Încărcăm partea curentă…

Radicali de la zero · sens și pătrate perfecte

Ce reprezintă √a?

Radicalul pătrat al unui număr este numărul nenegativ care, înmulțit cu el însuși, dă numărul inițial. Începem prin a căuta un pătrat cunoscut și păstrăm numai rădăcina nenegativă.

De ținut minte

√a=b ⇔ b2=a și b≥0
  • a este numărul de sub radical, iar b este rădăcina lui nenegativă. ± înseamnă «plus sau minus» și apare la ecuația x2=a, nu la valoarea lui √a.

Exemplu rezolvat

De ce √16=4?

  1. 1Căutăm un număr nenegativ al cărui pătrat este 16.
  2. 24·4=16, deci 42=16.
  3. 3Prin urmare √16=4; răspunsul −4 nu este radicalul principal.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Radicali de la zero · sens și pătrate perfecte: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Ce reprezintă √a?

Radicalul pătrat al unui număr este numărul nenegativ care, înmulțit cu el însuși, dă numărul inițial. Începem prin a căuta un pătrat cunoscut și păstrăm numai rădăcina nenegativă.

  • √a=b ⇔ b2=a și b≥0
  • a este numărul de sub radical, iar b este rădăcina lui nenegativă. ± înseamnă «plus sau minus» și apare la ecuația x2=a, nu la valoarea lui √a.

Exemplu rezolvat

De ce √16=4?

  1. Căutăm un număr nenegativ al cărui pătrat este 16.
  2. 4·4=16, deci 42=16.
  3. Prin urmare √16=4; răspunsul −4 nu este radicalul principal.

Recunoaștem pătratele perfecte mici

Un pătrat perfect se obține când înmulțim un număr natural cu el însuși. Pentru a calcula radicalul, facem operația inversă și putem controla rezultatul ridicându-l iar la pătrat.

  • 32=9, 42=16, 52=25, 62=36
  • Nu împărțim numărul de sub radical la 2.

Exemplu rezolvat

Calculează √81.

  1. Ne întrebăm ce număr pozitiv înmulțit cu el însuși dă 81.
  2. 9·9=81, deci 92=81.
  3. Rezultă √81=9; controlul este 92=81.

Pătrate perfecte mai mari

Aplicăm aceeași regulă și la numere mai mari. Dacă nu recunoști imediat pătratul, încearcă pe rând numerele naturale apropiate; la final verifică înmulțirea, ca să nu confunzi radicalul cu jumătatea numărului.

  • n2=n, pentru n≥0
  • Pentru un număr mai mare, verifică pătratul răspunsului.

Exemplu rezolvat

Calculează √169.

  1. 13·13=169, așadar 169=132.
  2. Rădăcina pătrată principală este nenegativă.
  3. √169=13 și verificarea este 132=169.

Zero, unu și numerele negative

Zero și unu au radical real: ambele sunt pătratele lor. Un număr negativ nu are radical pătrat real, fiindcă pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero.

  • √0=0; √1=1; √a nu există în ℝ dacă a<0
  • ℝ notează mulțimea numerelor reale. Nu transforma −a în −√a în calculele reale.

Exemplu rezolvat

Există −16 în numerele reale?

  1. Presupunem că există un număr real t cu t2=−16.
  2. Dar orice pătrat real t2 este nenegativ și nu poate fi −16.
  3. Prin urmare −16 nu există în ℝ.

Pătratul unui radical

Dacă numărul de sub radical este nenegativ, pătratul și radicalul se anulează reciproc. Poți verifica prin înlocuire: întâi calculezi radicalul, apoi ridici rezultatul la pătrat.

  • (√a)2=a, pentru a≥0
  • Formula cere ca numărul de sub radical să fie nenegativ.

Exemplu rezolvat

Calculează (√17)2.

  1. 17 este pozitiv, deci √17 există în ℝ.
  2. Ridicarea la pătrat anulează radicalul.
  3. Obținem (√17)2=17.

