Încărcăm partea curentă…

Nivelul 3 · rădăcini, Bézout și factorizare

Rădăcină, factor și rest zero: aceeași condiție

a este rădăcină dacă P(a)=0. Teorema lui Bézout spune că aceasta este echivalentă cu divizibilitatea lui P prin X−a. Nu este suficient ca P(a) să fie mic sau întreg: trebuie să fie exact zero.

Pentru un factor X+k verificăm valoarea P(−k). După ce confirmăm o rădăcină, Horner ne dă câtul și putem continua factorizarea pe un polinom de grad mai mic.

De ținut minte

P(a)=0 ⇔ (X−a) divide P

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că X−3 divide P=X2−2X−3.

  1. 1X−3 se anulează la 3, deci calculăm P(3).
  2. 2Căutăm o valoare exact egală cu zero.
  3. 3P(3) cere să înlocuim fiecare X cu (3), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. 4P(3)=1·(3)2+(-2)·(3)+(-3)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. 5P(3)=0. Prin Bézout, X−3 este factor, iar 3 este rădăcină.

Greșeală frecventă

Greșit: P(a)≠0, dar X−a este totuși factor.

De ce: Un factor liniar corespunde restului zero. Un rest nenul infirmă divizibilitatea.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 3 · rădăcini, Bézout și factorizare: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Rădăcină, factor și rest zero: aceeași condiție

a este rădăcină dacă P(a)=0. Teorema lui Bézout spune că aceasta este echivalentă cu divizibilitatea lui P prin X−a. Nu este suficient ca P(a) să fie mic sau întreg: trebuie să fie exact zero.

Pentru un factor X+k verificăm valoarea P(−k). După ce confirmăm o rădăcină, Horner ne dă câtul și putem continua factorizarea pe un polinom de grad mai mic.

  • P(a)=0 ⇔ (X−a) divide P

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că X−3 divide P=X2−2X−3.

  1. X−3 se anulează la 3, deci calculăm P(3).
  2. Căutăm o valoare exact egală cu zero.
  3. P(3) cere să înlocuim fiecare X cu (3), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(3)=1·(3)2+(-2)·(3)+(-3)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. P(3)=0. Prin Bézout, X−3 este factor, iar 3 este rădăcină.

Greșeală frecventă: P(a)≠0, dar X−a este totuși factor. Un factor liniar corespunde restului zero. Un rest nenul infirmă divizibilitatea.

Rădăcină, factor și rest zero: aceeași condiție · consolidare 2

a este rădăcină dacă P(a)=0. Teorema lui Bézout spune că aceasta este echivalentă cu divizibilitatea lui P prin X−a. Nu este suficient ca P(a) să fie mic sau întreg: trebuie să fie exact zero.

Pentru un factor X+k verificăm valoarea P(−k). După ce confirmăm o rădăcină, Horner ne dă câtul și putem continua factorizarea pe un polinom de grad mai mic.

  • P(a)=0 ⇔ (X−a) divide P

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că X−3 divide P=X2−2X−3.

  1. X−3 se anulează la 3, deci calculăm P(3).
  2. Căutăm o valoare exact egală cu zero.
  3. P(3) cere să înlocuim fiecare X cu (3), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(3)=1·(3)2+(-2)·(3)+(-3)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. P(3)=0. Prin Bézout, X−3 este factor, iar 3 este rădăcină.

Greșeală frecventă: P(a)≠0, dar X−a este totuși factor. Un factor liniar corespunde restului zero. Un rest nenul infirmă divizibilitatea.

Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație

Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.

Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.

Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.

  • divizibilitate la X−a → P(a)=0

Exemplu rezolvat · alte date

P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.

  1. Numărul care anulează X−2 este 2.
  2. P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
  3. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
  6. P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
  7. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.

Greșeală frecventă: Înlocuiesc și m cu numărul a. Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.

Factorizarea și toate rădăcinile

Căutăm întâi factorul comun. Dacă termenul liber este zero și toți termenii conțin X, scoatem X; nu împărțim pur și simplu prin X, deoarece am pierde rădăcina 0. Diferența de pătrate se scrie A2−B2=(A−B)(A+B).

La X2−sX+p, două rădăcini r și t trebuie să aibă suma s și produsul p. Verificăm ambele condiții și scriem (X−r)(X−t). Semnul coeficientului lui X este minus suma rădăcinilor.

