Combinări: alegerea fără ordine

Acum eliminăm ordinea: o echipă rămâne aceeași indiferent în ce ordine îi rostim membrii.

Dacă apar funcții sau poziții, nu mai este o simplă combinare. Compară mereu echipa cu perechea președinte–vicepreședinte.

1. Combinări: alegem un grup, fără ordine

Două selecții care conțin aceleași obiecte reprezintă același grup, chiar dacă obiectele au fost rostite în altă ordine.

C_n^k = n!/[k!(n − k)!]

C_n⁰ = C_nⁿ = 1

echipă, comisie, lot, submulțime
fără funcții sau poziții
ordinea nu contează

Exemplu

Alegem 2 elevi dintre 5.

1.Dacă folosim A₅² = 20, fiecare pereche apare în două ordini.
2.Împărțim la 2!.
3.C₅² = 202 = 10.

2. Proprietăți care scurtează calculele

C_n^k = C_n^n−k

A_n^k = C_n^k · k!

C_n^k = C_n−1^k + C_n−1^k−1

A alege k obiecte este echivalent cu a decide care n − k rămân nealese.
Relația lui Pascal desparte alegerile după faptul că un element fix este sau nu ales.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 5 elevi alegem o echipă de 2 elevi, fără roluri. Ordinea contează?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: se folosesc combinări, C₅² = 10.
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este formula combinărilor de n obiecte luate câte k?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C_n^k = n!k!(n − k)!
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează C₅².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₅² = 10
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează C₆².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₆² = 15
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează C₆³.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₆³ = 20
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Ce proprietate ajută la calculul lui C₁₀⁸?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C_n^k = C_n^n−k, deci C₁₀⁸ = C₁₀² = 45.
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este valoarea lui C₇⁰?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este valoarea lui C₇⁷?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 8 elevi alegem o comisie de 3 elevi fără funcții. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Combinări: C₈³.
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte comisii de 3 elevi se pot forma din 8 elevi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₈³ = 56
Ex. 11Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 9 puncte distincte alegem două pentru a determina un segment. Câte segmente obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₉² = 36 de segmente
Ex. 12Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este relația dintre aranjamente și combinări?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_n^k = C_n^k · k!
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 6 cărți alegem 2 pentru vacanță. Un elev calculează A₆² = 30. Ce a greșit?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ordinea nu contează, deci trebuie C₆² = 15. A₆² = 30 numără fiecare pereche de două ori.
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
O clasă are 4 fete și 5 băieți. În câte moduri alegem o fată și un băiat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 5 = 20
Ex. 15Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 5 fete și 4 băieți alegem o echipă de 3 formată din exact 2 fete și 1 băiat. Ce expresie este corectă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₅² · C₄¹ = 10 · 4 = 40
Ex. 16Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează singur C₉².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₉² = 36
Ex. 17Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 10 elevi alegem o echipă de 2 fără roluri. Câte echipe există?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₁₀² = 45