Permutări și aranjamente: când ordinea contează

Învățăm două modele în care ordinea schimbă rezultatul: permutările și aranjamentele.

Întreabă-te mereu: folosesc toate obiectele sau numai k dintre ele? Repetarea este permisă sau nu?

1. Permutări: folosim toate obiectele și ordinea contează

O permutare este o așezare în ordine a tuturor celor n obiecte distincte. Schimbarea a două obiecte produce o altă așezare.

P_n = n!

toate obiectele
obiecte distincte
ordinea contează

Exemplu

În câte ordini pot intra 4 elevi într-o sală?

1.Primul loc: 4 alegeri.
2.Apoi rămân 3, 2 și 1 alegeri.
3.P₄ = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

2. Aranjamente: alegem numai k obiecte, dar ordinea contează

La aranjamente nu folosim neapărat toate obiectele. Alegem k dintre n și le punem pe poziții sau în roluri diferite.

A_n^k = n!n − k!

A_n^k = n(n − 1)...(n − k + 1)

roluri diferite: președinte și vicepreședinte
podium: aur, argint, bronz
cod cu simboluri distincte
Dacă repetarea este permisă pe k poziții, avem n^k, nu A_n^k.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Patru elevi se așază pe patru scaune în linie. Ce tip de numărare folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Permutări: P₄ = 4! = 24.
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 5 elevi alegem președintele și vicepreședintele clasei. Ordinea rolurilor contează?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: se folosesc aranjamente, A₅² = 20.
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este formula permutărilor a n obiecte distincte?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P_n = n!
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează P₄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P₄ = 24
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează P₅.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P₅ = 120
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Care este formula aranjamentelor de n obiecte luate câte k?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_n^k = n!n − k!
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează A₅².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₅² = 5 · 4 = 20
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează A₆³.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₆³ = 6 · 5 · 4 = 120
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 7 concurenți se acordă medaliile de aur, argint și bronz. Ce formulă folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aranjamente: A₇³ (medaliile sunt roluri diferite).
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte variante există pentru aur, argint și bronz dintre 7 concurenți?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₇³ = 7 · 6 · 5 = 210
Ex. 11Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte coduri de 3 litere distincte se pot forma din A, B, C, D, E?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₅³ = 5 · 4 · 3 = 60
Ex. 12Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Câte coduri de 3 litere se pot forma din 5 litere dacă repetarea este permisă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5³ = 125
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
A_nⁿ este egal cu:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n! (adică P_n)
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
În câte moduri pot fi puse 6 cărți distincte pe un raft?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6! = 720
Ex. 15Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 8 elevi alegem un șef, un adjunct și un secretar. Câte rezultate sunt?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₈³ = 8 · 7 · 6 = 336
Ex. 16Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Calculează singur A₉².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₉² = 9 · 8 = 72
Ex. 17Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 4
Din 6 persoane alegem un președinte și un vicepreședinte. Scrie numărul total.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A₆² = 6 · 5 = 30