Încărcăm partea curentă…

Legi de compoziție, grupuri, inele și corpuri · nivel M1

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

În viața reală

Media a două note, x + y2, este o lege de compoziție: din două note face o a treia. Ea este comutativă, dar nu are element neutru.

De ținut minte

a*b: înlocuim x = a și y = b
comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 13*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 24*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 33*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Legi de compoziție, grupuri, inele și corpuri · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

  • a*b: înlocuim x = a și y = b
  • comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 3*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 4*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 3*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.

Elementul neutru și simetricul

Elementul neutru e lasă orice x neschimbat: x*e = x. Scriem condiția cu formula legii și aflăm e.

Simetricul lui x este x′ pentru care x*x′ = e: compus cu x, dă chiar elementul neutru, nu 0.

  • x*e = x
  • x*x′ = e

Exemplu cu alte date

Pentru x*y = x + y + 4, află elementul neutru și simetricul lui 1.

  1. x + e + 4 = x, deci e = −4.
  2. Simetricul verifică 1 + x′ + 4 = −4.
  3. x′ = −9. Verificare: 1*(−9) = 1 − 9 + 4 = −4.

Forma canonică (x − a)(y − a) + a

Multe legi de la Bac se pot scrie x*y = (x − a)(y − a) + a sau (x + a)(y + a) − a. Desfacem parantezele și comparăm cu legea dată.

În forma (x − a)(y − a) + a, elementul neutru este a + 1, iar calculele devin mult mai scurte. Intervalul (a, ∞) este parte stabilă: produsul a două numere pozitive este pozitiv.

  • (x − a)(y − a) + a = xy − ax − ay + a2 + a
  • elementul neutru: e = a + 1

Exemplu cu alte date

Scrie x*y = xy − 3x − 3y + 12 în forma (x − a)(y − a) + a.

  1. (x − 3)(y − 3) = xy − 3x − 3y + 9.
  2. 9 + 3 = 12, deci a = 3.
  3. x*y = (x − 3)(y − 3) + 3, cu elementul neutru e = 4.

Arătăm că avem un grup

Verificăm în ordine: legea este bine definită pe mulțime (parte stabilă), apoi asociativitatea, elementul neutru și simetricul fiecărui element.

Simetricul găsit trebuie să rămână în mulțime; altfel structura nu este grup.

  • parte stabilă → asociativitate → neutru → simetric

Exemplu cu alte date

Pentru x*y = x + y − 1 pe ℝ, află neutrul și simetricul lui x.

  1. x + e − 1 = x, deci e = 1.
  2. x + x′ − 1 = 1, deci x′ = 2 − x.
  3. 2 − x este real pentru orice x real, deci fiecare element are simetric.

Grup, inel, corp

Un grup cere o lege asociativă, un element neutru și simetric pentru fiecare element. Dacă legea este și comutativă, grupul este abelian.

Un inel are două operații: grup abelian la adunare, înmulțire asociativă și distributivitate. Un corp este un inel în care orice element nenul are invers la înmulțire.

  • grup: asociativ + neutru + simetric
  • corp: inel + invers pentru orice element nenul

Exemplu cu alte date

Este (ℚ*, ·) grup?

  1. Înmulțirea este asociativă, iar neutrul este 1.
  2. Orice fracție nenulă pq are inversul qp, tot în ℚ*.
  3. Da, (ℚ*, ·) este grup abelian.

Clasele de resturi ℤn

În ℤn lucrăm doar cu resturile împărțirii la n. Adunăm sau înmulțim reprezentanții, apoi păstrăm restul împărțirii la n.

ℤn are n elemente: 0̂, 1̂, …, până la clasa lui n − 1.

  • â + b̂ = clasa restului lui a + b
  • â · b̂ = clasa restului lui a · b

Exemplu cu alte date

În ℤ6 calculează 4̂ + 5̂ și 4̂ · 5̂.

  1. 4 + 5 = 9 = 6 + 3, deci 3̂.
  2. 4 · 5 = 20 = 18 + 2, deci 2̂.
  3. Rezultatele sunt 3̂ și 2̂.

Inversul unei clase în ℤn

Căutăm x̂ cu â · x̂ = 1̂: încercăm pe rând clasele 1̂, 2̂, … până când produsul dă restul 1.

Dacă a și n au un divizor comun mai mare decât 1, inversul nu există. De aceea ℤn este corp exact când n este prim.

