Încărcăm partea curentă…

Nivelul 5 · parametri, divizibilitate și resturi

P(a): înlocuim, calculăm, adunăm

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

De ținut minte

P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

P(X)=X3+2X−3. Calculează P(−2).

  1. 1Identificăm argumentul −2; înlocuim toate aparițiile lui X.
  2. 2P(−2)=(−2)3+2(−2)−3.
  3. 3P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. 4P(-2)=1·(-2)3+2·(-2)+(-3)=-15. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. 5Prin urmare P(−2)=−15. Puterea negativă și semnul coeficientului au fost urmărite separat.

Greșeală frecventă

Greșit: P(−2)=−23+2·2−3.

De ce: Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Nivelul 5 · parametri, divizibilitate și resturi: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

P(a): înlocuim, calculăm, adunăm

P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.

Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.

O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).

  • P(0)=a0
  • ordinea: puteri → produse → sumă

Exemplu rezolvat · alte date

P(X)=X3+2X−3. Calculează P(−2).

  1. Identificăm argumentul −2; înlocuim toate aparițiile lui X.
  2. P(−2)=(−2)3+2(−2)−3.
  3. P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(-2)=1·(-2)3+2·(-2)+(-3)=-15. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Prin urmare P(−2)=−15. Puterea negativă și semnul coeficientului au fost urmărite separat.

Greșeală frecventă: P(−2)=−23+2·2−3. Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.

Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație

Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.

Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.

Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.

  • divizibilitate la X−a → P(a)=0

Exemplu rezolvat · alte date

P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.

  1. Numărul care anulează X−2 este 2.
  2. P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
  3. P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
  4. P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
  5. Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
  6. P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
  7. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.

Greșeală frecventă: Înlocuiesc și m cu numărul a. Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.

Construim polinomul din rădăcini

Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Dacă r este negativ, factorul are plus: rădăcina −2 dă X+2. Pentru un polinom monic, coeficientul dominant este 1 și folosim produsul factorilor fără un multiplicator suplimentar.

Dacă se dă un coeficient dominant diferit de 1, îl punem în fața produsului. Din Viète, coeficientul de după cel dominant este minus suma rădăcinilor, înmulțită cu coeficientul dominant. Termenul liber are semnul (−1) la puterea gradului, ori produsul rădăcinilor și coeficientul dominant.

  • P(X)=a∏(X−ri)
  • termen liber = a(−1)n∏ri

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie polinomul monic cu rădăcinile −2, 1 și 3; află termenul liber.

  1. Monic înseamnă coeficient dominant 1.
  2. Rădăcina −2 dă X+2.
  3. Rădăcina 1 dă X−1.
  4. Rădăcina 3 dă X−3.
  5. P=(X+2)(X−1)(X−3).
  6. Produsul rădăcinilor: (−2)·1=−2.
  7. Înmulțim și cu 3: −2·3=−6.
  8. Gradul este 3, deci termenul liber este minus produsul: 6.

Greșeală frecventă: Rădăcina −2 dă factorul X−2. Factorul este X minus rădăcina, deci X−(−2)=X+2.

Restul la gradul 2: împărțire și reducerea puterilor

La un împărțitor de gradul 2, restul are forma aX+b. Pentru împărțirea completă, ordonăm puterile și punem coeficienții zero. Împărțim termenii dominanți, înmulțim tot împărțitorul cu termenul obținut și scădem pe fiecare coloană.

La D=X2−k putem reduce X2 la k în calculul resturilor. Scriem X2≡k, unde ≡ înseamnă «același rest la D», nu o egalitate pentru orice X. La D=X2+1 folosim X2≡−1. Înmulțim relația pentru puterile mai mari.

La D=X2+X+1, identitatea X3−1=(X−1)D arată X3≡1. Pentru o putere mare grupăm câte trei factori X. Dacă rămâne X2, îl reducem încă o dată la −X−1, ca gradul restului să fie mai mic decât 2.

