Alegerea formulei: șabloane și capcane

Exersăm cea mai importantă abilitate de examen: traducerea enunțului în modelul corect de numărare.

Nu alege formula doar fiindcă vezi numerele n și k. Două enunțuri cu aceleași numere pot cere formule diferite.

1. Arborele de decizie: ce formulă aleg?

La Bac, partea grea este adesea alegerea modelului, nu calculul. Pune întrebările în această ordine și nu porni direct cu o formulă.

Folosesc toate obiectele și ordinea contează? → P_n.
Aleg k obiecte și ordinea sau rolurile contează? → A_n^k.
Aleg un grup de k obiecte, fără ordine? → C_n^k.
Am k poziții și repetarea este permisă? → n^k.
Am cazuri alternative? → le calculez separat și le adun.
Am alegeri succesive? → le înmulțesc.

2. Cuvinte-cheie și capcane

roluri / podium / ordine → A_n^k

echipă / comisie / submulțime → C_n^k

toate în linie → P_n

repetare permisă pe k locuri → n^k

«Distincte» înseamnă fără repetare.
«Cel puțin» și «cel mult» cer de obicei mai multe cazuri sau complementul.
Un obiect obligatoriu se fixează înainte; unul interzis se elimină înainte.

Aceiași elevi, două probleme diferite

Alegem 2 dintre 6 elevi.

1.Doi reprezentanți egali: C₆² = 15.
2.Președinte și vicepreședinte: A₆² = 30.
3.Enunțul, nu doar numerele, decide formula.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Șablonul «așezăm toate obiectele distincte în linie» cere:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Permutări (n!).
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Șablonul «alegem k persoane pentru roluri diferite» cere:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aranjamente (A_n^k).
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Șablonul «alegem o echipă de k persoane fără funcții» cere:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Combinări (C_n^k).
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Șablonul «cod de k poziții, repetarea permisă» cere:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n^k (principiul înmulțirii, cu repetare).
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 12 elevi alegem un căpitan și un portar. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aranjamente: A₁₂².
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 12 elevi alegem doi reprezentanți cu drepturi egale. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Combinări: C₁₂².
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte rezultate există pentru un căpitan și un portar aleși dintre 12 elevi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₁₂² = 12 · 11 = 132
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte perechi de reprezentanți egali se aleg dintre 12 elevi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₁₂² = 66
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
În câte moduri alegem 3 probleme dintre 8 pentru o fișă, dacă ordinea lor nu contează?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₈³ = 56
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
În câte moduri alegem și ordonăm 3 probleme dintre 8 ca problema 1, 2 și 3?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₈³ = 336
Ex. 11Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
O monedă se aruncă de 4 ori. Câte secvențe de rezultate sunt?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2⁴ = 16
Ex. 12Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte submulțimi are o mulțime cu 5 elemente?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2⁵ = 32
Ex. 13Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte submulțimi cu exact 2 elemente are o mulțime cu 7 elemente?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₇² = 21
Ex. 14Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte submulțimi cu cel mult un element are o mulțime cu 6 elemente?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 6 = 7 (mulțimea vidă și cele 6 submulțimi cu un element)
Ex. 15Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete sau 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₅² + C₄² = 10 + 6 = 16
Ex. 16Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete și 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₅² · C₄² = 10 · 6 = 60
Ex. 17Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, dar Ana trebuie să fie în echipă. Ce număr calculăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₆² = 15: Ana este deja aleasă, iar ceilalți 2 se aleg dintre 6.
Ex. 18Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, iar Ana nu poate participa. Ce număr calculăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₆³ = 20: toți 3 se aleg dintre ceilalți 6.
Ex. 19Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează numărul de comisii de 3 persoane formate din 10 persoane.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C₁₀³ = 120
Ex. 20Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 9 elevi alegem președinte, vicepreședinte și secretar. Câte conduceri există?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₉³ = 9 · 8 · 7 = 504