M1 · Mate-Info⏱ 2 sesiuni

M1·f

Încărcăm partea curentă…

Funcții, inverse și parametri · nivel M1

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

De ținut minte

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v

Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

1P ne dă f(0) = b = 2.
2Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
3Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții, inverse și parametri · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v

Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

P ne dă f(0) = b = 2.
Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Compunerea: două reguli una după alta

În f(g(x)), calculăm întâi g(x). Numărul obținut îl punem apoi în locul lui x din formula lui f. Dacă apare un parametru, îl păstrăm în calcule până obținem ecuația cerută. Ordinea funcțiilor schimbă de obicei rezultatul.

Cu un parametru, păstrăm aceeași regulă la ambele aplicări: pentru f(x) = x² + ax − 1, avem f(1) = a, apoi f(f(1)) = f(a) = a² + a · a − 1 = 2a² − 1.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

f(g(x)) nu înseamnă f(x) · g(x).

Exemplu rezolvat

f(x) = 2x + 1 și g(x) = x − 3. Află (f ∘ g)(4).

Mai întâi g(4) = 4 − 3 = 1.
Punem 1 în formula lui f: f(1) = 2 · 1 + 1.
Rezultatul este 3; f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 confirmă calculul.

Inversa întoarce drumul de calcul

O funcție inversă pornește de la rezultatul y și recuperează valoarea lui x folosită în calcul. Desfacem operațiile în ordine inversă: mai întâi adunarea sau scăderea de la final, apoi înmulțirea sau împărțirea. Formula inversei se verifică prin compunere.

y = ax + b ⇒ x = y − ba, pentru a ≠ 0

f⁻¹(x) nu înseamnă 1f(x).

Exemplu rezolvat

Găsește inversa lui f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2.

Pornim de la y = 3x + 2 și scădem 2: y − 2 = 3x.
Împărțim la 3: x = y − 23, deci f⁻¹(x) = x − 23.
Verificăm f(f⁻¹(x)) = 3(x − 2)3 + 2 = x.

Injectivă, surjectivă, bijectivă

Injectivă înseamnă că două valori diferite ale lui x nu dau același rezultat. Surjectivă înseamnă că se obține fiecare element din codomeniul declarat. Bijectivă înseamnă ambele: pentru fiecare rezultat din codomeniu există exact o valoare a lui x care îl produce.

f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b este bijectivă ⇔ a ≠ 0

Domeniul și codomeniul contează: x² nu este injectivă pe ℝ, deoarece f(1) = f(−1).

Exemplu rezolvat

Pentru ce m este f: ℝ → ℝ, f(x) = (m + 1)x − 2 bijectivă?

Dacă m = −1, funcția devine constantă, f(x) = −2; valori diferite ale lui x dau același rezultat.
Dacă m ≠ −1, din y = (m + 1)x − 2 obținem unic x = y + 2m + 1, pentru fiecare y real.
Concluzia este m ≠ −1: avem simultan injectivitate și surjectivitate.

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax² + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

Δ = b² − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul

O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x² − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.

Minimul și condiția «pentru orice x»

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul variației. Pentru a > 0 el are cea mai mică ordonată. Ca toate valorile funcției să fie deasupra unui prag, verificăm chiar această valoare minimă.

xV = −b2a; yV = f(xV)

Minimul este ordonata yV, nu abscisa xV. Pentru a < 0, vârful dă maximul.

Exemplu rezolvat

Când este x² − 4x + m > 1 pentru orice x real?

Scriem x² − 4x + m = (x − 2)² + m − 4.
Pătratul are minimul 0 la x = 2, deci minimul funcției este m − 4.
Cerem m − 4 > 1, de unde m > 5; egalitatea nu este admisă.

Relațiile lui Viète și semnele rădăcinilor

Când cunoști coeficienții unei ecuații de gradul al doilea, poți calcula suma și produsul rădăcinilor fără să le afli separat. Două rădăcini reale au semne opuse dacă produsul lor este negativ. În acest caz Δ este automat pozitiv, deoarece ac < 0.

x₁ + x₂ = −ba; x₁x₂ = ca

Nu uita împărțirea la a și minusul din formula sumei.

Exemplu rezolvat

Pentru 2x² − 6x − 8 = 0, află suma, produsul și semnele rădăcinilor.

Suma este −−62 = 3.
Produsul este −82 = −4.
Produsul negativ arată că rădăcinile sunt reale și au semne opuse; verificăm Δ = 36 + 64 = 100 > 0.