Radicalul unui pătrat și valoarea absolută

Un pătrat este mereu nenegativ, iar radicalul său principal este tot nenegativ. De aceea x2 este distanța lui x până la zero, adică |x|, chiar dacă x este negativ.

  • x2=|x|
  • Nu scrie x2=x fără să știi că x≥0.

Exemplu rezolvat

Pentru x=−4, calculează x2.

  1. Înlocuim x: (−4)2=√16.
  2. Radicalul principal al lui 16 este 4.
  3. Verificăm și cu formula: |−4|=4.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce înseamnă √25?

    Vezi rezolvarea
    1. 5·5=25. Căutăm un număr care înmulțit cu el însuși dă 25, nu jumătatea lui 25.
    2. √25=5. Atât 5, cât și −5 au pătratul 25, dar semnul √ cere numai valoarea nenegativă.

    Răspuns: √25=5

  2. Exercițiul 2

    De ce √36 = 6?

    Vezi rezolvarea
    1. 62=6·6=36. Puterea a doua înseamnă produsul a doi factori egali: 6·6.
    2. 6≥0 și 62=36. Am verificat ambele cerințe: numărul ales este nenegativ și pătratul lui este 36.

    Răspuns: 6≥0 și 62=36

  3. Exercițiul 3

    Care este valoarea lui √4?

    Vezi rezolvarea
    1. 22 = 4.
    2. Rădăcina pătrată principală este nenegativă.
    3. Rezultatul este 2, nu ±2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Care este valoarea lui √9?

    Vezi rezolvarea
    1. 3·3=9. 32=9 este calculul care ne permite să recunoaștem pătratul perfect.
    2. √9=3. Scriem 3, deoarece radicalul principal nu este negativ.

    Răspuns: √9=3

  5. Exercițiul 5

    Care este valoarea lui √49?

    Vezi rezolvarea
    1. 49=72. 7·7=49. Verificarea prin înmulțire ne ferește de confuzia cu numere apropiate.
    2. √49=7. 72=7 pentru că 7 este pozitiv.

    Răspuns: √49=7

  6. Exercițiul 6

    Care este valoarea lui √64?

    Vezi rezolvarea
    1. 64=82. 8·8=64; celelalte numere nu au pătratul 64.
    2. √64=8. Radicalul face operația inversă pătratului și păstrează valoarea nenegativă.

    Răspuns: √64=8

  7. Exercițiul 7

    Care este valoarea lui √100?

    Vezi rezolvarea
    1. 102=100. 10·10=100, deci 100 este pătratul lui 10.
    2. √100=10. Alegem rădăcina principală 10, nu opusul ei.

    Răspuns: √100=10

  8. Exercițiul 8

    Care este valoarea lui √0?

    Vezi rezolvarea
    1. Da, deoarece 0≥0. Condiția este mai mare sau egal cu zero. Egalitatea este permisă la radical.
    2. 02=0, deci √0=0. Zero înmulțit cu el însuși este tot zero.

    Răspuns: 02=0, deci √0=0

  9. Exercițiul 9

    Care este valoarea lui √1?

    Vezi rezolvarea
    1. 12 = 1.
    2. Rădăcina principală este 1.

    Răspuns: 1

  10. Exercițiul 10

    Există −9 ca număr real?

    Vezi rezolvarea
    1. Este întotdeauna ≥0. Și pătratul unui număr negativ este pozitiv; pentru zero obținem zero.
    2. Nu; −9 nu există în ℝ. ℝ înseamnă mulțimea numerelor reale. În această mulțime niciun pătrat nu este negativ.

    Răspuns: Nu; −9 nu există în ℝ

  11. Exercițiul 11

    Cât este (√7)2?

    Vezi rezolvarea
    1. Da, fiindcă 7≥0. Nu trebuie ca 7 să fie pătrat perfect. Este suficient să fie nenegativ.
    2. (√7)2=7. Pătrăm radicalul, nu numărul 7. Cele două operații se anulează.

