Încărcăm partea curentă…

Nivelul 1 · ce este un polinom

Citim polinomul: puteri, coeficienți și grad

Un polinom este o sumă de termeni de forma număr·X la o putere întreagă nenegativă. X este litera pe care o putem înlocui ulterior cu un număr. În −2X3, coeficientul este −2, iar exponentul este 3: au roluri diferite.

Scriem termenii în ordinea puterilor descrescătoare. Puterile lipsă au coeficient 0. X înseamnă 1X, iar −X înseamnă −1X. Termenul liber nu conține X; îl putem vedea drept coeficientul lui X0=1.

Gradul este cea mai mare putere cu coeficient nenul, nu cel mai mare coeficient. O constantă nenulă are grad 0. Polinomului zero nu îi atribuim aici un grad numeric: îl tratăm separat în regula împărțirii.

De ținut minte

P(X)=anXn+…+a1X+a0, an≠0
termen liber = a0

Exemplu rezolvat · alte date

În P(X)=−2X3+3X2−5, citește gradul și toți coeficienții.

  1. 1Ordonăm puterile: X3, X2, X, 1.
  2. 2În fața lui X3 citim −2, inclusiv semnul minus.
  3. 3În fața lui X2 citim 3.
  4. 4Termenul cu X lipsește: scriem 0X.
  5. 5Termenul fără X este −5.
  6. 6Șirul coeficienților este −2; 3; 0; −5.
  7. 7Cea mai mare putere cu coeficient nenul este 3, deci gradul este 3.
  8. 8Coeficientul dominant este −2, iar termenul liber −5. Niciunul nu este gradul.

Greșeală frecventă

Greșit: Sar peste coeficientul 0 când lipsește X.

De ce: Fiecare coloană corespunde unei puteri. Dacă sari peste ea, coeficienții următori ajung în coloanele greșite, mai ales la Horner.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 1 · ce este un polinom: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Citim polinomul: puteri, coeficienți și grad

Un polinom este o sumă de termeni de forma număr·X la o putere întreagă nenegativă. X este litera pe care o putem înlocui ulterior cu un număr. În −2X3, coeficientul este −2, iar exponentul este 3: au roluri diferite.

Scriem termenii în ordinea puterilor descrescătoare. Puterile lipsă au coeficient 0. X înseamnă 1X, iar −X înseamnă −1X. Termenul liber nu conține X; îl putem vedea drept coeficientul lui X0=1.

Gradul este cea mai mare putere cu coeficient nenul, nu cel mai mare coeficient. O constantă nenulă are grad 0. Polinomului zero nu îi atribuim aici un grad numeric: îl tratăm separat în regula împărțirii.

  • P(X)=anXn+…+a1X+a0, an≠0
  • termen liber = a0

Exemplu rezolvat · alte date

În P(X)=−2X3+3X2−5, citește gradul și toți coeficienții.

  1. Ordonăm puterile: X3, X2, X, 1.
  2. În fața lui X3 citim −2, inclusiv semnul minus.
  3. În fața lui X2 citim 3.
  4. Termenul cu X lipsește: scriem 0X.
  5. Termenul fără X este −5.
  6. Șirul coeficienților este −2; 3; 0; −5.
  7. Cea mai mare putere cu coeficient nenul este 3, deci gradul este 3.
  8. Coeficientul dominant este −2, iar termenul liber −5. Niciunul nu este gradul.

Greșeală frecventă: Sar peste coeficientul 0 când lipsește X. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Dacă sari peste ea, coeficienții următori ajung în coloanele greșite, mai ales la Horner.

Citim polinomul: puteri, coeficienți și grad · consolidare 2

Un polinom este o sumă de termeni de forma număr·X la o putere întreagă nenegativă. X este litera pe care o putem înlocui ulterior cu un număr. În −2X3, coeficientul este −2, iar exponentul este 3: au roluri diferite.

Scriem termenii în ordinea puterilor descrescătoare. Puterile lipsă au coeficient 0. X înseamnă 1X, iar −X înseamnă −1X. Termenul liber nu conține X; îl putem vedea drept coeficientul lui X0=1.

