Nivelul 3 · rădăcini, Bézout și factorizare

O rădăcină și un factor spun aceeași poveste în două limbaje. Teorema lui Bézout este podul dintre ele și apare aproape în orice problemă de Bac cu polinoame.

Pentru factorul X+a verificăm valoarea −a. Semnul este capcana cea mai frecventă.

Bézout în trei forme echivalente

a este rădăcină ⇔ P(a)=0

P(a)=0 ⇔ X−a divide P(X)

P(X)=(X−a)Q(X) când restul este 0

După ce găsești un factor liniar, folosește Horner pentru cât.
Repetă procesul până ajungi la un polinom ușor de rezolvat.
Exponentul factorului arată multiplicitatea rădăcinii.

Exemplu de factorizare

De la factor comun la rădăcini

P(X)=X³−4X

1.Scoatem X factor comun: P(X)=X(X²−4).
2.Folosim diferența de pătrate: X²−4=(X−2)(X+2).
3.Rădăcinile sunt 0, 2 și −2.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Ce înseamnă că a este rădăcină a polinomului P?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(a) = 0
Ex. 2Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care afirmație este teorema lui Bézout?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Restul împărțirii lui P la X − a este P(a); deci X − a divide P exact când P(a) = 0.
Ex. 3Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care sunt rădăcinile polinomului X² − 5X + 6?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 și 3
Ex. 4Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Factorizează X³ − 4X.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X(X − 2)(X + 2)
Ex. 5Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Este X − 2 divizor al lui P(X) = X³ − 3X² + 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: P(2) = 8 − 12 + 4 = 0.
Ex. 6Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru ce valoare a lui m, polinomul P(X) = X² + mX − 6 are rădăcina 2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + 2m − 6 = 0, deci m = 1.
Ex. 7Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă P(X) este divizibil cu X + 3, ce valoare trebuie să verifici?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(−3) = 0
Ex. 8Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Polinomul P(X) = (X − 1)²(X + 4) are rădăcina 1 cu multiplicitatea:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 9Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă P are rădăcinile −1, 2 și 5 și coeficientul dominant este 1, atunci P(X) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X + 1)(X − 2)(X − 5) = X³ − 6X² + 3X + 10
Ex. 10Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Câte rădăcini reale distincte are P(X) = (X − 2)³(X + 1)²?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 (rădăcinile 2 și −1)
Ex. 11Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă P(1) = 0 și P(−2) = 0, care produs divide sigur P(X)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X − 1)(X + 2)
Ex. 12Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Factorizează complet P(X) = X³ − X² − 6X.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X(X² − X − 6) = X(X − 3)(X + 2)