Încărcăm partea curentă…

Modele de Bac · polinoame M3

Citim polinomul: puteri, coeficienți și grad

Un polinom este o sumă de termeni de forma număr·X la o putere întreagă nenegativă. X este litera pe care o putem înlocui ulterior cu un număr. În −2X3, coeficientul este −2, iar exponentul este 3: au roluri diferite.

Scriem termenii în ordinea puterilor descrescătoare. Puterile lipsă au coeficient 0. X înseamnă 1X, iar −X înseamnă −1X. Termenul liber nu conține X; îl putem vedea drept coeficientul lui X0=1.

Gradul este cea mai mare putere cu coeficient nenul, nu cel mai mare coeficient. O constantă nenulă are grad 0. Polinomului zero nu îi atribuim aici un grad numeric: îl tratăm separat în regula împărțirii.

De ținut minte

P(X)=anXn+…+a1X+a0, an≠0
termen liber = a0

Exemplu rezolvat · alte date

În P(X)=−2X3+3X2−5, citește gradul și toți coeficienții.

  1. 1Ordonăm puterile: X3, X2, X, 1.
  2. 2În fața lui X3 citim −2, inclusiv semnul minus.
  3. 3În fața lui X2 citim 3.
  4. 4Termenul cu X lipsește: scriem 0X.
  5. 5Termenul fără X este −5.
  6. 6Șirul coeficienților este −2; 3; 0; −5.
  7. 7Cea mai mare putere cu coeficient nenul este 3, deci gradul este 3.
  8. 8Coeficientul dominant este −2, iar termenul liber −5. Niciunul nu este gradul.

Greșeală frecventă

Greșit: Sar peste coeficientul 0 când lipsește X.

De ce: Fiecare coloană corespunde unei puteri. Dacă sari peste ea, coeficienții următori ajung în coloanele greșite, mai ales la Horner.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Modele de Bac · polinoame M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Citim polinomul: puteri, coeficienți și grad

Un polinom este o sumă de termeni de forma număr·X la o putere întreagă nenegativă. X este litera pe care o putem înlocui ulterior cu un număr. În −2X3, coeficientul este −2, iar exponentul este 3: au roluri diferite.

Scriem termenii în ordinea puterilor descrescătoare. Puterile lipsă au coeficient 0. X înseamnă 1X, iar −X înseamnă −1X. Termenul liber nu conține X; îl putem vedea drept coeficientul lui X0=1.

Gradul este cea mai mare putere cu coeficient nenul, nu cel mai mare coeficient. O constantă nenulă are grad 0. Polinomului zero nu îi atribuim aici un grad numeric: îl tratăm separat în regula împărțirii.

  • P(X)=anXn+…+a1X+a0, an≠0
  • termen liber = a0

Exemplu rezolvat · alte date

În P(X)=−2X3+3X2−5, citește gradul și toți coeficienții.

  1. Ordonăm puterile: X3, X2, X, 1.
  2. În fața lui X3 citim −2, inclusiv semnul minus.
  3. În fața lui X2 citim 3.
  4. Termenul cu X lipsește: scriem 0X.
  5. Termenul fără X este −5.
  6. Șirul coeficienților este −2; 3; 0; −5.
  7. Cea mai mare putere cu coeficient nenul este 3, deci gradul este 3.
  8. Coeficientul dominant este −2, iar termenul liber −5. Niciunul nu este gradul.

Greșeală frecventă: Sar peste coeficientul 0 când lipsește X. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Dacă sari peste ea, coeficienții următori ajung în coloanele greșite, mai ales la Horner.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 24

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 34

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 44

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  3. P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  4. Concluzie: 9.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

P(a): înlocuim, calculăm, adunăm

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

P(X)=X3+2X−3. Calculează P(−2).

  1. Identificăm argumentul −2; înlocuim toate aparițiile lui X.
  2. P(−2)=(−2)3+2(−2)−3.
  3. P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(-2)=1·(-2)3+2·(-2)+(-3)=-15. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Prin urmare P(−2)=−15. Puterea negativă și semnul coeficientului au fost urmărite separat.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Viète la gradul 2: sumă și produs

Pentru aX2+bX+c, cu a≠0, Viète dă suma și produsul celor două rădăcini fără să rezolvăm ecuația. Rădăcinile se consideră în ℂ și se numără cu multiplicitate; dacă sunt reale, aceleași formule rămân valabile.

