra zecilor nu poate fi 0.

Condiții precum «exact una» cer să împărțim în cazuri care nu se suprapun. Dacă două liste se suprapun, scădem elementele numărate de două ori.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {1,2,…,12} alegem un divizor al lui 18. Care este probabilitatea?

  1. Sunt 12 cazuri posibile.
  2. Divizorii lui 18 din mulțime sunt 1,2,3,6,9; 18 nu este în mulțime.
  3. Sunt cinci cazuri favorabile, deci probabilitatea este 512.

«Sau» înseamnă reunirea a două liste

Numărăm valorile din prima listă și valorile din a doua listă. Dacă o valoare apare în ambele, am numărat-o de două ori și trebuie să o scădem o dată.

Abia după acest pas împărțim numărul cazurilor favorabile la totalul cazurilor posibile.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {1,2,…,12} alegem un număr divizibil cu 2 sau cu 3. Care este probabilitatea?

  1. Multiplii lui 2 sunt 6, iar ai lui 3 sunt 4.
  2. Multiplii ambelor numere sunt 6 și 12, adică două valori numărate de două ori.
  3. Cazuri favorabile: 6+4−2=8. Probabilitatea este 812=23.

Exerciții rezolvate din lecție (34)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 9.
    2. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12; dintre ei se află în A numerele 1, 2, 3, 4 și 6.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 59, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 59

  2. Exercițiul 2

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 99 − 10 + 1 = 90 de cazuri posibile.
    2. Multiplii lui 15 de două cifre sunt 15, 30, 45, 60, 75 și 90: 6 cazuri favorabile.
    3. P = 690.
    4. Simplificăm prin 6: P = 115.

    Răspuns: 115

  3. Exercițiul 3

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 20 − 0 + 1 = 21 de elemente.
    2. Numerele pare sunt 0, 2, 4, …, 20; sunt 11, deoarece includem și 0.
    3. P = 1121.
    4. Atenție: numărul 0 este par și nu trebuie omis.

    Răspuns: 1121

  4. Exercițiul 4

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 0 este natural și se scrie cu o cifră. Cazuri posibile: 10 numere, de la 0 la 9.
    2. Numerele mai mari decât 5 sunt 6, 7, 8 și 9: 4 cazuri favorabile.
    3. Valoarea 5 nu se include, pentru că cerința este strictă.
    4. P = 410 = 25. Reține: avem 10 numere naturale de o cifră, 90 de două cifre și 900 de trei cifre.

    Răspuns: 25

  5. Exercițiul 5

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 5.
    2. Numerele pare din A sunt 2, 8 și 14: 3 cazuri favorabile.
    3. P = 35.

    Răspuns: 35

  6. Exercițiul 6

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30.
    2. Pătratele perfecte până la 30 sunt 1, 4, 9, 16 și 25, adică 12, 22, 32, 42 și 52.
    3. Avem 5 cazuri favorabile, deoarece 62 = 36 > 30.
    4. P = 530 = 16.

    Răspuns: 16

  7. Exercițiul 7

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Numerele cu cifra unităților 0 sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri favorabile.
    3. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  8. Exercițiul 8

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Rezolvăm condiția: 2n + 1 < 12 ⇔ 2n < 11 ⇔ n < 112 = 5,5.
    3. Valorile naturale favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    4. P = 610 = 35.

    Răspuns: 35

  9. Exercițiul 9

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Numerele cu restul 2 la împărțirea cu 4 formează șirul 2, 6, 10, 14, 18, cu pasul 4.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 520 = 14.

    Răspuns: 14

  10. Exercițiul 10

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi rezolvarea
    1. Cuvântul MATEMATICA are 10 poziții, considerate cazuri egal posibile.
    2. Litera A apare pe pozițiile 2, 6 și 10, deci de 3 ori.
    3. P = 310.

    Răspuns: 310

  11. Exercițiul 11

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi rezolvarea
    1. Rezultatele posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6.
    2. Numerele prime dintre ele sunt 2, 3 și 5; numărul 1 nu este prim.
    3. P = 36 = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 7.
    2. Condiția x2 ≤ 4 este echivalentă cu −2 ≤ x ≤ 2.
    3. Valorile favorabile din A sunt −2, −1, 0, 1 și 2: 5 cazuri.
    4. P = 57.

    Răspuns: 57

  13. Exercițiul 13

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 13.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Multiplii lui 13 de două cifre sunt 13, 26, 39, 52, 65, 78 și 91: 7 cazuri favorabile.
    3. Următorul multiplu, 104, are trei cifre.
    4. P = 790; fracția nu se mai simplifică.

    Răspuns: 790

  14. Exercițiul 14

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 50.
    2. Numerele cu restul 4 la împărțirea cu 5 sunt 4, 9, 14, …, 49, cu pasul 5.
    3. Numărul lor este 49 − 45 + 1 = 10.
    4. P = 1050 = 15.

