M1 · Mate-InfoM2 · Științe⏱ 2 sesiuni
P.A.

Teorie înainte de exerciții

Progresii aritmetice

Începem fără formule: observăm cum se schimbă numerele, recunoaștem regula și numerotăm termenii. Abia apoi scriem relațiile folosite la Bac.

Nu memora formula înainte să înțelegi pașii. De la a1 la a7 faci 6 treceri, de aceea apare (7 − 1)r.
1

Ce este un șir și care este regula lui?

Un șir este o listă de numere așezate într-o anumită ordine. Fiecare număr se numește termen și are un loc precis: primul termen este a1, al doilea este a2, al treilea este a3 și așa mai departe.

Privește șirul 0, 2, 4, 6, 8. Ca să trecem de la un termen la următorul, adunăm de fiecare dată 2. Regula este «adunăm 2», iar următorul termen va fi 10.

Termenii șirului, în ordine

Regula: +2
  1. a₁0
  2. a₂2
  3. a₃4
  4. a₄6
  5. a₅8

Observă că indicele arată locul termenului, nu valoarea lui: a₃ este al treilea termen și are valoarea 4.

  • Ordinea contează: a1 este primul termen, a2 este al doilea termen.
  • Întrebarea de început este mereu: «Ce operație repet ca să ajung la termenul următor?»
  • Dacă adunăm același număr la fiecare pas, șirul este o progresie aritmetică.
2

Cum recunoaștem o progresie aritmetică

Scădem fiecare termen din termenul următor. Dacă obținem mereu aceeași diferență, șirul este o progresie aritmetică. Diferența constantă se numește rație și se notează cu r.

  • 1, 4, 7, 10 este P.A.: diferențele sunt 3, 3, 3, deci r = 3.
  • 9, 6, 3, 0 este P.A.: diferențele sunt −3, −3, −3, deci r = −3.
  • 2, 4, 8, 16 nu este P.A.: diferențele sunt 2, 4, 8 și nu sunt egale.
  • Un șir poate fi crescător sau descrescător; important este ca diferența să rămână aceeași.

Verificare rapidă

Este șirul 5, 8, 11, 14 o progresie aritmetică?

  1. 1.8 − 5 = 3.
  2. 2.11 − 8 = 3 și 14 − 11 = 3.
  3. 3.Toate diferențele sunt egale, deci șirul este P.A. cu r = 3.
3

De ce apare n − 1 în formulă

De la primul termen a1 până la a2 facem un pas. Până la a3 facem două treceri, iar până la a7 facem șase. Numărul trecerilor de la a1 la an este n − 1.

a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
a7 = a1 + 6r
  • Indicele n spune poziția termenului.
  • Coeficientul lui r numără trecerile făcute de la a1.
  • Pentru a7 nu adunăm rația de 7 ori, ci de 6 ori.
4

Formulele esențiale, după ce am înțeles regula

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu aceeași rație r pentru a trece la termenul următor.

an+1 = an + r
r = an+1 − an
an = a1 + (n − 1)r
Sn = n(a1 + an)2
  • Dacă r > 0, progresia este crescătoare; dacă r < 0, este descrescătoare.
  • Pentru trei termeni consecutivi x, y, z folosim 2y = x + z.
  • Dacă n este impar, termenul din mijloc este egal cu media termenilor și cu Snn.
5

Cum aleg formula

  • Cauți un termen: folosești an = a1 + (n − 1)r.
  • Cunoști doi termeni: scrii formula pentru fiecare și scazi ecuațiile.
  • Cauți o sumă: folosești Sn = n(a1 + an)2.
  • Ai trei expresii consecutive: termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor.
6

Model rezolvat · termen și sumă

Model A1

În P.A. cu a1 = 4 și r = 3, calculați a8 și S8.

  1. 1.a8 = a1 + (8 − 1)r = 4 + 7·3 = 25.
  2. 2.S8 = 8(a1 + a8)2 = 4(4 + 25) = 116.
  3. 3.Răspuns: a8 = 25 și S8 = 116.
7

Model rezolvat · aflarea rației

Model A2

Se dau a3 = 7 și a8 = 22. Determinați a1, r și a15.

  1. 1.a3 = a1 + 2r = 7 și a8 = a1 + 7r = 22.
  2. 2.Scădem ecuațiile: 5r = 15, deci r = 3.
  3. 3.a1 = 1, iar a15 = a1 + 14r = 43.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de lucru A · progresii aritmetice · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Bază

    În P.A. cu a1 = 3 și r = 2, calculați a6.

    Vezi răspunsul

    a6 = 3 + 5 · 2 = 13

  2. Ex. 2Bază

    În P.A. cu a1 = −4 și r = 5, calculați a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = −4 + 4 · 5 = 16

  3. Ex. 3Bază

    În P.A. cu a3 = 7 și r = 3, calculați a10.

