Încărcăm partea curentă…

Logaritmi · aprofundare Mate-Info

Schimbări de bază și fracții în același calcul

Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr, trecem toți logaritmii la acea bază. În fracția obținută, logaritmul argumentului stă la numărător, iar logaritmul bazei vechi la numitor.

Apoi aducem fracțiile la același numitor. De exemplu, 32+13=96+26=116. Nu adunăm numitorii între ei.

De ținut minte

logab = logcblogca

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log48 + log82.

  1. 1Trecem în baza 2: log48=32 și log82=13.
  2. 2Adunăm direct la numitor comun: 32+13=116.
  3. 3Nu folosim 3+12+3: numitorii trebuie aduși întâi la aceeași valoare.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmi · aprofundare Mate-Info: teorie, exemple și exerciții rezolvate

După fișa comună, alegem metoda și construim transformările esențiale. Calculele elementare nu primesc pași separați.

Schimbări de bază și fracții în același calcul

Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr, trecem toți logaritmii la acea bază. În fracția obținută, logaritmul argumentului stă la numărător, iar logaritmul bazei vechi la numitor.

Apoi aducem fracțiile la același numitor. De exemplu, 32+13=96+26=116. Nu adunăm numitorii între ei.

  • logab = logcblogca

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log48 + log82.

  1. Trecem în baza 2: log48=32 și log82=13.
  2. Adunăm direct la numitor comun: 32+13=116.
  3. Nu folosim 3+12+3: numitorii trebuie aduși întâi la aceeași valoare.

Sume de logaritmi: domeniu și ecuație de gradul doi

Fiecare argument trebuie să fie pozitiv înainte să unim logaritmii. Un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi: și doi factori negativi au produs pozitiv.

După unire obținem o ecuație de gradul doi. Calculăm candidații, dar acceptăm numai valorile care respectă condițiile inițiale.

  • logaA+logaB=k ⇒ AB=ak, cu A>0 și B>0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Rezolvă log2x+log2(x−1)=1.

  1. Condițiile dau x>1. Unim: log2[x(x−1)]=1.
  2. x(x−1)=2, deci (x−2)(x+1)=0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Numai x=2 este mai mare decât 1 și verifică ecuația.

Diferențe: câtul argumentelor și semnele

La o diferență de logaritmi în aceeași bază, primul argument devine numărător, iar al doilea numitor. Nu inversăm fracția.

După ce am stabilit domeniul, numitorul este nenul și putem înmulți ecuația cu el. Păstrăm paranteza și verificăm rezultatul.

  • logaA−logaB=k ⇒ AB=ak

Exemplu rezolvat, cu alte date

Rezolvă log2(x+5)−log2(x−1)=1.

  1. Domeniu: x>1. Unim diferența: log2[x+5x−1]=1.
  2. x+5x−1=2, deci x+5=2x−2 și x=7.
  3. 7>1, iar 126=2; log22=1 confirmă soluția.

Substituția: întâi t, apoi x

Când apar logaritmul și pătratul lui, notăm logaritmul cu t. Obținem o ecuație de gradul doi obișnuită, dar rădăcinile ei sunt valorile lui t, nu ale lui x.

Pentru fiecare t revenim prin x=at. Un t negativ este permis și dă un x pozitiv fracționar. Nu pierdem una dintre soluții.

  • t=logax ⇒ x=at, cu x>0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Rezolvă (log3x)2−4log3x+3=0.

  1. Notăm t=log3x, cu x>0. Ecuația devine t2−4t+3=0.
  2. (t−1)(t−3)=0 dă t=1 sau t=3.
  3. Revenim: x=31=3 sau x=33=27; ambele sunt admise.

Baza conține x: două condiții, nu una

Când x apare în bază, nu ajunge să cerem argumentul pozitiv. Baza întreagă trebuie să fie mai mare decât zero și diferită de 1.

La o putere pară pot apărea două rădăcini algebrice. Cea care face baza negativă se elimină, chiar dacă verifică ecuația ridicată la putere.

  • logB A=k ⇒ Bk=A, cu B>0, B≠1 și A>0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Rezolvă log(x−2)25=2.

  1. Baza impune x−2>0 și x−2≠1: x>2 și x≠3.
  2. (x−2)2=25 dă x−2=5 sau x−2=−5.
  3. Păstrăm baza pozitivă 5: x=7. Baza negativă −5 nu este admisă.

Baze diferite și logaritmi reciproci

Alegem un singur logaritm drept t și exprimăm toți ceilalți în funcție de el. De exemplu, log4x=log2x2, fiindcă log24=2.

Dacă baza este x, folosim logxa=1logax și păstrăm t≠0. În exemplele de mai jos, al patrulea exercițiu este independent; rezolvarea completă se arată după răspuns.

  • logab · logba=1

Exemplu rezolvat, cu alte date

Rezolvă log2x+log8x=4.

  1. Domeniu: x>0. Notăm t=log2x; atunci log8x=t3.
  2. t+t3=4 dă 4t3=4, deci t=3.
  3. Revenim: x=23=8. Verificare: 3+1=4.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează log4(8) + log8(4).

    Vezi rezolvarea
    1. 32 + 23 — La schimbarea bazei, logaritmul argumentului stă la numărător. Obținem 32 și 23, iar semnul plus dintre logaritmi rămâne plus.
    2. 136 — 32 + 23 = 136. Aducem la numitor comun, adunăm numărătorii și simplificăm în același calcul.

    Răspuns: 136

  2. Exercițiul 2

    Calculează log9(27) + log27(3).

    Vezi rezolvarea
    1. 32 + 13 — La schimbarea bazei, logaritmul argumentului stă la numărător. Obținem 32 și 13, iar semnul plus dintre logaritmi rămâne plus.
    2. 116 — 32 + 13 = 116. Aducem la numitor comun, adunăm numărătorii și simplificăm în același calcul.

