Modele de Bac · polinoame M3

Acum unești toate regulile într-un model de examen: citești cerința, alegi teorema potrivită și scrii pașii în ordinea care aduce punctaj.

Nu sări direct la rezultat. La Bac, condiția folosită și calculele intermediare fac parte din rezolvare.

Șablonul unei probleme complete

Valoare sau rădăcină: calculează P(a).
Divizibilitate prin X−a: scrie P(a)=0.
Expresii în rădăcini: notează întâi relațiile lui Viète.
Rest la un polinom de grad 2: caută un rest aX+b și redu puterile mari.

Model rezolvat în trei etape

De la factor la rest

P(X)=mX³+X²−2X+2 este divizibil cu X+1. Găsește m, apoi restul la X²−2.

1.X+1=X−(−1), deci Bézout ne cere P(−1)=0.
2.−m+1+2+2=0, de unde m=5.
3.Modulo X²−2 avem X²≡2 și X³≡2X.
4.P≡10X+2−2X+2=8X+4.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM3 · Tehnologic
Care este gradul lui P(X)=−3X³+2X−7?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 2Pornim de la zeroM3 · Tehnologic
Calculează P(2) pentru P(X)=X³−2X+1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 − 4 + 1 = 5
Ex. 3Pornim de la zeroM3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui X²+X+3 la X−2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(2) = 4 + 2 + 3 = 9
Ex. 4Pornim de la zeroM3 · Tehnologic
X+1 divide P(X) dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(−1) = 0
Ex. 5Legăm regulileM3 · Tehnologic
Pentru ce m, P(X)=X²+mX−2 este divizibil cu X−1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + m − 2 = 0, deci m = 1.
Ex. 6Legăm regulileM3 · Tehnologic
Factorizează X²−4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X − 2)(X + 2)
Ex. 7Legăm regulileM3 · Tehnologic
Rădăcinile lui X²−5X+6 au suma:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 8Legăm regulileM3 · Tehnologic
Rădăcinile lui X²−5X+6 au produsul:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6
Ex. 9Legăm regulileM3 · Tehnologic
Pentru P(X)=X³−3X²+2X, care număr este sigur rădăcină?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0 (termenul liber este 0).
Ex. 10Rezolvi ca la BacM3 · Tehnologic
Factorizează complet X³−3X²+2X.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X(X − 1)(X − 2)
Ex. 11Rezolvi ca la BacM3 · Tehnologic
Pentru un cubic monic X³+bX²+cX+d, produsul rădăcinilor este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−d
Ex. 12Rezolvi ca la BacM3 · Tehnologic
Dacă P(X)=(X²−1)Q(X)+2X+3, cât este P(1)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(1) = 2 + 3 = 5