Gradul este cea mai mare putere cu coeficient nenul, nu cel mai mare coeficient. O constantă nenulă are grad 0. Polinomului zero nu îi atribuim aici un grad numeric: îl tratăm separat în regula împărțirii.

  • P(X)=anXn+…+a1X+a0, an≠0
  • termen liber = a0

Exemplu rezolvat · alte date

În P(X)=−2X3+3X2−5, citește gradul și toți coeficienții.

  1. Ordonăm puterile: X3, X2, X, 1.
  2. În fața lui X3 citim −2, inclusiv semnul minus.
  3. În fața lui X2 citim 3.
  4. Termenul cu X lipsește: scriem 0X.
  5. Termenul fără X este −5.
  6. Șirul coeficienților este −2; 3; 0; −5.
  7. Cea mai mare putere cu coeficient nenul este 3, deci gradul este 3.
  8. Coeficientul dominant este −2, iar termenul liber −5. Niciunul nu este gradul.

Greșeală frecventă: Sar peste coeficientul 0 când lipsește X. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Dacă sari peste ea, coeficienții următori ajung în coloanele greșite, mai ales la Horner.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 24

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 34

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 44

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

P(a): înlocuim, calculăm, adunăm

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

P(X)=X3+2X−3. Calculează P(−2).

  1. Identificăm argumentul −2; înlocuim toate aparițiile lui X.
  2. P(−2)=(−2)3+2(−2)−3.
  3. P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(-2)=1·(-2)3+2·(-2)+(-3)=-15. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Prin urmare P(−2)=−15. Puterea negativă și semnul coeficientului au fost urmărite separat.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Adunăm numai termeni asemenea

Termenii asemenea au aceeași putere a lui X. La adunare le adunăm coeficienții și păstrăm puterea. 2X2+X2=3X2, nu 3X4. Termenii cu puteri diferite nu se pot contopi.

Aliniem coloanele X2, X și termen liber; scriem 0 unde lipsește ceva. La scădere, minusul din fața celui de-al doilea polinom schimbă semnul fiecărui termen. După reducere, gradul poate scădea dacă termenii dominanți se anulează.

  • aXk+bXk=(a+b)Xk
  • P−Q=P+(−Q)

Exemplu rezolvat · alte date

P=2X2+3X−1, Q=X2−2X+4. Calculează P+Q.

  1. Scriem P și Q în aceeași ordine: X2, X, 1.
  2. Coeficienții lui P sunt 2; 3; −1.
  3. Coeficienții lui Q sunt 1; −2; 4.
  4. Lucrăm pe câte o coloană; nu adunăm exponenții.
  5. Coeficientul lui X2: calculăm 2 + 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  6. Coeficientul lui X: calculăm 3 + (-2) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  7. Coeficientul lui 1 (termenul liber): calculăm (-1) + 4 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Obținem 3X2+X+3. Coeficientul 1 al lui X se poate omite.

Greșeală frecventă: X2+3X2=4X4. La adunare se schimbă coeficientul, nu exponentul. Adunarea exponenților se folosește la înmulțirea puterilor.

Înmulțirea cu un număr: fiecare coeficient

În kP(X), numărul k înmulțește fiecare termen, inclusiv termenul liber. Puterile lui X rămân aceleași. Un coeficient negativ rămâne în calcul cu semnul său.

Aplicăm distributivitatea, apoi scriem rezultatul în aceeași ordine. Pentru k≠0, gradul unui polinom nenul rămâne același; pentru k=0, rezultatul este polinomul zero, tratat separat.

  • k(aX2+bX+c)=kaX2+kbX+kc

Exemplu rezolvat · alte date

P=X2−3X+2. Calculează 2P.

  1. Scalarul este 2 și se distribuie tuturor termenilor.
  2. Primul coeficient al lui P este 1.
  3. 2·1=2: primul termen devine 2X2.
  4. Coeficientul lui X este −3, inclusiv minusul.
  5. 2·(−3)=−6: al doilea termen devine −6X.
  6. Termenul liber este 2.
  7. 2·2=4: noul termen liber este 4.
  8. Asamblăm: 2P=2X2−6X+4.

