Încărcăm partea curentă…

Combinări: alegerea fără ordine

Combinări: alegem un grup, fără să ordonăm membrii

Un grup cu Ana și Mihai este același grup cu Mihai și Ana. Începem cu aranjamentele, care numără fiecare ordine, apoi împărțim la k!, numărul de ordini ale celor k membri selectați.

Acest calcul se numește combinare. Folosim formula doar când obiectele sunt distincte, nu se repetă și fiecare grup diferit trebuie numărat o singură dată.

De ținut minte

Cnk=n!k!(n−k)!
  • Fără roluri distincte, schimbarea ordinii nu produce un grup nou.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Câte grupe de 2 elevi alegem din 4 elevi?

  1. 1Ca roluri ordonate ar fi A42=4·3=12 alegeri.
  2. 2Fiecare grup apare de 2!=2 ori, în ambele ordini.
  3. 3Împărțim: C42=122=6 grupe.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Combinări: alegerea fără ordine: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Combinări: alegem un grup, fără să ordonăm membrii

Un grup cu Ana și Mihai este același grup cu Mihai și Ana. Începem cu aranjamentele, care numără fiecare ordine, apoi împărțim la k!, numărul de ordini ale celor k membri selectați.

Acest calcul se numește combinare. Folosim formula doar când obiectele sunt distincte, nu se repetă și fiecare grup diferit trebuie numărat o singură dată.

  • Cnk=n!k!(n−k)!
  • Fără roluri distincte, schimbarea ordinii nu produce un grup nou.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Câte grupe de 2 elevi alegem din 4 elevi?

  1. Ca roluri ordonate ar fi A42=4·3=12 alegeri.
  2. Fiecare grup apare de 2!=2 ori, în ambele ordini.
  3. Împărțim: C42=122=6 grupe.

Calculul combinărilor: simplificăm factorialele

Nu este nevoie să calculezi factorialele mari în întregime. Dezvoltă numărătorul până la termenul care se anulează cu factorialul din numitor, apoi împarte la k!. Astfel vezi fiecare factor și reduci greșelile de calcul.

Pentru o selecție de 3 din n, păstrezi trei factori descrescători la numărător și împarți la 3·2·1.

  • Cn3=n(n−1)n−23·2·1
  • Împărțirea la k! elimină ordonările aceluiași grup.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează C73.

  1. Scriem C73=7!3!·4!.
  2. Simplificăm 4!: rămâne 7·6·53·2·1.
  3. Calculăm 2106=35.

Simetria și cazurile de la capete

Alegerea celor k membri ai unui grup este echivalentă cu alegerea celor n−k membri rămași în afara grupului. De aceea Cnk=Cnn−k. Alegerea nimănui și alegerea tuturor au fiecare câte o singură posibilitate.

Folosește simetria ca să calculezi cu numărul mai mic dintre k și n−k. Această regulă scurtează calculele, fără să schimbe rezultatul.

  • Cnk=Cnn−k; Cn0=Cnn=1
  • Simetria schimbă numărul ales cu numărul neales.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează C97 folosind simetria.

  1. C97=C92, fiindcă 9−7=2.
  2. C92=9·82·1.
  3. Rezultatul este 36.

Recunoaștem grupurile în probleme

O comisie fără funcții este un grup: ordinea numelor nu contează. La fel, două puncte determină același segment indiferent în ce ordine le numim. Dacă membrii primesc roluri diferite, problema ar cere aranjamente.

Pentru a verifica diferența, compară Ank cu Cnk. Fiecare grup ales are k! ordini, astfel Ank=Cnk·k!.

  • Ank=Cnk·k!
  • La puncte distincte presupunem că fiecare pereche determină un segment diferit.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Din 7 puncte distincte, câte segmente determinăm?

  1. Un segment se obține alegând două puncte diferite.
  2. Ordinea capetelor nu schimbă segmentul, deci folosim C72.
  3. C72=7·62=21 segmente.

Două categorii: alegem separat, apoi înmulțim

Când enunțul cere un anumit număr de persoane din fiecare categorie, facem o combinare pentru fiecare categorie. Alegerile se pot realiza împreună, deci înmulțim numărul de posibilități.

Dacă ai numărat cu aranjamente deși nu există roluri, fiecare grup apare de mai multe ori. Împărțirea la factorialul numărului selectat repară această dublare.

  • alegeri din A și B ⇒ Car·Cβs
  • Ank=Cnk·k!
  • Dacă enunțul ar spune «sau», cazurile disjuncte s-ar aduna.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Alegem 2 fete dintre 4 și 1 băiat dintre 3. Câte echipe obținem?

