Nivelul 2 · împărțirea și schema Horner

Împărțirea polinoamelor seamănă cu împărțirea numerelor: obținem un cât și un rest. Pentru împărțirea la X−a există o scurtătură extrem de importantă.

Dacă împărțitorul este X+3, valoarea folosită este −3, nu 3.

Teorema împărțirii cu rest

P(X)=D(X)Q(X)+R(X)

grad R < grad D

rest la X−a = P(a)

La un împărțitor liniar, restul este o constantă.
Horner calculează simultan câtul și restul.
Ultimul număr din Horner este P(a).

Schema Horner

Împărțim la X−1

P(X)=X³−6X²+11X−6

1.Scriem coeficienții 1, −6, 11, −6 și numărul a=1.
2.Coborâm 1; apoi repetăm «înmulțim cu 1 și adunăm».
3.Obținem 1, −5, 6 și rest 0.
4.Câtul este X²−5X+6.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
În împărțirea P(X) = D(X)Q(X) + R(X), ce condiție trebuie să respecte restul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
grad R < grad D (sau R = 0).
Ex. 2Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Când împărțim un polinom P la X − 3, restul este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(3)
Ex. 3Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui P(X) = X² + 2X + 5 la X − 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(1) = 1 + 2 + 5 = 8
Ex. 4Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui P(X) = 2X³ − X + 4 la X + 2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(−2) = −16 + 2 + 4 = −10
Ex. 5Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Împarte X² − 5X + 6 la X − 2. Care este câtul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X − 3
Ex. 6Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Împarte X³ − 6X² + 11X − 6 la X − 1. Care este câtul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X² − 5X + 6 (Horner: 1, −5, 6, iar restul este 0).
Ex. 7Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
În schema Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 și a = 2, ce coeficient coborâm primul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2, coeficientul dominant.
Ex. 8Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Aplică Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 la a = 2. Care este P(2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Șirul Horner: 2, 1, 6, 7. Deci P(2) = 7.
Ex. 9Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
La împărțirea unui polinom de gradul 5 la unul de gradul 2, câtul are în mod obișnuit gradul:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 10Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă P(X) = (X − 4)(X² + 1) + 7, care este restul împărțirii lui P la X − 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7
Ex. 11Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui X⁴ − 1 la X − 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(1) = 0
Ex. 12Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă restul împărțirii lui P la X − a este 0, atunci:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X − a divide P, adică a este rădăcină a lui P.