M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni

M1·G

Teorie înainte de exerciții

Legi de compoziție, grupuri, inele și corpuri · nivel M1

Lecția M1 acoperă tot capitolul de structuri algebrice cerut la Mate-Info: de la legea de compoziție și forma canonică până la subgrupuri, ordinul unui element și morfisme de inele și de corpuri.

Programa M1 este singura care cere explicit partea stabilă, grupurile de permutări, subgrupul, ordinul unui element și morfismele de inele și de corpuri.

Legea de compoziție și proprietățile ei

O lege de compoziție pe o mulțime M este o regulă care asociază oricăror două elemente din M un al treilea element. O notăm de obicei cu * și o dăm printr-o formulă, de exemplu x*y = x + y − 3. Toate structurile din acest capitol se construiesc verificând pe rând aceleași patru proprietăți.

Parte stabilă: pentru orice x, y ∈ H rezultă x*y ∈ H

Comutativitate: x*y = y*x

Asociativitate: (x*y)*z = x*(y*z)

Element neutru: x*e = e*x = x

Element simetric: x*x′ = x′*x = e

Elementul neutru se află punând condiția x*e = x și reducând x.
Simetricul se află abia după ce cunoști elementul neutru.
Comutativitatea se verifică schimbând între ele rolurile lui x și y în formulă.

Forma canonică — scurtătura de la examen

Majoritatea legilor din subiecte se pot scrie ca o înmulțire translatată. Odată adusă la forma canonică, legea devine transparentă: asociativitatea este imediată, elementul neutru se citește direct, iar simetricul se obține dintr-o simplă împărțire.

x*y = xy − ax − ay + a² + a se scrie (x − a)(y − a) + a

Pentru forma (x − a)(y − a) + a: element neutru e = a + 1

Simetricul: x′ = 1x − a + a

Intervalul (a, ∞) este parte stabilă față de această lege

Recunoaște forma canonică după coeficienții egali ai lui x și y.
Verifică întotdeauna desfăcând parantezele că ai obținut legea inițială.
Pe forma canonică, asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii.

Grup, inel, corp

Structurile se construiesc una peste alta, adăugând de fiecare dată câte o cerință. Când ți se cere să identifici o structură, parcurge lista în ordine și oprește-te la prima condiție care nu este îndeplinită.

Grup: asociativitate, element neutru, simetric pentru fiecare element

Grup abelian: grup în care legea este și comutativă

Inel (A, +, ·): (A, +) grup abelian, · asociativă și distributivă față de +

Corp: inel în care orice element nenul are invers față de înmulțire

Exemple: (ℤ, +) grup, (ℤ, +, ·) inel, (ℚ, +, ·) și (ℝ, +, ·) corpuri

ℤ este inel, dar nu corp: lui 2 îi lipsește inversul.
Într-un corp nu există divizori ai lui zero.
Verifică proprietățile în ordine și oprește-te la primul contraexemplu.

Clasele de resturi modulo n

În ℤ_n lucrăm cu resturile împărțirii la n. Clasa k̂ adună la un loc toate numerele care dau restul k. Calculele se fac pe reprezentanți, iar la final se reduce modulo n.

ℤ_n are n clase: 0̂, 1̂, 2̂ și așa mai departe, până la clasa lui n − 1

â + b̂ este clasa sumei a + b, redusă modulo n

â · b̂ este clasa produsului a·b, redusă modulo n

(ℤ_n, +) este grup abelian, cu neutrul 0̂

(ℤ_n, +, ·) este inel comutativ, cu unitatea 1̂

ℤ_n este corp ⇔ n este număr prim

Clasa k̂ este inversabilă exact când k și n sunt prime între ele.
Dacă n nu este prim, apar divizori ai lui zero: în ℤ₄ avem 2̂·2̂ = 0̂.
Inversul se caută prin încercări: sunt cel mult n − 1 variante.

Morfisme și izomorfisme de grupuri

Un morfism este o funcție care transportă legea primului grup în legea celui de-al doilea. Atenție la legile diferite: dacă pleci dintr-un grup aditiv și ajungi într-unul multiplicativ, suma se transformă în produs.

Morfism: f(x*y) = f(x)∘f(y), unde * și ∘ sunt legile celor două grupuri

Izomorfism: morfism bijectiv

Orice morfism duce neutrul în neutru: f(e) = e′

Orice morfism duce simetricul în simetric: f(x′) = f(x)′

Exemplu clasic: f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·), f(x) = a^x

Scrie explicit ambele legi înainte de a verifica condiția de morfism.
Pentru izomorfism mai adaugi doar demonstrația bijectivității.
f(x) = x + 1 nu este morfism aditiv: apare o unitate în plus.

Subgrup, grup finit și ordinul unui element

Un subgrup este o submulțime care rămâne grup față de aceeași lege. Într-un grup finit, fiecare element are un ordin, iar acesta divide întotdeauna numărul de elemente ale grupului.

