M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 1–2 sesiuni

Încărcăm partea curentă…

Nivelul 2 · împărțirea și schema Horner

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Împărțirea cu rest: când ne oprim

P este polinomul de împărțit, D este împărțitorul nenul, Q este câtul și R este restul. Identitatea P=D·Q+R trebuie verificată. Restul poate fi zero; dacă nu este zero, gradul lui este mai mic decât gradul lui D.

Dacă grad P≥grad D, gradul câtului este diferența gradelor. Dacă grad P<grad D, câtul este zero și restul este P. Nu folosim formula diferenței de grade pentru a inventa un cât cu grad negativ.

Pentru un împărțitor de grad 1, restul este o constantă. Pentru unul de grad 2, restul are forma aX+b, unde a poate fi 0. Pentru o împărțire exactă, R=0.

De ținut minte

P=DQ+R

R=0 sau grad R<grad D

Exemplu rezolvat · alte date

Verifică împărțirea X²+X+3 la X−1, cu Q=X+2 și R=5.

1D=X−1 este nenul și are gradul 1.
2Q=X+2 are gradul 1, egal cu 2−1.
3Dezvoltăm DQ=(X−1)(X+2).
4Produsele sunt X², 2X, −X și −2.
5Reducem: DQ=X²+X−2.
6Adunăm restul 5: DQ+R=X²+X+3=P.
7Restul 5 este constant și are gradul 0, mai mic decât 1.
8Am verificat atât identitatea, cât și condiția asupra restului.

Greșeală frecventă

Greșit: Restul trebuie să fie mereu zero.

De ce: Zero apare doar la împărțirea exactă. Un rest nenul este permis dacă are grad mai mic decât împărțitorul.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 2 · împărțirea și schema Horner: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Împărțirea cu rest: când ne oprim

Pentru un împărțitor de grad 1, restul este o constantă. Pentru unul de grad 2, restul are forma aX+b, unde a poate fi 0. Pentru o împărțire exactă, R=0.

P=DQ+R
R=0 sau grad R<grad D

Exemplu rezolvat · alte date

Verifică împărțirea X²+X+3 la X−1, cu Q=X+2 și R=5.

D=X−1 este nenul și are gradul 1.
Q=X+2 are gradul 1, egal cu 2−1.
Dezvoltăm DQ=(X−1)(X+2).
Produsele sunt X², 2X, −X și −2.
Reducem: DQ=X²+X−2.
Adunăm restul 5: DQ+R=X²+X+3=P.
Restul 5 este constant și are gradul 0, mai mic decât 1.
Am verificat atât identitatea, cât și condiția asupra restului.

Greșeală frecventă: Restul trebuie să fie mereu zero. Zero apare doar la împărțirea exactă. Un rest nenul este permis dacă are grad mai mic decât împărțitorul.

Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a)

În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.

Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.

restul la X−a este P(a)
X+k=X−(−k)

Exemplu rezolvat · alte date

Află restul lui P=X²−X+2 la X+2.

X+2 se anulează la X=−2.
Restul este P(−2), nu P(2).
Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(-2)=1·(-2)²+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.

Greșeală frecventă: La X+2 calculez P(2). Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).

Rădăcină, factor și rest zero: aceeași condiție

a este rădăcină dacă P(a)=0. Teorema lui Bézout spune că aceasta este echivalentă cu divizibilitatea lui P prin X−a. Nu este suficient ca P(a) să fie mic sau întreg: trebuie să fie exact zero.

Pentru un factor X+k verificăm valoarea P(−k). După ce confirmăm o rădăcină, Horner ne dă câtul și putem continua factorizarea pe un polinom de grad mai mic.

P(a)=0 ⇔ (X−a) divide P

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că X−3 divide P=X²−2X−3.

X−3 se anulează la 3, deci calculăm P(3).
Căutăm o valoare exact egală cu zero.
P(3) cere să înlocuim fiecare X cu (3), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(3)=1·(3)²+(-2)·(3)+(-3)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
P(3)=0. Prin Bézout, X−3 este factor, iar 3 este rădăcină.

Greșeală frecventă: P(a)≠0, dar X−a este totuși factor. Un factor liniar corespunde restului zero. Un rest nenul infirmă divizibilitatea.

Horner: copiem, înmulțim, adunăm

Horner împarte un polinom la X−a și calculează în același timp P(a). Scriem coeficienții în ordinea puterilor descrescătoare, inclusiv coeficienții 0 ai puterilor lipsă. În stânga trecem numărul a care anulează împărțitorul.

Copiem primul coeficient pe rândul de jos. Înmulțim acel număr cu a, scriem produsul sub următorul coeficient și adunăm pe coloană. Rezultatul adunării este numărul cu care pornim următoarea înmulțire. Nu facem înmulțirea și adunarea într-un singur pas.