Exerciții rezolvate din lecție (22)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Pentru f(x) = 2x − 3, vrem funcția inversă. Pasul 1: ce ecuație scriem?
Vezi rezolvarea
1. Pornim de la formula funcției.
2. Notăm valoarea funcției cu y.
3. Scriem y = 2x − 3.
Răspuns: y = 2x − 3
Exercițiul 2
Pasul 2: cum îl izolăm pe x din y = 2x − 3?
Vezi rezolvarea
1. y + 3 = 2x.
2. Împărțim la 2.
3. x = y + 32.
Răspuns: x = y + 32
Exercițiul 3
Pasul 3: care este f⁻¹ și cât este f⁻¹(5)?
Vezi rezolvarea
1. Schimbăm notația y cu x: f⁻¹(x) = x + 32.
2. f⁻¹(5) = 5 + 32.
3. Rezultă f⁻¹(5) = 4.
Răspuns: f⁻¹(x) = x + 32 și f⁻¹(5) = 4
Exercițiul 4
Pentru f(x) = x + 3, determină a dacă (f ∘ f)(a) = 9.
Vezi rezolvarea
1. f(a) = a + 3.
2. f(f(a)) = a + 6.
3. a + 6 = 9.
4. Rezultă a = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 5
Pentru f(x) = x² + ax − 1, determină a dacă (f ∘ f)(1) = 1.
Vezi rezolvarea
1. f(1) = a.
2. f(f(1)) = f(a) = a² + a·a − 1 = 2a² − 1.
3. 2a² − 1 = 1, deci a² = 1.
4. Rezultă a ∈ {−1, 1}.
Răspuns: {−1, 1}
Exercițiul 6
Pentru f(x) = x² − mx, determină m dacă f(−1) = f(1).
Vezi rezolvarea
1. f(−1) = 1 + m.
2. f(1) = 1 − m.
3. 1 + m = 1 − m, deci 2m = 0.
4. Rezultă m = 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 7
Pentru f(x) = x² − x + m, determină m pentru două intersecții distincte cu Ox.
Vezi rezolvarea
1. Δ = 1 − 4m.
2. Două intersecții distincte impun 1 − 4m > 0.
3. Rezultă m < 14.
Răspuns: m < 14
Exercițiul 8
Pentru f(x) = x² + 4x + m, determină m pentru nicio intersecție cu Ox.
Vezi rezolvarea
1. Δ = 16 − 4m.
2. Nicio intersecție înseamnă 16 − 4m < 0.
3. Rezultă m > 4.
Răspuns: m > 4
Exercițiul 9
Pentru f(x) = x² − 6x + m, determină m și punctul de tangență cu Ox.
Vezi rezolvarea
1. Δ = 36 − 4m = 0, deci m = 9.
2. Funcția devine x² − 6x + 9 = (x − 3)².
3. Rădăcina dublă este x = 3.
4. Punctul de tangență este T(3, 0).
Răspuns: m=9, T(3,0)
Exercițiul 10
Pentru f(x) = x² − x + m, determină m dacă f(x) > −2 pentru orice x.
Vezi rezolvarea
1. Cerința devine x² − x + m + 2 > 0.
2. Impunem Δ = 1 − 4(m + 2) < 0.
3. −4m − 7 < 0.
4. Rezultă m > −74.
Răspuns: m > −74
Exercițiul 11
Pentru f(x) = (m − 2)x + 5, determină m pentru ca funcția să fie bijectivă pe ℝ.
Vezi rezolvarea
1. Coeficientul lui x este m − 2.
2. Funcția este bijectivă dacă m − 2 ≠ 0.
3. Rezultă m ≠ 2.
Răspuns: m ≠ 2
Exercițiul 12
Dreapta f(x) = ax + b trece prin A(−1, 4), B(2, −2). Determină funcția și intersecțiile cu axele.
Vezi rezolvarea
1. Panta este a = −2 − 42 − (−1) = −63 = −2.
2. Din A: 4 = −2(−1) + b, deci b = 2.
3. Funcția este f(x) = −2x + 2.
4. Intersecțiile sunt C(0, 2) și D(1, 0).
Răspuns: f(x)=−2x+2; C(0,2), D(1,0)
Exercițiul 13
Pentru f(x) = x² + mx − 4, scrie motivul pentru care rădăcinile au semne opuse pentru orice m.
Vezi rezolvarea
1. Δ = m² + 16 > 0, deci există două rădăcini reale distincte.
2. Prin relațiile lui Viète, x₁x₂ = −4.
3. Produsul negativ arată că rădăcinile au semne opuse.
Răspuns: Δ=m²+16>0 și x₁x₂=−4<0
Exercițiul 14
Pentru f(x) = x² − 2mx + m² − 1, determină m pentru rădăcini cu semne opuse.
Vezi rezolvarea
1. f(x) = (x − m)² − 1.
2. Rădăcinile sunt x₁ = m − 1 și x₂ = m + 1.
3. Pentru semne opuse: (m − 1)(m + 1) < 0.
4. m² − 1 < 0, deci −1 < m < 1.
Răspuns: −1 < m < 1
Exercițiul 15
f(x) = mx + 1 trece prin (3, 13). Află m.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este f(3) = 13.
2. 3m + 1 = 13, deci 3m = 12.
3. m = 4; 4 · 3 + 1 = 13.
Răspuns: 4
Exercițiul 16
f(x) = x + 2. Calculează f(f(3)).
Vezi rezolvarea
1. f(3) = 3 + 2 = 5.
2. Apoi f(5) = 5 + 2.
3. Rezultatul este 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 17
f: ℝ → ℝ, f(x) = (m − 4)x + 2. Care este singura valoare a lui m pentru care f NU este bijectivă?
Vezi rezolvarea
1. Panta este m − 4.
2. O anulăm: m − 4 = 0.
3. m = 4 dă f(x) = 2, care nu este bijectivă.
Răspuns: 4
Exercițiul 18
f(x) = 4x − 1. Calculează f⁻¹(11).
Vezi rezolvarea
1. Rezolvăm 4x − 1 = 11.
2. 4x = 12, deci x = 3.
3. f⁻¹(11) = 3, deoarece f(3) = 11.
Răspuns: 3
Exercițiul 19
Care este valoarea minimă a lui f(x) = x² − 6x + 11?
Vezi rezolvarea
1. Scriem f(x) = (x − 3)² + 2.
2. Pătratul este nenegativ și se anulează la x = 3.
3. Minimul este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 20
Care este valoarea maximă a lui f(x) = −x² + 4x + 1?
Vezi rezolvarea
1. f(x) = −(x − 2)² + 5.
2. Termenul −(x − 2)² este cel mult zero.
3. Maximul este 5, atins la x = 2.
Răspuns: 5
Exercițiul 21
Află suma rădăcinilor ecuației 2x² − 14x + 12 = 0.
Vezi rezolvarea
1. a = 2, b = −14; Δ = 196 − 96 = 100 > 0.
2. Aplicăm suma −ba = 142.
3. Suma rădăcinilor este 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 22
Funcția f(x)=ax+2 trece prin A(3,11). Află a și f(f(1)).
Vezi rezolvarea
1. f(3)=11, deci 3a+2=11. Punem prima coordonată în locul lui x; rezultatul trebuie să fie a doua coordonată.
2. a=3; f(1)=5. 3a=9 dă a=3. Apoi f(1)=3·1+2=5.
3. f(f(1))=f(5)=17. Primul calcul dă f(1)=5. Punem apoi 5 în locul lui x: 3·5+2=17.
Răspuns: f(f(1))=f(5)=17