  • â · x̂ = 1̂
  • ℤn corp ⇔ n prim

Exemplu cu alte date

În ℤ7 află inversul lui 4̂.

  1. 4 · 1 = 4, iar 4 · 2 = 8 = 7 + 1.
  2. Restul este 1 la a doua încercare.
  3. Inversul lui 4̂ este 2̂.

Grupuri de matrice A(a)

Pentru A(a) = , produsul este A(a) · A(b) = A(a + b): parametrii se adună. Neutrul este A(0) = I2, iar inversul lui A(a) este A(−a).

Aplicând regula de mai multe ori, A(a)n = A(na).

  • A(a) · A(b) = A(a + b)
  • A(a)−1 = A(−a)

Exemplu cu alte date

Calculează A(4) · A(−1) și inversa lui A(4).

  1. A(4) · A(−1) = A(4 + (−1)) = A(3).
  2. Inversa lui A(4) are parametrul −4.
  3. Verificare: A(4) · A(−4) = A(0) = I2.

Permutări: grupul S3

O permutare a lui {1, 2, 3} este o funcție bijectivă; S3 are 3! = 6 permutări. Compunerea se citește din interior spre exterior: σ2(1) = σ(σ(1)).

Ordinul unei permutări este cel mai mic k ≥ 1 pentru care σk este permutarea identică.

  • |Sn| = n!
  • σ2(k) = σ(σ(k))

Exemplu cu alte date

τ(1) = 3, τ(2) = 1, τ(3) = 2. Cât este τ2(1)?

  1. τ(1) = 3.
  2. τ(3) = 2.
  3. τ2(1) = τ(τ(1)) = 2.

Subgrup și ordinul unui element

Un subgrup este o parte a grupului care rămâne grup cu aceeași lege: verificăm că este parte stabilă, că are neutrul și simetricele.

Ordinul unui element a este cel mai mic k ≥ 1 pentru care a, compus cu el însuși de k ori, dă neutrul; el divide numărul de elemente ale grupului.

  • ordinul lui a: cel mai mic k cu ak = e
  • ordinul elementului divide ordinul grupului

Exemplu cu alte date

În (ℤ8, +), care este ordinul lui 6̂?

  1. 6̂ + 6̂ = 12̂ = 4̂, apoi 4̂ + 6̂ = 10̂ = 2̂.
  2. 2̂ + 6̂ = 8̂ = 0̂, la al patrulea termen.
  3. Ordinul lui 6̂ este 4, care divide 8.

Morfisme: funcții care păstrează operația

f este morfism între (G, *) și (H, ∘) dacă f(x * y) = f(x) ∘ f(y). Dacă f este și bijectivă, este izomorfism.

Un morfism duce elementul neutru în elementul neutru: la grupuri aditive f(0) = 0, iar la corpuri f(1) = 1. Din f(x) · f(−x) = f(0) rezultă și f(−x).

  • f(x * y) = f(x) ∘ f(y)
  • morfism + bijectiv = izomorfism

Exemplu cu alte date

Este f(x) = 5x morfism de la (ℝ, +) la (ℝ, +)?

  1. f(x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y.
  2. f(x) + f(y) = 5x + 5y.
  3. Sunt egale, deci f este morfism.

Soluții întregi: de la produs la perechi de divizori

Dacă două numere întregi au produsul 6, fiecare este un divizor al lui 6. Verificăm și factorii negativi. Ordinea contează: (1, 6) și (6, 1) sunt perechi diferite.

După ce aflăm factorii, revenim la necunoscutele inițiale. Dacă se cer numere naturale, păstrăm numai valori întregi cel puțin egale cu 0. O expresie de forma 2m + 1 trebuie să fie impară.

Metoda listei finite de divizori se aplică unui produs egal cu un număr nenul. Pentru produsul 0, unul dintre factori este 0; pot exista infinit de multe soluții.

  • uv = k ≠ 0 ⇒ u divide k, v = ku

Exemplu complet, diferit de exerciții

Găsește m, n naturale dacă (m − 4)(n − 4) = 2.

  1. Perechile de factori sunt (1,2), (2,1), (−1,−2), (−2,−1).
  2. Adăugăm 4 fiecărui factor: (m,n) = (5,6), (6,5), (3,2), (2,3).
  3. Toate valorile sunt naturale. Verificăm, de exemplu, (3−4)(2−4)=2. Lista este completă fiindcă am folosit toți divizorii lui 2.