La sumă aplicăm minus coeficientului b, apoi împărțim la a. La produs folosim ca, fără minus suplimentar. Într-un polinom monic a=1; când a nu este 1, împărțirea nu poate fi omisă.

  • x1+x2=−ba
  • x1x2=ca

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X2+6X−8, află suma și produsul rădăcinilor.

  1. Coeficientul dominant este a=2.
  2. Coeficientul lui X este b=6.
  3. Termenul liber este c=−8.
  4. Pentru sumă, schimbăm semnul lui b: −6.
  5. Împărțim −6 la 2: suma este −3.
  6. Pentru produs nu schimbăm semnul lui c.
  7. Împărțim −8 la 2: produsul este −4.
  8. Nu am calculat rădăcinile; am folosit direct coeficienții.

Greșeală frecventă: Suma este ba. Formula sumei are minus: −ba. Semnul coeficientului b și minusul formulei sunt două lucruri separate.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 14

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 24

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 34

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 44

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.

  1. Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
  2. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
  3. S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
  4. T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
  5. P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
  6. x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
  7. Concluzie: S=4; T=3; P=5.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète la gradul 3: s1, s2, s3

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.

  1. Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
  2. Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
  9. Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Viète la gradul 3: s1, s2, s3 · consolidare 2

Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.

Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.

  • s1=−ba; s2=ca; s3=−da

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.

  1. Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
  2. Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
  9. Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.

Greșeală frecventă: s2=x12+x22+x32. s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.

Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a)

În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.

Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.

  • restul la X−a este P(a)
  • X+k=X−(−k)

Exemplu rezolvat · alte date

Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.

  1. X+2 se anulează la X=−2.
  2. Restul este P(−2), nu P(2).
  3. Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
  4. P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.

Greșeală frecventă: La X+2 calculez P(2). Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).

Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a) · consolidare 2

În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.

Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.

  • restul la X−a este P(a)
  • X+k=X−(−k)

Exemplu rezolvat · alte date

Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.

  1. X+2 se anulează la X=−2.
  2. Restul este P(−2), nu P(2).
  3. Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
  4. P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.

Greșeală frecventă: La X+2 calculez P(2). Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).

Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a) · consolidare 3

În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.

Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.

  • restul la X−a este P(a)
  • X+k=X−(−k)

Exemplu rezolvat · alte date

Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.

  1. X+2 se anulează la X=−2.
  2. Restul este P(−2), nu P(2).
  3. Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
  4. P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.

Greșeală frecventă: La X+2 calculez P(2). Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).

Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație

Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.

Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.

Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.

  • divizibilitate la X−a → P(a)=0

Exemplu rezolvat · alte date

P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.

  1. Numărul care anulează X−2 este 2.
  2. P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
  3. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
  6. P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
  7. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.

Greșeală frecventă: Înlocuiesc și m cu numărul a. Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.

Factorizarea și toate rădăcinile

Căutăm întâi factorul comun. Dacă termenul liber este zero și toți termenii conțin X, scoatem X; nu împărțim pur și simplu prin X, deoarece am pierde rădăcina 0. Diferența de pătrate se scrie A2−B2=(A−B)(A+B).

La X2−sX+p, două rădăcini r și t trebuie să aibă suma s și produsul p. Verificăm ambele condiții și scriem (X−r)(X−t). Semnul coeficientului lui X este minus suma rădăcinilor.

Când coeficientul lui X2 este a≠1, păstrăm și acest factor: a(X−r)(X−t). Putem verifica o factorizare propusă prin cele patru produse. De exemplu (X+1)(3X+2) dă 3X2, 2X, 3X și 2; adunând termenii cu X obținem 3X2+5X+2.

Dacă nu găsim ușor două rădăcini, folosim ecuația de gradul 2: pentru aX2+bX+c=0 calculăm Δ=b2−4ac. Dacă Δ≥0, rădăcinile reale sunt −b+√Δ2a și −b−√Δ2a. Calculăm separat pătratul, produsul 4ac, diferența, radicalul, fiecare numărător și numitorul. Δ<0 înseamnă că nu există rădăcini reale; în ℂ folosim √Δ=i−Δ.

Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero. Rezolvăm fiecare factor, fără să pierdem rădăcinile negative. Pentru un cubic cu o rădăcină deja verificată, aplicăm Horner și rezolvăm câtul de grad 2.

  • A2−B2=(A−B)(A+B)
  • X2−(r+t)X+rt=(X−r)(X−t)
  • Δ=b2−4ac; x1,2=−b±√Δ2a, a≠0

Exemplu rezolvat · alte date

Factorizează X2−X−12 și află rădăcinile.

