M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · TehnologicM4 · Pedagogic⏱ 20–30 min

√2

Încărcăm partea curentă…

Simplificarea radicalilor · scoaterea factorilor

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Împărțim la numere prime și formăm perechi

Scriem numărul de sub radical în stânga unei linii verticale. În dreapta scriem cel mai mic număr prim la care se împarte exact, fără rest. Sub numărul inițial scriem rezultatul împărțirii și continuăm până ajungem la 1. Numerele prime au doar doi divizori pozitivi: 1 și numărul însuși; de exemplu 2, 3, 5 și 7. Încercăm mai întâi 2; când nu mai putem, încercăm 3, apoi 5, 7 și celelalte numere prime.

De ținut minte

p·p·m=p√m, pentru p,m≥0

p este factorul dintr-o pereche, iar m este ce rămâne sub radical. O pereche de factori 2 produce un singur 2 în față, nu 4. Nu trebuie să ghicești un pătrat perfect.

Exemplu rezolvat

Simplifică √28.

Împărțim succesiv la numere prime până ajungem la 1.

Numărul în stânga · divizorul prim în dreapta

Numărul de împărțit	Divizor prim
28	2
14	2
7	7
1

Scriem produsul numerelor din coloana din dreapta:

28 =2· 2· 7

28=2²·7

Puterea arată de câte ori se repetă un factor în produs.

Grupăm factorii egali câte doi. Din fiecare pereche scoatem un singur factor; cei fără pereche rămân sub radical.

(2 · 2)·7

1 pereche · 1 factor fără pereche

√28=2√7

1Împărțim: 28:2=14, 14:2=7 și 7:7=1. Numerele din dreapta dau 28=2·2·7.
2Grupăm doi factori egali: 28=(2·2)·7. Perechea de 2 dă un singur 2 în fața radicalului; 7 nu are pereche.
3√28=2√7. Control: (2√7)²=4·7=28.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Simplificarea radicalilor · scoaterea factorilor: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Împărțim la numere prime și formăm perechi

p·p·m=p√m, pentru p,m≥0

p este factorul dintr-o pereche, iar m este ce rămâne sub radical. O pereche de factori 2 produce un singur 2 în față, nu 4. Nu trebuie să ghicești un pătrat perfect.

Exemplu rezolvat

Simplifică √28.

Împărțim: 28:2=14, 14:2=7 și 7:7=1. Numerele din dreapta dau 28=2·2·7.
Grupăm doi factori egali: 28=(2·2)·7. Perechea de 2 dă un singur 2 în fața radicalului; 7 nu are pereche.
√28=2√7. Control: (2√7)²=4·7=28.

Continuăm împărțirile până la 1

După fiecare împărțire lucrăm cu rezultatul nou. Nu ne oprim doar pentru că numărul devine impar: schimbăm divizorul prim și continuăm până la 1. Apoi grupăm numai factori identici, câte doi. Dacă avem mai multe perechi, scoatem câte un factor din fiecare și îi înmulțim: două perechi de 2 dau 2·2=4 în față.

2·2·m=2√m; 3·3·m=3√m

O pereche cere doi factori egali. Un 2 și un 3 nu formează o pereche.

Exemplu rezolvat

Simplifică √44.

44:2=22, 22:2=11, 11:11=1. Și 11 este prim: pentru descompunere putem folosi și prime mai mari de o cifră.
44=2·2·11=(2·2)·11. Avem o pereche de 2 și un 11 fără pereche.
√44=2√11. 11 rămâne sub radical, fiindcă nu are un al doilea factor 11.

Factorii fără pereche rămân sub radical

Rescriem numărul ca produsul tuturor divizorilor primi din tabel. Fiecare factor poate fi folosit într-o singură pereche. Din fiecare pereche scoatem un factor, iar factorii fără pereche rămân sub radical.

(p·p)·m=p√m

Dacă ai patru factori 2, formezi două perechi și scoți doi factori 2: în față obții 2·2=4.

Exemplu rezolvat

Simplifică √63.