Greșeală frecventă: 2P=2X2−3X+2. Ai înmulțit numai primul termen. Scalarul se aplică tuturor coeficienților și termenului liber.

Produsul: fiecare termen cu fiecare

La produsul a două paranteze înmulțim fiecare termen din prima cu fiecare termen din a doua. Într-un produs de două binoame sunt patru produse. Le păstrăm separat înainte de reducere.

La Xp·Xᑫ, exponenții se adună. La adunarea produselor asemenea, se adună doar coeficienții. Pentru două polinoame nenule cu coeficienți reali sau complecși, gradul produsului este suma gradelor.

  • (X+a)(X+b)=X2+(a+b)X+ab
  • grad(PQ)=grad P+grad Q, P,Q≠0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (X−2)(X+4).

  1. Primul binom este X+(−2), al doilea X+4.
  2. Scriem cele patru produse înainte de a reduce termenii.
  3. Distribuim înmulțirea: X·X, X·b, a·X și a·b. Nu sărim peste niciun produs.
  4. X·X=X2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții.
  5. X·(4)=4X. Păstrăm semnul lui b.
  6. (-2)·X=-2X. Păstrăm semnul lui a.
  7. Termenul liber, produsul celor două constante: calculăm (-2) · 4 și obținem -8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Adunăm coeficienții termenilor cu X: calculăm 4 + (-2) și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. Rezultatul este X2+2X−8. Produsul constant este negativ, fiind produsul unui număr negativ cu unul pozitiv.

Greșeală frecventă: Înmulțesc numai X·X și constantele. Lipsesc produsele încrucișate X·b și a·X. Acestea dau coeficientul termenului cu X.

Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație

Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.

Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.

Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.

  • divizibilitate la X−a → P(a)=0

Exemplu rezolvat · alte date

P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.

  1. Numărul care anulează X−2 este 2.
  2. P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
  3. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
  6. P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
  7. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.

Greșeală frecventă: Înlocuiesc și m cu numărul a. Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.

Exerciții rezolvate din lecție (33)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În P(X) = 3X4 − 2X + 7, care este gradul polinomului?

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul cu puterea cea mai mare este 3X4.
    2. Coeficientul 3 este nenul.
    3. Prin urmare, grad P = 4.

    Răspuns: 4

  2. Exercițiul 2

    Care este coeficientul lui X2 în P(X) = 5X3 − 4X2 + X − 8?

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul care conține X2 este −4X2.
    2. Numărul din fața lui X2 este −4.
    3. Deci coeficientul cerut este −4.

    Răspuns: −4

  3. Exercițiul 3

    Care este termenul liber al polinomului 2X3 + X − 9?

    Vezi rezolvarea
    1. Termenii 2X3 și X depind de X.
    2. Singurul termen fără X este −9.
    3. Termenul liber este −9.

    Răspuns: −9

  4. Exercițiul 4

    Ce grad are polinomul constant P(X) = 8?

    Vezi rezolvarea
    1. Putem scrie 8 = 8X0.
    2. Cea mai mare putere prezentă este X0.
    3. Deci grad P = 0.

    Răspuns: 0

  5. Exercițiul 5

    Care polinom este egal cu P(X) = 2X2 + 0X − 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul 0X este mereu zero.
    2. Îl putem elimina fără să schimbăm polinomul.
    3. Rămâne P(X) = 2X2 − 5.

    Răspuns: 2X2 − 5

  6. Exercițiul 6

    Care este coeficientul lui X în P(X)=2X3−2X2+7?