  1. Citim suma rădăcinilor: minus coeficientul −1, deci 1.
  2. Citim produsul rădăcinilor: −12.
  3. Încercăm numerele 4 și −3.
  4. 4+(−3)=1: suma se potrivește.
  5. 4·(−3)=−12: produsul se potrivește.
  6. Scriem (X−4)(X−(−3))=(X−4)(X+3).
  7. X−4=0 dă X=4.
  8. X+3=0 dă X=−3. Sunt ambele rădăcini.

Greșeală frecventă: Scot factorul X și uit rădăcina 0. Ecuația X·Q(X)=0 are și soluția X=0, pe lângă soluțiile lui Q(X)=0.

Suma pătratelor: eliminăm produsele încrucișate

Dezvoltarea lui (x1+x2+x3)2 conține fiecare pătrat și încă de două ori fiecare produs câte două. De aceea suma pătratelor este s12−2s2. Aflăm întâi s1 și s2 din Viète.

Calculăm separat pătratul lui s1 și produsul 2s2, apoi scădem. Dacă s2 este negativ, scăderea acelui număr devine adunare. O sumă a pătratelor poate fi negativă când rădăcinile sunt complexe; nu presupunem fără dovadă că toate trei sunt reale.

  • x12+x22+x32=s12−2s2

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru X3−3X2−2X+6, află suma pătratelor rădăcinilor.

  1. Nu rezolvăm ecuația cubică.
  2. Luăm suma rădăcinilor și suma produselor câte două din coeficienți.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -21=-2.
  7. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
  8. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-2) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  10. Scădem cele două rezultate: calculăm 9 − (-4) și obținem 13. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  11. Suma pătratelor este 13, deoarece 9−(−4)=13.

Greșeală frecventă: Suma pătratelor este s12. Pătratul sumei include și produsele încrucișate. Trebuie să scazi 2s2.

Suma inverselor: verificăm că rădăcinile sunt nenule

1x1, 1x2 și 1x3 există numai dacă fiecare rădăcină este nenulă. Este suficient să verificăm s3≠0. Din Viète, s3=−da, deci pentru un cubic cu a≠0 avem nevoie de d≠0.

Aducem cele trei fracții la numitorul comun x1x2x3. La numărător rămân x2x3, x1x3 și x1x2, adică s2. Astfel suma inverselor este s2s3. Nu inversăm raportul și nu confundăm expresia cu 1s1.

  • 1x1+1x2+1x3=s2s3, s3≠0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru X3−3X2−X+3, află suma inverselor rădăcinilor.

  1. Termenul liber 3 este nenul, deci 0 nu este rădăcină.
  2. Putem forma toate cele trei inverse.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
  9. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
  10. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
  11. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
  12. Raportul este −1−3=13. Două semne minus dau o fracție pozitivă.

Greșeală frecventă: Suma inverselor este 1s1. Inversa unei sume nu este suma inverselor. Amplificarea fracțiilor arată că raportul corect este s2s3.

Suma cuburilor: trei rezultate separate

Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.

Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.

  • S3=s13−3s1s2+3s3

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.

  1. Notăm S3=x13+x23+x33.
  2. Construim formula din coeficienții polinomului.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
  9. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
  10. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  11. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  12. Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  13. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  14. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  15. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  16. Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  17. Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.

Greșeală frecventă: S3=(x1+x2+x3)3. Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.

Suma cuburilor: trei rezultate separate · consolidare 2

Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.

Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.

  • S3=s13−3s1s2+3s3

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.

  1. Notăm S3=x13+x23+x33.
  2. Construim formula din coeficienții polinomului.
  3. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
  5. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
  7. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  8. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
  9. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
  10. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  11. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  12. Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  13. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  14. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  15. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  16. Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  17. Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.

Greșeală frecventă: S3=(x1+x2+x3)3. Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.

Probleme complete de Bac · a), b), c)

Acum legăm metodele într-o singură problemă. Citim separat fiecare subpunct; dacă un parametru primește o valoare numai la b), nu o folosim automat și la c). Păstrăm toate datele pe ecran și revenim la enunțul general când ni se cere.

La a) prezentăm înlocuirea și calculul, nu doar rezultatul. La b) prezentăm câtul, restul și condiția de divizibilitate sau toate rădăcinile. La c) scriem relațiile lui Viète și identitatea folosită înainte de calcul. Concluzia trebuie să răspundă exact cerinței.

