Încărcăm partea curentă…

Permutări și aranjamente: când ordinea contează

Permutări: folosim toate obiectele, iar ordinea contează

Dacă toate cele n obiecte distincte trebuie așezate, primul loc are n posibilități, al doilea n−1 și așa mai departe. Înmulțim numărul alegerilor, fiindcă fiecare alegere de pe primul loc se poate combina cu fiecare alegere de pe al doilea.

Schimbarea locurilor a două obiecte creează o așezare nouă. Aceasta este diferența față de alegerea unui grup, unde ordinea nu contează.

De ținut minte

Pn=n!=n·(n−1)·…·2·1
  • Întreabă-te întâi: folosim toate obiectele?

Exemplu rezolvat, cu alte date

În câte ordini pot sta 3 cărți diferite pe un raft?

  1. 1Pentru primul loc alegem una dintre cele 3 cărți.
  2. 2Pentru al doilea rămân 2 alegeri, iar pentru al treilea 1.
  3. 3Înmulțim: 3·2·1=3!=6 ordini.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Permutări și aranjamente: când ordinea contează: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Permutări: folosim toate obiectele, iar ordinea contează

Dacă toate cele n obiecte distincte trebuie așezate, primul loc are n posibilități, al doilea n−1 și așa mai departe. Înmulțim numărul alegerilor, fiindcă fiecare alegere de pe primul loc se poate combina cu fiecare alegere de pe al doilea.

Schimbarea locurilor a două obiecte creează o așezare nouă. Aceasta este diferența față de alegerea unui grup, unde ordinea nu contează.

  • Pn=n!=n·(n−1)·…·2·1
  • Întreabă-te întâi: folosim toate obiectele?

Exemplu rezolvat, cu alte date

În câte ordini pot sta 3 cărți diferite pe un raft?

  1. Pentru primul loc alegem una dintre cele 3 cărți.
  2. Pentru al doilea rămân 2 alegeri, iar pentru al treilea 1.
  3. Înmulțim: 3·2·1=3!=6 ordini.

Permutări: calculăm factorialul pas cu pas

Pentru n obiecte distincte, fiecare loc ocupat lasă cu o alegere mai puțin pentru locul următor. Formula factorialului se poate calcula direct sau se poate opri după câțiva factori dacă problema cere un raport de factoriale.

Scriem produsul înainte de rezultat ca să nu pierdem vreun factor. De pildă, 4! conține și factorii 2 și 1; nu înseamnă 4·4.

  • n!=n·(n−1)·(n−2)·…·1
  • Factorialul numără așezări, nu selecții fără ordine.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Câte așezări au 7 cărți diferite pe un raft?

  1. Avem 7 alegeri pentru prima poziție, apoi 6, 5, 4, 3, 2 și 1.
  2. Produsul este 7!=7·6·5·4·3·2·1.
  3. Obținem 5040 așezări.

Aranjamente: alegem numai câteva obiecte și le dăm roluri

Alegem k obiecte distincte dintre n, cu k≤n, și le punem pe k poziții diferite. Primul rol are n candidați, următorul n−1; ne oprim după k factori. Pentru președinte și vicepreședinte, inversarea persoanelor schimbă rezultatul.

Astfel de probleme folosesc aranjamente. Raportul de factoriale este doar o scriere prescurtată a produsului descrescător.

  • Ank=n(n−1)…(n−k+1)=n!(n−k)!
  • Când rolurile sunt diferite, ordinea contează.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Din 4 elevi alegem un șef și un adjunct. Câte rezultate sunt?

  1. Pentru șef există 4 opțiuni.
  2. După alegerea lui, pentru adjunct rămân 3 opțiuni.
  3. A42=4·3=12 rezultate; rolurile sunt diferite.

Aranjamente în probleme cu podiumuri și poziții

Un podium are locuri distincte: aurul, argintul și bronzul nu pot fi schimbate fără să obținem alt rezultat. Dacă nu se poate repeta aceeași persoană, fiecare alegere reduce numărul candidaților rămași cu unu.

Numărăm pozițiile și apoi înmulțim exact atâția factori descrescători. Nu folosim n! întreg decât dacă toate cele n persoane primesc câte un loc.

  • An3=n(n−1)(n−2)
  • Numărul factorilor este numărul rolurilor ocupate.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Din 5 concurenți alegem primele 3 locuri. Câte podiumuri există?

  1. Pentru locul 1 avem 5 alegeri.
  2. Pentru locul 2 rămân 4, iar pentru locul 3 rămân 3.
  3. Numărul podiumurilor este 5·4·3=60.

Coduri: verificăm dacă repetarea este permisă

La un cod, pozițiile sunt diferite: ABC și BAC sunt coduri distincte. Dacă simbolurile trebuie să fie distincte, folosim un produs descrescător. Dacă un simbol poate apărea din nou, fiecare poziție are din nou toate cele n opțiuni.