Când coeficientul lui X2 este a≠1, păstrăm și acest factor: a(X−r)(X−t). Putem verifica o factorizare propusă prin cele patru produse. De exemplu (X+1)(3X+2) dă 3X2, 2X, 3X și 2; adunând termenii cu X obținem 3X2+5X+2.

Dacă nu găsim ușor două rădăcini, folosim ecuația de gradul 2: pentru aX2+bX+c=0 calculăm Δ=b2−4ac. Dacă Δ≥0, rădăcinile reale sunt −b+√Δ2a și −b−√Δ2a. Calculăm separat pătratul, produsul 4ac, diferența, radicalul, fiecare numărător și numitorul. Δ<0 înseamnă că nu există rădăcini reale; în ℂ folosim √Δ=i−Δ.

Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero. Rezolvăm fiecare factor, fără să pierdem rădăcinile negative. Pentru un cubic cu o rădăcină deja verificată, aplicăm Horner și rezolvăm câtul de grad 2.

  • A2−B2=(A−B)(A+B)
  • X2−(r+t)X+rt=(X−r)(X−t)
  • Δ=b2−4ac; x1,2=−b±√Δ2a, a≠0

Exemplu rezolvat · alte date

Factorizează X2−X−12 și află rădăcinile.

  1. Citim suma rădăcinilor: minus coeficientul −1, deci 1.
  2. Citim produsul rădăcinilor: −12.
  3. Încercăm numerele 4 și −3.
  4. 4+(−3)=1: suma se potrivește.
  5. 4·(−3)=−12: produsul se potrivește.
  6. Scriem (X−4)(X−(−3))=(X−4)(X+3).
  7. X−4=0 dă X=4.
  8. X+3=0 dă X=−3. Sunt ambele rădăcini.

Greșeală frecventă: Scot factorul X și uit rădăcina 0. Ecuația X·Q(X)=0 are și soluția X=0, pe lângă soluțiile lui Q(X)=0.

Construim polinomul din rădăcini

Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Dacă r este negativ, factorul are plus: rădăcina −2 dă X+2. Pentru un polinom monic, coeficientul dominant este 1 și folosim produsul factorilor fără un multiplicator suplimentar.

Dacă se dă un coeficient dominant diferit de 1, îl punem în fața produsului. Din Viète, coeficientul de după cel dominant este minus suma rădăcinilor, înmulțită cu coeficientul dominant. Termenul liber are semnul (−1) la puterea gradului, ori produsul rădăcinilor și coeficientul dominant.

  • P(X)=a∏(X−ri)
  • termen liber = a(−1)n∏ri

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie polinomul monic cu rădăcinile −2, 1 și 3; află termenul liber.

  1. Monic înseamnă coeficient dominant 1.
  2. Rădăcina −2 dă X+2.
  3. Rădăcina 1 dă X−1.
  4. Rădăcina 3 dă X−3.
  5. P=(X+2)(X−1)(X−3).
  6. Produsul rădăcinilor: (−2)·1=−2.
  7. Înmulțim și cu 3: −2·3=−6.
  8. Gradul este 3, deci termenul liber este minus produsul: 6.

Greșeală frecventă: Rădăcina −2 dă factorul X−2. Factorul este X minus rădăcina, deci X−(−2)=X+2.

Rădăcini distincte și rădăcini repetate

Dacă factorul X−a apare la puterea k, rădăcina a are multiplicitatea k. Numărul de rădăcini distincte numără valorile diferite o singură dată. Gradul numără rădăcinile din ℂ cu multiplicitate, nu numai rădăcinile reale distincte.

Pentru o rădăcină dublă putem împărți exact de două ori prin X−a. Echivalent, P(a)=0 și P′(a)=0. P′ înseamnă derivata polinomului: derivata lui cXn este cnXn−1, iar cea a unei constante este 0.

  • (X−a)k → multiplicitatea k
  • rădăcină cel puțin dublă: P(a)=P′(a)=0

Exemplu rezolvat · alte date

P=(X−3)2(X+2). Citește rădăcinile și multiplicitățile.

  1. Din X−3=0 aflăm prima valoare: 3.
  2. Factorul X−3 apare la puterea 2.
  3. Deci 3 are multiplicitatea 2.
  4. Din X+2=0 aflăm a doua valoare: −2.
  5. Factorul X+2 apare o singură dată.
  6. Deci −2 are multiplicitatea 1.
  7. Sunt două rădăcini distincte, 3 și −2.
  8. Cu multiplicitate numărăm 2+1=3, egal cu gradul polinomului.