Cele trei subpuncte rămân în aceeași problemă, cu pași separați. După finalizare poți reciti toată rezolvarea și paragraful «Redactare pentru Bac». Cele 15 puncte descriu formatul unei probleme de examen; acest antrenament ghidat nu este o notă de simulare independentă.

Model complet rezolvat · alte date

Model original de tip Bac · M3. P(X)=X3 − 5X2 − X + 5. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.

  1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  2. P(1)=1·(1)3+(-5)·(1)2+(-1)·(1)+5=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  3. Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
  4. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
  5. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
  6. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 2: (1)·(1)+(-5)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
  7. Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-4)·(1)+(-1)=-5. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
  8. Luăm rezultatul precedent -5, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 5 din coloana 4: (-5)·(1)+(5)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
  9. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
  10. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  11. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -5, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 51=5.
  12. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
  13. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
  14. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
  15. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 5 · 5 și obținem 25. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  16. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  17. Scădem cele două rezultate: calculăm 25 − (-2) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  18. Rezultatul cerut este 27.
  19. Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 4X − 5, R=0. c) s1=5, s2=−1, deci S2=52−2(−1)=27.

Greșeală frecventă: Folosesc la c) parametrul numeric impus numai la b). Condiția numerică de la un subpunct nu se transferă automat. Recitim parametrul și condițiile exacte ale subpunctului curent.

Exerciții rezolvate din lecție (69)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care este gradul lui P(X)=−3X3+2X−7?

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul dominant este −3X3.
    2. Coeficientul este nenul.
    3. Gradul polinomului este 3.

    Răspuns: 3

  2. Exercițiul 2

    Care este coeficientul lui X în P(X)=2X3−2X2+7?

    Vezi rezolvarea
    1. Puterea X1 lipsește. Scriem 0X, astfel încât să nu deplasăm coloanele coeficienților.
    2. Rezultatul cerut este 0.

    Răspuns: 0

  3. Exercițiul 3

    Care este coeficientul lui X în P(X)=2X3−3X2+7?

    Vezi rezolvarea
    1. Puterea X1 lipsește. Scriem 0X, astfel încât să nu deplasăm coloanele coeficienților.
    2. Rezultatul cerut este 0.

    Răspuns: 0

  4. Exercițiul 4

    Calculează P(1) pentru P(X)=X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Calculează P(1) pentru P(X)=2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=2·(1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  6. Exercițiul 6

    Calculează P(0) pentru P(X)=X + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. P(0) cere să înlocuim fiecare X cu (0), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(0)=1·(0)+4=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 4

  7. Exercițiul 7

    Calculează P(1) pentru P(X)=X2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)2+1=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  8. Exercițiul 8

    Calculează P(2) pentru P(X)=X2 + X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)2+1·(2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 8

  9. Exercițiul 9

    Calculează P(2) pentru P(X)=2X2 − X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=2·(2)2+(-1)·(2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 7

  10. Exercițiul 10

    Calculează P(-1) pentru P(X)=X2 + 2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+3=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Calculează P(-2) pentru P(X)=X2 − X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 7

  12. Exercițiul 12

    Calculează P(-1) pentru P(X)=2X2 + X − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=2·(-1)2+1·(-1)+(-1)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 0

  13. Exercițiul 13

    Calculează P(1) pentru P(X)=X3 − X + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)3+(-1)·(1)+2=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 2

  14. Exercițiul 14

    Calculează P(2) pentru P(X)=X3 − X2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)3+(-1)·(2)2+1=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  15. Exercițiul 15

    Calculează P(-1) pentru P(X)=X3 + X2 − 2X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)3+1·(-1)2+(-2)·(-1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.

    Răspuns: 5

  16. Exercițiul 16

    Calculează P(2) pentru P(X)=X3−2X+1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(2)=1·(2)3+(-2)·(2)+1=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul este 5.

    Răspuns: 5

  17. Exercițiul 17

    Dacă P(X)=(X2−1)Q(X)+2X+3, cât este P(1)?

    Vezi rezolvarea
    1. Pătratul lui 1: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Împărțitorul la X=1: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Un produs cu factorul zero este zero. Nu trebuie să aflăm Q(a).
    4. Termenul liniar al restului: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Adunăm termenul liber al restului: calculăm 2 + 3 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. P(1)=5.