Cazul k=n fără repetare folosește toate obiectele și devine o permutare. Citește condiția de repetare din enunț înainte de a alege formula.

  • fără repetare: Ank; cu repetare: nk; Ann=n!
  • Formula nk se aplică numai când toate cele n opțiuni rămân disponibile la fiecare poziție.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Câte coduri de două cifre se fac din 1, 2, 3, 4 dacă repetarea este permisă?

  1. Prima poziție are 4 opțiuni.
  2. Și a doua are tot 4, fiindcă cifra folosită poate fi reluată.
  3. Obținem 4·4=42=16 coduri.

Alegem formula și facem calculul complet

Într-un enunț aplicat, marchează câte persoane sau obiecte sunt disponibile și câte roluri trebuie ocupate. Apoi decide dacă rolurile sunt diferite și dacă aceeași persoană poate ocupa două roluri.

Pentru roluri distincte fără repetare, calculul este un produs descrescător de lungime egală cu numărul rolurilor. Poți verifica rezultatul prin enumerare numai când numerele sunt foarte mici.

  • n opțiuni, k roluri distincte ⇒ Ank=n!(n−k)!
  • Dacă înlocuiești rolurile cu un singur grup, formula se schimbă.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Din 7 persoane alegem un președinte și un secretar. Câte alegeri există?

  1. Există 7 persoane și 2 roluri distincte.
  2. Președintele se alege în 7 moduri, apoi secretarul în 6.
  3. Totalul este A72=7·6=42.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Patru elevi se așază pe patru scaune în linie. Ce tip de numărare folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Toate obiectele sunt folosite.
    2. Ordinea elevilor pe scaune contează.
    3. Acesta este modelul unei permutări.

    Răspuns: Permutări

  2. Exercițiul 2

    Din 5 elevi alegem președintele și vicepreședintele clasei. Ordinea rolurilor contează?

    Vezi rezolvarea
    1. Rolurile sunt diferite.
    2. Ana președinte și Mihai vicepreședinte nu este același rezultat cu Mihai președinte și Ana vicepreședinte.
    3. Folosim aranjamente.

    Răspuns: Da

  3. Exercițiul 3

    Care este formula permutărilor a n obiecte distincte?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul loc are n opțiuni, următorul n − 1 și tot așa.
    2. Produsul este n · (n − 1) · ... · 1.
    3. Prin urmare Pn = n!.

    Răspuns: Pn = n!

  4. Exercițiul 4

    Calculează P4.

    Vezi rezolvarea
    1. P4 = 4!.
    2. 4! = 4 · 3 · 2 · 1.
    3. Rezultatul este 24.

    Răspuns: 24

  5. Exercițiul 5

    Calculează P5.

    Vezi rezolvarea
    1. P5 = 5!.
    2. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

    Răspuns: 120

  6. Exercițiul 6

    Care este formula aranjamentelor de n obiecte luate câte k?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru primul loc avem n opțiuni, apoi n − 1 și continuăm k factori.
    2. Produsul este n(n − 1)...(n − k + 1).
    3. Aceasta este aceeași expresie cu n!(n − k)!.

    Răspuns: Ank = n!(n − k)!

  7. Exercițiul 7

    Calculează A52.

    Vezi rezolvarea
    1. A52 = 5!(5 − 2)! = 5!3!.
    2. Simplificăm și rămâne 5 · 4.
    3. A52 = 20.

    Răspuns: 5·4=20

  8. Exercițiul 8

    Calculează A63.

    Vezi rezolvarea
    1. A63 = 6 · 5 · 4.
    2. 6 · 5 · 4 = 120.

    Răspuns: 6·5·4=120

  9. Exercițiul 9

    Din 7 concurenți se acordă medaliile de aur, argint și bronz. Ce formulă folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem 3 dintre cei 7 concurenți.
    2. Medaliile sunt roluri diferite, deci ordinea contează.
    3. Folosim A73 = 7 · 6 · 5.

    Răspuns: A73

  10. Exercițiul 10

    Câte variante există pentru aur, argint și bronz dintre 7 concurenți?

    Vezi rezolvarea
    1. A73 = 7 · 6 · 5.
    2. 7 · 6 = 42, iar 42 · 5 = 210.
    3. Există 210 podiumuri ordonate.

    Răspuns: 7·6·5=210

  11. Exercițiul 11

    Câte coduri de 3 litere distincte se pot forma din A, B, C, D, E?

    Vezi rezolvarea
    1. Cuvântul «distincte» interzice repetarea.
    2. Ordinea literelor schimbă codul: ABC ≠ BAC.
    3. A53 = 5 · 4 · 3 = 60.

    Răspuns: A53=5·4·3=60

  12. Exercițiul 12

    Câte coduri de 3 litere se pot forma din 5 litere dacă repetarea este permisă?