    Vezi răspunsul

    a10 = a3 + 7r = 7 + 21 = 28

  4. Ex. 4Bază

    În P.A. cu a5 = 18 și r = −2, determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a1 = a5 − 4r = 18 + 8 = 26

  5. Ex. 5Bază

    Scrieți primii cinci termeni ai P.A. cu a1 = 7 și r = 4.

    Vezi răspunsul

    7, 11, 15, 19, 23

  6. Ex. 6Standard

    În P.A. cu a1 = 2 și r = 3, calculați S10.

    Vezi răspunsul

    S10 = 10 · (2 · 2 + 9 · 3) : 2 = 155

  7. Ex. 7Standard

    În P.A. cu a1 = −1 și r = 2, calculați S12.

    Vezi răspunsul

    S12 = 12 · (2 · (−1) + 11 · 2) : 2 = 120

  8. Ex. 8Standard

    Se dau a4 = 10 și a9 = 25. Determinați a1 și r.

    Vezi răspunsul

    5r = 25 − 10 = 15, deci r = 3 și a1 = 10 − 3 · 3 = 1.

  9. Ex. 9Standard

    Se dau a2 = 5 și a7 = 20. Determinați a1, r și S7.

    Vezi răspunsul

    5r = 15, deci r = 3, a1 = 2 și S7 = 7 · (2 + 20) : 2 = 77.

  10. Ex. 10Standard

    Determinați x astfel încât 14, x, 26 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    x = (14 + 26) : 2 = 20

  11. Ex. 11Standard

    Determinați x astfel încât x − 2, x + 1, 2x să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(x + 1) = (x − 2) + 2x, deci x = 4.

  12. Ex. 12Standard

    Determinați x astfel încât 3, x, 27 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    x = (3 + 27) : 2 = 15

  13. Ex. 13Consolidare

    Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.A.; suma lor este 36, iar produsul termenilor extremi este 128. Determinați termenii.

    Vezi răspunsul

    Termenii a − r, a, a + r: 3a = 36 dă a = 12, iar (12 − r)(12 + r) = 128 dă r = 4. Termenii: 8, 12, 16.

  14. Ex. 14Consolidare

    Se dau a3 = 8 și a8 = 23. Calculați a20.

    Vezi răspunsul

    5r = 15, deci r = 3 și a1 = 2; a20 = 2 + 19 · 3 = 59.

  15. Ex. 15Consolidare

    Într-o P.A. cu r = 2 se știe că a4 + a8 = 30. Determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a4 + a8 = 2a1 + 10r = 2a1 + 20 = 30, deci a1 = 5.

  16. Ex. 16Consolidare

    Într-o P.A. se știe că S15 = 150. Determinați a8.

    Vezi răspunsul

    S15 = 15 · a8 = 150, deci a8 = 10.

  17. Ex. 17Consolidare

    În P.A. cu a1 = 5 și r = 3, determinați n pentru care an = 50.

    Vezi răspunsul

    5 + 3(n − 1) = 50, deci n = 16.

  18. Ex. 18Consolidare

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 1, determinați n pentru care Sn = 78.

    Vezi răspunsul

    n(n + 1)2 = 78, deci n = 12.

  19. Ex. 19Consolidare

    Determinați x astfel încât x + 1, 2x − 1, 4x − 7 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(2x − 1) = (x + 1) + (4x − 7), deci x = 4.

  20. Ex. 20Tip Bac

    Arătați că 102 este termen al P.A. cu a1 = 2 și r = 2 și precizați rangul lui.

    Vezi răspunsul

    2 + 2(n − 1) = 102 dă n = 51: 102 este termenul de rang 51.

  21. Ex. 21Tip Bac

    Într-o P.A. se știe că a2 + a5 = 18 și a3 = 7. Determinați a1, r și a10.

    Vezi răspunsul

    2a1 + 5r = 18 și a1 + 2r = 7 dau r = 4 și a1 = −1; a10 = −1 + 9 · 4 = 35.

  22. Ex. 22Aprofundare

    Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.A.; suma lor este 24, iar suma pătratelor lor este 224. Determinați termenii.

    Vezi răspunsul

    Termenii a − r, a, a + r: a = 8, iar 192 + 2r2 = 224 dă r = 4. Termenii: 4, 8, 12.

  23. Ex. 23Tip Bac

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 2, determinați n pentru care Sn = 100.

    Vezi răspunsul

    Sn = n2 = 100, deci n = 10.

  24. Ex. 24Tip Bac

    Determinați m astfel încât m + 1, 2m − 3, 5m − 15 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(2m − 3) = (m + 1) + (5m − 15), deci m = 4.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.