  • P=DQ+R
  • X2+1: X2≡−1
  • X2+X+1: X3≡1 și X2≡−X−1

Exemplu rezolvat · alte date

Împarte 2X3+X2+3X+4 la X2+1.

  1. Termenii dominanți sunt 2X3 și X2.
  2. Urmărim fiecare scădere în aceeași coloană.
  3. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
  4. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  5. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  6. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
  7. Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  10. Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  11. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
  12. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  13. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  14. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
  15. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  16. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  17. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  18. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  19. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X + 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
  20. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
  21. Q=2X + 1 și R=X + 3. Verificarea este D·Q+R=P.
  22. Q=2X+1 și R=X+3. Verificăm: (X2+1)(2X+1)+X+3=2X3+X2+3X+4.

Greșeală frecventă: X2≡−1 înseamnă X2=−1 pentru orice număr real X. Semnul ≡ compară resturi la un împărțitor. Nu este o ecuație în variabila X.

Restul la gradul 2: împărțire și reducerea puterilor · consolidare 2

La un împărțitor de gradul 2, restul are forma aX+b. Pentru împărțirea completă, ordonăm puterile și punem coeficienții zero. Împărțim termenii dominanți, înmulțim tot împărțitorul cu termenul obținut și scădem pe fiecare coloană.

La D=X2−k putem reduce X2 la k în calculul resturilor. Scriem X2≡k, unde ≡ înseamnă «același rest la D», nu o egalitate pentru orice X. La D=X2+1 folosim X2≡−1. Înmulțim relația pentru puterile mai mari.

La D=X2+X+1, identitatea X3−1=(X−1)D arată X3≡1. Pentru o putere mare grupăm câte trei factori X. Dacă rămâne X2, îl reducem încă o dată la −X−1, ca gradul restului să fie mai mic decât 2.

  • P=DQ+R
  • X2+1: X2≡−1
  • X2+X+1: X3≡1 și X2≡−X−1

Exemplu rezolvat · alte date

Împarte 2X3+X2+3X+4 la X2+1.

  1. Termenii dominanți sunt 2X3 și X2.
  2. Urmărim fiecare scădere în aceeași coloană.
  3. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
  4. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  5. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  6. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
  7. Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  8. Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  9. Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  10. Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  11. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
  12. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  13. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  14. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
  15. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  16. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  17. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  18. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
  19. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X + 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
  20. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
  21. Q=2X + 1 și R=X + 3. Verificarea este D·Q+R=P.
  22. Q=2X+1 și R=X+3. Verificăm: (X2+1)(2X+1)+X+3=2X3+X2+3X+4.

Greșeală frecventă: X2≡−1 înseamnă X2=−1 pentru orice număr real X. Semnul ≡ compară resturi la un împărțitor. Nu este o ecuație în variabila X.

Două resturi determină aX+b

Dacă D=(X−u)(X−v), cu u≠v, restul R=aX+b are aceleași valori ca P în u și v: D se anulează în fiecare dintre cele două puncte. Primim două ecuații pentru cele două necunoscute.

Pentru u=1 și v=−1, ecuațiile sunt a+b=P(1) și −a+b=P(−1). Le scriem matriceal: A=, necunoscutele sunt a,b, iar B conține cele două valori date. Determinantul este 2, deci aplicăm Cramer; fiecare coloană se înlocuiește separat. La final verificăm R în ambele puncte și păstrăm fracțiile exacte.

  • R(u)=P(u); R(v)=P(v)
  • R(X)=aX+b

Exemplu rezolvat · alte date

P(1)=5 și P(−1)=1. Află restul la X2−1.

