Încărcăm partea curentă…

Coordonate și vectori de la zero

Coordonatele unui punct

Un punct din plan se scrie A(x, y). Primul număr, x, se numește abscisă și arată cât mergem la stânga sau la dreapta față de O. Al doilea, y, se numește ordonată și arată cât urcăm sau coborâm.

Un punct de pe axa Ox are ordonata 0, pentru că nu urcă și nu coboară. Un punct de pe axa Oy are abscisa 0, pentru că nu se mută nici la stânga, nici la dreapta.

În viața reală

Pe o hartă cu pătrățele, ca la jocul Vaporașe, „B4” spune coloana și rândul. Coordonatele A(x, y) fac același lucru: primul număr arată deplasarea pe orizontală, al doilea pe verticală.

De ținut minte

A(x, y): x = abscisa, y = ordonata
pe Ox: y = 0
pe Oy: x = 0

Exemplu cu alte date

Pentru punctul P(−4, 0), care sunt abscisa și ordonata și pe ce axă se află?

  1. 1Primul număr este abscisa: x = −4.
  2. 2Al doilea număr este ordonata: y = 0.
  3. 3Ordonata este 0, deci P se află pe axa Ox.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Coordonate și vectori de la zero: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Coordonatele unui punct

Un punct din plan se scrie A(x, y). Primul număr, x, se numește abscisă și arată cât mergem la stânga sau la dreapta față de O. Al doilea, y, se numește ordonată și arată cât urcăm sau coborâm.

Un punct de pe axa Ox are ordonata 0, pentru că nu urcă și nu coboară. Un punct de pe axa Oy are abscisa 0, pentru că nu se mută nici la stânga, nici la dreapta.

  • A(x, y): x = abscisa, y = ordonata
  • pe Ox: y = 0
  • pe Oy: x = 0

Exemplu cu alte date

Pentru punctul P(−4, 0), care sunt abscisa și ordonata și pe ce axă se află?

  1. Primul număr este abscisa: x = −4.
  2. Al doilea număr este ordonata: y = 0.
  3. Ordonata este 0, deci P se află pe axa Ox.

Cadranele: citim semnele

Axele împart planul în patru cadrane. Cadranul în care se află un punct depinde doar de semnele coordonatelor lui.

Cadranul I are x > 0 și y > 0, cadranul II are x < 0 și y > 0, cadranul III are ambele negative, iar cadranul IV are x > 0 și y < 0. Un punct de pe o axă nu este în niciun cadran.

  • I: (+, +)
  • II: (−, +)
  • III: (−, −)
  • IV: (+, −)

Exemplu cu alte date

În ce cadran se află punctul Q(3, −2)?

  1. Abscisa 3 este pozitivă.
  2. Ordonata −2 este negativă.
  3. Semnele (+, −) corespund cadranului IV.

Vectorul AB: final minus inițial

Vectorul AB descrie drumul de la punctul A la punctul B. Calculăm cât ne deplasăm pe orizontală și cât pe verticală, scăzând coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire.

Scriem punctele A(x1, y1) și B(x2, y2). Regula se citește «final minus inițial»: pentru AB, punctul final este B. Vectorul BA merge în sens invers, deci are coordonatele cu semn schimbat.

  • A(x1, y1), B(x2, y2)
  • AB = (x2−x1, y2−y1)
  • BA = −AB

Exemplu cu alte date

Pentru A(2, 1) și B(5, 7), calculează vectorul AB.

  1. Prima coordonată: 5 − 2 = 3.
  2. A doua coordonată: 7 − 1 = 6.
  3. AB = (3, 6); vectorul BA ar fi (−3, −6).

Operații cu vectori

Doi vectori se adună adunând coordonatele de pe aceeași poziție: primele între ele, a doua între ele. La scădere procedăm la fel, scăzând pe poziții.

Înmulțirea cu un număr k înmulțește fiecare coordonată cu k. Dacă v = k·u, cu k ≠ 0, vectorii sunt paraleli: au același sens când k > 0 și sensuri opuse când k < 0. Regula triunghiului spune că AB + BC = AC.

  • u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
  • k·u = (k·u1, k·u2)
  • AB + BC = AC

Exemplu cu alte date

Pentru u = (1, 3) și v = (2, −5), calculează u + v, 2u și u − v.

  1. u + v = (1 + 2, 3 + (−5)) = (3, −2).
  2. 2u = (2·1, 2·3) = (2, 6).
  3. u − v = (1 − 2, 3 − (−5)) = (−1, 8).

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Punctul A(3, 2) are abscisa egală cu:

    Vezi rezolvarea
    1. Un punct se scrie A(x, y).
    2. Primul număr este abscisa x.
    3. Pentru A(3, 2), abscisa este 3.

    Răspuns: 3

  2. Exercițiul 2

    Punctul B(−1, 4) are ordonata egală cu:

    Vezi rezolvarea
    1. În B(x, y), al doilea număr este ordonata y.
    2. Aici y = 4.

    Răspuns: 4

  3. Exercițiul 3

    Pe ce axă se află punctul C(5, 0)?

