M1 · Mate-InfoM2 · Științe⏱ 2 sesiuni

P.G.

Încărcăm partea curentă…

Progresii geometrice

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Recunoaștem regula: înmulțim cu același număr

Într-o progresie geometrică, trecem de la un termen la următorul înmulțind mereu cu aceeași rație q. Pentru termeni nenuli aflăm rația împărțind un termen la cel dinainte, nu scăzându-i.

De ținut minte

q = b₂b₁; b_n+1 = b_n·q

Rația poate fi o fracție; termenii pozitivi pot scădea.

Exemplu rezolvat

Care este regula șirului 4,12,36,108?

1124=3 și 3612=3.
2Și 10836=3, deci rația este q=3.
3Următorul termen este 108·3=324.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Progresii geometrice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Recunoaștem regula: înmulțim cu același număr

q = b₂b₁; b_n+1 = b_n·q

Rația poate fi o fracție; termenii pozitivi pot scădea.

Exemplu rezolvat

Care este regula șirului 4,12,36,108?

124=3 și 3612=3.
Și 10836=3, deci rația este q=3.
Următorul termen este 108·3=324.

Un termen: numărăm înmulțirile

De la b₁ la b_n avem n−1 treceri. Fiecare trecere înseamnă o înmulțire cu q. De aceea exponentul rației este n−1. La o evoluție în timp, numărăm intervalele trecute de la momentul inițial.

b_n=b₁qⁿ⁻¹

După 3 ore avem 3 înmulțiri, nu 2.

Exemplu rezolvat

Cu b₁=5 și q=2, află b₄.

De la poziția 1 la 4 sunt 3 treceri.
b₄=5·2³=5·8.
b₄=40. Verificare: 5,10,20,40.

Doi termeni: aflăm rația și primul termen

Scriem ambii termeni ca produs între b₁ și o putere a lui q. Împărțirea elimină b₁. Diferența indicilor devine exponentul rației. După aflarea rației, înlocuim într-una dintre relațiile inițiale.

b_jb_i=qʲ⁻ⁱ

La o putere pară pot exista două rații opuse; verificăm enunțul.

Exemplu rezolvat

b₂=10 și b₅=80. Află q și b₁.

b₅b₂=q³=8010=8.
q=2, fiindcă 2³=8.
b₂=b₁q dă b₁=102=5.

Aflăm rangul unui termen

Când valoarea unui termen este cunoscută, dar poziția sa nu este, egalăm această valoare cu b₁qⁿ⁻¹. Împărțim la b₁ și căutăm exponentul puterii lui q. Poziția n este acel exponent plus 1 și trebuie să fie număr natural pozitiv.

b_n=b₁qⁿ⁻¹

Nu confunda exponentul n−1 cu rangul n.

Exemplu rezolvat

În P.G. cu b₁=4 și q=2, pe ce poziție este 64?

Scriem 64=4·2ⁿ⁻¹ și împărțim la 4: 16=2ⁿ⁻¹.
16=2⁴, deci n−1=4.
n=5. Verificare: 4,8,16,32,64.

Suma primilor n termeni

S_n înseamnă adunarea primilor n termeni, nu valoarea termenului de pe poziția n. Dacă rația este diferită de 1, folosim formula. Putem verifica rezultatul adunând termenii calculați; dacă q=1, toți termenii sunt egali și suma este n·b₁.

S_n=b₁(qⁿ−1)q−1, q≠1; S_n=nb₁, q=1

S_n este suma, b_n este un singur termen.

Exemplu rezolvat

Cu b₁=4 și q=2, calculează S₃.

S₃=4(2³−1)2−1.
2³−1=7 și 2−1=1.
S₃=28. Verificare: 4+8+16=28.

Trei termeni consecutivi și condițiile problemei

Pentru trei termeni consecutivi nenuli x,y,z, raporturile yx și zy sunt egale, deci y²=xz. Dacă enunțul cere termeni pozitivi ori crescători, folosim aceste condiții după rezolvarea ecuației.

y²=xz

Media geometrică pozitivă nu include rădăcina negativă.

Exemplu rezolvat

Trei termeni pozitivi consecutivi sunt 2,y,18. Află y.

