Alegerea formulei: șabloane și capcane

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Patru tipare și întrebarea «contează ordinea?»

Înainte de orice calcul, identificăm tiparul. Toate obiectele puse în linie înseamnă permutări, n!. Câteva persoane pentru roluri diferite înseamnă aranjamente, A_n^k. Un grup fără funcții înseamnă combinări, C_n^k. Un cod în care simbolurile se pot repeta înseamnă n^k.

Întrebarea care decide este: dacă schimb ordinea, obțin alt rezultat? Dacă da, ordinea contează. Apoi verificăm dacă putem repeta un element.

De ținut minte

toate în linie: n!

roluri: A_n^k

grup: C_n^k

cod cu repetare: n^k

Exemplu cu alte date

Din 5 prieteni, 3 stau pe o bancă în ordine. Ce tipar este?

1Alegem doar 3 din 5, deci nu toate obiectele.
2Pe bancă, ordinea schimbă așezarea: ordinea contează.
3Nu repetăm persoane, deci folosim aranjamente: A₅³ = 5·4·3 = 60.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Alegerea formulei: șabloane și capcane: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Patru tipare și întrebarea «contează ordinea?»

Întrebarea care decide este: dacă schimb ordinea, obțin alt rezultat? Dacă da, ordinea contează. Apoi verificăm dacă putem repeta un element.

toate în linie: n!
roluri: A_n^k
grup: C_n^k
cod cu repetare: n^k

Exemplu cu alte date

Din 5 prieteni, 3 stau pe o bancă în ordine. Ce tipar este?

Alegem doar 3 din 5, deci nu toate obiectele.
Pe bancă, ordinea schimbă așezarea: ordinea contează.
Nu repetăm persoane, deci folosim aranjamente: A₅³ = 5·4·3 = 60.

Roluri diferite sau drepturi egale

Dacă cei aleși primesc roluri diferite, ca șef și adjunct, perechea (Ana, Dan) diferă de (Dan, Ana): folosim aranjamente, A_n² = n·(n − 1).

Dacă cei aleși au drepturi egale, perechea {Ana, Dan} este aceeași cu {Dan, Ana}: folosim combinări, C_n² = n·n − 12. Rezultatul este de două ori mai mic.

roluri: A_n² = n·(n − 1)
egali: C_n² = n·n − 12

Exemplu cu alte date

Din 10 elevi alegem un șef și un adjunct, apoi, separat, doi delegați egali. Câte variante are fiecare alegere?

Șef și adjunct: rolurile diferă, A₁₀² = 10·9 = 90.
Doi delegați egali: ordinea nu contează, C₁₀² = 902 = 45.
Aceeași pereche de elevi este numărată de două ori la roluri și o singură dată la delegați.

Alegem și, uneori, ordonăm

«Alegem 3 obiecte» fără alte condiții înseamnă un grup: combinări. «Alegem și ordonăm», sau «pe locurile 1, 2, 3», înseamnă aranjamente.

Legătura dintre ele este A_n^k = C_n^k·k!: fiecare grup de k obiecte poate fi ordonat în k! feluri.

A_n^k = C_n^k·k!

Exemplu cu alte date

Din 6 cărți alegem 2 pentru vacanță, apoi, separat, alegem 2 cărți și le citim în ordine. Câte variante are fiecare?

Fără ordine: C₆² = 6·52 = 15.
Cu ordine: A₆² = 6·5 = 30.
Verificare: 30 = 15·2!, fiecare grup în 2 ordini.

Submulțimi și secvențe

O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi: pentru fiecare element decidem dacă îl luăm sau nu. Cele cu exact k elemente sunt C_n^k.

La aruncări repetate, fiecare aruncare are aceleași rezultate posibile, deci înmulțim: o monedă aruncată de n ori dă 2ⁿ secvențe.

2ⁿ submulțimi
C_n^k submulțimi cu k elemente

Exemplu cu alte date

Un zar se aruncă de 2 ori. Câte secvențe de rezultate există?

Prima aruncare are 6 rezultate.
A doua are tot 6, oricare ar fi prima.
Înmulțim: 6·6 = 36 de secvențe.

Două grupe și o persoană fixată

Când alegem din două grupe, de exemplu fete și băieți, numărăm separat în fiecare grupă. «Și» înseamnă că alegem din amândouă, deci înmulțim; «sau» înseamnă cazuri separate, deci adunăm.

Dacă o persoană trebuie să fie aleasă, o punem direct în grup și alegem doar locurile rămase dintre ceilalți. Dacă nu are voie, o scoatem din listă și alegem dintre ceilalți.

și: înmulțim
sau: adunăm
persoană fixată: C_n−1^k−1

Exemplu cu alte date

Din 6 elevi alegem 3 pentru un proiect, iar Mihai trebuie să fie printre ei. Câte grupe sunt?

Mihai este deja în grup, deci mai alegem 2 locuri.
Le alegem dintre ceilalți 5 elevi: C₅².
C₅² = 5·42 = 10 grupe.

