Încărcăm partea curentă…

Nivelul 4 · relațiile lui Viète la gradul 3

Viète la gradul 2: sumă și produs

Pentru aX2+bX+c, cu a≠0, Viète dă suma și produsul celor două rădăcini fără să rezolvăm ecuația. Rădăcinile se consideră în ℂ și se numără cu multiplicitate; dacă sunt reale, aceleași formule rămân valabile.

La sumă aplicăm minus coeficientului b, apoi împărțim la a. La produs folosim ca, fără minus suplimentar. Într-un polinom monic a=1; când a nu este 1, împărțirea nu poate fi omisă.

De ținut minte

x1+x2=−ba
x1x2=ca

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X2+6X−8, află suma și produsul rădăcinilor.

  1. 1Coeficientul dominant este a=2.
  2. 2Coeficientul lui X este b=6.
  3. 3Termenul liber este c=−8.
  4. 4Pentru sumă, schimbăm semnul lui b: −6.
  5. 5Împărțim −6 la 2: suma este −3.
  6. 6Pentru produs nu schimbăm semnul lui c.
  7. 7Împărțim −8 la 2: produsul este −4.
  8. 8Nu am calculat rădăcinile; am folosit direct coeficienții.

Greșeală frecventă

Greșit: Suma este ba.

De ce: Formula sumei are minus: −ba. Semnul coeficientului b și minusul formulei sunt două lucruri separate.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 4 · relațiile lui Viète la gradul 3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Viète la gradul 2: sumă și produs

Pentru aX2+bX+c, cu a≠0, Viète dă suma și produsul celor două rădăcini fără să rezolvăm ecuația. Rădăcinile se consideră în ℂ și se numără cu multiplicitate; dacă sunt reale, aceleași formule rămân valabile.

La sumă aplicăm minus coeficientului b, apoi împărțim la a. La produs folosim ca, fără minus suplimentar. Într-un polinom monic a=1; când a nu este 1, împărțirea nu poate fi omisă.

  • x1+x2=−ba
  • x1x2=ca

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X2+6X−8, află suma și produsul rădăcinilor.

  1. Coeficientul dominant este a=2.
  2. Coeficientul lui X este b=6.
  3. Termenul liber este c=−8.
  4. Pentru sumă, schimbăm semnul lui b: −6.
  5. Împărțim −6 la 2: suma este −3.
  6. Pentru produs nu schimbăm semnul lui c.
  7. Împărțim −8 la 2: produsul este −4.
  8. Nu am calculat rădăcinile; am folosit direct coeficienții.

Greșeală frecventă: Suma este ba. Formula sumei are minus: −ba. Semnul coeficientului b și minusul formulei sunt două lucruri separate.

Viète la gradul 2: sumă și produs · consolidare 2

Pentru aX2+bX+c, cu a≠0, Viète dă suma și produsul celor două rădăcini fără să rezolvăm ecuația. Rădăcinile se consideră în ℂ și se numără cu multiplicitate; dacă sunt reale, aceleași formule rămân valabile.

La sumă aplicăm minus coeficientului b, apoi împărțim la a. La produs folosim ca, fără minus suplimentar. Într-un polinom monic a=1; când a nu este 1, împărțirea nu poate fi omisă.

  • x1+x2=−ba
  • x1x2=ca

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X2+6X−8, află suma și produsul rădăcinilor.

  1. Coeficientul dominant este a=2.
  2. Coeficientul lui X este b=6.
  3. Termenul liber este c=−8.
  4. Pentru sumă, schimbăm semnul lui b: −6.
  5. Împărțim −6 la 2: suma este −3.
  6. Pentru produs nu schimbăm semnul lui c.
  7. Împărțim −8 la 2: produsul este −4.
  8. Nu am calculat rădăcinile; am folosit direct coeficienții.

Greșeală frecventă: Suma este ba. Formula sumei are minus: −ba. Semnul coeficientului b și minusul formulei sunt două lucruri separate.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 14

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 24

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 34

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 44

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète la gradul 3: s1, s2, s3

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.

  1. Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
  2. Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
  9. Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète la gradul 3: s1, s2, s3 · consolidare 2

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.

