Încărcăm partea curentă…

Operații și raționalizare cu radicali

Adunăm și scădem numai radicali asemenea

Doi termeni sunt asemenea dacă au exact același număr sub radical după simplificare. Adunăm sau scădem coeficienții, iar partea radicală rămâne aceeași. Radicalii diferiți nu se combină direct.

De ținut minte

a√m+b√m=(a+b)√m
  • a și b sunt coeficienții, adică numerele din fața radicalului; m este numărul comun de sub radical. Nu folosi regula produsului la o adunare.

Exemplu rezolvat

Calculează 4√7+2√7.

  1. 1Ambele termene au partea radicală √7.
  2. 2Adunăm coeficienții: 4+2=6.
  3. 3Rezultatul este 6√7, nu √14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Operații și raționalizare cu radicali: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Adunăm și scădem numai radicali asemenea

Doi termeni sunt asemenea dacă au exact același număr sub radical după simplificare. Adunăm sau scădem coeficienții, iar partea radicală rămâne aceeași. Radicalii diferiți nu se combină direct.

  • a√m+b√m=(a+b)√m
  • a și b sunt coeficienții, adică numerele din fața radicalului; m este numărul comun de sub radical. Nu folosi regula produsului la o adunare.

Exemplu rezolvat

Calculează 4√7+2√7.

  1. Ambele termene au partea radicală √7.
  2. Adunăm coeficienții: 4+2=6.
  3. Rezultatul este 6√7, nu √14.

Înmulțim radicali și pătrate de produse

La înmulțire putem pune factorii pozitivi sub același radical. Dacă întregul produs este ridicat la pătrat, ridicăm la pătrat și coeficientul, și radicalul; apoi calculăm rezultatul numeric.

  • √a·√b=ab; (k√a)2=k2a
  • Formula produsului cere a≥0 și b≥0.

Exemplu rezolvat

Calculează √5·√20 și (3√2)2.

  1. Pentru primul calcul: √5·√20=5·20=√100=10.
  2. Pentru al doilea, pătrăm fiecare factor din produs: (3√2)2=32·(√2)2.
  3. 32=9, iar (√2)2=2, deci (3√2)2=9·2=18.

Împărțim doi radicali pozitivi

Când numitorul este un radical nenul, putem pune câtul sub un singur semn radical și apoi calculăm sau simplificăm. Verificăm întotdeauna că numitorul este pozitiv.

  • √a√b=ab, pentru a≥0 și b>0
  • Nu folosim formula dacă numitorul este zero.

Exemplu rezolvat

Calculează √45√5.

  1. Numitorul √5 este pozitiv.
  2. √45√5=455=√9.
  3. Rezultatul este 3.

Raționalizăm un numitor cu un singur radical

Înmulțim numărătorul și numitorul cu același radical, adică înmulțim fracția cu 1 și nu schimbăm valoarea. În numitor obținem pătratul radicalului, un număr rațional; simplificăm fracția dacă se poate.

  • k√a=k√aa, pentru a>0
  • Nu înmulți doar numitorul; valoarea fracției s-ar schimba.

Exemplu rezolvat

Raționalizează 4√7.

  1. Înmulțim cu √7√7.
  2. Obținem 4√7(√7)2.
  3. (√7)2=7, deci forma raționalizată este 4√77.

Operații combinate: simplificăm înainte de adunare

Dacă radicalii par diferiți, îi simplificăm mai întâi separat. După simplificare pot deveni asemenea și abia atunci adunăm ori scădem coeficienții. La fiecare pas păstrăm semnul din enunț.

  • k2m+j2m=(k+j)√m
  • √a+√b nu este, în general, egal cu a+b.

Exemplu rezolvat

Calculează √20+√45.

  1. 20:2=10, 10:2=5, 5:5=1: 20=(2·2)·5, deci √20=2√5.
  2. 45:3=15, 15:3=5, 5:5=1: 45=(3·3)·5, deci √45=3√5.
  3. Același radical √5: adunăm coeficienții, 2√5+3√5=5√5.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 2√3 + 5√3.