H subgrup al lui (G, *) ⇔ H ≠ ∅, x*y ∈ H și x′ ∈ H pentru orice x, y ∈ H

Ordinul grupului: numărul elementelor lui G

Ordinul elementului x: cel mai mic k ≥ 1 cu x^k = e

Ordinul oricărui element divide ordinul grupului

Exemple de subgrupuri ale lui (ℤ, +): nℤ, pentru n natural

Neutrul aparține obligatoriu oricărui subgrup.
Mulțimea numerelor impare nu este subgrup: nu conține 0 și nici nu este parte stabilă.
În (ℤ₆, +) ordinul lui 2̂ este 3, iar 3 divide 6.

Grupuri și inele de matrice

Familiile de matrice care depind de un parametru sunt cele mai frecvente exemple de grup din subiecte. Calculul produsului arată de obicei că parametrii se adună, ceea ce rezolvă dintr-o dată partea stabilă, neutrul și inversele.

A(a) = : A(a)·A(b) = A(a + b)

Neutrul familiei: A(0) = I₂

Inversa: A(a)⁻¹ = A(−a), iar A(a)ⁿ = A(na)

M₂(ℝ) este inel necomutativ față de adunare și înmulțire

Grupurile de matrice inversabile cer det(A) ≠ 0

Calculează întâi produsul general A(a)·A(b): el conține tot ce ai nevoie.
Pentru inel necomutativ ajunge un singur contraexemplu cu AB ≠ BA.
Verifică dacă parametrul rezultat rămâne în mulțimea din enunț.

Grupuri de permutări

O permutare a mulțimii {1, 2, ..., n} este o funcție bijectivă de la mulțime la ea însăși. Împreună cu compunerea funcțiilor ele formează grupul S_n. Compunerea se citește dinăuntru spre exterior.

S_n are n! elemente, deci S₃ are 6

Elementul neutru: permutarea identică e, cu e(k) = k

σ²(k) = σ(σ(k)), aplicat de la dreapta la stânga

Ordinul lui σ: cel mai mic k cu σ^k = e

S_n nu este comutativ pentru n ≥ 3

Scrie permutarea pe două linii: sus argumentele, jos valorile.
Calculează puterile succesive până obții identitatea.
Inversa unei permutări se obține citind tabelul de jos în sus.

Morfisme de inele și de corpuri

La inele și corpuri morfismul trebuie să păstreze ambele operații, iar unitatea să treacă în unitate. Exemplul standard este trecerea de la ℤ la ℤ_n prin luarea clasei de resturi.

f(x + y) = f(x) + f(y) și f(xy) = f(x)·f(y)

Condiția de unitate: f(1) = 1′

Exemplu: f: ℤ → ℤ_n, f(x) = x̂, este morfism surjectiv de inele

Un morfism de corpuri este întotdeauna injectiv

Din f(1) = f(1)² rezultă f(1) = 1, morfismul nefiind cel nul

Verifică separat adunarea și înmulțirea: una singură nu este suficientă.
Nu uita condiția pe unitate, care deosebește morfismul de inele de cel de grupuri.
Pentru corpuri, injectivitatea rezultă din faptul că singurele ideale sunt cele banale.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · grup pe interval și izomorfism

Pe H = (2, ∞) se definește x*y = xy − 2x − 2y + 6. Arătați că (H, *) este grup abelian și că f: H → (0, ∞), f(x) = x − 2, este izomorfism către ((0, ∞), ·).

1.Pasul 1 — forma canonică: xy − 2x − 2y + 6 = (x − 2)(y − 2) + 2, verificat prin desfacerea parantezelor.
2.Pasul 2 — parte stabilă: pentru x, y > 2 avem x − 2 > 0 și y − 2 > 0, deci (x − 2)(y − 2) > 0 și x*y > 2.
3.Pasul 3 — asociativitate: ambele grupări dau (x − 2)(y − 2)(z − 2) + 2, pentru că înmulțirea este asociativă.
4.Pasul 4 — element neutru: din (x − 2)(e − 2) = x − 2 și x − 2 ≠ 0 rezultă e − 2 = 1, deci e = 3 ∈ H.
5.Pasul 5 — simetric: din (x − 2)(x′ − 2) = 1 rezultă x′ = 1x − 2 + 2 > 2, deci simetricul rămâne în H. Grupul este abelian, legea fiind simetrică în x și y.
6.Pasul 6 — morfism: f(x*y) = (x − 2)(y − 2) + 2 − 2 = (x − 2)(y − 2) = f(x)·f(y).
7.Pasul 7 — bijectivitate: f este o translație, strict crescătoare, cu inversa f⁻¹(t) = t + 2, care duce (0, ∞) în (2, ∞).
8.Pasul 8 — concluzie: f este izomorfism. Verificare pe neutre: f(3) = 1, exact neutrul înmulțirii, iar simetricul lui x se citește ca inversul lui f(x).