Ultimul număr de jos este restul și valoarea P(a). Numerele de dinainte sunt coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic. Dacă ultimul număr este 0, împărțirea este exactă și putem folosi câtul pentru factorizare.

coeficient nou = rezultat precedent·a + coeficient de sus
P=(X−a)Q+P(a)

Exemplu rezolvat · alte date

Împarte P=X³−4X²−X+4 la X−1.

Împărțitorul este X−1, deci a=1.
Sunt patru coloane: X³, X², X, 1.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Rândul de jos este 1; −3; −4; 0. Q=X²−3X−4 și R=0. La verificare, (X−1)Q reconstruiește P.

Greșeală frecventă: Ultimul număr intră și el în coeficienții câtului. Ultima coloană este restul. Pentru un cubic împărțit la X−a, câtul este de grad 2 și are doar primele trei rezultate drept coeficienți.

Horner: copiem, înmulțim, adunăm · consolidare 2

coeficient nou = rezultat precedent·a + coeficient de sus
P=(X−a)Q+P(a)

Exemplu rezolvat · alte date

Împarte P=X³−4X²−X+4 la X−1.

Împărțitorul este X−1, deci a=1.
Sunt patru coloane: X³, X², X, 1.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Rândul de jos este 1; −3; −4; 0. Q=X²−3X−4 și R=0. La verificare, (X−1)Q reconstruiește P.

Horner: copiem, înmulțim, adunăm · consolidare 3

coeficient nou = rezultat precedent·a + coeficient de sus
P=(X−a)Q+P(a)

Exemplu rezolvat · alte date

Împarte P=X³−4X²−X+4 la X−1.

Împărțitorul este X−1, deci a=1.
Sunt patru coloane: X³, X², X, 1.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Rândul de jos este 1; −3; −4; 0. Q=X²−3X−4 și R=0. La verificare, (X−1)Q reconstruiește P.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
În împărțirea P(X) = D(X)Q(X) + R(X), ce condiție trebuie să respecte restul?
Vezi rezolvarea
1. Teorema împărțirii cu rest fixează câtul și restul în mod unic.
2. Condiția esențială este grad R < grad D.
3. Restul poate fi zero, dar nu este obligatoriu.
Răspuns: grad R < grad D
Exercițiul 2
La împărțirea unui polinom de gradul 5 la unul de gradul 2, câtul are în mod obișnuit gradul:
Vezi rezolvarea
1. Grad Q = grad P − grad D.
2. Calculăm 5 − 2 = 3.
3. Câtul are gradul 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 3
Împărțim un polinom de gradul 8 la unul de gradul 3. Ce grad are câtul?
Vezi rezolvarea
1. Termenii dominanți au gradele 8 și 3.
2. La împărțire, gradele se scad: 8−3=5.
3. Câtul are gradul 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 4
Când împărțim un polinom P la X − 3, restul este:
Vezi rezolvarea
1. Împărțitorul are forma X − a, cu a = 3.
2. Teorema restului spune că restul este P(a).
3. Așadar, restul este P(3).
Răspuns: P(3)
Exercițiul 5
Care este restul împărțirii lui P(X) = X² + 2X + 5 la X − 1?
Vezi rezolvarea
1. Restul la X−(1) este P(1). La X+1, argumentul este negativ când a<0.
2. P(1)=1·(1)²+2·(1)+5=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
3. Obținem 1 + 2 + 5 = 8.
Răspuns: 8
Exercițiul 6
Care este restul împărțirii lui P(X) = 2X³ − X + 4 la X + 2?
Vezi rezolvarea
1. Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
2. P(-2)=2·(-2)³+(-1)·(-2)+4=-10. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
3. Calculăm −16 + 2 + 4 = −10.
Răspuns: −10
Exercițiul 7
Care este restul împărțirii lui X⁴ − 1 la X − 1?
Vezi rezolvarea
1. Restul la X−(1) este P(1). La X+1, argumentul este negativ când a<0.
2. P(1)=1·(1)⁴+(-1)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
3. Rezultatul este 0, deci împărțirea este exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 8
Dacă restul împărțirii lui P la X − a este 0, atunci:
Vezi rezolvarea
1. Restul împărțirii prin X − a este P(a).
2. Dacă restul este 0, atunci P(a) = 0.
3. Prin urmare, X − a este factor al lui P.
Răspuns: X − a divide P(X)
Exercițiul 9
P(X)=X²−25. Ce factor liniar corespunde rădăcinii X=5?
Vezi rezolvarea
1. P(5)=5²−25=0.
2. Deci restul la X−5 este zero.
3. Prin urmare, X−5 divide P(X); verificare: X²−25=(X−5)(X+5).
Răspuns: X−5
Exercițiul 10
Împarte X² − 5X + 6 la X − 2. Care este câtul?
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 2, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 2: (1)·(2)+(-5)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 2, apoi adunăm coeficientul 6 din coloana 3: (-3)·(2)+(6)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
6. Câtul este X − 3, iar restul este 0.
Răspuns: X − 3
Exercițiul 11
Împarte X³ − 6X² + 11X − 6 la X − 1. Care este câtul?
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -6 din coloana 2: (1)·(1)+(-6)=-5. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent -5, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 11 din coloana 3: (-5)·(1)+(11)=6. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Luăm rezultatul precedent 6, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -6 din coloana 4: (6)·(1)+(-6)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
6. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
7. Câtul este X² − 5X + 6.
Răspuns: X² − 5X + 6
Exercițiul 12
În schema Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 și a = 2, ce coeficient coborâm primul?
Vezi rezolvarea
1. Schema Horner începe cu primul coeficient al polinomului.
2. Coeficientul lui X³ este 2.
3. Așadar, primul număr coborât este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 13
Aplică Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 la a = 2. Care este P(2)?
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 2, îl înmulțim cu argumentul 2, apoi adunăm coeficientul -3 din coloana 2: (2)·(2)+(-3)=1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 2, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 3: (1)·(2)+(4)=6. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Luăm rezultatul precedent 6, îl înmulțim cu argumentul 2, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 4: (6)·(2)+(-5)=7. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
6. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
7. Ultimul număr este restul, deci P(2) = 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 14
Dacă P(X) = (X − 4)(X² + 1) + 7, care este restul împărțirii lui P la X − 4?
Vezi rezolvarea
1. Primul factor al produsului: calculăm 4 − 4 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
2. Un produs cu factorul zero este zero. Nu trebuie să aflăm Q(a).
3. Termenul liniar al restului: calculăm 0 · 4 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
4. Adunăm termenul liber al restului: calculăm 0 + 7 și obținem 7. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
5. Cum grad 7 = 0 < 1, restul este 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 15
Află restul împărțirii lui P(X)=X²+X+2 la X−3.
Vezi rezolvarea
1. Restul la X−(3) este P(3). La X+3, argumentul este negativ când a<0.
2. P(3)=1·(3)²+1·(3)+2=14. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
3. Restul este 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 16
Aplică Horner pentru P=X³ − 2X² − X + 2 la X−1. Află câtul.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-1)·(1)+(-1)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 4: (-2)·(1)+(2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
6. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
7. Rezultatul cerut este X² − X − 2.
Răspuns: X² − X − 2
Exercițiul 17
Aplică Horner pentru P=X³ − 3X² − X + 3 la X−1. Află câtul.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -3 din coloana 2: (1)·(1)+(-3)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-2)·(1)+(-1)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 3 din coloana 4: (-3)·(1)+(3)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
6. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
7. Rezultatul cerut este X² − 2X − 3.
Răspuns: X² − 2X − 3
Exercițiul 18
Aplică Horner pentru P=X³ − 4X² − X + 4 la X−1. Află câtul.
Vezi rezolvarea
1. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
2. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
3. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
4. Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
5. Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
6. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
7. Rezultatul cerut este X² − 3X − 4.
Răspuns: X² − 3X − 4

