Nivelul 5 · parametri, divizibilitate și resturi

Într-o problemă completă, primul subpunct îți dă de obicei o valoare, al doilea fixează un parametru, iar ultimul cere un rest sau o expresie în rădăcini. Rezolvăm fiecare verigă separat.

Restul la un polinom de grad 2 are forma aX+b. O constantă nu este suficientă decât dacă termenul în X se anulează.

Cum reducem puterile modulo un polinom

modulo X²−2: X²≡2 și X³≡2X

modulo X²+1: X²≡−1

modulo X²−X: X²≡X

Întâi găsește parametrul din condiția de divizibilitate.
Apoi înlocuiește relația dată de împărțitor.
La final, restul trebuie să aibă grad mai mic decât împărțitorul.

Model complet

Divizibilitate, apoi rest

P(X)=aX³+X²−2X+2, iar X+1 divide P.

1.P(−1)=−a+1+2+2=5−a.
2.Din P(−1)=0 obținem a=5.
3.Modulo X²−2: X³≡2X și X²≡2.
4.P≡10X+2−2X+2=8X+4.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Polinomul P(X) = aX³ + X² − 2X + 2 este divizibil cu X + 1. Cât este a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(−1) = −a + 1 + 2 + 2 = 0, deci a = 5.
Ex. 2Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru P(X) = 5X³ + X² − 2X + 2, care este restul împărțirii la X² − 2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Modulo X² − 2 avem X² = 2 și X³ = 2X, deci restul este 5 · 2X + 2 − 2X + 2 = 8X + 4.
Ex. 3Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui X⁴ + 3X² + 5 la X² + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Modulo X² + 1 avem X² = −1 și X⁴ = 1, deci restul este 1 − 3 + 5 = 3.
Ex. 4Pornim de la zeroM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui X⁵ la X² − X?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Restul are forma aX + b; din X = 0 rezultă b = 0, din X = 1 rezultă a = 1. Restul este X.
Ex. 5Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru ce m polinomul X³ + mX² − X − m este divizibil cu X − 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(1) = 1 + m − 1 − m = 0 pentru orice m: polinomul este divizibil cu X − 1 pentru orice m real.
Ex. 6Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru ce m polinomul P(X) = X³ − 2X² + mX − 6 are rădăcina 3?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(3) = 27 − 18 + 3m − 6 = 0, deci m = −1.
Ex. 7Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Un polinom P are restul 2 la împărțirea prin X − 1 și restul −1 la împărțirea prin X + 1. Dacă restul la X² − 1 este R(X) = aX + b, cât este a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R(1) = a + b = 2 și R(−1) = −a + b = −1, deci a = 32.
Ex. 8Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
În problema anterioară, cât este b?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 12
Ex. 9Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă P(X) = (X² − 4)Q(X) + 3X − 1, cât este P(2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(2) = 3 · 2 − 1 = 5
Ex. 10Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Dacă X − 2 și X + 2 divid P(X), ce polinom divide sigur P(X)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(X − 2)(X + 2) = X² − 4
Ex. 11Legăm regulileM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Restul împărțirii lui P la X − 2 este 3. Restul împărțirii lui 2P − 5 la X − 2 este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 3 − 5 = 1
Ex. 12Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Care este restul împărțirii lui X⁶ − 1 la X² + X + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: X⁶ − 1 = (X³ − 1)(X³ + 1), iar X³ − 1 = (X − 1)(X² + X + 1).
Ex. 13Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
P(X) = X³ + aX² + bX + 6 are rădăcinile 1, 2 și −3. Cât este a?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁ + x₂ + x₃ = 0 = −a, deci a = 0.
Ex. 14Rezolvi ca la BacM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Pentru același P(X) = X³ + aX² + bX + 6, cu rădăcinile 1, 2, −3, cât este b?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 1 · 2 + 1 · (−3) + 2 · (−3) = −7