Factor cu coeficient: 2m + 1 divide 6

Dacă un factor are forma 2m + 1, el este mereu impar, deci poate lua doar divizorii impari ai numărului din dreapta, pozitivi sau negativi.

Pentru fiecare valoare a factorului aflăm m și celălalt factor, apoi păstrăm doar perechile cerute: întregi sau naturale.

  • 2m + 1 = divizor impar
  • celălalt factor = produsul : (2m + 1)

Exemplu cu alte date

Câte perechi întregi (m, n) verifică (2m + 1)(n − 1) = 3?

  1. 2m + 1 poate fi −3, −1, 1 sau 3.
  2. Obținem (−2, 0), (−1, −2), (0, 4) și (1, 2).
  3. Sunt 4 perechi.

Un pătrat întreg într-un produs egal cu −1

Un pătrat de număr întreg este întotdeauna nenegativ. Dacă înmulțit cu un alt întreg dă −1, pătratul nu poate fi 0 și trebuie să fie un divizor pozitiv al lui 1. Singura valoare posibilă este 1; celălalt factor este −1.

Ecuația t2=1 are două soluții, t=1 și t=−1. Revenim la necunoscutele inițiale și numărăm perechile ordonate distincte. Aici folosim convenția ℕ={0,1,2,…}: păstrăm 0, dar eliminăm valorile negative.

  • t2≥0 și t2·k=−1 ⇒ t2=1, k=−1
  • t2=1 ⇒ t=±1

Exemplu diferit, rezolvat complet

Câte perechi naturale (u,v) satisfac (u+1)2(v−3)=−1?

  1. Pătratul (u+1)2 este întreg, pozitiv și divide 1. Prin urmare (u+1)2=1 și v−3=−1.
  2. Din u+1=±1 rezultă u=0 sau u=−2; din v−3=−1 obținem v=2.
  3. Păstrăm numai valori naturale: u=−2 nu este permis. Perechea (0,2) verifică produsul −1, deci avem o singură pereche.

Exerciții rezolvate din lecție (47)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege de compoziție este o regulă care asociază oricăror două numere un al treilea număr.
    2. Înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii: 2*5 = 2 + 5 − 3.
    3. Obținem 7 − 3.
    4. Răspuns final: 2*5 = 4.

    Răspuns: 4

  2. Exercițiul 2

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.
    2. Calculăm y*x schimbând între ele rolurile: y*x = yx + y + x.
    3. Cum înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, xy + x + y = yx + y + x.
    4. Cele două expresii coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  3. Exercițiul 3

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru e este numărul care lasă orice x neschimbat: x*e = x.
    2. Scriem condiția cu formula legii: x + e − 3 = x.
    3. Reducem x din ambii membri: e − 3 = 0.
    4. Răspuns final: e = 3. Verificare: 7*3 = 7 + 3 − 3 = 7.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui 5 este numărul x′ pentru care 5*x′ = e, unde e = 3 este elementul neutru.
    2. Scriem condiția: 5 + x′ − 3 = 3.
    3. Rezultă x′ + 2 = 3, deci x′ = 1.
    4. Verificare: 5*1 = 5 + 1 − 3 = 3 = e. Răspuns final: x′ = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi rezolvarea
    1. Respectăm ordinea parantezelor: mai întâi 1*2.
    2. 1*2 = 1 + 2 − 3 = 0.
    3. Apoi 0*3 = 0 + 3 − 3 = 0.
    4. Răspuns final: (1*2)*3 = 0. Legea fiind asociativă, și 1*(2*3) dă tot 0.

    Răspuns: 0

  6. Exercițiul 6

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm forma (x − a)(y − a) + a, care simplifică toate calculele ulterioare.
    2. Desfacem (x − 2)(y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 + 2.
    3. Obținem xy − 2x − 2y + 6, adică exact legea dată.
    4. Răspuns final: x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Răspuns: (x−2)(y−2)+2

  7. Exercițiul 7

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem condiția x*e = x: (x − 2)(e − 2) + 2 = x.
    2. Trecem 2 în membrul drept: (x − 2)(e − 2) = x − 2.
    3. Pentru ca egalitatea să fie adevărată la orice x, trebuie ca e − 2 = 1.
    4. Răspuns final: e = 3. La forma (x − a)(y − a) + a elementul neutru este mereu a + 1.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi rezolvarea
    1. În ℤ4 lucrăm cu resturile împărțirii la 4, deci clasele sunt 0̂, 1̂, 2̂ și 3̂.
    2. Adunăm reprezentanții: 2 + 3 = 5.
    3. Împărțim 5 la 4 și păstrăm restul: 5 = 4·1 + 1.
    4. Răspuns final: 2̂ + 3̂ = 1̂.