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)

1. Pornim de la zero
În împărțirea P(X) = D(X)Q(X) + R(X), ce condiție trebuie să respecte restul?
Vezi răspunsul
grad R < grad D (sau R = 0).
2. Pornim de la zero
Când împărțim un polinom P la X − 3, restul este:
Vezi răspunsul
P(3)
3. Pornim de la zero
Care este restul împărțirii lui P(X) = X² + 2X + 5 la X − 1?
Vezi răspunsul
P(1) = 1 + 2 + 5 = 8
4. Pornim de la zero
Care este restul împărțirii lui P(X) = 2X³ − X + 4 la X + 2?
Vezi răspunsul
P(−2) = −16 + 2 + 4 = −10
5. Legăm regulile
Împarte X² − 5X + 6 la X − 2. Care este câtul?
Vezi răspunsul
X − 3
6. Legăm regulile
Împarte X³ − 6X² + 11X − 6 la X − 1. Care este câtul?
Vezi răspunsul
X² − 5X + 6 (Horner: 1, −5, 6, iar restul este 0).
7. Legăm regulile
În schema Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 și a = 2, ce coeficient coborâm primul?
Vezi răspunsul
2, coeficientul dominant.
8. Legăm regulile
Aplică Horner pentru P(X) = 2X³ − 3X² + 4X − 5 la a = 2. Care este P(2)?
Vezi răspunsul
Șirul Horner: 2, 1, 6, 7. Deci P(2) = 7.
9. Legăm regulile
La împărțirea unui polinom de gradul 5 la unul de gradul 2, câtul are în mod obișnuit gradul:
Vezi răspunsul
3
10. Rezolvi ca la Bac
Dacă P(X) = (X − 4)(X² + 1) + 7, care este restul împărțirii lui P la X − 4?
Vezi răspunsul
7
11. Rezolvi ca la Bac
Care este restul împărțirii lui X⁴ − 1 la X − 1?
Vezi răspunsul
P(1) = 0
12. Rezolvi ca la Bac
Dacă restul împărțirii lui P la X − a este 0, atunci:
Vezi răspunsul
X − a divide P, adică a este rădăcină a lui P.