Încărcăm partea curentă…

Numere cu cifre distincte și probleme mixte

Cifre distincte sau cu repetare

Formăm un număr completând pozițiile de la stânga la dreapta și înmulțim numărul de variante al fiecărei poziții. Dacă cifrele trebuie să fie distincte, la fiecare poziție avem o variantă mai puțin.

Dacă repetarea este permisă, fiecare poziție are toate cifrele date. O cifră fixată dinainte, de exemplu prima, nu mai este o alegere.

De ținut minte

distincte: n·(n − 1)·…
cu repetare: n·n·…

Exemplu cu alte date

Câte numere de trei cifre distincte se formează cu 5, 6, 7, 8?

  1. 1Prima cifră are 4 variante.
  2. 2A doua are 3 (fără cea folosită), a treia are 2.
  3. 3Înmulțim: 4·3·2 = 24 de numere.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere cu cifre distincte și probleme mixte: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Cifre distincte sau cu repetare

Formăm un număr completând pozițiile de la stânga la dreapta și înmulțim numărul de variante al fiecărei poziții. Dacă cifrele trebuie să fie distincte, la fiecare poziție avem o variantă mai puțin.

Dacă repetarea este permisă, fiecare poziție are toate cifrele date. O cifră fixată dinainte, de exemplu prima, nu mai este o alegere.

  • distincte: n·(n − 1)·…
  • cu repetare: n·n·…

Exemplu cu alte date

Câte numere de trei cifre distincte se formează cu 5, 6, 7, 8?

  1. Prima cifră are 4 variante.
  2. A doua are 3 (fără cea folosită), a treia are 2.
  3. Înmulțim: 4·3·2 = 24 de numere.

Zero nu poate fi prima cifră

Un număr de trei cifre nu poate începe cu 0: 045 are de fapt două cifre. Când printre cifre este și 0, completăm întâi prima poziție, fără 0.

La pozițiile următoare, 0 este din nou permis. Dacă cifrele sunt distincte, scădem doar cifra folosită deja.

  • prima poziție: fără 0

Exemplu cu alte date

Câte numere de două cifre distincte se formează cu 0, 5, 6?

  1. Prima cifră poate fi 5 sau 6: 2 variante.
  2. A doua poate fi oricare dintre cifrele rămase, inclusiv 0: 2 variante.
  3. Înmulțim: 2·2 = 4 numere: 50, 56, 60, 65.

Condiții pe ultima cifră: par, impar, divizibil cu 5

Paritatea și divizibilitatea cu 5 se citesc din ultima cifră. De aceea completăm întâi ultima poziție, cu cifrele care respectă condiția, apoi pe celelalte.

Dacă ultima cifră poate fi 0 sau altă cifră, iar 0 schimbă ce e permis la prima poziție, împărțim în două cazuri și adunăm rezultatele.

  • întâi poziția cu condiție, apoi restul

Exemplu cu alte date

Câte numere pare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 5?

  1. Ultima cifră trebuie să fie pară: doar 2, o variantă.
  2. Primele două poziții se completează din 1, 3, 5: 3, apoi 2 variante.
  3. Înmulțim: 1·3·2 = 6 numere.

Mai mare decât, mai mic decât, conține o cifră

«Mai mare decât 300» pentru un număr de trei cifre se decide la prima cifră: ea trebuie să fie 3 sau mai mare. «Mai mic decât 300» cere prima cifră 1 sau 2.

«Conține cifra 7» se rezolvă alegând întâi poziția lui 7, apoi completând celelalte poziții. «Nu conține 7» înseamnă că scoatem 7 din listă.

  • prima cifră decide comparația
  • conține: poziția cifrei · restul

Exemplu cu alte date

Câte numere de trei cifre distincte, mai mari decât 500, se formează cu 1, 3, 5, 7?

