Nivelul 4 · relațiile lui Viète la gradul 3

Viète ne permite să calculăm expresii cu rădăcinile fără să rezolvăm ecuația. La gradul 3 avem trei informații, câte una pentru fiecare coeficient de după termenul dominant.

Mai întâi identifică a, b, c, d. Abia apoi aplică formulele; astfel eviți semnele greșite.

Formulele pe care le scriem înainte de calcule

P(X)=aX³+bX²+cX+d, a≠0

x₁+x₂+x₃=−ba

x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=ca

x₁x₂x₃=−da

Semnele alternează: minus, plus, minus.
Suma reciprocelor este s₂s₃, dacă rădăcinile sunt nenule.
x₁²+x₂²+x₃²=s₁²−2s₂.

Exemplu fără rezolvarea ecuației

Citim coeficienții

P(X)=X³−6X²+11X−6

1.a=1, b=−6, c=11, d=−6.
2.Suma rădăcinilor este −ba=6.
3.Suma produselor câte două este ca=11.
4.Produsul rădăcinilor este −da=6.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru aX² + bX + c = 0, cu rădăcinile x₁ și x₂, relația corectă pentru sumă este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁ + x₂ = −ba
Ex. 2Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru aX² + bX + c = 0, produsul rădăcinilor este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁x₂ = ca
Ex. 3Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fără să rezolvi ecuația X² − 7X + 10 = 0, calculează x₁ + x₂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7
Ex. 4Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru rădăcinile ecuației 2X² − 3X − 5 = 0, cât este x₁x₂?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−52
Ex. 5Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru X³ + bX² + cX + d, suma celor trei rădăcini este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−b
Ex. 6Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru aX³ + bX² + cX + d, suma produselor câte două rădăcini este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ca
Ex. 7Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru aX³ + bX² + cX + d, produsul celor trei rădăcini este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−da
Ex. 8Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Polinomul P(X) = X³ − 6X² + 11X − 6 are rădăcinile x₁, x₂, x₃. Cât este x₁ + x₂ + x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6
Ex. 9Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru același P(X) = X³ − 6X² + 11X − 6, cât este x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
11
Ex. 10Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru același P(X) = X³ − 6X² + 11X − 6, cât este x₁x₂x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6
Ex. 11Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă rădăcinile nenule ale unui cubic au suma produselor câte două egală cu 10 și produsul egal cu 5, cât este 1x₁ + 1x₂ + 1x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) : (x₁x₂x₃) = 105 = 2
Ex. 12Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt 1, 2 și 4. Care este coeficientul lui X²?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−(1 + 2 + 4) = −7
Ex. 13Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Rădăcinile unui polinom monic de grad 3 sunt −1, 2 și 3. Care este termenul liber?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−(−1) · 2 · 3 = 6 (termenul liber este −x₁x₂x₃).
Ex. 14Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru P(X) = 2X³ − 4X² − 6X + 8, cât este suma rădăcinilor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−−42 = 2