    Răspuns: 5

  18. Exercițiul 18

    P(X)=X2+2X−1. Calculează P(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+(-1)=-2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este -2.

    Răspuns: -2

  19. Exercițiul 19

    Rădăcinile lui X2−5X+6 au suma:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -5, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 51=5.
    3. Obținem 5.

    Răspuns: 5

  20. Exercițiul 20

    Rădăcinile lui X2−5X+6 au produsul:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 61=6.
    3. Obținem 6.

    Răspuns: 6

  21. Exercițiul 21

    Pentru 2X2−4X−6, află suma rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 2, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 42=2.
    3. Rezultatul cerut este 2.

    Răspuns: 2

  22. Exercițiul 22

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 3X2 + 2X − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-31=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=21=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-41=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=3; T=2; P=4

  23. Exercițiul 23

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 2X2 − X + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−21=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-11=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−31=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3

  24. Exercițiul 24

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−01=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=41=4. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-21=2. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=4; x1x2x3=2. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=0; T=4; P=2

  25. Exercițiul 25

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 5X2 − 2X + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-51=5. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-21=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−11=-1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=5; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=5; T=-2; P=-1

  26. Exercițiul 26

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X2 − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−41=-4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=01=0. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-31=3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-4; x1x2+x1x3+x2x3=0; x1x2x3=3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-4; T=0; P=3

  27. Exercițiul 27

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − X2 + 3X.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-11=1. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=31=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−01=0. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=1; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=0. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=1; T=3; P=0

  28. Exercițiul 28

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 6X2 + 4X − 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-62=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=42=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-82=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=3; T=2; P=4

  29. Exercițiul 29

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 + 4X2 − 2X + 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−42=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-22=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−62=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3

  30. Exercițiul 30

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 3X3 − 6X2 + 9X − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-63=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=93=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-33=1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=2; T=3; P=1

  31. Exercițiul 31

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −X3 + 2X2 − 3X + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−2-1=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-3-1=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−4-1=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=2; T=3; P=4

  32. Exercițiul 32

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −2X3 − 4X2 + 6X − 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−-4-2=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=6-2=-3. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−-8-2=-4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-3; x1x2x3=-4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=-2; T=-3; P=-4

  33. Exercițiul 33

    Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 4X3 − 8X + 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
    2. S=−04=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
    3. T=-84=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
    4. P=−124=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
    5. x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.

    Răspuns: S=0; T=-2; P=-3

  34. Exercițiul 34

    Pentru un cubic monic X3+bX2+cX+d, produsul rădăcinilor este:

    Vezi rezolvarea
    1. Formula generală este x1x2x3=−da.
    2. Aici a=1.
    3. Produsul este −d.

    Răspuns: −d

  35. Exercițiul 35

    Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s1?

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. s1 este opusul său: 2.

    Răspuns: 2

  36. Exercițiul 36

    Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s2?

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
    3. s2=3.

    Răspuns: 3

  37. Exercițiul 37

    Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s3?

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    3. s3=4.

    Răspuns: 4

  38. Exercițiul 38

    Pentru P=2X3−4X2+4X−6, află s1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 42=2.
    3. Rezultatul cerut este 2.

    Răspuns: 2

  39. Exercițiul 39

    Pentru P=2X3−6X2+4X−6, află s1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
    3. Rezultatul cerut este 3.

    Răspuns: 3

  40. Exercițiul 40

    Care este restul împărțirii lui X2+X+3 la X−2?

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(2) este P(2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(2)=1·(2)2+1·(2)+3=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Restul este 9.

    Răspuns: 9

  41. Exercițiul 41

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−1.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(1) este P(1). La X+1, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(1)=1·(1)2+2·(1)+3=6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=6. Pătratul este 1, produsul este 2; suma 1+2+3 este 6.

    Răspuns: R = 6

  42. Exercițiul 42

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−2.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(2) este P(2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(2)=1·(2)2+2·(2)+3=11. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=11. Pătratul este 4, produsul este 4; suma 4+4+3 este 11.

    Răspuns: R = 11

  43. Exercițiul 43

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−3.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(3) este P(3). La X+3, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(3)=1·(3)2+2·(3)+3=18. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=18. Pătratul este 9, produsul este 6; suma 9+6+3 este 18.

    Răspuns: R = 18

  44. Exercițiul 44

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−4.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(4) este P(4). La X+4, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(4)=1·(4)2+2·(4)+3=27. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=27. Pătratul este 16, produsul este 8; suma 16+8+3 este 27.