  1. Prima cifră trebuie să fie 5 sau 7: 2 variante.
  2. Celelalte două poziții: 3, apoi 2 variante.
  3. Înmulțim: 2·3·2 = 12 numere.

De la numărare la probabilitate

După ce am numărat corect, probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la toate cazurile posibile. Ambele numere se numără cu aceeași regulă.

Ordinea sigură: fixăm pozițiile speciale, excludem 0 de pe prima poziție, aplicăm regula produsului, apoi facem raportul și îl simplificăm.

  • P = favorabileposibile

Exemplu cu alte date

Alegem un număr de două cifre distincte format cu 5, 6, 7. Care este probabilitatea să fie impar?

  1. Posibile: 3·2 = 6 numere.
  2. Impare: ultima cifră 5 sau 7, deci 2·2 = 4 numere.
  3. P = 46 = 23.

Exerciții rezolvate din lecție (20)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Câte numere de două cifre distincte se formează cu cifrele 1, 2, 3, 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinea cifrelor schimbă numărul: 12 ≠ 21.
    2. Cifrele sunt distincte, deci nu se repetă.
    3. A42 = 4 · 3 = 12.

    Răspuns: 4·3=12

  2. Exercițiul 2

    Câte numere de două cifre se formează cu 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?

    Vezi rezolvarea
    1. Repetarea este permisă, deci putem avea 11, 22 etc.
    2. Avem 4 alegeri pentru zeci și 4 pentru unități.
    3. 4 · 4 = 16.

    Răspuns: 4·4=16

  3. Exercițiul 3

    De ce cifra 0 este o capcană la formarea numerelor?

    Vezi rezolvarea
    1. Zero poate apărea în interiorul sau la finalul numărului.
    2. Dar dacă este prima cifră, numărul are mai puține cifre decât cerința.
    3. De aceea prima poziție se tratează separat.

    Răspuns: Zero nu poate ocupa prima poziție

  4. Exercițiul 4

    Câte numere de trei cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Sutele: 1, 2, 3 sau 4, deci 4 alegeri.
    2. După alegerea sutelor rămân 4 cifre pentru zeci, inclusiv 0.
    3. Pentru unități rămân 3: 4 · 4 · 3 = 48.

    Răspuns: 4·4·3=48

  5. Exercițiul 5

    Câte numere de trei cifre se formează cu 0, 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima cifră nu poate fi 0: 4 alegeri.
    2. La următoarele două poziții poate apărea oricare dintre cele 5 cifre.
    3. 4 · 5 · 5 = 100.

    Răspuns: 4·5·5=100

  6. Exercițiul 6

    Pentru ca un număr să fie par, ce trebuie să verificăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Un număr este par dacă se termină în 0, 2, 4, 6 sau 8.
    2. De aceea fixăm sau alegem mai întâi cifra unităților.
    3. Apoi completăm celelalte poziții.

    Răspuns: Cifra unităților trebuie să fie pară

  7. Exercițiul 7

    Câte numere pare de două cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Ultima cifră trebuie să fie 2 sau 4: 2 alegeri.
    2. După alegerea ei, pentru cifra zecilor rămân 3 cifre distincte.
    3. 2 · 3 = 6 numere.

    Răspuns: 2·3=6

  8. Exercițiul 8

    Câte numere impare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Unitățile pot fi 1, 3 sau 5: 3 alegeri.
    2. Pentru sute rămân 4 cifre, toate nenule.
    3. Pentru zeci rămân 3: în total 3 · 4 · 3 = 36.

    Răspuns: 3·4·3=36

  9. Exercițiul 9

    Câte numere de trei cifre distincte, divizibile cu 5, se formează cu 0, 1, 2, 3, 4, 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă ultima cifră este 0: sutele au 5 alegeri, iar zecile 4, deci 20.
    2. Dacă ultima cifră este 5: sutele au 4 alegeri nenule, iar zecile 4, deci 16.
    3. Cazurile sunt separate, deci totalul este 20 + 16 = 36.