y²=2·18=36.
Ecuația dă y=6 sau y=−6.
Păstrăm y=6 deoarece termenii sunt pozitivi; 62=186=3.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, cât este b₅?
Vezi rezolvarea
1. b₅ = 2·3⁴
2. 3⁴ = 81
3. b₅ = 162
Răspuns: 162
Exercițiul 2
În P.G. cu b₁ = 81 și q = 13, cât este b₄?
Vezi rezolvarea
1. b₄ = 81·(13)³
2. (13)³ = 127
3. b₄ = 8127 = 3
Răspuns: 3
Exercițiul 3
Dacă b₂ = 6 și b₅ = 162, perechea (b₁, q) este:
Vezi rezolvarea
1. b₅b₂ = q³ = 1626 = 27
2. q = 3
3. b₁ = b₂q = 63 = 2
Răspuns: (2, 3)
Exercițiul 4
În P.G. cu b₁ = 64 și q = 12, cât este S₆?
Vezi rezolvarea
1. Termenii sunt 64, 32, 16, 8, 4, 2
2. Îi adunăm
3. S₆ = 126
Răspuns: 126
Exercițiul 5
Pentru ca m − 1, 4, m + 5 să fie termeni consecutivi ai unei P.G., valorile lui m sunt:
Vezi rezolvarea
1. 16 = (m − 1)(m + 5) = m² + 4m − 5
2. m² + 4m − 21 = 0
3. (m − 3)(m + 7) = 0, deci m ∈ {3, −7}
Răspuns: 3 și −7
Exercițiul 6
Se dau b₄ = 54 și b₇ = 1458. Perechea (b₁, q) este:
Vezi rezolvarea
1. q³ = 145854 = 27, deci q = 3
2. b₄ = b₁·q³ = 27b₁
3. b₁ = 5427 = 2
Răspuns: (2, 3)
Exercițiul 7
Trei termeni pozitivi, crescători, sunt în P.G.; produsul lor este 216, iar suma extremelor este 15. Termenii sunt:
Vezi rezolvarea
1. Pentru trei termeni în P.G., produsul este cubul termenului din mijloc
2. y³ = 216, deci y = 6
3. Extremele au suma 15 și produsul 36: 3 și 12
Răspuns: 3, 6, 12
Exercițiul 8
486 este termen al P.G. cu b₁ = 2 și q = 3. Care este rangul lui?
Vezi rezolvarea
1. 3ⁿ⁻¹ = 4862 = 243
2. 243 = 3⁵
3. n − 1 = 5, deci n = 6
Răspuns: n = 6
Exercițiul 9
În P.G. 3, 6, 12, …, află al cincilea termen.
Vezi rezolvarea
1. Rația este 63 = 2.
2. De la primul la al cincilea termen sunt 4 înmulțiri: b₅ = 3 · 2⁴.
3. b₅ = 3 · 16 = 48.
Răspuns: 48
Exercițiul 10
O cultură are 5 celule și își triplează numărul la fiecare oră. Câte celule are după 3 ore?
Vezi rezolvarea
1. După fiecare oră înmulțim cantitatea cu 3.
2. După 3 ore avem 5 · 3³ = 5 · 27.
3. Numărul celulelor este 135.
Răspuns: 135
Exercițiul 11
Într-o P.G., b₂ = 6 și b₄ = 54, iar rația este pozitivă. Află rația.
Vezi rezolvarea
1. b₄ = b₂q², deci 54 = 6q².
2. q² = 9 dă q = ±3.
3. Rația este pozitivă, deci q = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
În P.G. 2, 6, 18, …, află suma primilor 4 termeni.
Vezi rezolvarea
1. Rația este 3, deci b₄ = 18 · 3 = 54.
2. Suma este 2 + 6 + 18 + 54.
3. Obținem 80.
Răspuns: 80
Exercițiul 13
Care este rația șirului 5,10,20,40?
Vezi rezolvarea
1. Împărțim 10 la 5: obținem 2.
2. 2010=2 și 4020=2.
3. Raportul este constant: q=2.
Răspuns: 2
Exercițiul 14
Care șir este o progresie geometrică?
Vezi rezolvarea
1. 93=3, 279=3 și 8127=3.
2. Toate rapoartele consecutive sunt egale.
3. În celelalte șiruri raportul nu rămâne constant.
Răspuns: 3,9,27,81
Exercițiul 15
În P.G. 2,6,18, care este termenul următor?
Vezi rezolvarea
1. Rația este 62=3 și 186=3.
2. Înmulțim ultimul termen cunoscut cu 3.
3. 18·3=54.
Răspuns: 54
Exercițiul 16
În P.G. cu b₁=3 și q=2, pe ce poziție este 96?
Vezi rezolvarea
1. 96=3·2ⁿ⁻¹, deci 2ⁿ⁻¹=32.
2. 32=2⁵, deci n−1=5.
3. Rangul cerut este n=6.
Răspuns: 6
Exercițiul 17
În P.G. cu b₁=5 și q=3, pe ce poziție este 135?
Vezi rezolvarea
1. 135=5·3ⁿ⁻¹, deci 3ⁿ⁻¹=27.
2. 27=3³, astfel n−1=3.
3. Rangul este 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 18
În P.G. cu b₁=2 și q=2, calculează S₄.
Vezi rezolvarea
1. Termenii sunt 2,4,8,16.
2. Suma lor este 2+4+8+16.
3. S₄=30; și formula dă 2(2⁴−1)2−1=30.
Răspuns: 30
Exercițiul 19
În P.G. pozitivă 8,x,18, cât este x?
Vezi rezolvarea
1. x²=8·18=144.
2. Candidații sunt 12 și −12.
3. Păstrăm 12, deoarece progresia este pozitivă.
Răspuns: 12