    Răspuns: 1̂

  9. Exercițiul 9

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim reprezentanții: 3 · 4 = 12.
    2. Reducem modulo 5: 12 = 5·2 + 2.
    3. Restul este 2.
    4. Răspuns final: 3̂ · 4̂ = 2̂.

    Răspuns: 2̂

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm clasa care înmulțită cu 3̂ dă 1̂, adică inversul lui 3̂.
    2. Încercăm pe rând: 3·1 = 3, 3·2 = 6 = 1 modulo 5.
    3. Am găsit soluția la a doua încercare.
    4. Răspuns final: x = 2̂, adică inversul lui 3̂ în ℤ5 este 2̂.

    Răspuns: 2̂

  11. Exercițiul 11

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm cele trei condiții de grup pentru înmulțirea numerelor reale nenule.
    2. Înmulțirea este asociativă, iar elementul neutru este 1.
    3. Orice număr real nenul x are inversul 1x, care este tot în ℝ*.
    4. Răspuns final: (ℝ*, ·) este grup, chiar abelian, pentru că înmulțirea este și comutativă.

    Răspuns: grup

  12. Exercițiul 12

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi rezolvarea
    1. Un inel cere: grup abelian față de prima operație, asociativitate pentru a doua și distributivitate.
    2. (ℤ, +) este grup abelian, cu neutrul 0 și simetricul lui x egal cu −x.
    3. Înmulțirea este asociativă, comutativă, are unitatea 1 și este distributivă față de adunare.
    4. Răspuns final: inel comutativ cu unitate. Nu este corp, pentru că 2 nu are invers în ℤ.

    Răspuns: inel

  13. Exercițiul 13

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. ℤn este corp exact atunci când n este număr prim.
    2. 6 nu este prim, pentru că 6 = 2 · 3.
    3. Concret, clasa 2̂ nu are invers: 2̂·0̂ = 0̂, 2̂·1̂ = 2̂, 2̂·2̂ = 4̂, 2̂·3̂ = 0̂, 2̂·4̂ = 2̂, 2̂·5̂ = 4̂ și niciunul nu este 1̂.
    4. Răspuns final: nu. În schimb ℤ5 și ℤ7 sunt corpuri.

    Răspuns: nu

  14. Exercițiul 14

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi rezolvarea
    1. O clasă k̂ este inversabilă în ℤn exact când k și n sunt prime între ele.
    2. Verificăm care dintre 1, 2, 3, 4, 5 este prim cu 6: doar 1 și 5.
    3. Deci elementele inversabile sunt 1̂ și 5̂, iar 5̂·5̂ = 25̂ = 1̂.
    4. Răspuns final: 2 elemente inversabile.

    Răspuns: 2

  15. Exercițiul 15

    Intervalul (2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Luăm x > 2 și y > 2, deci x − 2 > 0 și y − 2 > 0.
    2. Produsul a două numere strict pozitive este strict pozitiv: (x − 2)(y − 2) > 0.
    3. Atunci x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 > 2, deci rezultatul rămâne în interval.
    4. Răspuns final: da, (2, ∞) este parte stabilă față de această lege.

    Răspuns: da

  16. Exercițiul 16

    Exercițiul 52 ghidat · Vrem să arătăm că ((2, ∞), *) este grup pentru x*y = (x − 2)(y − 2) + 2. Pasul 1: de ce începem cu partea stabilă?

    Vezi rezolvarea
    1. O lege de compoziție pe o mulțime H trebuie să ducă orice pereche din H tot într-un element din H.
    2. Dacă rezultatul ar ieși din (2, ∞), nu am putea vorbi despre structură pe acest interval.
    3. Partea stabilă nu înlocuiește celelalte axiome, ci le precedă.
    4. Abia după ea verificăm asociativitatea, neutrul și simetricele.

    Răspuns: Pentru că trebuie ca x*y să rămână în (2, ∞), altfel legea nu este bine definită pe mulțime

  17. Exercițiul 17

    Pasul 2: pentru x > 2 și y > 2, ce semn are produsul (x − 2)(y − 2)?