Fișa integrală · profil Mate-Info (12)

49. Compunere
Pentru f(x) = x + 3, determinați a dacă (f ∘ f)(a) = 9.
Vezi răspunsul
(f ∘ f)(a) = a + 6 = 9, deci a = 3.
50. Compunere
Pentru f(x) = x² + ax − 1, determinați a dacă (f ∘ f)(1) = 1.
Vezi răspunsul
f(1) = a, iar f(a) = 2a² − 1 = 1, deci a² = 1: a = 1 sau a = −1.
51. Parametru
Pentru f(x) = x² − mx, determinați m dacă f(−1) = f(1).
Vezi răspunsul
f(−1) = 1 + m și f(1) = 1 − m, deci m = 0.
52. Discriminant
Pentru f(x) = x² − x + m, determinați m pentru două intersecții distincte.
Vezi răspunsul
Δ = 1 − 4m > 0, deci m < 14.
53. Discriminant
Pentru f(x) = x² + 4x + m, determinați m pentru nicio intersecție.
Vezi răspunsul
Δ = 16 − 4m < 0, deci m > 4.
54. Tangență
Pentru f(x) = x² − 6x + m, determinați m și punctul de tangență cu Ox.
Vezi răspunsul
Δ = 36 − 4m = 0, deci m = 9; punctul de tangență este (3, 0).
55. Condiție
Pentru f(x) = x² − x + m, determinați m dacă f(x) > −2 pentru orice x.
Vezi răspunsul
Minimul este f(12) = m − 14, iar m − 14 > −2 dă m > −74.
56. Bijectivitate
Pentru f(x) = (m − 2)x + 5, determinați m pentru bijectivitate.
Vezi răspunsul
m ≠ 2 (panta nenulă).
57. Inversă
Pentru f(x) = 2x − 3, determinați inversa și calculați f⁻¹(5).
Vezi răspunsul
y = 2x − 3 dă x = y + 32, deci f⁻¹(x) = x + 32 și f⁻¹(5) = 4.
58. Grafic
f(x) = ax + b trece prin A(−1, 4), B(2, −2). Determinați funcția și intersecțiile.
Vezi răspunsul
a = (−2 − 4) : 3 = −2, iar 4 = 2 + b dă b = 2: f(x) = −2x + 2. Cu Ox: (1, 0); cu Oy: (0, 2).
59. Viète
Pentru f(x) = x² + mx − 4, justificați poziția intersecțiilor față de Oy.
Vezi răspunsul
Δ = m² + 16 > 0, deci există două intersecții cu Ox. Produsul rădăcinilor este −4 < 0, deci au semne opuse: câte un punct de fiecare parte a axei Oy.
60. Viète
Pentru f(x) = x² − 2mx + m² − 1, determinați m pentru rădăcini cu semne opuse.
Vezi răspunsul
Δ = 4 > 0 pentru orice m; semne opuse înseamnă x₁x₂ = m² − 1 < 0, deci m ∈ (−1, 1).