  1. Pentru fete avem C42=4·32=6 alegeri.
  2. Pentru băiat avem C31=3 alegeri.
  3. Înmulțim: 6·3=18 echipe.

Consolidare: decidem și verificăm numărul de grupuri

Înainte de calcul, subliniază cuvântul care indică un grup fără roluri: echipă, comisie, pereche. Scrie n, numărul total de obiecte, și k, numărul celor aleși.

Aplică formula combinărilor și verifică dacă rezultatul poate fi mai mic decât zero sau mai mare decât numărul aranjamentelor. Pentru aceleași n și k, numărul grupurilor nu poate depăși numărul listelor ordonate.

  • Cnk=Ankk!
  • Verifică mereu dacă există roluri înainte de a împărți la k!.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Din 8 elevi alegem o echipă de 3. Câte echipe sunt?

  1. Numărul listelor ordonate ar fi A83=8·7·6=336.
  2. Fiecare echipă a fost numărată de 3!=6 ori.
  3. Rezultă 3366=56 echipe.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Din 5 elevi alegem o echipă de 2 elevi, fără roluri. Ordinea contează?

    Vezi rezolvarea
    1. Într-o echipă fără roluri contează doar cine a fost ales.
    2. Ordinea în care rostim numele nu creează altă echipă.
    3. Folosim combinări.

    Răspuns: Nu

  2. Exercițiul 2

    Care este formula combinărilor de n obiecte luate câte k?

    Vezi rezolvarea
    1. Ank numără fiecare grup de k elemente de k! ori, câte o dată pentru fiecare ordine.
    2. La combinări ordinea nu contează, deci împărțim la k!.
    3. Rezultă Cnk = n!k!(n − k)!.

    Răspuns: Cnk = n!k!(n − k)!

  3. Exercițiul 3

    Calculează C52.

    Vezi rezolvarea
    1. C52 = 5!2!·3!.
    2. Simplificăm: 5 · 42 · 1.
    3. Rezultatul este 10.

    Răspuns: 5·42·1=10

  4. Exercițiul 4

    Calculează C62.

    Vezi rezolvarea
    1. C62 = 6 · 52 · 1.
    2. 302 = 15.

    Răspuns: 6·52=15

  5. Exercițiul 5

    Calculează C63.

    Vezi rezolvarea
    1. C63 = 6 · 5 · 43 · 2 · 1.
    2. Numărătorul este 120, numitorul 6.
    3. 1206 = 20.

    Răspuns: 6·5·43·2·1=20

  6. Exercițiul 6

    Ce proprietate ajută la calculul lui C108?

    Vezi rezolvarea
    1. Combinările sunt simetrice: Cnk = Cnn−k.
    2. Aici n − k = 10 − 8 = 2.
    3. Deci C108 = C102 = 45.

    Răspuns: C108 = C102

  7. Exercițiul 7

    Care este valoarea lui C70?

    Vezi rezolvarea
    1. Cn0 = 1 pentru orice n natural.
    2. Alegerea fără niciun element este mulțimea vidă, unică.

    Răspuns: 1

  8. Exercițiul 8

    Care este valoarea lui C77?

    Vezi rezolvarea
    1. Există un singur grup care conține toate elementele.
    2. Formula confirmă: C77 = 7!7!·0! = 1.

    Răspuns: 1

  9. Exercițiul 9

    Din 8 elevi alegem o comisie de 3 elevi fără funcții. Ce formulă folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem 3 dintre 8.
    2. Nu există roluri diferite, deci ordinea nu contează.
    3. Folosim C83.

    Răspuns: C83

  10. Exercițiul 10

    Câte comisii de 3 elevi se pot forma din 8 elevi?

    Vezi rezolvarea
    1. C83 = 8 · 7 · 63 · 2 · 1.
    2. Numărătorul este 336, iar numitorul 6.
    3. Rezultatul este 56.

    Răspuns: 56

  11. Exercițiul 11

    Din 9 puncte distincte alegem două pentru a determina un segment. Câte segmente obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem o pereche de puncte.
    2. Ordinea punctelor nu schimbă segmentul.
    3. C92 = 9 · 82 = 36.

    Răspuns: C92=9·82=36

  12. Exercițiul 12

    Care este relația dintre aranjamente și combinări?

    Vezi rezolvarea
    1. Cnk numără grupurile fără ordine.
    2. Fiecare grup are k! ordonări.
    3. Prin urmare Ank = Cnk · k!.

    Răspuns: Ank = Cnk · k!

  13. Exercițiul 13

    Din 6 cărți alegem 2 pentru vacanță. Un elev calculează A62 = 30. Ce a greșit?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru fiecare pereche {A, B}, aranjamentele numără AB și BA separat.
    2. Dar acestea sunt aceeași alegere de două cărți.
    3. Împărțim 30 la 2! și obținem C62 = 15.