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie legea și verifică dacă rezultatul rămâne în mulțime (parte stabilă).
Încearcă forma canonică: coeficienți egali pentru x și y trădează o înmulțire translatată.
Verifică asociativitatea calculând ambele grupări, sau invocă forma canonică.
Află elementul neutru din condiția x*e = x, reducând x.
Află simetricul din x*x′ = e, folosind valoarea deja găsită pentru e.
Numește structura: oprește-te la prima condiție care nu se verifică și dă contraexemplul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 30 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Calcul pe legeM1 · Mate-Info
Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4
Ex. 2ComutativitateM1 · Mate-Info
Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: xy + x + y = yx + y + x.
Ex. 3Element neutruM1 · Mate-Info
Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e − 3 = x, deci e = 3.
Ex. 4Element simetricM1 · Mate-Info
Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.
Ex. 5AsociativitateM1 · Mate-Info
Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.
Ex. 6Formă canonicăM1 · Mate-Info
Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).
Ex. 7Neutru din forma canonicăM1 · Mate-Info
Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.
Ex. 8Clase de resturiM1 · Mate-Info
În ℤ₄ calculați 2̂ + 3̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂
Ex. 9Înmulțire în ℤ₅M1 · Mate-Info
În ℤ₅ calculați 3̂ · 4̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂
Ex. 10Ecuație în ℤ₅M1 · Mate-Info
Rezolvați în ℤ₅ ecuația 3̂ · x = 1̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.
Ex. 11Recunoașterea grupuluiM1 · Mate-Info
Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Grup comutativ (abelian).
Ex. 12Recunoașterea ineluluiM1 · Mate-Info
Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inel comutativ cu unitate (nu este corp).
Ex. 13Corp sau nuM1 · Mate-Info
Este ℤ₆ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.
Ex. 14Elemente inversabileM1 · Mate-Info
Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ₆?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: 1̂ și 5̂.
Ex. 51Parte stabilăM1 · Mate-Info
Intervalul (2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: dacă x, y > 2, atunci (x − 2)(y − 2) > 0, deci x * y > 2.
Ex. 52Grup pe intervalM1 · Mate-Info
Este ((2, ∞), *) grup pentru legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: legea este asociativă, are neutrul 3, iar simetricul lui x este 2 + 1x − 2, tot în (2, ∞).
Ex. 53Simetric pe intervalM1 · Mate-Info
Pentru legea x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 pe (2, ∞), determinați simetricul lui 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(4 − 2)(x′ − 2) + 2 = 3, deci x′ − 2 = 12 și x′ = 52.
Ex. 54Grup de matriceM1 · Mate-Info
În grupul G = {A(a) = | a ∈ ℝ}, calculați A(3)ⁿ și precizați parametrul obținut în funcție de n.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(3)ⁿ = A(3n); parametrul este 3n.
Ex. 55Grup de permutăriM1 · Mate-Info
Câte elemente are grupul permutărilor S₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3! = 6
Ex. 56Compunere de permutăriM1 · Mate-Info
În S₃ fie σ dată de σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1. Calculați σ²(1), adică σ(σ(1)).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
σ(σ(1)) = σ(2) = 3
Ex. 57Ordinul unei permutăriM1 · Mate-Info
Pentru σ ∈ S₃ cu σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, determinați ordinul lui σ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: σ ≠ e, σ² ≠ e, iar σ³ = e.
Ex. 58SubgrupM1 · Mate-Info
Mulțimea 3ℤ a multiplilor lui 3 este subgrup al grupului (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 59Subgrup falsM1 · Mate-Info
Mulțimea numerelor impare este subgrup al grupului (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: suma a două numere impare este pară, iar 0 nu este impar.
Ex. 60Ordinul unui elementM1 · Mate-Info
În grupul (ℤ₆, +) determinați ordinul elementului 2̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: 2̂ + 2̂ + 2̂ = 6̂ = 0̂.
Ex. 61Ordinul grupuluiM1 · Mate-Info
Câte elemente are grupul (ℤ₈, +)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8
Ex. 62Morfism de grupuriM1 · Mate-Info
Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 2^x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 2^(x + y) = 2^x · 2^y.
Ex. 63Izomorfism cu forma canonicăM1 · Mate-Info
Funcția f: (2, ∞) → (0, ∞), f(x) = x − 2, este izomorfism de la ((2, ∞), *) cu x*y = (x − 2)(y − 2) + 2 la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: f(x * y) = (x − 2)(y − 2) = f(x) · f(y), iar f este bijectivă.
Ex. 64Morfism de ineleM1 · Mate-Info
Funcția f: ℤ → ℤ₅, f(x) = x̂, este morfism de inele? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: clasa sumei este suma claselor, clasa produsului este produsul claselor, iar f(1) = 1̂.
Ex. 65Morfism de corpuriM1 · Mate-Info
Dacă f: ℚ → ℚ este morfism de corpuri, cât este f(1)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(1) = 1
Ex. 66Corp ℤₚM1 · Mate-Info
În ℤ₇ determinați inversul clasei 3̂ față de înmulțire.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5̂, pentru că 3̂ · 5̂ = 15̂ = 1̂.