    Vezi rezolvarea
    1. Din x > 2 rezultă x − 2 > 0, iar din y > 2 rezultă y − 2 > 0.
    2. Produsul a două numere strict pozitive este strict pozitiv.
    3. Atunci x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 > 0 + 2 = 2.
    4. Deci rezultatul rămâne în (2, ∞): intervalul este parte stabilă.

    Răspuns: Strict pozitiv, deci x*y > 2

  18. Exercițiul 18

    Pasul 3: care este elementul neutru al legii pe acest interval?

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția x*e = x devine (x − 2)(e − 2) + 2 = x.
    2. Trecem 2 în dreapta: (x − 2)(e − 2) = x − 2.
    3. Cum x > 2, putem simplifica cu x − 2, deci e − 2 = 1.
    4. Rezultă e = 3, care aparține intervalului (2, ∞).

    Răspuns: e = 3

  19. Exercițiul 19

    Pasul 4: scrieți simetricul unui element oarecare x din (2, ∞).

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul verifică x*x′ = 3, adică (x − 2)(x′ − 2) + 2 = 3.
    2. Rezultă (x − 2)(x′ − 2) = 1, deci x′ − 2 = 1x − 2.
    3. Obținem x′ = 1x − 2 + 2, iar cum 1x − 2 > 0, avem x′ > 2: simetricul rămâne în interval.
    4. Toate condițiile fiind îndeplinite, ((2, ∞), *) este grup abelian. Răspuns final: x′ = 1x − 2 + 2.

    Răspuns: 1x−2+2

  20. Exercițiul 20

    Pentru legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 pe (2, ∞), determinați simetricul lui 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru este e = 3.
    2. Simetricul lui 4 verifică (4 − 2)(x′ − 2) + 2 = 3, adică 2(x′ − 2) = 1.
    3. Rezultă x′ − 2 = 12, deci x′ = 52.
    4. Verificare: 52 > 2, deci simetricul rămâne în interval. Răspuns final: x′ = 52.

    Răspuns: 52

  21. Exercițiul 21

    În grupul G = {A(a) = | a ∈ ℝ}, calculați A(3)n și precizați parametrul obținut în funcție de n.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula grupului este A(a)·A(b) = A(a + b), deci parametrii se adună.
    2. Aplicând-o repetat, A(3)2 = A(6) și A(3)3 = A(9).
    3. Prin inducție, A(3)n = A(3n) = .
    4. Răspuns final: parametrul este 3n.

    Răspuns: 3n

  22. Exercițiul 22

    Câte elemente are grupul permutărilor S3?

    Vezi rezolvarea
    1. Grupul S3 conține toate funcțiile bijective de la {1, 2, 3} la {1, 2, 3}.
    2. Numărul lor este 3! = 3 · 2 · 1.
    3. Legea grupului este compunerea funcțiilor, iar neutrul este permutarea identică.
    4. Răspuns final: S3 are 6 elemente.

    Răspuns: 6

  23. Exercițiul 23

    În S3 fie σ dată de σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1. Calculați σ2(1), adică σ(σ(1)).

    Vezi rezolvarea
    1. Compunerea se citește dinăuntru spre exterior.
    2. Aplicăm întâi σ: σ(1) = 2.
    3. Aplicăm din nou σ rezultatului: σ(2) = 3.
    4. Răspuns final: σ2(1) = 3.

    Răspuns: 3

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 57 semi-ghidat · Pentru σ ∈ S3 cu σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, ce înseamnă ordinul lui σ?

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinul unui element într-un grup finit este cel mai mic exponent natural nenul care îl aduce la elementul neutru.
    2. În S3 elementul neutru este permutarea identică e, cu e(k) = k.
    3. Numărul de elemente ale grupului se numește ordinul grupului, nu al elementului.
    4. Calculăm deci puterile succesive ale lui σ.

    Răspuns: Cel mai mic k ≥ 1 pentru care σk = e

  25. Exercițiul 25

    Acum calculați ordinul lui σ.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm σ2: σ2(1) = σ(2) = 3, σ2(2) = σ(3) = 1, σ2(3) = σ(1) = 2, deci σ2 ≠ e.
    2. Calculăm σ3: σ3(1) = σ(σ2(1)) = σ(3) = 1, σ3(2) = σ(1) = 2, σ3(3) = σ(2) = 3.
    3. Toate valorile rămân pe loc, deci σ3 = e.
    4. Răspuns final: ordinul lui σ este 3. El divide 6, ordinul grupului S3.