  1. R(1)=5 și R(−1)=1 dau a+b=5, −a+b=1.
  2. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
  3. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
  4. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
  5. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
  6. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
  7. Δ, principală minus secundară: 1 − (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
  8. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
  9. Doar coloana coeficienților lui a devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
  10. Înlocuim coloana 1 cu 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
  11. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 5·1=5.
  12. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
  13. Δa, principală minus secundară: 5 − 1 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
  14. Aflăm a: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
  15. Doar coloana coeficienților lui b devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
  16. Înlocuim coloana 2 cu 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
  17. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
  18. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 5·(−1)=−5. Acest produs se va scădea.
  19. Δb, principală minus secundară: 1 − (−5) = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
  20. Aflăm b: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
  21. 1·2+1·3=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
  22. (−1)·2+1·3=1 = 1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
  23. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea a, b.
  24. a=2 și b=3, deci R=2X+3. Verificăm în ambele puncte.

Greșeală frecventă: a=P(1) și b=P(−1). Valorile date sunt ale întregului rest aX+b. Trebuie să rezolvi cele două ecuații, nu să copiezi valorile drept coeficienți.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Dacă P(X) = (X2 − 4)Q(X) + 3X − 1, cât este P(2)?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm X2 pentru X=2: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Împărțitorul se anulează: calculăm 4 − 4 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Un produs cu factorul zero este zero. Nu trebuie să aflăm Q(a).
    4. Termenul liniar al restului: calculăm 3 · 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Adunăm termenul liber al restului: calculăm 6 + (-1) și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Rămâne 3·2 − 1 = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Restul împărțirii lui P la X − 2 este 3. Restul împărțirii lui 2P − 5 la X − 2 este:

    Vezi rezolvarea
    1. Dublăm restul cunoscut P(2)=3: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Scădem constanta: calculăm 6 − 5 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Rezultatul este 1.

    Răspuns: 1

  3. Exercițiul 3

    P(X)=X2+2X−1. Calculează P(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+(-1)=-2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Rezultatul cerut este -2.

    Răspuns: -2

  4. Exercițiul 4

    Polinomul P(X) = aX3 + X2 − 2X + 2 este divizibil cu X + 1. Cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(-1)=1·(-1)2+(-2)·(-1)+2=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine -1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(-1)=0 cere -1m+(5)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 5 și obținem -5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-5) : (-1) și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Din 5 − a = 0 obținem a = 5.

    Răspuns: 5

  5. Exercițiul 5

    Pentru ce m polinomul X3 + mX2 − X − m este divizibil cu X − 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim fiecare X cu 1: toate puterile lui 1 sunt 1.
    2. Termenii opuși cu parametrul se anulează pentru orice m real.
    3. Termenii constanți: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Condiția de divizibilitate este identic adevărată. Nu împărțim la un coeficient zero pentru a inventa o valoare a lui m.
    5. Prin Bézout, X − 1 divide polinomul pentru orice m real.

    Răspuns: Pentru orice m real

  6. Exercițiul 6

    Pentru ce m polinomul P(X) = X3 − 2X2 + mX − 6 are rădăcina 3?

    Vezi rezolvarea
    1. P(3) cere să înlocuim fiecare X cu (3), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
    2. P(3)=1·(3)3+(-2)·(3)2+(-6)=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
    3. Termenul cu parametrul devine 3·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
    4. P(3)=0 cere 3m+(3)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
    5. Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 3 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-3) : 3 și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Din 3 + 3m = 0 rezultă m = −1.

    Răspuns: −1

  7. Exercițiul 7

    Dacă X − 2 și X + 2 divid P(X), ce polinom divide sigur P(X)?

    Vezi rezolvarea
    1. Rădăcinile sunt 2 și −2.
    2. Factorii corespunzători sunt X − 2 și X + 2.
    3. Produsul este (X − 2)(X + 2) = X2 − 4.

    Răspuns: X2 − 4

  8. Exercițiul 8

    P(X) = X3 + aX2 + bX + 6 are rădăcinile 1, 2 și −3. Cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm rădăcina 1: calculăm 0 + 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Adunăm rădăcina 2: calculăm 1 + 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Adunăm rădăcina 3: calculăm 3 + (-3) și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Coeficientul imediat după cel dominant este minus suma: calculăm (-1) · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Din −a = 0 rezultă a = 0.

