Încărcăm partea curentă…

P.A. · aplicații de tip Bac

Din doi termeni aflăm rația și primul termen

Într-o progresie aritmetică (P.A.), trecem la următorul termen adăugând mereu aceeași rație r. Primul termen este a1, iar indicele arată poziția. Scriem doi termeni cunoscuți prin a1 și r, scădem relațiile ca să aflăm r și înlocuim pentru a1.

De ținut minte

an=a1+(n−1)r; aj−ai=(j−i)r

Exemplu cu alte date

Dacă a2=9 și a6=25, află r, a1 și a9.

  1. 1Între a2 și a6 sunt patru treceri: 25−9=4r, deci r=4.
  2. 2a2=a1+r dă a1=9−4=5.
  3. 3a9=5+8·4=37; verificăm a6=5+5·4=25.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

P.A. · aplicații de tip Bac: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți regula, urmărești un exemplu cu alte date și construiești rezolvarea completă pe aceeași pagină, rând cu rând.

Din doi termeni aflăm rația și primul termen

Într-o progresie aritmetică (P.A.), trecem la următorul termen adăugând mereu aceeași rație r. Primul termen este a1, iar indicele arată poziția. Scriem doi termeni cunoscuți prin a1 și r, scădem relațiile ca să aflăm r și înlocuim pentru a1.

  • an=a1+(n−1)r; aj−ai=(j−i)r

Exemplu cu alte date

Dacă a2=9 și a6=25, află r, a1 și a9.

  1. Între a2 și a6 sunt patru treceri: 25−9=4r, deci r=4.
  2. a2=a1+r dă a1=9−4=5.
  3. a9=5+8·4=37; verificăm a6=5+5·4=25.

Diferența pozițiilor și un termen mai depărtat

Dacă știm doi termeni, diferența valorilor lor este numărul de treceri înmulțit cu rația. Întâi aflăm r din această diferență. Dacă ni se cere un alt termen, putem porni de la a1 sau de la un termen deja cunoscut, dar numărăm corect trecerile.

  • aj−ai=(j−i)r; an=a1+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Se dau a4=12 și a7=24. Află r, a1 și a10.

  1. Între pozițiile 4 și 7 sunt trei pași: 24−12=3r, deci r=4.
  2. a4=a1+3r dă a1=12−12=0.
  3. a10=0+9·4=36; verificăm a7=0+6·4=24.

O creștere zilnică devine termenul an

Într-o situație cu zile, prima zi este a1, nu ziua zero. Dacă în fiecare zi se adaugă același număr, acesta este rația r. Ca să aflăm valoarea din ziua n, facem n−1 creșteri. Nu confundăm valoarea din acea zi cu suma tuturor zilelor.

  • an=a1+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Un elev rezolvă 4 probleme în prima zi și încă 3 în fiecare zi următoare. Câte rezolvă în ziua a cincea?

  1. Identificăm a1=4, r=3 și n=5.
  2. De la ziua 1 la ziua 5 sunt patru creșteri: a5=4+4·3.
  3. a5=16; șirul zilnic este 4, 7, 10, 13, 16.

Aflăm rangul unui termen

Rangul n este poziția termenului în șir și trebuie să fie număr natural pozitiv. Dacă știm valoarea termenului, o punem în formula an=a1+(n−1)r, aflăm mai întâi n−1, apoi adunăm 1. Aceiași pași funcționează și când rația este negativă.

  • valoarea=a1+(n−1)r; n∈ℕ*

Exemplu cu alte date

În P.A. cu a1=17 și r=−3, pe ce poziție se află 5?

  1. Scriem 5=17−3(n−1).
  2. 3(n−1)=12, deci n−1=4.
  3. n=5; verificăm a5=17−4·3=5.

Termenul dintre doi vecini

Într-o P.A., diferența dintre primul și mijloc este aceeași ca diferența dintre mijloc și ultimul. De aceea termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor. După calcul, verificăm ambele diferențe, nu doar o singură egalitate.

  • pentru u,x,v consecutivi: 2x=u+v

Exemplu cu alte date

Găsește x dacă 8, x, 20 sunt termeni consecutivi ai unei P.A.

  1. Scriem x−8=20−x, deci 2x=8+20=28.
  2. Împărțim la 2: x=14.
  3. Verificăm 14−8=20−14=6; ambele treceri sunt egale.

Suma primilor termeni

Sn înseamnă suma primilor n termeni, nu termenul de pe poziția n. Dacă știm primul și ultimul termen, adunăm extremele, înmulțim cu n și împărțim la 2. Când suma este dată, ecuația obținută ne ajută să aflăm numărul de termeni.

  • Sn=n(a1+an)2

Exemplu cu alte date

Adună primele 6 numere impare pozitive.

  1. Primul este a1=1; al șaselea este a6=1+5·2=11.
  2. Scriem S6=6(1+11)2=3·12.
  3. S6=36; verificare: 1+3+5+7+9+11=36.

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Se dau a5=14 și a9=26 într-o P.A. Află r, a1 și a15.

    Vezi rezolvarea
    1. 26−14=4r, deci r=3.
    2. 14=a1+4·3, deci a1=2.
    3. a15=2+14·3=44.

    Răspuns: r=3; a1=2; a15=44

  2. Exercițiul 2

    Se dau a2=6 și a5=15 într-o P.A. Află r, a1 și a9.