    Răspuns: 3

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 58 semi-ghidat · Pentru a arăta că 3ℤ este subgrup al lui (ℤ, +), ce verificăm mai întâi?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima condiție este ca mulțimea să fie parte stabilă față de legea grupului, aici adunarea.
    2. Elementul 1 nu trebuie să aparțină: neutrul adunării este 0, nu 1.
    3. Cardinalitatea nu are niciun rol în definiția subgrupului.
    4. Verificăm deci suma a doi multipli oarecare de 3.

    Răspuns: Că suma a doi multipli de 3 este tot multiplu de 3

  27. Exercițiul 27

    Scrieți suma 3k + 3m sub forma unui multiplu de 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Dăm factor comun pe 3: 3k + 3m = 3(k + m).
    2. Cum k și m sunt întregi, și k + m este întreg, deci rezultatul este multiplu de 3.
    3. Neutrul 0 = 3·0 aparține mulțimii, iar simetricul lui 3k este 3(−k), tot în 3ℤ.
    4. Răspuns final: 3(k + m), deci 3ℤ este subgrup al lui (ℤ, +).

    Răspuns: 3(k+m)

  28. Exercițiul 28

    Mulțimea numerelor impare este subgrup al grupului (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm întâi dacă mulțimea este parte stabilă față de adunare.
    2. Suma a două numere impare este pară: 3 + 5 = 8, care nu este impar.
    3. Chiar și fără acest contraexemplu, neutrul 0 nu este impar, deci lipsește din mulțime.
    4. Răspuns final: nu.

    Răspuns: nu

  29. Exercițiul 29

    În grupul (ℤ6, +) determinați ordinul elementului 2̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinul lui 2̂ este cel mai mic k nenul pentru care suma a k termeni egali cu 2̂ dă 0̂.
    2. Calculăm: 2̂ + 2̂ = 4̂, care nu este 0̂.
    3. Calculăm mai departe: 4̂ + 2̂ = 6̂ = 0̂, la al treilea termen.
    4. Răspuns final: ordinul lui 2̂ este 3. El divide ordinul grupului, care este 6.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    Câte elemente are grupul (ℤ8, +)?

    Vezi rezolvarea
    1. Elementele lui ℤ8 sunt clasele resturilor împărțirii la 8.
    2. Resturile posibile sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7.
    3. Fiecare rest dă o clasă distinctă.
    4. Răspuns final: grupul are 8 elemente, deci ordinul lui este 8.

    Răspuns: 8

  31. Exercițiul 31

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 2x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima structură are adunarea, a doua înmulțirea, deci condiția este f(x + y) = f(x)·f(y).
    2. Membrul stâng: f(x + y) = 2x+y.
    3. Membrul drept: f(x)·f(y) = 2x·2y = 2x+y.
    4. Cele două coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  32. Exercițiul 32

    Funcția f: (2, ∞) → (0, ∞), f(x) = x − 2, este izomorfism de la ((2, ∞), *) cu x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm condiția de morfism: f(x*y) = x*y − 2 = (x − 2)(y − 2).
    2. Pe de altă parte f(x)·f(y) = (x − 2)(y − 2), deci cele două coincid.
    3. Funcția f este bijectivă de la (2, ∞) la (0, ∞), cu inversa f−1(t) = t + 2.
    4. Răspuns final: da. Forma canonică arată exact că legea este o înmulțire translatată.

    Răspuns: da

  33. Exercițiul 33

    Funcția f: ℤ → ℤ5, f(x) = x̂, este morfism de inele? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Un morfism de inele păstrează ambele operații și duce unitatea în unitate.
    2. Pentru adunare: clasa sumei este suma claselor, deci f(x + y) = f(x) + f(y).
    3. Pentru înmulțire: clasa produsului este produsul claselor, deci f(xy) = f(x)·f(y).
    4. În plus f(1) = 1̂, unitatea lui ℤ5. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  34. Exercițiul 34

    Dacă f: ℚ → ℚ este morfism de corpuri, cât este f(1)?