Fișă de lucru G · progresii geometrice (24)

25. Bază
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, calculați b₅.
Vezi răspunsul
b₅ = 2 · 3⁴ = 162
26. Bază
În P.G. cu b₁ = 81 și q = 13, calculați b₄.
Vezi răspunsul
b₄ = 81 · (13)³ = 3
27. Bază
În P.G. cu b₃ = 20 și q = 2, determinați b₁ și b₆.
Vezi răspunsul
b₁ = 20 : 2² = 5, b₆ = 5 · 2⁵ = 160.
28. Standard
Se dau b₂ = 6 și b₅ = 162. Determinați q și b₁.
Vezi răspunsul
q³ = 162 : 6 = 27, deci q = 3 și b₁ = 2.
29. Bază
Scrieți primii cinci termeni ai P.G. cu b₁ = 1 și q = 2.
Vezi răspunsul
1, 2, 4, 8, 16
30. Standard
În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, calculați S₅.
Vezi răspunsul
S₅ = 3(2⁵ − 1) = 93
31. Standard
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, calculați S₄.
Vezi răspunsul
S₄ = 2(3⁴ − 1)3 − 1 = 80
32. Standard
În P.G. cu b₁ = 64 și q = 12, calculați S₆.
Vezi răspunsul
S₆ = 64(1 − 164)1 − 12 = 126
33. Standard
Determinați x > 0 astfel încât 4, x, 36 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
x² = 4 · 36 = 144, iar x > 0, deci x = 12.
34. Standard
Determinați x astfel încât x, 6, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
36 = 18x, deci x = 2.
35. Consolidare
Determinați m astfel încât m − 1, 4, m + 5 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
16 = (m − 1)(m + 5), deci m² + 4m − 21 = 0: m = 3 sau m = −7.
36. Consolidare
Se dau b₄ = 54 și b₇ = 1458. Determinați b₁ și q.
Vezi răspunsul
q³ = 1.458 : 54 = 27, deci q = 3 și b₁ = 54 : 27 = 2.
37. Consolidare
Într-o P.G. cu q = 2 se știe că b₂ + b₃ = 12. Determinați b₁.
Vezi răspunsul
b₁(2 + 4) = 12, deci b₁ = 2.
38. Consolidare
Într-o P.G. cu q = 2 se știe că b₁ + b₂ + b₃ = 21. Determinați b₁.
Vezi răspunsul
b₁(1 + 2 + 4) = 21, deci b₁ = 3.
39. Consolidare
În P.G. cu b₁ = 5 și q = −2, calculați b₅.
Vezi răspunsul
b₅ = 5 · (−2)⁴ = 80
40. Consolidare
Verificați dacă 3, −6, 12 sunt termeni consecutivi ai unei P.G. și precizați rația.
Vezi răspunsul
Da: −6 : 3 = −2 și 12 : (−6) = −2, deci q = −2.
41. Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 2, determinați n pentru care b_n = 128.
Vezi răspunsul
2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ = 128, deci n = 7.
42. Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 3, determinați n pentru care S_n = 121.
Vezi răspunsul
3ⁿ − 12 = 121, deci 3ⁿ = 243 și n = 5.
43. Aprofundare
Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.G.; produsul lor este 216, iar suma termenilor extremi este 15. Determinați termenii.
Vezi răspunsul
Termenii bq, b, bq: b³ = 216 dă b = 6, iar 6q + 6q = 15 dă q = 2 (crescător). Termenii: 3, 6, 12.
44. Tip Bac
Determinați x astfel încât x, x + 2, x + 8 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
(x + 2)² = x(x + 8), deci x = 1 (termenii 1, 3, 9).
45. Aprofundare
Se dau b₂ = 12 și b₄ = 48. Determinați toate perechile reale (b₁, q).
Vezi răspunsul
q² = 48 : 12 = 4, deci q = ±2: perechile (6, 2) și (−6, −2).
46. Tip Bac
Arătați că 486 este termen al P.G. cu b₁ = 2 și q = 3 și precizați rangul lui.
Vezi răspunsul
2 · 3ⁿ⁻¹ = 486, deci 3ⁿ⁻¹ = 243 și n = 6: 486 este termenul de rang 6.
47. Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, determinați n pentru care S_n = 255.
Vezi răspunsul
2ⁿ − 1 = 255, deci n = 8.
48. Tip Bac
Determinați m astfel încât 2, m, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
m² = 2 · 18 = 36, deci m = 6 sau m = −6.