M1 · Mate-Info⏱ 2 sesiuni
M1·f

Teorie înainte de exerciții

Funcții, inverse și parametri · nivel M1

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Nu este suficient rezultatul: precizează condiția folosită și justifică fiecare echivalență.
1

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. 1.P ne dă f(0) = b = 2.
  2. 2.Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. 3.Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.
2

Compunerea: două reguli una după alta

În f(g(x)), aplicăm întâi regula din interior, g. Rezultatul ei devine intrarea lui f. Dacă apare un parametru, îl păstrăm în calcule până obținem ecuația cerută. Ordinea funcțiilor schimbă de obicei rezultatul.

Cu un parametru, păstrăm aceeași regulă la ambele aplicări: pentru f(x) = x2 + ax − 1, avem f(1) = a, apoi f(f(1)) = f(a) = a2 + a · a − 1 = 2a2 − 1.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))
  • f(g(x)) nu înseamnă f(x) · g(x).

Exemplu rezolvat

f(x) = 2x + 1 și g(x) = x − 3. Află (f ∘ g)(4).

  1. 1.Mai întâi g(4) = 4 − 3 = 1.
  2. 2.Introducem acest rezultat în f: f(1) = 2 · 1 + 1.
  3. 3.Rezultatul este 3; f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 confirmă calculul.
3

Inversa întoarce drumul de calcul

O funcție inversă primește rezultatul y și recuperează intrarea x. Desfacem operațiile în ordine inversă: mai întâi adunarea sau scăderea de la final, apoi înmulțirea sau împărțirea. Formula inversei se verifică prin compunere.

y = ax + b ⇒ x = y − ba, pentru a ≠ 0
  • f−1(x) nu înseamnă 1f(x).

Exemplu rezolvat

Găsește inversa lui f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2.

  1. 1.Pornim de la y = 3x + 2 și scădem 2: y − 2 = 3x.
  2. 2.Împărțim la 3: x = y − 23, deci f−1(x) = x − 23.
  3. 3.Verificăm f(f−1(x)) = 3(x − 2)3 + 2 = x.
4

Injectivă, surjectivă, bijectivă

Injectivă înseamnă că două intrări diferite nu ajung la același rezultat. Surjectivă înseamnă că se obține fiecare element din codomeniul declarat. Bijectivă înseamnă ambele: fiecare ieșire are exact o intrare și astfel există inversă pe întregul codomeniu.

f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b este bijectivă ⇔ a ≠ 0
  • Domeniul și codomeniul contează: x2 nu este injectivă pe ℝ, deoarece f(1) = f(−1).

Exemplu rezolvat

Pentru ce m este f: ℝ → ℝ, f(x) = (m + 1)x − 2 bijectivă?

  1. 1.Dacă m = −1, funcția devine constantă, f(x) = −2; intrări diferite au aceeași ieșire.
  2. 2.Dacă m ≠ −1, din y = (m + 1)x − 2 obținem unic x = y + 2m + 1, pentru fiecare y real.
  3. 3.Concluzia este m ≠ −1: avem simultan injectivitate și surjectivitate.
5

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax2 + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

Δ = b2 − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul
  • O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x2 − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

  1. 1.Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
  2. 2.Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
  3. 3.Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.
6

Minimul și condiția «pentru orice x»

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul variației. Pentru a > 0 el are cea mai mică ordonată. Ca toate valorile funcției să fie deasupra unui prag, verificăm chiar această valoare minimă.

xV = −b2a; yV = f(xV)
  • Minimul este ordonata yV, nu abscisa xV. Pentru a < 0, vârful dă maximul.

Exemplu rezolvat

Când este x2 − 4x + m > 1 pentru orice x real?

  1. 1.Scriem x2 − 4x + m = (x − 2)2 + m − 4.
  2. 2.Pătratul are minimul 0 la x = 2, deci minimul funcției este m − 4.
  3. 3.Cerem m − 4 > 1, de unde m > 5; egalitatea nu este admisă.
7

Relațiile lui Viète și semnele rădăcinilor

Când cunoști coeficienții unei ecuații de gradul al doilea, poți calcula suma și produsul rădăcinilor fără să le afli separat. Două rădăcini reale au semne opuse dacă produsul lor este negativ. În acest caz Δ este automat pozitiv, deoarece ac < 0.

x1 + x2 = −ba; x1x2 = ca
  • Nu uita împărțirea la a și minusul din formula sumei.

Exemplu rezolvat

Pentru 2x2 − 6x − 8 = 0, află suma, produsul și semnele rădăcinilor.

  1. 1.Suma este −−62 = 3.
  2. 2.Produsul este −82 = −4.
  3. 3.Produsul negativ arată că rădăcinile sunt reale și au semne opuse; verificăm Δ = 36 + 64 = 100 > 0.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Mate-Info · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 49CompunereM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x + 3, determinați a dacă (f ∘ f)(a) = 9.

    Vezi răspunsul

    (f ∘ f)(a) = a + 6 = 9, deci a = 3.

  2. Ex. 50CompunereM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 + ax − 1, determinați a dacă (f ∘ f)(1) = 1.

    Vezi răspunsul

    f(1) = a, iar f(a) = 2a2 − 1 = 1, deci a2 = 1: a = 1 sau a = −1.

  3. Ex. 51ParametruM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 − mx, determinați m dacă f(−1) = f(1).

    Vezi răspunsul

    f(−1) = 1 + m și f(1) = 1 − m, deci m = 0.

  4. Ex. 52DiscriminantM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 − x + m, determinați m pentru două intersecții distincte.

    Vezi răspunsul

    Δ = 1 − 4m > 0, deci m < 14.

  5. Ex. 53DiscriminantM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 + 4x + m, determinați m pentru nicio intersecție.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m < 0, deci m > 4.

  6. Ex. 54TangențăM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 − 6x + m, determinați m și punctul de tangență cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 4m = 0, deci m = 9; punctul de tangență este (3, 0).

  7. Ex. 55CondițieM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 − x + m, determinați m dacă f(x) > −2 pentru orice x.

    Vezi răspunsul

    Minimul este f(12) = m − 14, iar m − 14 > −2 dă m > −74.

  8. Ex. 56BijectivitateM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = (m − 2)x + 5, determinați m pentru bijectivitate.

    Vezi răspunsul

    m ≠ 2 (panta nenulă).

  9. Ex. 57InversăM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = 2x − 3, determinați inversa și calculați f−1(5).

    Vezi răspunsul

    y = 2x − 3 dă x = y + 32, deci f−1(x) = x + 32 și f−1(5) = 4.

  10. Ex. 58GraficM1 · Mate-Info

    f(x) = ax + b trece prin A(−1, 4), B(2, −2). Determinați funcția și intersecțiile.

    Vezi răspunsul

    a = (−2 − 4) : 3 = −2, iar 4 = 2 + b dă b = 2: f(x) = −2x + 2. Cu Ox: (1, 0); cu Oy: (0, 2).

  11. Ex. 59VièteM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 + mx − 4, justificați poziția intersecțiilor față de Oy.

    Vezi răspunsul

    Δ = m2 + 16 > 0, deci există două intersecții cu Ox. Produsul rădăcinilor este −4 < 0, deci au semne opuse: câte un punct de fiecare parte a axei Oy.

  12. Ex. 60VièteM1 · Mate-Info

    Pentru f(x) = x2 − 2mx + m2 − 1, determinați m pentru rădăcini cu semne opuse.

    Vezi răspunsul

    Δ = 4 > 0 pentru orice m; semne opuse înseamnă x1x2 = m2 − 1 < 0, deci m ∈ (−1, 1).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.