  1. Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
  2. Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
  9. Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète la gradul 3: s1, s2, s3 · consolidare 3

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.

  1. Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
  2. Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
  9. Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Construim polinomul din rădăcini

Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Dacă r este negativ, factorul are plus: rădăcina −2 dă X+2. Pentru un polinom monic, coeficientul dominant este 1 și folosim produsul factorilor fără un multiplicator suplimentar.

Dacă se dă un coeficient dominant diferit de 1, îl punem în fața produsului. Din Viète, coeficientul de după cel dominant este minus suma rădăcinilor, înmulțită cu coeficientul dominant. Termenul liber are semnul (−1) la puterea gradului, ori produsul rădăcinilor și coeficientul dominant.

  • P(X)=a∏(X−ri)
  • termen liber = a(−1)n∏ri

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie polinomul monic cu rădăcinile −2, 1 și 3; află termenul liber.

  1. Monic înseamnă coeficient dominant 1.
  2. Rădăcina −2 dă X+2.
  3. Rădăcina 1 dă X−1.
  4. Rădăcina 3 dă X−3.
  5. P=(X+2)(X−1)(X−3).
  6. Produsul rădăcinilor: (−2)·1=−2.
  7. Înmulțim și cu 3: −2·3=−6.
  8. Gradul este 3, deci termenul liber este minus produsul: 6.

Greșeală frecventă: Rădăcina −2 dă factorul X−2. Factorul este X minus rădăcina, deci X−(−2)=X+2.

Suma inverselor: verificăm că rădăcinile sunt nenule

1x1, 1x2 și 1x3 există numai dacă fiecare rădăcină este nenulă. Este suficient să verificăm s3≠0. Din Viète, s3=−da, deci pentru un cubic cu a≠0 avem nevoie de d≠0.

Aducem cele trei fracții la numitorul comun x1x2x3. La numărător rămân x2x3, x1x3 și x1x2, adică s2. Astfel suma inverselor este s2s3. Nu inversăm raportul și nu confundăm expresia cu 1s1.

  • 1x1+1x2+1x3=s2s3, s3≠0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru X3−3X2−X+3, află suma inverselor rădăcinilor.

  1. Termenul liber 3 este nenul, deci 0 nu este rădăcină.
  2. Putem forma toate cele trei inverse.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
  9. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
  10. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
  11. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
  12. Raportul este −1−3=13. Două semne minus dau o fracție pozitivă.

Greșeală frecventă: Suma inverselor este 1s1. Inversa unei sume nu este suma inverselor. Amplificarea fracțiilor arată că raportul corect este s2s3.

Exerciții rezolvate din lecție (33)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru aX2 + bX + c = 0, cu rădăcinile x1 și x2, relația corectă pentru sumă este:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, relațiile lui Viète se citesc din coeficienți.
    2. Suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui X împărțit la a.
    3. Așadar, x1 + x2 = −ba.

    Răspuns: x1 + x2 = −ba

  2. Exercițiul 2

    Pentru aX2 + bX + c = 0, produsul rădăcinilor este:

    Vezi rezolvarea
    1. La gradul 2, semnele relațiilor Viète alternează.
    2. Produsul celor două rădăcini este ca.
    3. Prin urmare, x1x2 = ca.

    Răspuns: x1x2 = ca

  3. Exercițiul 3

    Fără să rezolvi ecuația X2 − 7X + 10 = 0, calculează x1 + x2.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -7, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 71=7.
    3. Obținem −−71 = 7.

    Răspuns: 7

  4. Exercițiul 4

    Pentru rădăcinile ecuației 2X2 − 3X − 5 = 0, cât este x1x2?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. a=2, coeficientul din numărător=-5. Cu semnul formulei rezultă -52; păstrăm fracția exactă.
    3. Rezultă x1x2 = −52.

    Răspuns: −52

  5. Exercițiul 5

    Pentru 2X2−4X−6, află suma rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 42=2.
    3. Rezultatul cerut este 2.