    Răspuns: R = 27

  45. Exercițiul 45

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−5.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(5) este P(5). La X+5, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(5)=1·(5)2+2·(5)+3=38. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=38. Pătratul este 25, produsul este 10; suma 25+10+3 este 38.

    Răspuns: R = 38

  46. Exercițiul 46

    Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−6.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(6) este P(6). La X+6, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(6)=1·(6)2+2·(6)+3=51. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. R=51. Pătratul este 36, produsul este 12; suma 36+12+3 este 51.

    Răspuns: R = 51

  47. Exercițiul 47

    P=X2−2X+4. Află restul la X−(2).

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(2) este P(2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(2)=1·(2)2+(-2)·(2)+4=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este 4.

    Răspuns: 4

  48. Exercițiul 48

    P=X2−2X+4. Află restul la X−(-3).

    Vezi rezolvarea
    1. Restul la X−(-3) este P(-3). La X+3, argumentul este negativ când a<0.
    2. P(-3)=1·(-3)2+(-2)·(-3)+4=19. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este 19.

    Răspuns: 19

  49. Exercițiul 49

    X+1 divide P(X) dacă:

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem X+1=X−(−1).
    2. Aplicăm teorema lui Bézout.
    3. Condiția este P(−1)=0.

    Răspuns: P(−1)=0

  50. Exercițiul 50

    Pentru ce m, P(X)=X2+mX−2 este divizibil cu X−1?

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)2+(-2)=-1. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(1)=0 cere 1m+(-1)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-1) și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Rezultă m=1.

    Răspuns: 1

  51. Exercițiul 51

    Află a astfel încât P(X)=X3+aX+2 să fie divizibil cu X−1.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)3+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(1)=0 cere 1m+(3)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 3 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-3) : 1 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. a=−3, iar P(1)=1−3+2=0. a+3=0 dă a=−3. Restul nul confirmă divizibilitatea.

    Răspuns: a = −3

  52. Exercițiul 52

    Factorizează X2−4.

    Vezi rezolvarea
    1. X2−4=X2−22. Diferența de pătrate este (X−2)(X+2).
    2. Obținem (X−2)(X+2).

    Răspuns: (X−2)(X+2)

  53. Exercițiul 53

    Pentru P(X)=X3−3X2+2X, care număr este sigur rădăcină?

    Vezi rezolvarea
    1. X3−3X2+2X are factor comun X. P(0)=0, deci 0 este rădăcină.
    2. Factorul X arată că 0 este rădăcină.

    Răspuns: 0

  54. Exercițiul 54

    Factorizează complet X3−3X2+2X.

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare termen conține X. Scoatem un singur X și reducem fiecare exponent cu unu.
    2. X=0 este o rădăcină și nu trebuie pierdută când împărțim expresia prin X.
    3. Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 1 + 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
    6. X−r1=0 dă X=r1.
    7. X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
    8. Factorizarea este X(X−1)(X−2).

    Răspuns: X(X−1)(X−2)

  55. Exercițiul 55

    Pentru X3−2X2+3X−4, află suma pătratelor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
    5. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
    6. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − 6 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Σxi2=4−6=−2. Rădăcinile nu sunt toate reale; nu este o contradicție.

    Răspuns: −2

  56. Exercițiul 56

    Pentru X3−6X2+11X−6, află suma pătratelor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
    5. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
    6. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 11 și obținem 22. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Scădem cele două rezultate: calculăm 36 − 22 și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. 36−22=14.

    Răspuns: 14

  57. Exercițiul 57

    P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma pătratelor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
    6. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Rezultatul cerut este 6.

    Răspuns: 6

  58. Exercițiul 58

    Pentru X3−2X2+3X−4, află suma inverselor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    7. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
    8. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
    9. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
    10. Suma inverselor este s2s3=34.

    Răspuns: 34

  59. Exercițiul 59

    P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
    7. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
    8. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
    9. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
    10. Rezultatul cerut este 12.

    Răspuns: 12

  60. Exercițiul 60

    P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
    7. s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
    8. Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
    9. Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
    10. Rezultatul cerut este 14.

    Răspuns: 14

  61. Exercițiul 61

    Pentru X3−2X2+3X−4, află suma cuburilor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − 18 și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm (-10) + 12 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Adunăm: 2·(−2)−3·2+12=2.