    Vezi rezolvarea
    1. Coordonatele sunt C(5, 0).
    2. Ordonata este 0.
    3. Prin urmare C se află pe axa Ox.

    Răspuns: Axa Ox

  4. Exercițiul 4

    Pe ce axă se află punctul D(0, −3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Abscisa punctului D este 0.
    2. Toate punctele cu x = 0 se află pe axa Oy.

    Răspuns: Axa Oy

  5. Exercițiul 5

    În ce cadran se află punctul E(2, 5)?

    Vezi rezolvarea
    1. În cadranul I avem x > 0 și y > 0.
    2. Pentru E, 2 > 0 și 5 > 0.

    Răspuns: Cadranul I

  6. Exercițiul 6

    În ce cadran se află punctul F(−2, 5)?

    Vezi rezolvarea
    1. Cadranul II conține punctele cu x < 0 și y > 0.
    2. F(−2, 5) verifică aceste semne.

    Răspuns: Cadranul II

  7. Exercițiul 7

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), vectorul AB este:

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (xB − xA, yB − yA).
    2. AB = (4 − 1, 6 − 2).
    3. Rezultă AB = (3, 4).

    Răspuns: (3, 4)

  8. Exercițiul 8

    Pentru aceleași puncte A(1, 2) și B(4, 6), vectorul BA este:

    Vezi rezolvarea
    1. BA = (xA − xB, yA − yB).
    2. BA = (1 − 4, 2 − 6) = (−3, −4).
    3. Control: BA = −AB.

    Răspuns: (−3, −4)

  9. Exercițiul 9

    Completează regula triunghiului: AB + BC = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Primul vector pleacă din A și ajunge în B.
    2. Al doilea continuă din B în C.
    3. Traseul direct de la A la C este vectorul AC.

    Răspuns: AC

  10. Exercițiul 10

    Dacă u = (2, −1) și v = (3, 4), atunci u + v este:

    Vezi rezolvarea
    1. u + v = (2 + 3, −1 + 4).
    2. Obținem (5, 3).

    Răspuns: (5, 3)

  11. Exercițiul 11

    Dacă u = (4, 2), atunci −2u este:

    Vezi rezolvarea
    1. −2u = (−2 · 4, −2 · 2).
    2. Rezultă (−8, −4).

    Răspuns: (−8, −4)

  12. Exercițiul 12

    Dacă v = 3u, atunci vectorii u și v sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. Un multiplu scalar nenul păstrează direcția.
    2. Coeficientul 3 este pozitiv, deci păstrează și sensul.
    3. Modulul lui v este de 3 ori modulul lui u.

    Răspuns: Paraleli și de același sens

  13. Exercițiul 13

    Pentru A(−2, 3) și B(5, 1), calculează prima coordonată a vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima coordonată este 5 − (−2).
    2. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
    3. 5 + 2 = 7.

    Răspuns: 7

  14. Exercițiul 14

    Dacă u = (−3, 5) și v = (2, −1), calculează a doua coordonată a lui u − v.

    Vezi rezolvarea
    1. u − v = (−3 − 2, 5 − (−1)).
    2. A doua coordonată este 5 + 1 = 6.

    Răspuns: 6

Fișă progresivă · geometrie analitică (14)

  1. 1. Pornim de la zero

    Punctul A(3, 2) are abscisa egală cu:

    Vezi răspunsul

    3

  2. 2. Pornim de la zero

    Punctul B(−1, 4) are ordonata egală cu:

    Vezi răspunsul

    4

  3. 3. Pornim de la zero

    Pe ce axă se află punctul C(5, 0)?

    Vezi răspunsul

    Pe axa Ox.

  4. 4. Pornim de la zero

    Pe ce axă se află punctul D(0, −3)?

    Vezi răspunsul

    Pe axa Oy.

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    În ce cadran se află punctul E(2, 5)?

    Vezi răspunsul

    În cadranul I.

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    În ce cadran se află punctul F(−2, 5)?

    Vezi răspunsul

    În cadranul al II-lea.

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Pentru A(1, 2) și B(4, 6), vectorul AB este:

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 4)

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    Pentru aceleași puncte A(1, 2) și B(4, 6), vectorul BA este:

    Vezi răspunsul

    BA = (−3, −4)

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    Completează regula triunghiului: AB + BC = ...

    Vezi răspunsul

    AC

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    Dacă u = (2, −1) și v = (3, 4), atunci u + v este:

    Vezi răspunsul

    (5, 3)

  11. 11. Rezolvi singur

    Dacă u = (4, 2), atunci −2u este:

    Vezi răspunsul

    (−8, −4)

  12. 12. Rezolvi singur

    Dacă v = 3u, atunci vectorii u și v sunt:

    Vezi răspunsul

    Coliniari, cu același sens.

  13. 13. Rezolvi singur

    Pentru A(−2, 3) și B(5, 1), calculează prima coordonată a vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    5 − (−2) = 7

  14. 14. Rezolvi singur

    Dacă u = (−3, 5) și v = (2, −1), calculează a doua coordonată a lui u − v.

    Vezi răspunsul

    5 − (−1) = 6

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.