Greșeală frecventă: (X−3)2 produce două valori diferite ale lui X. Aceeași rădăcină 3 se repetă de două ori. Nu devine o nouă valoare.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce înseamnă că a este rădăcină a polinomului P?

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim X cu a.
    2. Dacă rezultatul este zero, polinomul se anulează.
    3. Aceasta este definiția unei rădăcini: P(a) = 0.

    Răspuns: P(a) = 0

  2. Exercițiul 2

    Care afirmație este teorema lui Bézout?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema restului spune că restul la X − a este P(a).
    2. Împărțirea este exactă exact când restul este zero.
    3. Deci P(a) = 0 ⇔ X − a divide P(X).

    Răspuns: P(a) = 0 dacă și numai dacă X − a divide P(X)

  3. Exercițiul 3

    Este X − 2 divizor al lui P(X) = X3 − 3X2 + 4?

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)3+(-3)·(2)2+4=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Prin Bézout, X − 2 divide P.

    Răspuns: Da, deoarece P(2) = 0

  4. Exercițiul 4

    Dacă P(X) este divizibil cu X + 3, ce valoare trebuie să verifici?

    Vezi rezolvarea
    1. X + 3 = X − (−3).
    2. Valoarea asociată factorului este a = −3.
    3. Condiția de divizibilitate este P(−3) = 0.

    Răspuns: P(−3) = 0

  5. Exercițiul 5

    P=X2−2X+1. Verifică dacă X−1 este factor.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)2+(-2)·(1)+1=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este Da, P(1)=0.

    Răspuns: Da, P(1)=0

  6. Exercițiul 6

    P=X2−3X+2. Verifică dacă X−1 este factor.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)2+(-3)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este Da, P(1)=0.

    Răspuns: Da, P(1)=0

  7. Exercițiul 7

    Pentru ce valoare a lui m, polinomul P(X) = X2 + mX − 6 are rădăcina 2?

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+(-6)=-2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(2)=0 cere 2m+(-2)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-2) și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 2 : 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultă 2m = 2, deci m = 1.

    Răspuns: 1

  8. Exercițiul 8

    Află m astfel încât P=X2+mX−12 să fie divizibil cu X−2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+(-12)=-8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(2)=0 cere 2m+(-8)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-8) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 8 : 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul cerut este 4.

    Răspuns: 4

  9. Exercițiul 9

    Află m astfel încât P=X2+mX−14 să fie divizibil cu X−2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+(-14)=-10. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(2)=0 cere 2m+(-10)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-10) și obținem 10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 10 : 2 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul cerut este 5.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Care sunt rădăcinile polinomului X2 − 5X + 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 2 + 3 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
    4. X−r1=0 dă X=r1.
    5. X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
    6. Rădăcinile sunt 2 și 3.

    Răspuns: 2 și 3

  11. Exercițiul 11

    Factorizează X3 − 4X.

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare termen conține X. Scoatem un singur X și reducem fiecare exponent cu unu.
    2. X=0 este o rădăcină și nu trebuie pierdută când împărțim expresia prin X.
    3. Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 2 + (-2) și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 2 · (-2) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
    6. X−r1=0 dă X=r1.
    7. X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
    8. Rezultă X(X − 2)(X + 2).

    Răspuns: X(X − 2)(X + 2)

  12. Exercițiul 12

    Factorizează complet P(X) = X3 − X2 − 6X.

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare termen conține X. Scoatem un singur X și reducem fiecare exponent cu unu.
    2. X=0 este o rădăcină și nu trebuie pierdută când împărțim expresia prin X.
    3. Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 3 + (-2) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
    6. X−r1=0 dă X=r1.
    7. X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
    8. Deci P(X) = X(X − 3)(X + 2).

    Răspuns: X(X − 3)(X + 2)

  13. Exercițiul 13

    Dacă P are rădăcinile −1, 2 și 5 și coeficientul dominant este 1, atunci P(X) este:

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul este X minus rădăcina. La rădăcină negativă, minusul ei devine plus.
    2. Factorul este X minus rădăcina. La rădăcină negativă, minusul ei devine plus.
    3. Factorul este X minus rădăcina. La rădăcină negativă, minusul ei devine plus.
    4. Polinomul monic este produsul celor trei factori.