63 nu se împarte la 2. Împărțim la 3: 63:3=21, 21:3=7, apoi 7:7=1.
63=3·3·7=(3·3)·7. Perechea de 3 produce un 3 în față, iar 7 rămâne sub radical.
√63=3√7. Nu mai avem factori egali de grupat sub radical.

Mai multe perechi: înmulțim factorii scoși

Numărăm perechile, nu factorii luați separat. Din fiecare pereche scoatem câte un factor, apoi înmulțim factorii scoși. De exemplu, două perechi de 2 dau 2·2=4, iar o pereche de 2 și una de 3 dau 2·3=6.

(p·p)·(q·q)·m=p·q√m

q este factorul din a doua pereche. Nu adunăm factorii scoși: îi înmulțim.

Exemplu rezolvat

Simplifică √80.

80:2=40, 40:2=20, 20:2=10, 10:2=5, 5:5=1.
80=2·2·2·2·5=(2·2)·(2·2)·5. Avem două perechi de 2 și un 5 fără pereche.
√80=2·2√5=4√5. Control: 4²·5=80.

Consolidare: simplificăm și controlăm rezultatul

Împărțim succesiv la numere prime până la 1, scriem produsul, grupăm factorii egali câte doi și înmulțim factorii scoși. Verificăm ridicând rezultatul la pătrat. Mai întâi alegi fiecare rând, apoi rezolvi o verificare directă.

Împărțiri → produs de prime → perechi → forma simplificată → control

Forma este complet simplificată când sub radical nu mai sunt factori primi care se pot grupa în perechi.

Exemplu rezolvat

Simplifică √300.

300:2=150, 150:2=75, 75:3=25, 25:5=5, 5:5=1.
300=2·2·3·5·5=(2·2)·(5·5)·3. Scoatem 2 și 5, iar 3 rămâne sub radical.
√300=2·5√3=10√3. Control: (10√3)²=100·3=300.