    Răspuns: (√7)2=7

  12. Exercițiul 12

    Pentru x = −5, cât este x2?

    Vezi rezolvarea
    1. (−5)2. Păstrăm parantezele: întregul număr −5 este ridicat la pătrat.
    2. (−5)2=25. (−5)·(−5)=25, deoarece produsul a două numere negative este pozitiv.
    3. √25=5=|−5|. |x| este distanța lui x până la zero. De aceea x2=|x|, nu întotdeauna x.

    Răspuns: √25=5=|−5|

  13. Exercițiul 13

    Calculează singur √144.

    Vezi rezolvarea
    1. 122 = 12·12 = 144.
    2. Prin urmare √144 = 12.

    Răspuns: 12

  14. Exercițiul 14

    Calculează singur (√13)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (√a)2=a, cu a≥0. 13 este pozitiv, deci putem folosi regula pătratului unui radical.
    2. (√13)2=13. Nu mai ridicăm încă o dată 13 la pătrat; rezultatul este chiar numărul de sub radical.

    Răspuns: (√13)2=13

  15. Exercițiul 15

    Calculează √121.

    Vezi rezolvarea
    1. 11·11=121.
    2. Deci 121 este pătratul perfect 112.
    3. √121=11.

    Răspuns: 11

  16. Exercițiul 16

    Cât este (√11)2?

    Vezi rezolvarea
    1. 11 este nenegativ.
    2. Aplicăm (√a)2=a.
    3. Rezultatul este 11.

    Răspuns: 11

  17. Exercițiul 17

    Pentru x=−7, cât este x2?

    Vezi rezolvarea
    1. (−7)2. Înlocuim x cu tot numărul −7, între paranteze.
    2. (−7)2=49. Două semne minus la înmulțire dau plus: (−7)·(−7)=49.
    3. √49=7. Rezultatul este 7, la fel ca |−7|.

    Răspuns: √49=7

  18. Exercițiul 18

    Pentru x=6, cât este x2?

    Vezi rezolvarea
    1. x2=|x|.
    2. |6|=6.
    3. Rezultatul este 6.

    Răspuns: 6

Fișă progresivă · Radicali de la zero · sens și pătrate perfecte (14)

  1. 1. Pornim ușor

    Ce înseamnă √25?

    Vezi răspunsul

    Numărul nenegativ care, înmulțit cu el însuși, dă 25: √25 = 5.

  2. 2. Pornim ușor

    De ce √36 = 6?

    Vezi răspunsul

    Pentru că 6 ≥ 0 și 62 = 36.

  3. 3. Pornim ușor

    Care este valoarea lui √4?

    Vezi răspunsul

    2

  4. 4. Pornim ușor

    Care este valoarea lui √9?

    Vezi răspunsul

    3

  5. 5. Consolidare

    Care este valoarea lui √49?

    Vezi răspunsul

    7

  6. 6. Consolidare

    Care este valoarea lui √64?

    Vezi răspunsul

    8

  7. 7. Consolidare

    Care este valoarea lui √100?

    Vezi răspunsul

    10

  8. 8. Consolidare

    Care este valoarea lui √0?

    Vezi răspunsul

    0

  9. 9. Consolidare

    Care este valoarea lui √1?

    Vezi răspunsul

    1

  10. 10. Consolidare

    Există −9 ca număr real?

    Vezi răspunsul

    Nu: pătratul unui număr real nu poate fi negativ.

  11. 11. Consolidare

    Cât este (√7)2?

    Vezi răspunsul

    7

  12. 12. Consolidare

    Pentru x = −5, cât este x2?

    Vezi răspunsul

    x2 = |x| = |−5| = 5

  13. 13. Rezolvi singur

    Calculează singur √144.

    Vezi răspunsul

    12

  14. 14. Rezolvi singur

    Calculează singur (√13)2.

    Vezi răspunsul

    13

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.