    Răspuns: 0

  9. Exercițiul 9

    Pentru același P(X) = X3 + aX2 + bX + 6, cu rădăcinile 1, 2, −3, cât este b?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul produs de două rădăcini: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    2. Al doilea produs: calculăm 1 · (-3) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Al treilea produs: calculăm 2 · (-3) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Adunăm primele două produse: calculăm 2 + (-3) și obținem -1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Adăugăm al treilea produs: calculăm (-1) + (-6) și obținem -7. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. La cubic monic, această sumă este chiar coeficientul b.

    Răspuns: −7

  10. Exercițiul 10

    Pentru P(X) = 5X3 + X2 − 2X + 2, care este restul împărțirii la X2 − 2?

    Vezi rezolvarea
    1. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
    2. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 5 : 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 5X, nu doar numărul 5.
    5. Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 5 · 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 5 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 5 · (-2) și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm (-2) − (-10) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 8X + 2. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    10. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
    13. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · (-2) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − (-2) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 8X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    18. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
    19. Q=5X + 1 și R=8X + 4. Verificarea este D·Q+R=P.
    20. Reducem și obținem 8X + 4, care are grad mai mic decât 2.

    Răspuns: 8X + 4

  11. Exercițiul 11

    Care este restul împărțirii lui X4 + 3X2 + 5 la X2 + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
    2. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 4 − 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este X2, nu doar numărul 1.
    5. Produsul pentru X4, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Coloana X4, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 2X2 + 5. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    10. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 0 : 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Această putere lipsește din cât. Păstrăm locul ei cu 0 și trecem la următoarea coloană; nu este nevoie să scădem un produs nul.
    13. Puterea termenului 3 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Termenul 3 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2, nu doar numărul 2.
    16. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    18. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    19. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    20. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    21. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
    22. Q=X2 + 2 și R=3. Verificarea este D·Q+R=P.
    23. Calculăm 1 − 3 + 5 = 3.

    Răspuns: 3

  12. Exercițiul 12

    Care este restul împărțirii lui X5 la X2 − X?

    Vezi rezolvarea
    1. X2−X este un multiplu al împărțitorului. De aceea X2 și X au același rest. Simbolul ≡ se referă la rest, nu la egalitate pentru orice X.
    2. În calculul resturilor putem înmulți relația cu X și înlocui iar X2 cu X.
    3. Fiecare înmulțire cu X readuce X2, care se reduce la X. Restul final are gradul 1, mai mic decât 2.
    4. Restul este X.

    Răspuns: X

  13. Exercițiul 13

    Care este restul împărțirii lui X6 − 1 la X2 + X + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Diferența de cuburi arată că X3−1 este divizibil cu X2+X+1.
    2. X3 și 1 diferă printr-un multiplu al împărțitorului, deci X3≡1. Nu afirmăm că X3=1 pentru orice X.
    3. Cea mai mare parte a exponentului, multiplu de 3: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Exponentul rămas: calculăm 6 − 6 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    5. Restul se calculează pe cicluri de trei puteri. Mai verificăm gradul față de împărțitor.
    6. Scădem constanta din X6−1: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Prin urmare, X6 − 1 ≡ 0, deci restul este 0.

    Răspuns: 0

  14. Exercițiul 14

    Află restul lui 2X3 + X2 + 5X + 6 la X2+1.

    Vezi rezolvarea
    1. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
    2. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
    5. Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 3X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    10. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
    13. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 5. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    18. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
    19. Q=2X + 1 și R=3X + 5. Verificarea este D·Q+R=P.
    20. Rezultatul cerut este 3X + 5.

    Răspuns: 3X + 5

  15. Exercițiul 15

    Află restul lui 2X3 + X2 + 6X + 7 la X2+1.

    Vezi rezolvarea
    1. La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
    2. Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    3. Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    4. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
    5. Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    6. Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    7. Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    8. Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    9. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 4X + 7. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    10. Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    11. Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    12. Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
    13. Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    14. Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    15. Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    16. Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 7 − 1 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
    17. Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 4X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
    18. Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
    19. Q=2X + 1 și R=4X + 6. Verificarea este D·Q+R=P.
    20. Rezultatul cerut este 4X + 6.