    Vezi rezolvarea
    1. Un morfism de corpuri duce unitatea primului corp în unitatea celui de-al doilea.
    2. Aplicăm condiția pe înmulțire pentru x = 1: f(1) = f(1·1) = f(1)·f(1).
    3. Deci f(1)2 = f(1), adică f(1) este 0 sau 1; valoarea 0 este exclusă prin definiție, pentru că morfismul de corpuri nu este funcția nulă.
    4. Răspuns final: f(1) = 1.

    Răspuns: 1

  35. Exercițiul 35

    În ℤ7 determinați inversul clasei 3̂ față de înmulțire.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm clasa x̂ pentru care 3̂ · x̂ = 1̂.
    2. Încercăm pe rând: 3·2 = 6, 3·3 = 9 = 2, 3·4 = 12 = 5, 3·5 = 15 = 14 + 1 = 1 modulo 7.
    3. Am găsit inversul la a patra încercare.
    4. Răspuns final: inversul lui 3̂ este 5̂. ℤ7 este corp pentru că 7 este prim.

    Răspuns: 5̂

  36. Exercițiul 36

    Câte perechi ordonate de întregi pozitivi (u,v) au uv = 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Divizorii pozitivi sunt 1,2,3,6.
    2. Perechile sunt (1,6),(2,3),(3,2),(6,1): 4.

    Răspuns: 4

  37. Exercițiul 37

    Câte perechi ordonate de întregi (u,v) au uv = 6, incluzând numerele negative?

    Vezi rezolvarea
    1. Există 4 perechi pozitive.
    2. Adăugăm (−1,−6),(−2,−3),(−3,−2),(−6,−1): în total 8.

    Răspuns: 8

  38. Exercițiul 38

    În (m−3)(n−3)=2, factorii sunt m−3=−1 și n−3=−2. Cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−3=−2.
    2. Adunăm 3: n=1; m=2, ambele naturale.

    Răspuns: 1

  39. Exercițiul 39

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−3)(n−3)=2?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorii sunt (1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1).
    2. Perechile sunt (4,5),(5,4),(2,1),(1,2). Toate sunt naturale.

    Răspuns: 4

  40. Exercițiul 40

    Câte perechi naturale (x,y) satisfac xy−4x−4y+20=7?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem (x−4)(y−4)+4=7, deci produsul este 3.
    2. Factorii: (1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1).
    3. Soluții: (5,7),(7,5),(3,1),(1,3). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  41. Exercițiul 41

    Câte valori întregi poate lua factorul 2m+1 în (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul trebuie să fie un divizor impar al lui 6.
    2. Divizorii impari sunt −3,−1,1,3: 4 valori.

    Răspuns: 4

  42. Exercițiul 42

    În (2m+1)(n−2)=6, dacă 2m+1=−3, cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−2=6−3=−2.
    2. n=0; m=−2, deci perechea este întreagă.

    Răspuns: 0

  43. Exercițiul 43

    Câte perechi întregi satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru factorul 1 obținem (0,8); pentru 3: (1,4).
    2. Pentru −1: (−1,−4); pentru −3: (−2,0). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  44. Exercițiul 44

    Câte perechi naturale satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Dintre (0,8),(1,4),(−1,−4),(−2,0), eliminăm valorile negative.
    2. Rămân (0,8) și (1,4): 2 perechi.

    Răspuns: 2

  45. Exercițiul 45

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−2)2(n−2)=−1?

    Vezi rezolvarea
    1. Pătratul întreg trebuie să fie 1, iar n−2=−1.
    2. m−2=±1, deci m=1 sau 3; n=1.
    3. Soluțiile sunt (1,1),(3,1): 2.

    Răspuns: 2

  46. Exercițiul 46

    În ℤ5, află inversul multiplicativ al clasei lui 2.

    Vezi rezolvarea
    1. 2·a≡1 (mod 5). Inversul multiplicativ produce elementul neutru al înmulțirii, clasa lui 1.
    2. 2·3=6≡1 (mod 5). 6 și 1 diferă cu un multiplu al lui 5; celelalte produse au alte resturi.
    3. Inversul clasei lui 2 este clasa lui 3. Produsul celor două clase este clasa lui 1; 2 este prim cu 5, deci inversul există.

    Răspuns: Inversul clasei lui 2 este clasa lui 3

  47. Exercițiul 47

    Pe ℝ definim x*y=x+y+2. Află elementul neutru și simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. x+e+2=x, pentru orice x. Elementul neutru trebuie să lase orice element neschimbat. Legea este comutativă, deci verificarea este aceeași în ambele ordine.
    2. e=−2. Scădem x: e+2=0, deci e=−2.
    3. 5+y+2=−2, deci y=−9. Compunerea cu simetricul trebuie să dea elementul neutru al legii, aici −2, nu neapărat 0.