    Răspuns: 20+16=36

  10. Exercițiul 10

    Câte numere de trei cifre distincte mai mari decât 300 se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru a fi mai mare decât 300, cifra sutelor este 3 sau 4.
    2. După ea, pentru zeci rămân 4 cifre, inclusiv 0.
    3. Pentru unități rămân 3: 2 · 4 · 3 = 24.

    Răspuns: 2·4·3=24

  11. Exercițiul 11

    Câte numere de patru cifre distincte se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinea cifrelor contează și repetarea este interzisă.
    2. A64 = 6 · 5 · 4 · 3.
    3. Rezultatul este 360.

    Răspuns: 6·5·4·3=360

  12. Exercițiul 12

    Câte numere de patru cifre distincte încep cu 2 și se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima poziție este deja ocupată de 2.
    2. Pentru restul de 3 poziții alegem cifre distincte dintre cele 5 rămase.
    3. A53 = 5 · 4 · 3 = 60.

    Răspuns: A53=5·4·3=60

  13. Exercițiul 13

    Câte numere de trei cifre distincte conțin obligatoriu cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra 7 poate ocupa oricare dintre cele 3 poziții.
    2. Celelalte două poziții se completează ordonat cu 2 dintre 4 cifre: A42 = 12.
    3. În total 3 · 12 = 36.

    Răspuns: 3·12=36

  14. Exercițiul 14

    Câte numere de trei cifre distincte NU conțin cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra 7 este interzisă, deci rămân 4 cifre.
    2. Alegem și ordonăm 3 fără repetare.
    3. A43 = 4 · 3 · 2 = 24.

    Răspuns: A43=4·3·2=24

  15. Exercițiul 15

    Alegem uniform un număr de două cifre distincte format cu 1, 2, 3, 4. Care este probabilitatea să fie par?

    Vezi rezolvarea
    1. Spațiul de rezultate are A42 = 12 numere.
    2. Cazurile favorabile sunt cele 6 numere cu ultima cifră 2 sau 4.
    3. Probabilitatea este 612 = 12.

    Răspuns: P=612=12

  16. Exercițiul 16

    Care este ordinea sigură pentru o problemă cu numere și cifre distincte?

    Vezi rezolvarea
    1. Poziții speciale pot fi prima cifră sau ultima cifră pentru paritate/divizibilitate.
    2. Zero nu este permis pe prima poziție.
    3. După aceste restricții, numărăm alegerile rămase prin înmulțire.

    Răspuns: Fixez pozițiile speciale, exclud zero de la început, apoi aplic înmulțirea

  17. Exercițiul 17

    Câte numere de două cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra zecilor poate fi 1, 2, 3 sau 4: 4 alegeri.
    2. După alegerea ei rămân 4 cifre pentru unități, inclusiv 0.
    3. 4 · 4 = 16.

    Răspuns: 4·4=16

  18. Exercițiul 18

    Câte numere pare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Ultima cifră poate fi 2, 4 sau 6: 3 alegeri.
    2. Pentru sute rămân 5 cifre, toate nenule, iar pentru zeci rămân 4.
    3. 3 · 5 · 4 = 60.

    Răspuns: 3·5·4=60

  19. Exercițiul 19

    Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, câte numere de trei cifre distincte sunt mai mici decât 300?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra sutelor are 2 opțiuni: 1 sau 2.
    2. Pentru zeci rămân 4 cifre, inclusiv 0.
    3. Pentru unități rămân 3: 2 · 4 · 3 = 24.

    Răspuns: 2·4·3=24

  20. Exercițiul 20

    Din 6 elevi alegem o echipă de 2, fără roluri diferite. Câte echipe sunt posibile?

    Vezi rezolvarea
    1. Nu; folosim combinări C62. Echipa Ana–Dan este aceeași cu Dan–Ana. Nu atribuim roluri.
    2. C62=6·52·1. Numărăm perechile ordonate, apoi împărțim cu 2! pentru dubla numărare.
    3. 15 echipe. 302=15. Pentru roluri diferite, precum șef și adjunct, răspunsul ar fi fost 30.