    Răspuns: 15

  15. Exercițiul 15

    Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n + 2 să aparțină mulțimii A.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20 de numere.
    2. Cerem 3n + 2 ≤ 19, deoarece cel mai mare element al mulțimii A este 19.
    3. Rezultă 3n ≤ 17, deci n ≤ 173 ≈ 5,67.
    4. Valorile favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    5. P = 620 = 310.

    Răspuns: 310

  16. Exercițiul 16

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Multiplii lui 3 din mulțime sunt 0, 3, 6 și 9; numărul 0 este multiplu al oricărui număr.
    3. Avem 4 cazuri favorabile.
    4. P = 410 = 25.

    Răspuns: 25

  17. Exercițiul 17

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 11.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Multiplii lui 11 de două cifre sunt 11, 22, 33, …, 99: 9 cazuri favorabile.
    3. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  18. Exercițiul 18

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie cub perfect.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Cuburile perfecte de două cifre sunt 27 = 33 și 64 = 43.
    3. Valorile 13 = 1 și 53 = 125 nu au două cifre, deci avem 2 cazuri favorabile.
    4. P = 290 = 145.

    Răspuns: 145

  19. Exercițiul 19

    Exercițiul 19 semi-ghidat · Din A = {0, 1, …, 10} se alege n. Ce inegalitate dublă obținem din |2n − 3| ≤ 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem −5 ≤ 2n − 3 ≤ 5.
    2. Adunăm 3 în toate membrele: −2 ≤ 2n ≤ 8.
    3. Împărțim la 2: −1 ≤ n ≤ 4.

    Răspuns: −1 ≤ n ≤ 4

  20. Exercițiul 20

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 19.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 11.
    2. Din −1 ≤ n ≤ 4 și n ∈ A rămân valorile 0, 1, 2, 3 și 4: 5 cazuri favorabile.
    3. Valoarea −1 nu aparține mulțimii A, deci nu se numără.
    4. P = 511.

    Răspuns: 511

  21. Exercițiul 21

    Exercițiul 20 semi-ghidat · Din A = {1, 2, …, 40} se alege n. Câți divizori ai lui 60 se află în A?

    Vezi rezolvarea
    1. Divizorii lui 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60, adică 12 numere.
    2. Din ei, 60 nu se află în A = {1, …, 40}.
    3. Rămân 11 divizori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 și 30.

    Răspuns: 11

  22. Exercițiul 22

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 20.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 40; cazuri favorabile: 11.
    2. P = 1140.
    3. Fracția nu se simplifică, deoarece 11 este prim și nu divide 40.

    Răspuns: 1140

  23. Exercițiul 23

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să fie egale.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Numerele cu cifre egale sunt 11, 22, 33, …, 99: 9 cazuri favorabile.
    3. Numărul 00 nu este număr de două cifre, pentru că cifra zecilor nu poate fi 0.
    4. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  24. Exercițiul 24

    Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 6 să fie 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 24 − 0 + 1 = 25.
    2. Numerele cu restul 1 la împărțirea cu 6 sunt 1, 7, 13 și 19; următorul ar fi 25, care depășește mulțimea.
    3. Avem 4 cazuri favorabile.
    4. P = 425.

    Răspuns: 425

  25. Exercițiul 25

    Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca 5n + 1 să fie divizibil cu 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30.
    2. Cerem 5n + 1 să fie multiplu de 3. Verificăm resturile: pentru n = 1 obținem 6, divizibil cu 3.
    3. Din 3 în 3 proprietatea se repetă, deci numerele favorabile sunt 1, 4, 7, …, 28.
    4. Numărul lor este 28 − 13 + 1 = 10.
    5. P = 1030 = 13.

    Răspuns: 13

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 24 ghidat · Din A = {1, 2, …, 36} se alege n. Pasul 1: câte cazuri posibile avem?

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea A conține numerele naturale de la 1 la 36.
    2. Aplicăm formula b − a + 1 = 36 − 1 + 1 = 36.
    3. Așadar |Ω| = 36 de cazuri posibile.

    Răspuns: 36

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: câți multipli de 4 se află în A = {1, 2, …, 36}?

    Vezi rezolvarea
    1. Multiplii de 4 din A sunt 4, 8, 12, …, 36.
    2. Numărul lor este 36 : 4 = 9.
    3. Avem 9 multipli de 4.

    Răspuns: 9

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: câți multipli de 9 se află în A?

    Vezi rezolvarea
    1. Multiplii de 9 din A sunt 9, 18, 27 și 36.
    2. Numărul lor este 36 : 9 = 4.
    3. Avem 4 multipli de 9.

    Răspuns: 4

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: numărul 36 este divizibil atât cu 4, cât și cu 9. Cum evităm să îl numărăm de două ori?

