Progresii geometrice

Înveți să recunoști rația, să calculezi termenul general și să tratezi corect cazurile cu semne sau două soluții.

La ecuația y² = xz apar, în general, două valori pentru y. Păstrezi una singură doar dacă enunțul impune semnul sau ordinea.

Definiția și formulele esențiale

O progresie geometrică este un șir în care înmulțim mereu cu același număr nenul pentru a trece la termenul următor. Acest număr se numește rație și se notează cu q.

b_n+1 = b_n·q

q = b_n+₁b_n

b_n = b₁·qⁿ⁻¹

S_n = b₁(qⁿ − 1)q − 1, q ≠ 1

Pentru q = 1, suma este S_n = n·b₁.
Pentru trei termeni consecutivi x, y, z folosim y² = xz.
Dacă q < 0, semnele termenilor alternează.

Cum aleg formula

Cauți un termen: folosești b_n = b₁·qⁿ⁻¹.
Cunoști doi termeni: împarți relațiile pentru a obține o putere a lui q.
Cauți suma: folosești formula lui S_n și verifici mai întâi dacă q = 1.
Ai trei expresii consecutive: pătratul termenului din mijloc este produsul extremelor.

Model rezolvat · termen și sumă

Model G1

În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, calculați b₅ și S₅.

1.b₅ = b₁·q⁴ = 3·2⁴ = 48.
2.S₅ = 3(2⁵ − 1)2 − 1 = 3·31 = 93.
3.Răspuns: b₅ = 48 și S₅ = 93.

Model rezolvat · trei termeni

Model G3

Determinați x > 0 astfel încât 2, x, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.

1.x² = 2·18 = 36.
2.Din x² = 36 rezultă x = ±6.
3.Condiția x > 0 impune x = 6.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de lucru G · progresii geometrice · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 25Bază
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, calculați b₅.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₅ = 2 · 3⁴ = 162
Ex. 26Bază
În P.G. cu b₁ = 81 și q = 13, calculați b₄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₄ = 81 · (13)³ = 3
Ex. 27Bază
În P.G. cu b₃ = 20 și q = 2, determinați b₁ și b₆.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₁ = 20 : 2² = 5, b₆ = 5 · 2⁵ = 160.
Ex. 28Standard
Se dau b₂ = 6 și b₅ = 162. Determinați q și b₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
q³ = 162 : 6 = 27, deci q = 3 și b₁ = 2.
Ex. 29Bază
Scrieți primii cinci termeni ai P.G. cu b₁ = 1 și q = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1, 2, 4, 8, 16
Ex. 30Standard
În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, calculați S₅.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
S₅ = 3(2⁵ − 1) = 93
Ex. 31Standard
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, calculați S₄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
S₄ = 2(3⁴ − 1)3 − 1 = 80
Ex. 32Standard
În P.G. cu b₁ = 64 și q = 12, calculați S₆.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
S₆ = 64(1 − 164)1 − 12 = 126
Ex. 33Standard
Determinați x > 0 astfel încât 4, x, 36 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² = 4 · 36 = 144, iar x > 0, deci x = 12.
Ex. 34Standard
Determinați x astfel încât x, 6, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 = 18x, deci x = 2.
Ex. 35Consolidare
Determinați m astfel încât m − 1, 4, m + 5 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 = (m − 1)(m + 5), deci m² + 4m − 21 = 0: m = 3 sau m = −7.
Ex. 36Consolidare
Se dau b₄ = 54 și b₇ = 1458. Determinați b₁ și q.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
q³ = 1.458 : 54 = 27, deci q = 3 și b₁ = 54 : 27 = 2.
Ex. 37Consolidare
Într-o P.G. cu q = 2 se știe că b₂ + b₃ = 12. Determinați b₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₁(2 + 4) = 12, deci b₁ = 2.
Ex. 38Consolidare
Într-o P.G. cu q = 2 se știe că b₁ + b₂ + b₃ = 21. Determinați b₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₁(1 + 2 + 4) = 21, deci b₁ = 3.
Ex. 39Consolidare
În P.G. cu b₁ = 5 și q = −2, calculați b₅.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₅ = 5 · (−2)⁴ = 80
Ex. 40Consolidare
Verificați dacă 3, −6, 12 sunt termeni consecutivi ai unei P.G. și precizați rația.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: −6 : 3 = −2 și 12 : (−6) = −2, deci q = −2.
Ex. 41Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 2, determinați n pentru care b_n = 128.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ = 128, deci n = 7.
Ex. 42Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 3, determinați n pentru care S_n = 121.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3ⁿ − 12 = 121, deci 3ⁿ = 243 și n = 5.
Ex. 43Aprofundare
Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.G.; produsul lor este 216, iar suma termenilor extremi este 15. Determinați termenii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Termenii bq, b, bq: b³ = 216 dă b = 6, iar 6q + 6q = 15 dă q = 2 (crescător). Termenii: 3, 6, 12.
Ex. 44Tip Bac
Determinați x astfel încât x, x + 2, x + 8 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 2)² = x(x + 8), deci x = 1 (termenii 1, 3, 9).
Ex. 45Aprofundare
Se dau b₂ = 12 și b₄ = 48. Determinați toate perechile reale (b₁, q).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
q² = 48 : 12 = 4, deci q = ±2: perechile (6, 2) și (−6, −2).
Ex. 46Tip Bac
Arătați că 486 este termen al P.G. cu b₁ = 2 și q = 3 și precizați rangul lui.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 3ⁿ⁻¹ = 486, deci 3ⁿ⁻¹ = 243 și n = 6: 486 este termenul de rang 6.
Ex. 47Tip Bac
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, determinați n pentru care S_n = 255.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2ⁿ − 1 = 255, deci n = 8.
Ex. 48Tip Bac
Determinați m astfel încât 2, m, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m² = 2 · 18 = 36, deci m = 6 sau m = −6.