    Răspuns: 2

  62. Exercițiul 62

    Pentru X3+X−1, află suma cuburilor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 0, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 01=0.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 11=1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 11=1.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 0 · 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 0 − 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm 0 + 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Suma rădăcinilor este 0, deci suma cuburilor este 3−0=3.

    Răspuns: 3

  63. Exercițiul 63

    Pentru X3−6X2+11X−6, află suma cuburilor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 36 · 6 și obținem 216. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 6 · 11 și obținem 66. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 66 și obținem 198. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 216 − 198 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm 18 + 18 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. 6·14−11·6+3·6=36.

    Răspuns: 36

  64. Exercițiul 64

    Pentru 2X3−6X2+4X−8, află suma cuburilor rădăcinilor.

    x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 42=2.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 82=4.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 3 · 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − 18 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm 9 + 12 și obținem 21. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Suma cuburilor: 3·5−2·3+12=21.

    Răspuns: 21

  65. Exercițiul 65

    P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − (-6) și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm 14 + (-6) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Rezultatul cerut este 8.

    Răspuns: 8

  66. Exercițiul 66

    P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    2. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    3. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    4. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    5. Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    6. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
    7. Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
    8. Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 16 · 4 și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    10. Produsul s1s2: calculăm 4 · (-1) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. Din cub scădem 3s1s2: calculăm 64 − (-12) și obținem 76. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Adăugăm ultimul termen: calculăm 76 + (-12) și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Rezultatul cerut este 64.

    Răspuns: 64

  67. Exercițiul 67

    Bac 2019 · M3 · II.2. f=mX3+2X2−mX−2, m≠0. a) Arată că f(1)=0 pentru orice m. b) Pentru m=3, află toate rădăcinile. c) Află m pentru care 1x1+1x2+1x3=−4.

    Bac 2019 · M3 · sesiunea I · II.2Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial (PDF)

    La b) m=3 numai pentru acel subpunct. La c) revenim la m general nenul; f(0)=−2 exclude rădăcina zero.

    Vezi rezolvarea
    1. 13=1 și 12=1. Coeficienții m și −m rămân cu semnele lor.
    2. Termenii opuși cu m se anulează pentru orice m nenul.
    3. a) Anulăm și constantele: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Bézout transformă valoarea zero într-un factor liniar.
    5. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
    6. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
    7. Luăm rezultatul precedent 3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 2: (3)·(1)+(2)=5. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    8. Luăm rezultatul precedent 5, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -3 din coloana 3: (5)·(1)+(-3)=2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    9. Luăm rezultatul precedent 2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 4: (2)·(1)+(-2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    10. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
    11. Citim coeficienții a=3, b=5, c=2. Formula este predată în partea despre factorizare.
    12. b) Calculăm b2: calculăm 5 · 5 și obținem 25. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    13. b) Calculăm întâi 4a: calculăm 4 · 3 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. b) Înmulțim cu c: calculăm 12 · 2 și obținem 24. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. b) Aflăm Δ: calculăm 25 − 24 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. √1=1. Discriminantul pozitiv dă două rădăcini reale distincte ale câtului.
    17. b) Numitorul comun 2a: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    18. b) Numărul −b: calculăm 0 − 5 și obținem -5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    19. b) Numărătorul primei rădăcini: calculăm (-5) + 1 și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    20. 2 divide atât 4 cât și 6. Împărțim numărătorul și numitorul la același număr nenul.
    21. b) Simplificăm numărătorul: calculăm (-4) : 2 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    22. b) Simplificăm numitorul: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    23. Numărătorul simplificat este −2, numitorul 3. Nu rotunjim această rădăcină.
    24. b) Numărătorul celei de-a doua rădăcini: calculăm (-5) − 1 și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    25. b) A doua rădăcină a câtului: calculăm (-6) : 6 și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    26. Înmulțim coeficienții 1 și 3, apoi X·X=X2.
    27. X·2=2X. Acesta este primul dintre cei doi termeni cu X.
    28. b) Coeficientul celui de-al doilea termen cu X, din 1·3X: calculăm 1 · 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    29. b) Produsul constantelor: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    30. b) Adunăm coeficienții celor doi termeni cu X: calculăm 2 + 3 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    31. Produsele sunt 3X2, 2X, 3X și 2. Coeficientul termenului cu X este 2+3=5.
    32. Rădăcina folosită în Horner face parte din lista finală.
    33. X=−1 anulează al doilea factor.
    34. b) Din 3X+2=0, aflăm mai întâi 3X: calculăm 0 − 2 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    35. Împărțim ambii membri ai lui 3X=−2 la 3. Rădăcina rămâne o fracție exactă.
    36. s2=ca=−mm=−1, deoarece m≠0. Nu păstrăm m=3 de la b).
    37. s3=−da=−−2m=2m. Este nenul pentru orice m nenul.
    38. Numitorul comun este produsul rădăcinilor, iar numărătorul este suma produselor câte două.
    39. Luăm inversa fracției 2m; condiția m≠0 este deja verificată.
    40. Minusul vine din s2=−1. Suma inverselor este −m2.
    41. Folosim expresia găsită pentru suma inverselor și o egalăm cu −4.
    42. c) Înmulțim ambii membri cu 2: calculăm (-4) · 2 și obținem -8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    43. c) Din −m=−8 aflăm m: calculăm (-1) · (-8) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    44. m=8 este permis. Verificare: −82=−4, exact suma inverselor cerută.
    45. Redactare: a) m+2−m−2=0. b) f=(X−1)(X+1)(3X+2), cu rădăcinile 1, −1, −23. c) s2=−1 și s3=2m, deci suma inverselor este −m2; din −m2=−4 rezultă m=8.