    Vezi rezolvarea
    1. Partea radicală este √3. Coeficienții sunt numerele din față: 2 și 5. Putem aduna deoarece ambele părți radicale sunt √3.
    2. (2+5)√3=7√3. Se adună numai 2 și 5; numărul de sub radical nu se schimbă.

    Răspuns: (2+5)√3=7√3

  2. Exercițiul 2

    Calculează 8√2 − 3√2.

    Vezi rezolvarea
    1. (8−3)√2. Cei doi termeni sunt asemenea. Păstrăm semnul minus din enunț.
    2. 8√2−3√2=5√2. 8−3=5. Partea √2 nu dispare și nu devine √4.

    Răspuns: 8√2−3√2=5√2

  3. Exercițiul 3

    Putem reduce direct √2 + √3 la un singur radical?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunarea radicalilor funcționează ca adunarea termenilor asemenea.
    2. √2 și √3 nu au aceeași parte radicală.
    3. Expresia rămâne √2 + √3.

    Răspuns: Nu; radicalii nu sunt asemenea

  4. Exercițiul 4

    Calculează √2·√8.

    Vezi rezolvarea
    1. √2·√8=2·8. Pentru factori nenegativi putem înmulți numerele sub același radical.
    2. 2·8=√16. 2·8=16, dar radicalul rămâne încă de calculat.
    3. √16=4. 42=16 și 4 este nenegativ. Acesta este rezultatul produsului inițial.

    Răspuns: √16=4

  5. Exercițiul 5

    Calculează √3·√12.

    Vezi rezolvarea
    1. √3·√12=3·12. La înmulțire se înmulțesc argumentele radicalilor, nu se adună.
    2. 3·12=√36. 3·12=36. Mai avem de calculat rădăcina pătrată.
    3. √3·√12=6. 62=36, deci radicalul principal este 6.

    Răspuns: √3·√12=6

  6. Exercițiul 6

    Calculează √50√2.

    Vezi rezolvarea
    1. √50√2=502. Pentru un numitor pozitiv putem pune împărțirea sub același radical.
    2. 502=√25. 50:2=25, nu 50−2. Radicalul rămâne de calculat.
    3. √25=5. 52=25 și 5 este nenegativ.

    Răspuns: √25=5

  7. Exercițiul 7

    Cât este (2√3)2?

    Vezi rezolvarea
    1. (2√3)2=22·(√3)2. Paranteza cuprinde un produs. Pătrăm atât coeficientul 2, cât și radicalul √3.
    2. 22·(√3)2=4·3. 22=4, iar pătratul anulează radicalul: (√3)2=3.
    3. (2√3)2=4·3=12. Înmulțim cele două rezultate; nu le adunăm și nu mai pătrăm încă o dată 3.

    Răspuns: (2√3)2=4·3=12

  8. Exercițiul 8

    Raționalizează 1√2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu √2: înmulțim cu √2√2=1. Aceeași înmulțire sus și jos păstrează valoarea fracției și elimină radicalul din numitor.
    2. √2√2·√2. 1·√2=√2 la numărător, iar la numitor avem produsul a doi radicali egali.
    3. 1√2=√22. √2·√2=2. Noua fracție nu mai are radical în numitor.

    Răspuns: 1√2=√22

  9. Exercițiul 9

    Raționalizează 3√3.

    Vezi rezolvarea
    1. (3√3)·(√3√3). √3√3 este 1. Înmulțirea numai a numărătorului ar schimba valoarea.
    2. 3√33. Numărătorul este 3√3; numitorul este √3·√3=3.
    3. 3√33=√3. Împărțim sus și jos la 3. Nu mai rămâne niciun 3 în fața radicalului.

    Răspuns: 3√33=√3

  10. Exercițiul 10

    Raționalizează 2√5.

    Vezi rezolvarea
    1. 2√5 · √5√5 = 2√55.
    2. Numitorul nu mai conține radical.

    Răspuns: 2√55

  11. Exercițiul 11

    Simplifică √12 + √27.