    Vezi rezolvarea
    1. Repetarea este permisă, deci nu scade numărul de opțiuni.
    2. Avem 5 alegeri pentru fiecare dintre cele 3 poziții.
    3. Principiul înmulțirii dă 5 · 5 · 5 = 53 = 125.

    Răspuns: 53=125

  13. Exercițiul 13

    Ann este egal cu:

    Vezi rezolvarea
    1. Ann = n!(n − n)!.
    2. Numitorul este 0! = 1.
    3. Deci Ann = n! = Pn.

    Răspuns: Pn = n!

  14. Exercițiul 14

    În câte moduri pot fi puse 6 cărți distincte pe un raft?

    Vezi rezolvarea
    1. Așezarea tuturor obiectelor distincte este o permutare.
    2. Numărul este P6 = 6!.
    3. 6! = 720.

    Răspuns: 6!=720

  15. Exercițiul 15

    Din 8 elevi alegem un șef, un adjunct și un secretar. Câte rezultate sunt?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem 3 persoane dintre 8 și le atribuim roluri distincte.
    2. Folosim aranjamente: A83 = 8 · 7 · 6.
    3. Rezultatul este 336.

    Răspuns: A83=8·7·6=336

  16. Exercițiul 16

    Calculează singur A92.

    Vezi rezolvarea
    1. A92 = 9!(9 − 2)! = 9!7!.
    2. Simplificăm și obținem 9 · 8.
    3. Rezultatul este 72.

    Răspuns: 9·8=72

  17. Exercițiul 17

    Din 6 persoane alegem un președinte și un vicepreședinte. Scrie numărul total.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru președinte sunt 6 opțiuni.
    2. După alegerea lui rămân 5 opțiuni pentru vicepreședinte.
    3. 6 · 5 = A62 = 30.

    Răspuns: 6·5=30

  18. Exercițiul 18

    Trei steaguri diferite se pun unul sub altul. Câte ordini sunt posibile?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul loc are 3 opțiuni.
    2. Al doilea loc are 2 opțiuni, iar ultimul una singură.
    3. Numărul așezărilor este 3·2·1=6.

    Răspuns: 3!=3·2·1=6

Fișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi (17)

  1. 1. Pornim de la zero

    Patru elevi se așază pe patru scaune în linie. Ce tip de numărare folosim?

    Vezi răspunsul

    Permutări: P4 = 4! = 24.

  2. 2. Pornim de la zero

    Din 5 elevi alegem președintele și vicepreședintele clasei. Ordinea rolurilor contează?

    Vezi răspunsul

    Da: se folosesc aranjamente, A52 = 20.

  3. 3. Pornim de la zero

    Care este formula permutărilor a n obiecte distincte?

    Vezi răspunsul

    Pn = n!

  4. 4. Pornim de la zero

    Calculează P4.

    Vezi răspunsul

    P4 = 24

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    Calculează P5.

    Vezi răspunsul

    P5 = 120

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    Care este formula aranjamentelor de n obiecte luate câte k?

    Vezi răspunsul

    Ank = n!(n − k)!

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Calculează A52.

    Vezi răspunsul

    A52 = 5 · 4 = 20

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    Calculează A63.

    Vezi răspunsul

    A63 = 6 · 5 · 4 = 120

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    Din 7 concurenți se acordă medaliile de aur, argint și bronz. Ce formulă folosim?

    Vezi răspunsul

    Aranjamente: A73 (medaliile sunt roluri diferite).

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    Câte variante există pentru aur, argint și bronz dintre 7 concurenți?

    Vezi răspunsul

    A73 = 7 · 6 · 5 = 210

  11. 11. Exersăm cu ajutor

    Câte coduri de 3 litere distincte se pot forma din A, B, C, D, E?

    Vezi răspunsul

    A53 = 5 · 4 · 3 = 60

  12. 12. Exersăm cu ajutor

    Câte coduri de 3 litere se pot forma din 5 litere dacă repetarea este permisă?

    Vezi răspunsul

    53 = 125

  13. 13. Rezolvi singur

    Ann este egal cu:

    Vezi răspunsul

    n! (adică Pn)

  14. 14. Rezolvi singur

    În câte moduri pot fi puse 6 cărți distincte pe un raft?

    Vezi răspunsul

    6! = 720

  15. 15. Rezolvi singur

    Din 8 elevi alegem un șef, un adjunct și un secretar. Câte rezultate sunt?

    Vezi răspunsul

    A83 = 8 · 7 · 6 = 336

  16. 16. Rezolvi singur

    Calculează singur A92.

    Vezi răspunsul

    A92 = 9 · 8 = 72

  17. 17. Rezolvi singur

    Din 6 persoane alegem un președinte și un vicepreședinte. Scrie numărul total.

    Vezi răspunsul

    A62 = 6 · 5 = 30

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.