    Vezi rezolvarea
    1. Puterea X1 lipsește. Scriem 0X, astfel încât să nu deplasăm coloanele coeficienților.
    2. Rezultatul cerut este 0.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Calculează P(1) pentru P(X)=X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    Calculează P(1) pentru P(X)=2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=2·(1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    Calculează P(0) pentru P(X)=X + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. P(0) cere să înlocuim fiecare X cu (0), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(0)=1·(0)+4=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 4

  10. Exercițiul 10

    Calculează P(1) pentru P(X)=X2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)2+1=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Calculează P(2) pentru P(X)=X2 + X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+1·(2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 8

  12. Exercițiul 12

    Calculează P(2) pentru P(X)=2X2 − X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=2·(2)2+(-1)·(2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 7

  13. Exercițiul 13

    Calculează P(-1) pentru P(X)=X2 + 2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+3=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  14. Exercițiul 14

    Calculează P(-2) pentru P(X)=X2 − X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 7

  15. Exercițiul 15

    Calculează P(-1) pentru P(X)=2X2 + X − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=2·(-1)2+1·(-1)+(-1)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 0

  16. Exercițiul 16

    Calculează P(1) pentru P(X)=X3 − X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)3+(-1)·(1)+2=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  17. Exercițiul 17

    Calculează P(2) pentru P(X)=X3 − X2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)3+(-1)·(2)2+1=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  18. Exercițiul 18

    Calculează P(-1) pentru P(X)=X3 + X2 − 2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)3+1·(-1)2+(-2)·(-1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  19. Exercițiul 19

    Pentru P(X) = 2X3 − 3X + 1, calculează P(2).

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=2·(2)3+(-3)·(2)+1=11. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul este 16 − 6 + 1 = 11.

    Răspuns: 11

  20. Exercițiul 20

    Pentru P(X) = −X2 + 4X − 5, calculează P(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=(-1)·(-1)2+4·(-1)+(-5)=-10. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Prin urmare, P(−1) = −10.

    Răspuns: −10

  21. Exercițiul 21

    P(X)=X2+2X−1. Calculează P(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+(-1)=-2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este -2.

    Răspuns: -2

  22. Exercițiul 22

    Dacă P(X) = X2 + 2X și Q(X) = 3X2 − X + 1, atunci P(X) + Q(X) este:

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm 1 + 3 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm 2 + (-1) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Coeficientul lui 1 (termenul liber): calculăm 0 + 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Termenul liber este 1, deci suma este 4X2 + X + 1.

    Răspuns: 4X2 + X + 1

  23. Exercițiul 23

    Adună P=2X2−2X+3 și Q=X2+X−1.

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm 2 + 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm (-2) + 1 și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Coeficientul lui 1 (termenul liber): calculăm 3 + (-1) și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Rezultatul cerut este 3X2 − X + 2.

    Răspuns: 3X2 − X + 2

  24. Exercițiul 24

    Adună P=2X2−3X+3 și Q=X2+X−1.

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm 2 + 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm (-3) + 1 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Coeficientul lui 1 (termenul liber): calculăm 3 + (-1) și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Rezultatul cerut este 3X2 − 2X + 2.

    Răspuns: 3X2 − 2X + 2

  25. Exercițiul 25

    Dacă P(X) = 2X2 − X + 4, atunci 3P(X) este:

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm 3 · 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul liber: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Obținem 6X2 − 3X + 12.

    Răspuns: 6X2 − 3X + 12

  26. Exercițiul 26

    P=X2−2X+3. Calculează −2P.

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm (-2) · 1 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm (-2) · (-2) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul liber: calculăm (-2) · 3 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Rezultatul cerut este −2X2 + 4X − 6.

    Răspuns: −2X2 + 4X − 6

  27. Exercițiul 27

    P=X2−3X+3. Calculează −2P.

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui X2: calculăm (-2) · 1 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Coeficientul lui X: calculăm (-2) · (-3) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul liber: calculăm (-2) · 3 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Rezultatul cerut este −2X2 + 6X − 6.

    Răspuns: −2X2 + 6X − 6

  28. Exercițiul 28

    Calculează (X + 2)(X − 3).

    Vezi rezolvarea
    1. Distribuim înmulțirea: X·X, X·b, a·X și a·b. Nu sărim peste niciun produs.
    2. X·X=X2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții.
    3. X·(-3)=-3X. Păstrăm semnul lui b.
    4. (2)·X=2X. Păstrăm semnul lui a.
    5. Termenul liber, produsul celor două constante: calculăm 2 · (-3) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Adunăm coeficienții termenilor cu X: calculăm (-3) + 2 și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul este X2 − X − 6.