    Vezi rezolvarea
    1. √12=(2·2)·3=2√3. 12:2=6, 6:2=3, 3:3=1. Perechea de 2 produce un 2 în față; 3 rămâne sub radical.
    2. √27=(3·3)·3=3√3. 27:3=9, 9:3=3, 3:3=1. Din trei factori 3 formăm o pereche și rămâne un 3 sub radical.
    3. √12+√27=2√3+3√3=5√3. 2+3=5; la adunare nu punem 12+27 sub un radical.

    Răspuns: √12+√27=2√3+3√3=5√3

  12. Exercițiul 12

    Calculează singur 4√5 + 3√5 − 2√5.

    Vezi rezolvarea
    1. (4+3−2)√5. Toți termenii au √5. Păstrăm ordinea și semnele coeficienților.
    2. 4+3−2=7−2. Adunarea dă 7; minusul din fața lui 2 rămâne neschimbat.
    3. 4√5+3√5−2√5=5√5. 7−2=5. Coeficientul final este 5 și partea radicală rămâne √5.

    Răspuns: 4√5+3√5−2√5=5√5

  13. Exercițiul 13

    Raționalizează singur 5√2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu √2√2=1. Alegem radicalul din numitor și îl punem atât sus, cât și jos.
    2. 5√2√2·√2. 5 se înmulțește cu √2; la numitor radicalul se înmulțește cu el însuși.
    3. 5√2=5√22. √2·√2=2, deci fracția finală este 5√22.

    Răspuns: 5√2=5√22

  14. Exercițiul 14

    Calculează √75√3.

    Vezi rezolvarea
    1. √75√3=753. √3 este pozitiv, deci împărțim numerele de sub radical.
    2. 753=√25=5. 75:3=25 și √25=5. Nu ne oprim la 25, fiindcă acesta era încă sub radical.

    Răspuns: 753=√25=5

  15. Exercițiul 15

    Calculează √98√2.

    Vezi rezolvarea
    1. √98√2=982.
    2. 982=49.
    3. √49=7.

    Răspuns: 7

  16. Exercițiul 16

    Simplifică √18+√8.

    Vezi rezolvarea
    1. 18:2=9, 9:3=3, 3:3=1: 18=2·(3·3), deci √18=3√2.
    2. 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1: 8=(2·2)·2, deci √8=2√2.
    3. Adunăm coeficienții radicalilor asemenea: 3√2+2√2=5√2.

    Răspuns: 5√2

Fișă progresivă · Operații și raționalizare cu radicali (13)

  1. 1. Pornim ușor

    Calculează 2√3 + 5√3.

    Vezi răspunsul

    7√3

  2. 2. Pornim ușor

    Calculează 8√2 − 3√2.

    Vezi răspunsul

    5√2

  3. 3. Pornim ușor

    Putem reduce direct √2 + √3 la un singur radical?

    Vezi răspunsul

    Nu: se adună doar radicalii cu același număr sub radical (√2 + √3 ≈ 3,15, iar √5 ≈ 2,24).

  4. 4. Pornim ușor

    Calculează √2·√8.

    Vezi răspunsul

    √16 = 4

  5. 5. Consolidare

    Calculează √3·√12.

    Vezi răspunsul

    √36 = 6

  6. 6. Consolidare

    Calculează √50√2.

    Vezi răspunsul

    50 : 2 = √25 = 5

  7. 7. Consolidare

    Cât este (2√3)2?

    Vezi răspunsul

    4 · 3 = 12

  8. 8. Consolidare

    Raționalizează 1√2.

    Vezi răspunsul

    √22

  9. 9. Consolidare

    Raționalizează 3√3.

    Vezi răspunsul

    3√33 = √3

  10. 10. Consolidare

    Raționalizează 2√5.

    Vezi răspunsul

    2√55

  11. 11. Consolidare

    Simplifică √12 + √27.

    Vezi răspunsul

    2√3 + 3√3 = 5√3

  12. 12. Rezolvi singur

    Calculează singur 4√5 + 3√5 − 2√5.

    Vezi răspunsul

    5√5

  13. 13. Rezolvi singur

    Raționalizează singur 5√2.

    Vezi răspunsul

    5√22

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.