    Răspuns: A numărat fiecare pereche de două ori

  14. Exercițiul 14

    O clasă are 4 fete și 5 băieți. În câte moduri alegem o fată și un băiat?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem o fată în C41 = 4 moduri.
    2. Alegem un băiat în C51 = 5 moduri.
    3. Înmulțim pașii: 4 · 5 = 20.

    Răspuns: Înmulțim: 4·5=20

  15. Exercițiul 15

    Din 5 fete și 4 băieți alegem o echipă de 3 formată din exact 2 fete și 1 băiat. Ce expresie este corectă?

    Vezi rezolvarea
    1. Cele 2 fete se aleg în C52 moduri.
    2. Băiatul se alege în C41 moduri.
    3. Alegerile trebuie făcute împreună, deci înmulțim.

    Răspuns: C52 · C41

  16. Exercițiul 16

    Calculează singur C92.

    Vezi rezolvarea
    1. C92 = 9!2!·7!.
    2. Simplificăm: 9 · 82.
    3. Rezultatul este 36.

    Răspuns: 9·82=36

  17. Exercițiul 17

    Din 10 elevi alegem o echipă de 2 fără roluri. Câte echipe există?

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinea nu contează, deci folosim combinări.
    2. C102 = 10 · 92.
    3. Rezultatul este 45.

    Răspuns: 10·92=45

  18. Exercițiul 18

    Din 6 elevi alegem o echipă de 2, fără roluri diferite. Câte echipe sunt posibile?

    Vezi rezolvarea
    1. Nu; folosim combinări C62. Echipa Ana–Dan este aceeași cu Dan–Ana. Nu atribuim roluri.
    2. C62=6·52·1. Numărăm perechile ordonate, apoi împărțim cu 2! pentru dubla numărare.
    3. 15 echipe. 302=15. Pentru roluri diferite, precum șef și adjunct, răspunsul ar fi fost 30.

    Răspuns: 15 echipe

  19. Exercițiul 19

    Calculează C72.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim C72=7!2!·5!.
    2. Simplificăm 5!: rămâne 7·62·1.
    3. Rezultatul este 21.

    Răspuns: 7·62=21

Fișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi (17)

  1. 1. Pornim de la zero

    Din 5 elevi alegem o echipă de 2 elevi, fără roluri. Ordinea contează?

    Vezi răspunsul

    Nu: se folosesc combinări, C52 = 10.

  2. 2. Pornim de la zero

    Care este formula combinărilor de n obiecte luate câte k?

    Vezi răspunsul

    Cnk = n!k!(n − k)!

  3. 3. Pornim de la zero

    Calculează C52.

    Vezi răspunsul

    C52 = 10

  4. 4. Pornim de la zero

    Calculează C62.

    Vezi răspunsul

    C62 = 15

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    Calculează C63.

    Vezi răspunsul

    C63 = 20

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    Ce proprietate ajută la calculul lui C108?

    Vezi răspunsul

    Cnk = Cnn−k, deci C108 = C102 = 45.

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Care este valoarea lui C70?

    Vezi răspunsul

    1

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    Care este valoarea lui C77?

    Vezi răspunsul

    1

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    Din 8 elevi alegem o comisie de 3 elevi fără funcții. Ce formulă folosim?

    Vezi răspunsul

    Combinări: C83.

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    Câte comisii de 3 elevi se pot forma din 8 elevi?

    Vezi răspunsul

    C83 = 56

  11. 11. Exersăm cu ajutor

    Din 9 puncte distincte alegem două pentru a determina un segment. Câte segmente obținem?

    Vezi răspunsul

    C92 = 36 de segmente

  12. 12. Exersăm cu ajutor

    Care este relația dintre aranjamente și combinări?

    Vezi răspunsul

    Ank = Cnk · k!

  13. 13. Rezolvi singur

    Din 6 cărți alegem 2 pentru vacanță. Un elev calculează A62 = 30. Ce a greșit?

    Vezi răspunsul

    Ordinea nu contează, deci trebuie C62 = 15. A62 = 30 numără fiecare pereche de două ori.

  14. 14. Rezolvi singur

    O clasă are 4 fete și 5 băieți. În câte moduri alegem o fată și un băiat?

    Vezi răspunsul

    4 · 5 = 20

  15. 15. Rezolvi singur

    Din 5 fete și 4 băieți alegem o echipă de 3 formată din exact 2 fete și 1 băiat. Ce expresie este corectă?

    Vezi răspunsul

    C52 · C41 = 10 · 4 = 40

  16. 16. Rezolvi singur

    Calculează singur C92.

    Vezi răspunsul

    C92 = 36

  17. 17. Rezolvi singur

    Din 10 elevi alegem o echipă de 2 fără roluri. Câte echipe există?

    Vezi răspunsul

    C102 = 45

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.