Exerciții rezolvate din lecție (15)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care este primul pas corect pentru √12?
Vezi rezolvarea
1. În metoda cu numere prime începem cu cel mai mic divizor prim: 2.
2. 12:2=6, apoi 6:2=3 și 3:3=1.
3. 12=2·2·3: perechea de 2 dă √12=2√3.
Răspuns: 12:2=6
Exercițiul 2
Simplifică √12.
Vezi rezolvarea
1. 12:2=6. 12 este par, deci se împarte exact la 2. Scriem 12 în stânga, 2 în dreapta și rezultatul 6 sub 12.
2. 6:2=3. 6 este tot par. Scriem încă un 2 în coloana din dreapta și 3 sub 6.
3. 3:3=1. 3 este prim și se împarte la el însuși. Ajungem la 1 și încheiem tabelul.
4. 12=2·2·3=(2·2)·3. Cei doi factori 2 formează o pereche. Factorul 3 nu are pereche și rămâne sub radical.
5. √12=2√3. 2·2=2. Perechea nu produce 4 în față; verificăm (2√3)²=12.
Răspuns: √12=2√3
Exercițiul 3
Simplifică √18.
Vezi rezolvarea
1. 18:2=9. 18 este par. Scriem divizorul 2 în dreapta și rezultatul 9 sub 18.
2. 9:3=3. 9 nu se împarte exact la 2, dar se împarte la 3: 3·3=9.
3. 3:3=1. Am folosit divizorii primi 2, 3 și 3; aceștia sunt factorii lui 18.
4. 18=2·3·3=2·(3·3). Cei doi factori 3 formează perechea. 2 și 3 nu se pot grupa împreună: nu sunt egali.
5. √18=3√2. Perechea 3·3 produce un singur 3. Factorul 2, fără pereche, rămâne sub radical.
Răspuns: √18=3√2
Exercițiul 4
Simplifică √20.
Vezi rezolvarea
1. 20:2=10; 10:2=5. 20 și apoi 10 sunt pare. În coloana din dreapta scriem doi factori 2.
2. 5:5=1. 5 nu se împarte exact la 2 sau 3. Folosim divizorul prim 5.
3. 20=2·2·5=(2·2)·5. Perechea este 2·2; factorul 5 rămâne singur.
4. √20=2√5. Scoatem un 2 din pereche și păstrăm 5 sub radical. Control: 2²·5=20.
Răspuns: √20=2√5
Exercițiul 5
Simplifică √27.
Vezi rezolvarea
1. 27:3=9. 27 nu se împarte exact la 2. Se împarte la 3 fiindcă 2+7=9 se împarte la 3.
2. 9:3=3; 3:3=1. În total am folosit trei factori 3. Ne oprim când rezultatul este 1.
3. 27=(3·3)·3: o pereche și un 3 fără pereche. O pereche folosește exact doi factori. Al treilea 3 nu poate fi folosit încă o dată în aceeași pereche.
4. √27=3√3. Un 3 iese din pereche, iar cel fără pereche rămâne sub radical. Control: 3²·3=27.
Răspuns: √27=3√3
Exercițiul 6
Simplifică √32.
Vezi rezolvarea
1. 32:2=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1.
2. 32=2·2·2·2·2=(2·2)·(2·2)·2: două perechi de 2, un 2 fără pereche.
3. √32=2·2√2=4√2.
Răspuns: 4√2
Exercițiul 7
Simplifică √45.
Vezi rezolvarea
1. 45:3=15; 15:3=5; 5:5=1. 45 este impar și 4+5=9 se împarte la 3. După doi divizori 3 rămâne 5, pe care îl împărțim la 5.
2. 45=3·3·5=(3·3)·5. Avem o pereche de 3 și un 5 fără pereche.
3. √45=3√5. Din pereche iese un 3, iar 5 rămâne sub radical. Control: 3²·5=45.
Răspuns: √45=3√5
Exercițiul 8
Simplifică √48.
Vezi rezolvarea
1. 48:2=24. 48 este par. Scriem 48 în stânga liniei, 2 în dreapta și rezultatul 24 dedesubt.
2. 24:2=12. Lucrăm cu ultimul rezultat, 24. Scriem încă un 2 în dreapta și 12 în stânga, pe rândul următor.
3. 12:2=6. Am obținut al treilea factor 2. Rezultatul nou este 6.
4. 6:2=3. Acesta este al patrulea factor 2. Rămâne 3, care nu se împarte exact la 2.
5. 3:3=1. Scriem 3 în dreapta și 1 în stânga. Tabelul este complet: divizorii sunt 2, 2, 2, 2, 3.
6. 48=(2·2)·(2·2)·3. 48=2·2·2·2·3. Cei patru factori 2 formează două perechi; 3 rămâne fără pereche.
7. 2·2=4. Avem două perechi, deci scoatem doi factori 2, nu toți cei patru. Îi înmulțim: 2·2=4.
8. √48=4√3. Factorii scoși dau 4, iar 3 rămâne sub radical. Control: (4√3)²=16·3=48.
Răspuns: √48=4√3
Exercițiul 9
Simplifică √50.
Vezi rezolvarea
1. 50:2=25, 25:5=5, 5:5=1.
2. 50=2·5·5=2·(5·5): o pereche de 5 și un 2 fără pereche.
3. √50=5√2.
Răspuns: 5√2
Exercițiul 10
Simplifică √72.
Vezi rezolvarea
1. 72:2=36; 36:2=18; 18:2=9. Am scris trei divizori 2. Rezultatul 9 este impar, deci trecem la următorul prim.
2. 9:3=3; 3:3=1. În coloana din dreapta avem acum 2, 2, 2, 3, 3. Produsul lor este 72.
3. 72=(2·2)·(3·3)·2. Din trei factori 2 folosim doi într-o pereche, iar al treilea rămâne sub radical. Cei doi factori 3 formează a doua pereche.
4. √72=6√2. Scoatem 2 și 3: 2·3=6. Factorul 2 fără pereche rămâne sub radical.
Răspuns: √72=6√2
Exercițiul 11
Simplifică √75.
Vezi rezolvarea
1. 75:3=25; 25:5=5; 5:5=1. 75 este impar, iar 7+5=12 se împarte la 3. După împărțirea la 3, continuăm cu 5.
2. 75=3·5·5=3·(5·5). Perechea este 5·5; factorul 3 nu are pereche.
3. √75=5√3. Scoatem un singur 5 din pereche. Control: 5²·3=75.
Răspuns: √75=5√3
Exercițiul 12
Simplifică √98.
Vezi rezolvarea
1. 98:2=49, 49:7=7, 7:7=1.
2. 98=2·7·7=2·(7·7): o pereche de 7 și un 2 fără pereche.
3. √98=7√2.
Răspuns: 7√2
Exercițiul 13
Simplifică singur √108.
Vezi rezolvarea
1. 108:2=54; 54:2=27. 108 și 54 sunt pare. După doi divizori 2 obținem 27, care este impar.
2. 27:3=9; 9:3=3; 3:3=1. În total avem 2·2·3·3·3. Fiecare număr scris în dreapta este un factor prim.
3. 108=(2·2)·(3·3)·3. O pereche de 2, una de 3 și încă un 3 fără pereche. Nu reutilizăm un factor în două perechi.
4. √108=6√3; (6√3)²=108. Factorii scoși sunt 2 și 3, deci 2·3=6. Factorul 3 rămas stă sub radical; 6²·3=108.
Răspuns: √108=6√3; (6√3)²=108
Exercițiul 14
Simplifică singur √200.
Vezi rezolvarea
1. 200:2=100; 100:2=50; 50:2=25. Obținem trei factori 2. Ultimul rezultat, 25, nu se mai împarte exact la 2.
2. 25:5=5; 5:5=1. Am ajuns la 1. Coloana din dreapta conține 2, 2, 2, 5 și 5.
3. 200=(2·2)·(5·5)·2. O pereche de 2 și una de 5 dau factorii scoși. Al treilea 2 rămâne sub radical.
4. √200=10√2; (10√2)²=200. 2·5=10. Factorul 2 fără pereche rămâne sub radical; verificarea este 10²·2=200.
Răspuns: √200=10√2; (10√2)²=200
Exercițiul 15
Simplifică √147.
Vezi rezolvarea
1. 147:3=49, 49:7=7, 7:7=1.
2. 147=3·7·7=3·(7·7). Scoatem un 7 din pereche.
3. √147=7√3; 3 nu are pereche.
Răspuns: 7√3