    Răspuns: 4X + 6

  16. Exercițiul 16

    Un polinom P are restul 2 la împărțirea prin X − 1 și restul −1 la împărțirea prin X + 1. Dacă restul la X2 − 1 este R(X) = aX + b, cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. Restul poate fi liniar, constant sau zero. Scriem aX+b fără să presupunem a≠0.
    2. Factorul X2−1 se anulează la 1 și −1. R(1)=P(1), R(−1)=P(−1).
    3. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
    4. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
    5. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
    6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
    7. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    8. Δ, principală minus secundară: 1 − (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    9. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
    10. Doar coloana coeficienților lui a devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    11. Înlocuim coloana 1 cu 2; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    12. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
    13. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    14. Δa, principală minus secundară: 2 − (−1) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    15. a=32. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
    16. Doar coloana coeficienților lui b devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    17. Înlocuim coloana 2 cu 2; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    18. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
    19. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·(−1)=−2. Acest produs se va scădea.
    20. Δb, principală minus secundară: (−1) − (−2) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    21. b=12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
    22. 1·32+1·12=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    23. (−1)·32+1·12=−1 = -1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    24. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea a, b.
    25. Din coloana soluției alegem coeficientul cerut. Cele două valori au fost calculate separat prin Cramer și verificate în ambele ecuații.
    26. Rezultă a = 32.

    Răspuns: 32

  17. Exercițiul 17

    În problema anterioară, cât este b?

    P(1)=2 și P(−1)=−1. Restul la X2−1 este R(X)=aX+b. Căutăm b; putem aduna ecuațiile fără să folosim a din exercițiul precedent.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul poate fi liniar, constant sau zero. Scriem aX+b fără să presupunem a≠0.
    2. Factorul X2−1 se anulează la 1 și −1. R(1)=P(1), R(−1)=P(−1).
    3. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
    4. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
    5. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
    6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
    7. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    8. Δ, principală minus secundară: 1 − (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    9. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
    10. Doar coloana coeficienților lui a devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    11. Înlocuim coloana 1 cu 2; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    12. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
    13. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    14. Δa, principală minus secundară: 2 − (−1) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    15. a=32. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
    16. Doar coloana coeficienților lui b devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    17. Înlocuim coloana 2 cu 2; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    18. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
    19. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·(−1)=−2. Acest produs se va scădea.
    20. Δb, principală minus secundară: (−1) − (−2) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    21. b=12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
    22. 1·32+1·12=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    23. (−1)·32+1·12=−1 = -1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    24. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea a, b.
    25. Din coloana soluției alegem coeficientul cerut. Cele două valori au fost calculate separat prin Cramer și verificate în ambele ecuații.
    26. Rezultă b = 12.

    Răspuns: 12

  18. Exercițiul 18

    P(1)=5, P(−1)=-1. Restul la X2−1 este aX+b. Află a.

    Vezi rezolvarea
    1. Restul poate fi liniar, constant sau zero. Scriem aX+b fără să presupunem a≠0.
    2. Factorul X2−1 se anulează la 1 și −1. R(1)=P(1), R(−1)=P(−1).
    3. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
    4. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
    5. X=. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
    6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
    7. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    8. Δ, principală minus secundară: 1 − (−1) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    9. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
    10. Doar coloana coeficienților lui a devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    11. Înlocuim coloana 1 cu 5; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    12. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 5·1=5.
    13. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·(−1)=−1. Acest produs se va scădea.
    14. Δa, principală minus secundară: 5 − (−1) = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    15. Aflăm a: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    16. Doar coloana coeficienților lui b devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
    17. Înlocuim coloana 2 cu 5; -1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
    18. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
    19. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 5·(−1)=−5. Acest produs se va scădea.
    20. Δb, principală minus secundară: (−1) − (−5) = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    21. Aflăm b: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
    22. 1·3+1·2=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    23. (−1)·3+1·2=−1 = -1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
    24. X=. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea a, b.
    25. Din coloana soluției alegem coeficientul cerut. Cele două valori au fost calculate separat prin Cramer și verificate în ambele ecuații.
    26. Rezultatul cerut este 3.