    Răspuns: 2

  6. Exercițiul 6

    Pentru 2X2−6X−6, află suma rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
    3. Rezultatul cerut este 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 3X2 + 2X − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-31=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=21=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-41=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=3; T=2; P=4

  8. Exercițiul 8

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 2X2 − X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−21=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-11=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−31=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3

  9. Exercițiul 9

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−01=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=41=4. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-21=2. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=4; x1x2x3=2. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=0; T=4; P=2

  10. Exercițiul 10

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 5X2 − 2X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-51=5. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-21=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−11=-1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=5; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=5; T=-2; P=-1

  11. Exercițiul 11

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X2 − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−41=-4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=01=0. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-31=3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-4; x1x2+x1x3+x2x3=0; x1x2x3=3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-4; T=0; P=3

  12. Exercițiul 12

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − X2 + 3X.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-11=1. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=31=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−01=0. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=1; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=0. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=1; T=3; P=0

  13. Exercițiul 13

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 6X2 + 4X − 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-62=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=42=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-82=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=3; T=2; P=4

  14. Exercițiul 14

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 + 4X2 − 2X + 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−42=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-22=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−62=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3

  15. Exercițiul 15

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 3X3 − 6X2 + 9X − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-63=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=93=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-33=1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=2; T=3; P=1

  16. Exercițiul 16

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −X3 + 2X2 − 3X + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−2-1=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-3-1=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−4-1=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=2; T=3; P=4

  17. Exercițiul 17

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −2X3 − 4X2 + 6X − 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-4-2=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=6-2=-3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-8-2=-4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-3; x1x2x3=-4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-3; P=-4

  18. Exercițiul 18

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 4X3 − 8X + 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−04=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-84=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−124=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=0; T=-2; P=-3

  19. Exercițiul 19

    Pentru X3 + bX2 + cX + d, suma celor trei rădăcini este:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru un cubic monic, primul coeficient simetric este opusul lui b.
    2. Relația este x1 + x2 + x3 = −b.
    3. Este aceeași idee ca la gradul 2, extinsă la trei rădăcini.

    Răspuns: x1 + x2 + x3 = −b

  20. Exercițiul 20

    Pentru aX3 + bX2 + cX + d, suma produselor câte două rădăcini este:

    Vezi rezolvarea
    1. Relațiile Viète alternează semnele.
    2. Termenul simetric de ordin 2 corespunde coeficientului lui X.
    3. Rezultă x1x2 + x1x3 + x2x3 = ca.

    Răspuns: x1x2 + x1x3 + x2x3 = ca

  21. Exercițiul 21

    Pentru aX3 + bX2 + cX + d, produsul celor trei rădăcini este:

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul tuturor rădăcinilor corespunde termenului liber.
    2. La grad impar apare semnul minus.
    3. Așadar, x1x2x3 = −da.

    Răspuns: x1x2x3 = −da

  22. Exercițiul 22

    Polinomul P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6 are rădăcinile x1, x2, x3. Cât este x1 + x2 + x3?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
    3. Rezultă −(−6) = 6.

    Răspuns: 6

  23. Exercițiul 23

    Pentru același P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6, cât este x1x2 + x1x3 + x2x3?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
    3. Valoarea cerută este 11.

    Răspuns: 11

  24. Exercițiul 24

    Pentru același P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6, cât este x1x2x3?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
    3. Rezultă −(−6) = 6.

    Răspuns: 6

  25. Exercițiul 25

    Pentru P(X) = 2X3 − 4X2 − 6X + 8, cât este suma rădăcinilor?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 42=2.
    3. Rezultă 42 = 2.

    Răspuns: 2

  26. Exercițiul 26

    Pentru P=2X3−4X2+4X−6, află s1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 42=2.
    3. Rezultatul cerut este 2.

    Răspuns: 2

  27. Exercițiul 27

    Pentru P=2X3−6X2+4X−6, află s1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
    3. Rezultatul cerut este 3.

    Răspuns: 3

  28. Exercițiul 28

    Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt 1, 2 și 4. Care este coeficientul lui X2?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm rădăcina 1: calculăm 0 + 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Adunăm rădăcina 2: calculăm 1 + 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Adunăm rădăcina 3: calculăm 3 + 4 și obținem 7. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Coeficientul imediat după cel dominant este minus suma: calculăm (-1) · 7 și obținem -7. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Coeficientul este −7.