    Răspuns: 5+y+2=−2, deci y=−9

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (30)

  1. 1. Calcul pe lege

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi răspunsul

    2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4

  2. 2. Comutativitate

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: xy + x + y = yx + y + x.

  3. 3. Element neutru

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x + e − 3 = x, deci e = 3.

  4. 4. Element simetric

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi răspunsul

    5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.

  5. 5. Asociativitate

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi răspunsul

    1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.

  6. 6. Formă canonică

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi răspunsul

    x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).

  7. 7. Neutru din forma canonică

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.

  8. 8. Clase de resturi

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi răspunsul

    2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂

  9. 9. Înmulțire în ℤ₅

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi răspunsul

    3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂

  10. 10. Ecuație în ℤ₅

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi răspunsul

    x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.

  11. 11. Recunoașterea grupului

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi răspunsul

    Grup comutativ (abelian).

  12. 12. Recunoașterea inelului

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi răspunsul

    Inel comutativ cu unitate (nu este corp).

  13. 13. Corp sau nu

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.

  14. 14. Elemente inversabile

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi răspunsul

    2: 1̂ și 5̂.

  15. 51. Parte stabilă

    Intervalul (2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: dacă x, y > 2, atunci (x − 2)(y − 2) > 0, deci x * y > 2.

  16. 52. Grup pe interval

    Este ((2, ∞), *) grup pentru legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: legea este asociativă, are neutrul 3, iar simetricul lui x este 2 + 1x − 2, tot în (2, ∞).

  17. 53. Simetric pe interval

    Pentru legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 pe (2, ∞), determinați simetricul lui 4.

    Vezi răspunsul

    (4 − 2)(x′ − 2) + 2 = 3, deci x′ − 2 = 12 și x′ = 52.

  18. 54. Grup de matrice

    În grupul G = {A(a) = | a ∈ ℝ}, calculați A(3)n și precizați parametrul obținut în funcție de n.

    Vezi răspunsul

    A(3)n = A(3n); parametrul este 3n.

  19. 55. Grup de permutări

    Câte elemente are grupul permutărilor S3?

    Vezi răspunsul

    3! = 6

  20. 56. Compunere de permutări

    În S3 fie σ dată de σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1. Calculați σ2(1), adică σ(σ(1)).

    Vezi răspunsul

    σ(σ(1)) = σ(2) = 3

  21. 57. Ordinul unei permutări

    Pentru σ ∈ S3 cu σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, determinați ordinul lui σ.

    Vezi răspunsul

    3: σ ≠ e, σ2 ≠ e, iar σ3 = e.

  22. 58. Subgrup

    Mulțimea 3ℤ a multiplilor lui 3 este subgrup al grupului (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  23. 59. Subgrup fals

    Mulțimea numerelor impare este subgrup al grupului (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: suma a două numere impare este pară, iar 0 nu este impar.

  24. 60. Ordinul unui element

    În grupul (ℤ6, +) determinați ordinul elementului 2̂.

    Vezi răspunsul

    3: 2̂ + 2̂ + 2̂ = 6̂ = 0̂.

  25. 61. Ordinul grupului

    Câte elemente are grupul (ℤ8, +)?

    Vezi răspunsul

    8

  26. 62. Morfism de grupuri

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 2x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 2x + y = 2x · 2y.

  27. 63. Izomorfism cu forma canonică

    Funcția f: (2, ∞) → (0, ∞), f(x) = x − 2, este izomorfism de la ((2, ∞), *) cu x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: f(x * y) = (x − 2)(y − 2) = f(x) · f(y), iar f este bijectivă.

  28. 64. Morfism de inele

    Funcția f: ℤ → ℤ5, f(x) = x̂, este morfism de inele? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: clasa sumei este suma claselor, clasa produsului este produsul claselor, iar f(1) = 1̂.

  29. 65. Morfism de corpuri

    Dacă f: ℚ → ℚ este morfism de corpuri, cât este f(1)?

    Vezi răspunsul

    f(1) = 1

  30. 66. Corp ℤₚ

    În ℤ7 determinați inversul clasei 3̂ față de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    5̂, pentru că 3̂ · 5̂ = 15̂ = 1̂.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.