    Răspuns: 3

Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (14)

  1. 1. Pornim de la zero

    Polinomul P(X) = aX3 + X2 − 2X + 2 este divizibil cu X + 1. Cât este a?

    Vezi răspunsul

    P(−1) = −a + 1 + 2 + 2 = 0, deci a = 5.

  2. 2. Pornim de la zero

    Pentru P(X) = 5X3 + X2 − 2X + 2, care este restul împărțirii la X2 − 2?

    Vezi răspunsul

    Modulo X2 − 2 avem X2 = 2 și X3 = 2X, deci restul este 5 · 2X + 2 − 2X + 2 = 8X + 4.

  3. 3. Pornim de la zero

    Care este restul împărțirii lui X4 + 3X2 + 5 la X2 + 1?

    Vezi răspunsul

    Modulo X2 + 1 avem X2 = −1 și X4 = 1, deci restul este 1 − 3 + 5 = 3.

  4. 4. Pornim de la zero

    Care este restul împărțirii lui X5 la X2 − X?

    Vezi răspunsul

    Restul are forma aX + b; din X = 0 rezultă b = 0, din X = 1 rezultă a = 1. Restul este X.

  5. 5. Legăm regulile

    Pentru ce m polinomul X3 + mX2 − X − m este divizibil cu X − 1?

    Vezi răspunsul

    P(1) = 1 + m − 1 − m = 0 pentru orice m: polinomul este divizibil cu X − 1 pentru orice m real.

  6. 6. Legăm regulile

    Pentru ce m polinomul P(X) = X3 − 2X2 + mX − 6 are rădăcina 3?

    Vezi răspunsul

    P(3) = 27 − 18 + 3m − 6 = 0, deci m = −1.

  7. 7. Legăm regulile

    Un polinom P are restul 2 la împărțirea prin X − 1 și restul −1 la împărțirea prin X + 1. Dacă restul la X2 − 1 este R(X) = aX + b, cât este a?

    Vezi răspunsul

    R(1) = a + b = 2 și R(−1) = −a + b = −1, deci a = 32.

  8. 8. Legăm regulile

    În problema anterioară, cât este b?

    Vezi răspunsul

    b = 12

  9. 9. Legăm regulile

    Dacă P(X) = (X2 − 4)Q(X) + 3X − 1, cât este P(2)?

    Vezi răspunsul

    P(2) = 3 · 2 − 1 = 5

  10. 10. Legăm regulile

    Dacă X − 2 și X + 2 divid P(X), ce polinom divide sigur P(X)?

    Vezi răspunsul

    (X − 2)(X + 2) = X2 − 4

  11. 11. Legăm regulile

    Restul împărțirii lui P la X − 2 este 3. Restul împărțirii lui 2P − 5 la X − 2 este:

    Vezi răspunsul

    2 · 3 − 5 = 1

  12. 12. Rezolvi ca la Bac

    Care este restul împărțirii lui X6 − 1 la X2 + X + 1?

    Vezi răspunsul

    0: X6 − 1 = (X3 − 1)(X3 + 1), iar X3 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1).

  13. 13. Rezolvi ca la Bac

    P(X) = X3 + aX2 + bX + 6 are rădăcinile 1, 2 și −3. Cât este a?

    Vezi răspunsul

    x1 + x2 + x3 = 0 = −a, deci a = 0.

  14. 14. Rezolvi ca la Bac

    Pentru același P(X) = X3 + aX2 + bX + 6, cu rădăcinile 1, 2, −3, cât este b?

    Vezi răspunsul

    b = 1 · 2 + 1 · (−3) + 2 · (−3) = −7

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.