Exerciții rezolvate din lecție (21)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Șablonul «așezăm toate obiectele distincte în linie» cere:
Vezi rezolvarea
1. Folosim toate cele n obiecte.
2. Ordinea lor schimbă rezultatul.
3. Șablonul este P_n = n!.
Răspuns: Permutări P_n
Exercițiul 2
Șablonul «alegem k persoane pentru roluri diferite» cere:
Vezi rezolvarea
1. Alegem numai k persoane dintre n.
2. Rolurile sunt distincte, deci ordinea contează.
3. Folosim A_n^k.
Răspuns: Aranjamente A_n^k
Exercițiul 3
Șablonul «alegem o echipă de k persoane fără funcții» cere:
Vezi rezolvarea
1. Echipa nu are roluri.
2. Schimbarea ordinii numelor nu produce o echipă nouă.
3. Folosim C_n^k.
Răspuns: Combinări C_n^k
Exercițiul 4
Șablonul «cod de k poziții, repetarea permisă» cere:
Vezi rezolvarea
1. Repetarea permisă înseamnă că opțiunile nu se consumă.
2. Sunt k pași, fiecare cu n alegeri.
3. Rezultatul este n · n · ... · n = n^k.
Răspuns: n^k
Exercițiul 5
Din 12 elevi alegem un căpitan și un portar. Ce formulă folosim?
Vezi rezolvarea
1. Alegem 2 elevi dintre 12.
2. Căpitanul și portarul au roluri diferite.
3. Folosim A₁₂² = 12 · 11.
Răspuns: A₁₂²
Exercițiul 6
Din 12 elevi alegem doi reprezentanți cu drepturi egale. Ce formulă folosim?
Vezi rezolvarea
1. Contează perechea, nu ordinea.
2. Folosim C₁₂² = 12 · 112.
Răspuns: C₁₂²
Exercițiul 7
Câte rezultate există pentru un căpitan și un portar aleși dintre 12 elevi?
Vezi rezolvarea
1. A₁₂² = 12 · 11.
2. Rezultatul este 132.
Răspuns: A₁₂²=12·11=132
Exercițiul 8
Câte perechi de reprezentanți egali se aleg dintre 12 elevi?
Vezi rezolvarea
1. C₁₂² = 12 · 112.
2. 1322 = 66.
Răspuns: 12·112=66
Exercițiul 9
În câte moduri alegem 3 probleme dintre 8 pentru o fișă, dacă ordinea lor nu contează?
Vezi rezolvarea
1. Alegem o submulțime de 3 probleme.
2. Ordinea nu contează.
3. C₈³ = 56.
Răspuns: C₈³=8·7·63·2·1=56
Exercițiul 10
În câte moduri alegem și ordonăm 3 probleme dintre 8 ca problema 1, 2 și 3?
Vezi rezolvarea
1. Alegem 3 probleme și le atribuim poziții.
2. Ordinea contează, fără repetare.
3. A₈³ = 8 · 7 · 6 = 336.
Răspuns: A₈³=8·7·6=336
Exercițiul 11
O monedă se aruncă de 4 ori. Câte secvențe de rezultate sunt?
Vezi rezolvarea
1. Rezultatele sunt M sau S la fiecare aruncare.
2. Repetarea este posibilă și sunt 4 poziții.
3. Avem 2 · 2 · 2 · 2 = 16 secvențe.
Răspuns: 2·2·2·2=2⁴=16
Exercițiul 12
Câte submulțimi are o mulțime cu 5 elemente?
Vezi rezolvarea
1. Pentru fiecare element avem două decizii: îl includem sau nu.
2. Deciziile sunt succesive și independente.
3. În total sunt 2⁵ = 32 submulțimi.
Răspuns: 2⁵=32
Exercițiul 13
Câte submulțimi cu exact 2 elemente are o mulțime cu 7 elemente?
Vezi rezolvarea
1. Cuvântul «exact 2» fixează mărimea submulțimii.
2. Ordinea elementelor nu contează.
3. C₇² = 7 · 62 = 21.
Răspuns: 7·62=21
Exercițiul 14
Câte submulțimi cu cel mult un element are o mulțime cu 6 elemente?
Vezi rezolvarea
1. «Cel mult un element» înseamnă 0 sau 1 element.
2. C₆⁰ = 1 și C₆¹ = 6.
3. Adunăm cazurile: 1 + 6 = 7.
Răspuns: C₆⁰+C₆¹=1+6=7
Exercițiul 15
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete sau 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi rezolvarea
1. Primul caz: alegem 2 fete în C₅² moduri.
2. Al doilea caz: alegem 2 băieți în C₄² moduri.
3. Cazurile sunt alternative, deci adunăm.
Răspuns: C₅² + C₄²
Exercițiul 16
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete și 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi rezolvarea
1. Alegem 2 fete în C₅² moduri.
2. Pentru fiecare asemenea alegere, alegem 2 băieți în C₄² moduri.
3. Pașii succesivi se înmulțesc.
Răspuns: C₅² · C₄²
Exercițiul 17
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, dar Ana trebuie să fie în echipă. Ce număr calculăm?
Vezi rezolvarea
1. Fixăm persoana obligatorie: Ana.
2. Mai alegem 2 elevi dintre cei 6 rămași.
3. Numărul este C₆² = 15.
Răspuns: C₆²=6·52=15
Exercițiul 18
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, iar Ana nu poate participa. Ce număr calculăm?
Vezi rezolvarea
1. Rămân 6 elevi disponibili.
2. Alegem 3 fără roluri.
3. C₆³ = 20.
Răspuns: C₆³=6·5·43·2·1=20
Exercițiul 19
Calculează numărul de comisii de 3 persoane formate din 10 persoane.
Vezi rezolvarea
1. Folosim combinări.
2. C₁₀³ = 10 · 9 · 83 · 2 · 1.
3. 7206 = 120.
Răspuns: 10·9·83·2·1=120
Exercițiul 20
Din 9 elevi alegem președinte, vicepreședinte și secretar. Câte conduceri există?
Vezi rezolvarea
1. Folosim aranjamente, deoarece ordinea rolurilor contează.
2. A₉³ = 9 · 8 · 7.
3. Rezultatul este 504.
Răspuns: 9·8·7=504
Exercițiul 21
Din 6 elevi alegem o echipă de 2, fără roluri diferite. Câte echipe sunt posibile?
Vezi rezolvarea
1. Nu; folosim combinări C₆². Echipa Ana–Dan este aceeași cu Dan–Ana. Nu atribuim roluri.
2. C₆²=6·52·1. Numărăm perechile ordonate, apoi împărțim cu 2! pentru dubla numărare.
3. 15 echipe. 302=15. Pentru roluri diferite, precum șef și adjunct, răspunsul ar fi fost 30.
Răspuns: 15 echipe

Fișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi (20)

1. Pornim de la zero
Șablonul «așezăm toate obiectele distincte în linie» cere:
Vezi răspunsul
Permutări (n!).
2. Pornim de la zero
Șablonul «alegem k persoane pentru roluri diferite» cere:
Vezi răspunsul
Aranjamente (A_n^k).
3. Pornim de la zero
Șablonul «alegem o echipă de k persoane fără funcții» cere:
Vezi răspunsul
Combinări (C_n^k).
4. Pornim de la zero
Șablonul «cod de k poziții, repetarea permisă» cere:
Vezi răspunsul
n^k (principiul înmulțirii, cu repetare).
5. Exersăm cu ajutor
Din 12 elevi alegem un căpitan și un portar. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsul
Aranjamente: A₁₂².
6. Exersăm cu ajutor
Din 12 elevi alegem doi reprezentanți cu drepturi egale. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsul
Combinări: C₁₂².
7. Exersăm cu ajutor
Câte rezultate există pentru un căpitan și un portar aleși dintre 12 elevi?
Vezi răspunsul
A₁₂² = 12 · 11 = 132
8. Exersăm cu ajutor
Câte perechi de reprezentanți egali se aleg dintre 12 elevi?
Vezi răspunsul
C₁₂² = 66
9. Exersăm cu ajutor
În câte moduri alegem 3 probleme dintre 8 pentru o fișă, dacă ordinea lor nu contează?
Vezi răspunsul
C₈³ = 56
10. Exersăm cu ajutor
În câte moduri alegem și ordonăm 3 probleme dintre 8 ca problema 1, 2 și 3?
Vezi răspunsul
A₈³ = 336
11. Exersăm cu ajutor
O monedă se aruncă de 4 ori. Câte secvențe de rezultate sunt?
Vezi răspunsul
2⁴ = 16
12. Exersăm cu ajutor
Câte submulțimi are o mulțime cu 5 elemente?
Vezi răspunsul
2⁵ = 32
13. Exersăm cu ajutor
Câte submulțimi cu exact 2 elemente are o mulțime cu 7 elemente?
Vezi răspunsul
C₇² = 21
14. Exersăm cu ajutor
Câte submulțimi cu cel mult un element are o mulțime cu 6 elemente?
Vezi răspunsul
1 + 6 = 7 (mulțimea vidă și cele 6 submulțimi cu un element)
15. Rezolvi singur
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete sau 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi răspunsul
C₅² + C₄² = 10 + 6 = 16
16. Rezolvi singur
Din 5 fete și 4 băieți alegem 2 fete și 2 băieți. Ce expresie folosim?
Vezi răspunsul
C₅² · C₄² = 10 · 6 = 60
17. Rezolvi singur
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, dar Ana trebuie să fie în echipă. Ce număr calculăm?
Vezi răspunsul
C₆² = 15: Ana este deja aleasă, iar ceilalți 2 se aleg dintre 6.
18. Rezolvi singur
O echipă de 3 se alege dintre 7 elevi, iar Ana nu poate participa. Ce număr calculăm?
Vezi răspunsul
C₆³ = 20: toți 3 se aleg dintre ceilalți 6.
19. Rezolvi singur
Calculează numărul de comisii de 3 persoane formate din 10 persoane.
Vezi răspunsul
C₁₀³ = 120
20. Rezolvi singur
Din 9 elevi alegem președinte, vicepreședinte și secretar. Câte conduceri există?
Vezi răspunsul
A₉³ = 9 · 8 · 7 = 504