Fișă progresivă · Simplificarea radicalilor · scoaterea factorilor (14)

1. Pornim ușor
Care este primul pas corect pentru √12?
Vezi răspunsul
Scrii 12 ca produs cu un pătrat perfect: 12 = 4 · 3.
2. Pornim ușor
Simplifică √12.
Vezi răspunsul
√12 = 4 · 3 = 2√3
3. Pornim ușor
Simplifică √18.
Vezi răspunsul
√18 = 9 · 2 = 3√2
4. Pornim ușor
Simplifică √20.
Vezi răspunsul
√20 = 4 · 5 = 2√5
5. Consolidare
Simplifică √27.
Vezi răspunsul
√27 = 9 · 3 = 3√3
6. Consolidare
Simplifică √32.
Vezi răspunsul
√32 = 16 · 2 = 4√2
7. Consolidare
Simplifică √45.
Vezi răspunsul
√45 = 9 · 5 = 3√5
8. Consolidare
Simplifică √48.
Vezi răspunsul
√48 = 16 · 3 = 4√3
9. Consolidare
Simplifică √50.
Vezi răspunsul
√50 = 25 · 2 = 5√2
10. Consolidare
Simplifică √72.
Vezi răspunsul
√72 = 36 · 2 = 6√2
11. Consolidare
Simplifică √75.
Vezi răspunsul
√75 = 25 · 3 = 5√3
12. Consolidare
Simplifică √98.
Vezi răspunsul
√98 = 49 · 2 = 7√2
13. Rezolvi singur
Simplifică singur √108.
Vezi răspunsul
√108 = 36 · 3 = 6√3
14. Rezolvi singur
Simplifică singur √200.
Vezi răspunsul
√200 = 100 · 2 = 10√2