    Răspuns: 15 echipe

Fișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi (19)

  1. 1. Pornim de la zero

    Câte numere de două cifre distincte se formează cu cifrele 1, 2, 3, 4?

    Vezi răspunsul

    4 · 3 = 12

  2. 2. Pornim de la zero

    Câte numere de două cifre se formează cu 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?

    Vezi răspunsul

    4 · 4 = 16

  3. 3. Pornim de la zero

    De ce cifra 0 este o capcană la formarea numerelor?

    Vezi răspunsul

    Un număr nu poate începe cu 0, deci prima cifră are o variantă în minus.

  4. 4. Pornim de la zero

    Câte numere de trei cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi răspunsul

    4 · 4 · 3 = 48 (prima cifră nu poate fi 0)

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de trei cifre se formează cu 0, 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?

    Vezi răspunsul

    4 · 5 · 5 = 100

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    Pentru ca un număr să fie par, ce trebuie să verificăm?

    Vezi răspunsul

    Ca ultima cifră să fie pară.

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Câte numere pare de două cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4?

    Vezi răspunsul

    6: ultima cifră este 2 sau 4, iar prima se alege dintre celelalte 3.

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    Câte numere impare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5?

    Vezi răspunsul

    36: ultima cifră este 1, 3 sau 5, iar primele două se aleg în 4 · 3 = 12 moduri.

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de trei cifre distincte, divizibile cu 5, se formează cu 0, 1, 2, 3, 4, 5?

    Vezi răspunsul

    36: terminate în 0, 5 · 4 = 20; terminate în 5, 4 · 4 = 16 (prima cifră nu poate fi 0).

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de trei cifre distincte mai mari decât 300 se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi răspunsul

    24: prima cifră este 3 sau 4, apoi 4 · 3 variante pentru celelalte.

  11. 11. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de patru cifre distincte se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi răspunsul

    6 · 5 · 4 · 3 = 360

  12. 12. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de patru cifre distincte încep cu 2 și se formează din 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi răspunsul

    5 · 4 · 3 = 60

  13. 13. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de trei cifre distincte conțin obligatoriu cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?

    Vezi răspunsul

    36: toate sunt A53 = 60, iar cele fără 7 sunt A43 = 24.

  14. 14. Exersăm cu ajutor

    Câte numere de trei cifre distincte NU conțin cifra 7, folosind 1, 2, 3, 4, 7?

    Vezi răspunsul

    A43 = 4 · 3 · 2 = 24

  15. 15. Rezolvi singur

    Alegem uniform un număr de două cifre distincte format cu 1, 2, 3, 4. Care este probabilitatea să fie par?

    Vezi răspunsul

    612 = 12: sunt 12 numere, dintre care 6 se termină în 2 sau 4.

  16. 16. Rezolvi singur

    Care este ordinea sigură pentru o problemă cu numere și cifre distincte?

    Vezi răspunsul

    Întâi completezi pozițiile cu restricții (prima cifră nenulă, ultima cifră pentru paritate), apoi pe celelalte.

  17. 17. Rezolvi singur

    Câte numere de două cifre distincte se formează cu 0, 1, 2, 3, 4?

    Vezi răspunsul

    4 · 4 = 16

  18. 18. Rezolvi singur

    Câte numere pare de trei cifre distincte se formează cu 1, 2, 3, 4, 5, 6?

    Vezi răspunsul

    60: ultima cifră este 2, 4 sau 6, iar primele două se aleg în 5 · 4 = 20 de moduri.

  19. 19. Rezolvi singur

    Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, câte numere de trei cifre distincte sunt mai mici decât 300?

    Vezi răspunsul

    24: prima cifră este 1 sau 2, apoi 4 · 3 variante.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.