    Răspuns: X2 − X − 6

  29. Exercițiul 29

    Dacă P(X) are gradul 2 și Q(X) are gradul 3, ce grad are produsul P(X)Q(X)?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru polinoame nenule, grad(PQ) = grad P + grad Q.
    2. Adunăm 2 + 3.
    3. Produsul are gradul 5.

    Răspuns: 5

  30. Exercițiul 30

    Dezvoltă (X + 3)(X − 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Distribuim înmulțirea: X·X, X·b, a·X și a·b. Nu sărim peste niciun produs.
    2. X·X=X2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții.
    3. X·(-2)=-2X. Păstrăm semnul lui b.
    4. (3)·X=3X. Păstrăm semnul lui a.
    5. Termenul liber, produsul celor două constante: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Adunăm coeficienții termenilor cu X: calculăm (-2) + 3 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul cerut este X2 + X − 6.

    Răspuns: X2 + X − 6

  31. Exercițiul 31

    Pentru P(X) = aX2 + 3X − 1, știm că P(1) = 6. Cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=3·(1)+(-1)=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(1)=6 cere 1m+(2)=6. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 6 − 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 4 : 1 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Scădem 2 și obținem a = 4.

    Răspuns: 4

  32. Exercițiul 32

    Află m astfel încât P=X2+mX−12 să fie divizibil cu X−2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+(-12)=-8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(2)=0 cere 2m+(-8)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-8) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 8 : 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul cerut este 4.

    Răspuns: 4

  33. Exercițiul 33

    Află m astfel încât P=X2+mX−14 să fie divizibil cu X−2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+(-14)=-10. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(2)=0 cere 2m+(-10)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-10) și obținem 10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 10 : 2 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultatul cerut este 5.

    Răspuns: 5

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)

  1. 1. Pornim de la zero

    În P(X) = 3X4 − 2X + 7, care este gradul polinomului?

    Vezi răspunsul

    4

  2. 2. Pornim de la zero

    Care este coeficientul lui X2 în P(X) = 5X3 − 4X2 + X − 8?

    Vezi răspunsul

    −4

  3. 3. Pornim de la zero

    Care este termenul liber al polinomului 2X3 + X − 9?

    Vezi răspunsul

    −9

  4. 4. Pornim de la zero

    Ce grad are polinomul constant P(X) = 8?

    Vezi răspunsul

    0

  5. 5. Legăm regulile

    Pentru P(X) = 2X3 − 3X + 1, calculează P(2).

    Vezi răspunsul

    P(2) = 16 − 6 + 1 = 11

  6. 6. Legăm regulile

    Pentru P(X) = −X2 + 4X − 5, calculează P(−1).

    Vezi răspunsul

    P(−1) = −1 − 4 − 5 = −10

  7. 7. Legăm regulile

    Dacă P(X) = X2 + 2X și Q(X) = 3X2 − X + 1, atunci P(X) + Q(X) este:

    Vezi răspunsul

    4X2 + X + 1

  8. 8. Legăm regulile

    Dacă P(X) = 2X2 − X + 4, atunci 3P(X) este:

    Vezi răspunsul

    6X2 − 3X + 12

  9. 9. Legăm regulile

    Calculează (X + 2)(X − 3).

    Vezi răspunsul

    X2 − X − 6

  10. 10. Rezolvi ca la Bac

    Care polinom este egal cu P(X) = 2X2 + 0X − 5?

    Vezi răspunsul

    2X2 − 5

  11. 11. Rezolvi ca la Bac

    Pentru P(X) = aX2 + 3X − 1, știm că P(1) = 6. Cât este a?

    Vezi răspunsul

    a + 3 − 1 = 6, deci a = 4.

  12. 12. Rezolvi ca la Bac

    Dacă P(X) are gradul 2 și Q(X) are gradul 3, ce grad are produsul P(X)Q(X)?

    Vezi răspunsul

    2 + 3 = 5

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.