    Vezi rezolvarea
    1. 15−6=3r, deci r=3.
    2. a1=6−3=3.
    3. a9=3+8·3=27.

    Răspuns: r=3; a1=3; a9=27

  3. Exercițiul 3

    Se dau a3=9 și a8=29 într-o P.A. Află r, a1 și a12.

    Vezi rezolvarea
    1. 29−9=5r, deci r=4.
    2. a1=9−2·4=1.
    3. a12=1+11·4=45.

    Răspuns: r=4; a1=1; a12=45

  4. Exercițiul 4

    Într-o P.A. se dau a4=11 și a9=26. Determină a15.

    Vezi rezolvarea
    1. a9 − a4 = (9 − 4)r, deci 26 − 11 = 5r și r = 3.
    2. a4 = a1 + 3r, deci 11 = a1 + 9 și a1 = 2.
    3. a15 = a1 + 14r = 2 + 14 · 3 = 44.
    4. Verificare: a9 = 2 + 8 · 3 = 26, conform enunțului.

    Răspuns: 44

  5. Exercițiul 5

    În P.A. cu a1 = 5 și r = 3, pentru ce rang este an = 50?

    Vezi rezolvarea
    1. 5 + 3(n − 1) = 50
    2. 3(n − 1) = 45, deci n − 1 = 15
    3. n = 16

    Răspuns: n = 16

  6. Exercițiul 6

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 1, pentru ce n este Sn = 78?

    Vezi rezolvarea
    1. n(n + 1)2 = 78
    2. n(n + 1) = 156
    3. 12 · 13 = 156, deci n = 12

    Răspuns: n = 12

  7. Exercițiul 7

    102 este termen al P.A. cu a1 = 2 și r = 2. Care este rangul său?

    Vezi rezolvarea
    1. an = 2 + (n − 1) · 2 = 2n
    2. 2n = 102
    3. n = 51

    Răspuns: n = 51

  8. Exercițiul 8

    Într-o P.A., a3 = 11 și a7 = 27. Află rația.

    Vezi rezolvarea
    1. a7 − a3 = (7 − 3)r.
    2. 27 − 11 = 4r, deci 16 = 4r.
    3. r = 4.

    Răspuns: 4

  9. Exercițiul 9

    Un elev rezolvă 3 probleme în prima zi și cu 2 mai multe în fiecare zi următoare. Câte rezolvă în ziua a șasea?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 3 și r = 2.
    2. a6 = 3 + (6 − 1) · 2.
    3. În ziua a șasea rezolvă 13 probleme.

    Răspuns: 13

  10. Exercițiul 10

    Află suma primelor 10 numere impare pozitive.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele impare formează o P.A. cu rația 2.
    2. S10 = 10(1 + 19)2.
    3. S10 = 100.

    Răspuns: 100

  11. Exercițiul 11

    În P.A. 20, 17, 14, …, al câtelea termen este 2?

    Vezi rezolvarea
    1. r = −3 și an = 20 − 3(n − 1).
    2. 20 − 3(n − 1) = 2 ⇒ n − 1 = 6.
    3. n = 7; verificăm 20 − 18 = 2.

    Răspuns: 7

  12. Exercițiul 12

    Numerele 5, x, 17 sunt termeni consecutivi ai unei P.A. Află x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x = 5 + 17.
    2. 2x = 22, deci x = 11.
    3. Diferențele 11 − 5 și 17 − 11 sunt ambele 6.

    Răspuns: 11

  13. Exercițiul 13

    Într-o progresie aritmetică, a2=7 și a5=19. Află rația și primul termen.

    Vezi rezolvarea
    1. a2=a1+r; a5=a1+4r. Formula este an=a1+(n−1)r: înaintea termenului n sunt n−1 creșteri.
    2. 19−7=3r, deci r=4. Diferența dintre coeficienții lui r este 4−1=3; 123=4.
    3. a1=7−4=3; r=4. Verificăm a5=3+4·4=19. Ambele date sunt satisfăcute.

    Răspuns: a1=7−4=3; r=4

Exerciții interactive · aplicații P.A. (6)

  1. 10. Standard

    Determinați x astfel încât 14, x, 26 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    x = (14 + 26) : 2 = 20

  2. 11. Standard

    Determinați x astfel încât x − 2, x + 1, 2x să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(x + 1) = (x − 2) + 2x, deci x = 4.

  3. 14. Consolidare

    Se dau a3 = 8 și a8 = 23. Calculați a20.

    Vezi răspunsul

    5r = 15, deci r = 3 și a1 = 2; a20 = 2 + 19 · 3 = 59.

  4. 17. Consolidare

    În P.A. cu a1 = 5 și r = 3, determinați n pentru care an = 50.

    Vezi răspunsul

    5 + 3(n − 1) = 50, deci n = 16.

  5. 18. Consolidare

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 1, determinați n pentru care Sn = 78.

    Vezi răspunsul

    n(n + 1)2 = 78, deci n = 12.

  6. 20. Tip Bac

    Arătați că 102 este termen al P.A. cu a1 = 2 și r = 2 și precizați rangul lui.

    Vezi răspunsul

    2 + 2(n − 1) = 102 dă n = 51: 102 este termenul de rang 51.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.