    Răspuns: (X + 1)(X − 2)(X − 5)

  14. Exercițiul 14

    Dacă P(1) = 0 și P(−2) = 0, care produs divide sigur P(X)?

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) = 0 implică factorul X − 1.
    2. P(−2) = 0 implică factorul X + 2.
    3. Cum rădăcinile sunt distincte, produsul lor divide P.

    Răspuns: (X − 1)(X + 2)

  15. Exercițiul 15

    Un polinom monic de grad 3 are rădăcinile 2, −1 și 2. Află termenul liber.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm (-2) · 2 și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. La grad impar, termenul liber este minus produsul: calculăm (-1) · (-4) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Rezultatul cerut este 4.

    Răspuns: 4

  16. Exercițiul 16

    Polinomul P(X) = (X − 1)2(X + 4) are rădăcina 1 cu multiplicitatea:

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul asociat rădăcinii 1 este X − 1.
    2. Acesta apare la puterea a doua.
    3. Rădăcina 1 are multiplicitatea 2.

    Răspuns: 2

  17. Exercițiul 17

    Câte rădăcini reale distincte are P(X) = (X − 2)3(X + 1)2?

    Vezi rezolvarea
    1. Puterea factorului nu schimbă valoarea rădăcinii.
    2. X+1=X−(−1), deci rădăcina este −1.
    3. Avem două valori distincte, 2 și −1, chiar dacă se repetă de 3 și de 2 ori.
    4. Sunt două valori distincte, chiar dacă multiplicitățile însumează 5.

    Răspuns: 2

  18. Exercițiul 18

    P=(X−2)2(X+3). Ce multiplicitate are rădăcina 2?

    Vezi rezolvarea
    1. Multiplicitatea este exponentul factorului X−r, nu numărul factorilor diferiți.
    2. Rezultatul cerut este 2.

    Răspuns: 2

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)

  1. 1. Pornim de la zero

    Ce înseamnă că a este rădăcină a polinomului P?

    Vezi răspunsul

    P(a) = 0

  2. 2. Pornim de la zero

    Care afirmație este teorema lui Bézout?

    Vezi răspunsul

    Restul împărțirii lui P la X − a este P(a); deci X − a divide P exact când P(a) = 0.

  3. 3. Pornim de la zero

    Care sunt rădăcinile polinomului X2 − 5X + 6?

    Vezi răspunsul

    2 și 3

  4. 4. Pornim de la zero

    Factorizează X3 − 4X.

    Vezi răspunsul

    X(X − 2)(X + 2)

  5. 5. Legăm regulile

    Este X − 2 divizor al lui P(X) = X3 − 3X2 + 4?

    Vezi răspunsul

    Da: P(2) = 8 − 12 + 4 = 0.

  6. 6. Legăm regulile

    Pentru ce valoare a lui m, polinomul P(X) = X2 + mX − 6 are rădăcina 2?

    Vezi răspunsul

    4 + 2m − 6 = 0, deci m = 1.

  7. 7. Legăm regulile

    Dacă P(X) este divizibil cu X + 3, ce valoare trebuie să verifici?

    Vezi răspunsul

    P(−3) = 0

  8. 8. Legăm regulile

    Polinomul P(X) = (X − 1)2(X + 4) are rădăcina 1 cu multiplicitatea:

    Vezi răspunsul

    2

  9. 9. Legăm regulile

    Dacă P are rădăcinile −1, 2 și 5 și coeficientul dominant este 1, atunci P(X) este:

    Vezi răspunsul

    (X + 1)(X − 2)(X − 5) = X3 − 6X2 + 3X + 10

  10. 10. Rezolvi ca la Bac

    Câte rădăcini reale distincte are P(X) = (X − 2)3(X + 1)2?

    Vezi răspunsul

    2 (rădăcinile 2 și −1)

  11. 11. Rezolvi ca la Bac

    Dacă P(1) = 0 și P(−2) = 0, care produs divide sigur P(X)?

    Vezi răspunsul

    (X − 1)(X + 2)

  12. 12. Rezolvi ca la Bac

    Factorizează complet P(X) = X3 − X2 − 6X.

    Vezi răspunsul

    X(X2 − X − 6) = X(X − 3)(X + 2)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.