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 36 apare atât între multiplii de 4, cât și între multiplii de 9.
    2. Dacă adunăm direct 9 + 4 = 13, el este numărat de două ori.
    3. Scădem o singură dată cazul comun: 9 + 4 − 1 = 12 cazuri favorabile.

    Răspuns: Scădem 1 din suma 9 + 4

  30. Exercițiul 30

    Pasul 5: scrie probabilitatea finală, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 36; cazuri favorabile: 12.
    2. P = 1236.
    3. Simplificăm prin 12: P = 13.
    4. Verificare: 0 ≤ 13 ≤ 1, deci rezultatul este plauzibil.

    Răspuns: 13

  31. Exercițiul 31

    Alegem la întâmplare un număr natural de o cifră. Care este probabilitatea ca n2<20?

    Vezi rezolvarea
    1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: 10 cazuri. 0 este natural și se scrie cu o cifră. Nu îl omitem.
    2. 0,1,2,3,4: 5 cazuri. 42=16<20, dar 52=25>20. Și 02<20.
    3. P=510=12. Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile, presupuse echiprobabile.

    Răspuns: P=510=12

  32. Exercițiul 32

    Din A = {0, 1, 2, …, 10} se alege n. Calculați probabilitatea ca |2n − 3| ≤ 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 11.
    2. Inegalitatea cu modul se scrie −5 ≤ 2n − 3 ≤ 5.
    3. Adunăm 3: −2 ≤ 2n ≤ 8, apoi împărțim la 2: −1 ≤ n ≤ 4.
    4. În A rămân valorile 0, 1, 2, 3 și 4: 5 cazuri favorabile.
    5. P = 511.

    Răspuns: 511

  33. Exercițiul 33

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 60.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 40.
    2. Divizorii lui 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.
    3. Dintre ei, 60 nu se află în A, deci rămân 11 cazuri favorabile.
    4. P = 1140.

    Răspuns: 1140

  34. Exercițiul 34

    Din A = {1, 2, …, 36} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4 sau cu 9.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 36.
    2. Multiplii de 4 sunt 4, 8, …, 36, deci 36 : 4 = 9 numere.
    3. Multiplii de 9 sunt 9, 18, 27 și 36, deci 36 : 9 = 4 numere.
    4. Numărul 36 apare în ambele liste, așa că îl numărăm o singură dată: 9 + 4 − 1 = 12 cazuri favorabile.
    5. P = 1236 = 13.

    Răspuns: 13

Fișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic (24)

  1. 1. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi răspunsul

    59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.

  2. 2. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi răspunsul

    690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

  3. 3. Interval

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi răspunsul

    1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.

  4. 4. Inegalitate

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: favorabile sunt 6, 7, 8, 9; posibile sunt cele 10 numere de la 0 la 9.

  5. 5. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    35: 2, 8, 14.

  6. 6. Pătrate perfecte

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.

  7. 7. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  8. 8. Inegalitate

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  9. 9. Rest

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi răspunsul

    520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.

  10. 10. Numărare directă

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi răspunsul

    310: litera A apare de 3 ori din 10.

  11. 11. Numere prime

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi răspunsul

    36 = 12: 2, 3, 5.

  12. 12. Mixt

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi răspunsul

    57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

  13. 13. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 13.

    Vezi răspunsul

    790: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.

  14. 14. Rest

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie 4.

    Vezi răspunsul

    1050 = 15: 4, 9, 14, …, 49.

  15. 15. Interval

    Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n + 2 să aparțină mulțimii A.

    Vezi răspunsul

    620 = 310: 3n + 2 ≤ 19 dă n ≤ 5.

  16. 16. Multipli

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 3.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: 0, 3, 6, 9.

  17. 17. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 11.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 11, 22, …, 99.

  18. 18. Cuburi perfecte

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie cub perfect.

    Vezi răspunsul

    290 = 145: 27 și 64.

  19. 19. Modul

    Din A = {0, 1, 2, …, 10} se alege n. Calculați probabilitatea ca |2n − 3| ≤ 5.

    Vezi răspunsul

    511: |2n − 3| ≤ 5 dă −1 ≤ n ≤ 4, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.

  20. 20. Divizori

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 60.

    Vezi răspunsul

    1140: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.

  21. 21. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să fie egale.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 11, 22, …, 99.

  22. 22. Rest

    Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 6 să fie 1.

    Vezi răspunsul

    425: 1, 7, 13, 19.

  23. 23. Divizibilitate

    Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca 5n + 1 să fie divizibil cu 3.

    Vezi răspunsul

    1030 = 13: 5n + 1 se împarte la 3 exact când n dă restul 1 la împărțirea la 3.

  24. 24. Reuniune

    Din A = {1, 2, …, 36} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4 sau cu 9.

    Vezi răspunsul

    1236 = 13: 9 multipli de 4, 4 multipli de 9, iar 36 se numără de două ori.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.