    Răspuns: −7

  29. Exercițiul 29

    Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt −1, 2 și 3. Care este termenul liber?

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · (-1) și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm (-1) · 2 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm (-2) · 3 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. La grad impar, termenul liber este minus produsul: calculăm (-1) · (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Deci d = 6.

    Răspuns: 6

  30. Exercițiul 30

    Un polinom monic de grad 3 are rădăcinile 2, −1 și 2. Află termenul liber.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul rădăcinilor, factorul 1: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Produsul rădăcinilor, factorul 2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Produsul rădăcinilor, factorul 3: calculăm (-2) · 2 și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. La grad impar, termenul liber este minus produsul: calculăm (-1) · (-4) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Rezultatul cerut este 4.

    Răspuns: 4

  31. Exercițiul 31

    Dacă rădăcinile nenule ale unui cubic au suma produselor câte două egală cu 10 și produsul egal cu 5, cât este 1x1 + 1x2 + 1x3?

    Vezi rezolvarea
    1. Punem fracțiile la același numitor, produsul rădăcinilor. Numărătorul este suma produselor câte două.
    2. Înlocuim suma produselor și produsul: calculăm 10 : 5 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Obținem 105 = 2.

    Răspuns: 2

  32. Exercițiul 32

    P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
    7. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
    8. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
    9. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
    10. Rezultatul cerut este 12.

    Răspuns: 12

  33. Exercițiul 33

    P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
    7. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
    8. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
    9. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
    10. Rezultatul cerut este 14.

    Răspuns: 14

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (14)

  1. 1. Pornim de la zero

    Pentru aX2 + bX + c = 0, cu rădăcinile x1 și x2, relația corectă pentru sumă este:

    Vezi răspunsul

    x1 + x2 = −ba

  2. 2. Pornim de la zero

    Pentru aX2 + bX + c = 0, produsul rădăcinilor este:

    Vezi răspunsul

    x1x2 = ca

  3. 3. Pornim de la zero

    Fără să rezolvi ecuația X2 − 7X + 10 = 0, calculează x1 + x2.

    Vezi răspunsul

    7

  4. 4. Pornim de la zero

    Pentru rădăcinile ecuației 2X2 − 3X − 5 = 0, cât este x1x2?

    Vezi răspunsul

    −52

  5. 5. Legăm regulile

    Pentru X3 + bX2 + cX + d, suma celor trei rădăcini este:

    Vezi răspunsul

    −b

  6. 6. Legăm regulile

    Pentru aX3 + bX2 + cX + d, suma produselor câte două rădăcini este:

    Vezi răspunsul

    ca

  7. 7. Legăm regulile

    Pentru aX3 + bX2 + cX + d, produsul celor trei rădăcini este:

    Vezi răspunsul

    −da

  8. 8. Legăm regulile

    Polinomul P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6 are rădăcinile x1, x2, x3. Cât este x1 + x2 + x3?

    Vezi răspunsul

    6

  9. 9. Legăm regulile

    Pentru același P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6, cât este x1x2 + x1x3 + x2x3?

    Vezi răspunsul

    11

  10. 10. Legăm regulile

    Pentru același P(X) = X3 − 6X2 + 11X − 6, cât este x1x2x3?

    Vezi răspunsul

    6

  11. 11. Legăm regulile

    Dacă rădăcinile nenule ale unui cubic au suma produselor câte două egală cu 10 și produsul egal cu 5, cât este 1x1 + 1x2 + 1x3?

    Vezi răspunsul

    (x1x2 + x1x3 + x2x3) : (x1x2x3) = 105 = 2

  12. 12. Rezolvi ca la Bac

    Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt 1, 2 și 4. Care este coeficientul lui X2?

    Vezi răspunsul

    −(1 + 2 + 4) = −7

  13. 13. Rezolvi ca la Bac

    Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt −1, 2 și 3. Care este termenul liber?

    Vezi răspunsul

    −(−1) · 2 · 3 = 6 (termenul liber este −x1x2x3).

  14. 14. Rezolvi ca la Bac

    Pentru P(X) = 2X3 − 4X2 − 6X + 8, cât este suma rădăcinilor?

    Vezi răspunsul

    −−42 = 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.