Numere cu cifre distincte și probleme mixte

Încheiem traseul cu tiparele care apar des la exercițiul 4: formarea numerelor și numărarea cazurilor favorabile.

La cifre, pornește cu poziția cea mai restricționată: prima cifră dacă apare 0, ultima cifră pentru paritate sau divizibilitate.

1. Numere cu cifre distincte

Cifrele ocupă poziții, deci ordinea contează. Cuvântul «distincte» spune că o cifră folosită nu mai poate fi aleasă din nou.

fără zero, k cifre distincte din n cifre: A_n^k

cu repetare permisă și fără zero: n^k

12 și 21 sunt numere diferite.
La fiecare poziție scade numărul de opțiuni dacă cifrele trebuie să fie distincte.

2. Zero și pozițiile speciale

Zero nu poate fi prima cifră a unui număr cu mai multe cifre. În schimb, poate ocupa orice altă poziție dacă enunțul nu îl interzice.

Tratează prima cifră separat când apare 0.
Pentru numere pare sau impare, începe cu ultima cifră.
Pentru divizibilitate cu 5, ultima cifră este 0 sau 5 și cele două cazuri se adună.
Pentru o cifră obligatorie, fixează poziția ei sau folosește complementul.

Exemplu cu zero

Numere de 3 cifre distincte din {0,1,2,3,4}.

1.Sutele: 4 opțiuni nenule.
2.Zecile: 4 opțiuni rămase, inclusiv 0 dacă nu a fost folosit.
3.Unitățile: 3 opțiuni. Total 4 · 4 · 3 = 48.

3. Legătura cu probabilitatea

P(E) = cazuri favorabile / cazuri posibile

Numără numitorul și numărătorul după aceleași reguli.
Dacă alegerea este uniformă, fiecare număr sau configurație trebuie să aibă aceeași șansă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de două cifre distincte se formează cu cifrele 1, 2, 3, 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 3 = 12
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de două cifre se formează cu 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 4 = 16
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
De ce cifra 0 este o capcană la formarea numerelor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un număr nu poate începe cu 0, deci prima cifră are o variantă în minus.
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 4 · 3 = 48 (prima cifră nu poate fi 0)
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre se formează cu 0, 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 5 · 5 = 100
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Pentru ca un număr să fie par, ce trebuie să verificăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ca ultima cifră să fie pară.
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere pare de două cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6: ultima cifră este 2 sau 4, iar prima se alege dintre celelalte 3.
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere impare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36: ultima cifră este 1, 3 sau 5, iar primele două se aleg în 4 · 3 = 12 moduri.
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre distincte, divizibile cu 5, se formează cu 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36: terminate în 0, 5 · 4 = 20; terminate în 5, 4 · 4 = 16 (prima cifră nu poate fi 0).
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre distincte mai mari decât 300 se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24: prima cifră este 3 sau 4, apoi 4 · 3 variante pentru celelalte.
Ex. 11Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de patru cifre distincte se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 · 5 · 4 · 3 = 360
Ex. 12Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de patru cifre distincte încep cu 2 și se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 · 4 · 3 = 60
Ex. 13Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre distincte conțin obligatoriu cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36: toate sunt A₅³ = 60, iar cele fără 7 sunt A₄³ = 24.
Ex. 14Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de trei cifre distincte NU conțin cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₄³ = 4 · 3 · 2 = 24
Ex. 15Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Alegem uniform un număr de două cifre distincte format cu 1, 2, 3, 4. Care este probabilitatea să fie par?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
612 = 12: sunt 12 numere, dintre care 6 se termină în 2 sau 4.
Ex. 16Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este ordinea sigură pentru o problemă cu numere și cifre distincte?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Întâi completezi pozițiile cu restricții (prima cifră nenulă, ultima cifră pentru paritate), apoi pe celelalte.
Ex. 17Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere de două cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 4 = 16
Ex. 18Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte numere pare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
60: ultima cifră este 2, 4 sau 6, iar primele două se aleg în 5 · 4 = 20 de moduri.
Ex. 19Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, câte numere de trei cifre distincte sunt mai mici decât 300?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24: prima cifră este 1 sau 2, apoi 4 · 3 variante.