    Răspuns: 8

  68. Exercițiul 68

    Model original de tip Bac · M3. P(X)=X3 − 2X2 − X + 2. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.

    Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)3+(-2)·(1)2+(-1)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
    4. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
    5. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
    6. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    7. Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-1)·(1)+(-1)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    8. Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 4: (-2)·(1)+(2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    9. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
    10. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    11. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
    12. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    13. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    14. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
    15. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    18. Rezultatul cerut este 6.
    19. Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − X − 2, R=0. c) s1=2, s2=−1, deci S2=22−2(−1)=6.

    Răspuns: 6

  69. Exercițiul 69

    Model original de tip Bac · M3. P(X)=X3 − 4X2 − X + 4. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.

    Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.

    Vezi rezolvarea
    1. P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(1)=1·(1)3+(-4)·(1)2+(-1)·(1)+4=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
    4. Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
    5. Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
    6. Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    7. Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    8. Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
    9. Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
    10. Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    11. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
    12. Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
    13. Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
    14. (x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
    15. Calculăm pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Scădem cele două rezultate: calculăm 16 − (-2) și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    18. Rezultatul cerut este 18.
    19. Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 3X − 4, R=0. c) s1=4, s2=−1, deci S2=42−2(−1)=18.

    Răspuns: 18

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)

  1. 1. Pornim de la zero

    Care este gradul lui P(X)=−3X3+2X−7?

    Vezi răspunsul

    3

  2. 2. Pornim de la zero

    Calculează P(2) pentru P(X)=X3−2X+1.

    Vezi răspunsul

    8 − 4 + 1 = 5

  3. 3. Pornim de la zero

    Care este restul împărțirii lui X2+X+3 la X−2?

    Vezi răspunsul

    P(2) = 4 + 2 + 3 = 9

  4. 4. Pornim de la zero

    X+1 divide P(X) dacă:

    Vezi răspunsul

    P(−1) = 0

  5. 5. Legăm regulile

    Pentru ce m, P(X)=X2+mX−2 este divizibil cu X−1?

    Vezi răspunsul

    1 + m − 2 = 0, deci m = 1.

  6. 6. Legăm regulile

    Factorizează X2−4.

    Vezi răspunsul

    (X − 2)(X + 2)

  7. 7. Legăm regulile

    Rădăcinile lui X2−5X+6 au suma:

    Vezi răspunsul

    5

  8. 8. Legăm regulile

    Rădăcinile lui X2−5X+6 au produsul:

    Vezi răspunsul

    6

  9. 9. Legăm regulile

    Pentru P(X)=X3−3X2+2X, care număr este sigur rădăcină?

    Vezi răspunsul

    0 (termenul liber este 0).

  10. 10. Rezolvi ca la Bac

    Factorizează complet X3−3X2+2X.

    Vezi răspunsul

    X(X − 1)(X − 2)

  11. 11. Rezolvi ca la Bac

    Pentru un cubic monic X3+bX2+cX+d, produsul rădăcinilor este:

    Vezi răspunsul

    −d

  12. 12. Rezolvi ca la Bac

    Dacă P(X)=(X2−1)Q(X)+2X+3, cât este P(1)?

    Vezi răspunsul

    P(1) = 2 + 3 = 5

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.