    Răspuns: 116

  3. Exercițiul 3

    Calculează log8(16) + log4(2).

    Vezi rezolvarea
    1. 43 + 12 — La schimbarea bazei, logaritmul argumentului stă la numărător. Obținem 43 și 12, iar semnul plus dintre logaritmi rămâne plus.
    2. 116 — 43 + 12 = 116. Aducem la numitor comun, adunăm numărătorii și simplificăm în același calcul.

    Răspuns: 116

  4. Exercițiul 4

    Calculează log25(5) + log125(25).

    Vezi rezolvarea
    1. 12 + 23 — La schimbarea bazei, logaritmul argumentului stă la numărător. Obținem 12 și 23, iar semnul plus dintre logaritmi rămâne plus.
    2. 76 — 12 + 23 = 76. Aducem la numitor comun, adunăm numărătorii și simplificăm în același calcul.

    Răspuns: 76

  5. Exercițiul 5

    Rezolvă log2(x) + log2(x − 2) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 2 — Fiecare argument trebuie să fie pozitiv: x>0 și x−2>0. Împreună cer x>2.
    2. x(x − 2) = 8 — log2(x(x − 2)) = 3, deci produsul este 2 la puterea 3, adică 8.
    3. x = 4 — x2−2x−8=0 se scrie (x−4)(x+2)=0. Candidații sunt -2 și 4; numai 4>2. Produsul argumentelor este 8, deci logaritmii însumați dau 3.

    Răspuns: x = 4

  6. Exercițiul 6

    Rezolvă log3(x) + log3(x − 8) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 8 — Fiecare argument trebuie să fie pozitiv: x>0 și x−8>0. Împreună cer x>8.
    2. x(x − 8) = 9 — log3(x(x − 8)) = 2, deci produsul este 3 la puterea 2, adică 9.
    3. x = 9 — x2−8x−9=0 se scrie (x−9)(x+1)=0. Candidații sunt -1 și 9; numai 9>8. Produsul argumentelor este 9, deci logaritmii însumați dau 2.

    Răspuns: x = 9

  7. Exercițiul 7

    Rezolvă log2(x) + log2(x − 6) = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 6 — Fiecare argument trebuie să fie pozitiv: x>0 și x−6>0. Împreună cer x>6.
    2. x(x − 6) = 16 — log2(x(x − 6)) = 4, deci produsul este 2 la puterea 4, adică 16.
    3. x = 8 — x2−6x−16=0 se scrie (x−8)(x+2)=0. Candidații sunt -2 și 8; numai 8>6. Produsul argumentelor este 16, deci logaritmii însumați dau 4.

    Răspuns: x = 8

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă log5(x) + log5(x − 24) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 24 — Fiecare argument trebuie să fie pozitiv: x>0 și x−24>0. Împreună cer x>24.
    2. x(x − 24) = 25 — log5(x(x − 24)) = 2, deci produsul este 5 la puterea 2, adică 25.
    3. x = 25 — x2−24x−25=0 se scrie (x−25)(x+1)=0. Candidații sunt -1 și 25; numai 25>24. Produsul argumentelor este 25, deci logaritmii însumați dau 2.

    Răspuns: x = 25

  9. Exercițiul 9

    Rezolvă log2(x + 3) − log2(x − 1) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 — x+3>0 și x−1>0 trebuie respectate simultan. Condiția mai restrictivă este x>1.
    2. x + 3x − 1 = 2 — Numărătorul rămâne x+3, iar numitorul x−1. Argumentul câtului este 2 la puterea 1, deci 2.
    3. x = 5 — Înmulțim cu x−1, care nu este zero: x+3=2(x−1). Obținem 1x=5, deci x=5. Acesta este mai mare decât 1, iar raportul argumentelor este 2.

    Răspuns: x = 5

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă log3(x + 5) − log3(x − 1) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 — x+5>0 și x−1>0 trebuie respectate simultan. Condiția mai restrictivă este x>1.
    2. x + 5x − 1 = 3 — Numărătorul rămâne x+5, iar numitorul x−1. Argumentul câtului este 3 la puterea 1, deci 3.
    3. x = 4 — Înmulțim cu x−1, care nu este zero: x+5=3(x−1). Obținem 2x=8, deci x=4. Acesta este mai mare decât 1, iar raportul argumentelor este 3.

    Răspuns: x = 4

  11. Exercițiul 11

    Rezolvă log2(x + 5) − log2(x − 1) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 — x+5>0 și x−1>0 trebuie respectate simultan. Condiția mai restrictivă este x>1.
    2. x + 5x − 1 = 4 — Numărătorul rămâne x+5, iar numitorul x−1. Argumentul câtului este 2 la puterea 2, deci 4.
    3. x = 3 — Înmulțim cu x−1, care nu este zero: x+5=4(x−1). Obținem 3x=9, deci x=3. Acesta este mai mare decât 1, iar raportul argumentelor este 4.

    Răspuns: x = 3

  12. Exercițiul 12

    Rezolvă log5(x + 7) − log5(x − 1) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 — x+7>0 și x−1>0 trebuie respectate simultan. Condiția mai restrictivă este x>1.
    2. x + 7x − 1 = 5 — Numărătorul rămâne x+7, iar numitorul x−1. Argumentul câtului este 5 la puterea 1, deci 5.
    3. x = 3 — Înmulțim cu x−1, care nu este zero: x+7=5(x−1). Obținem 4x=12, deci x=3. Acesta este mai mare decât 1, iar raportul argumentelor este 5.

    Răspuns: x = 3

  13. Exercițiul 13

    Rezolvă (log2(x))2 − 4·log2(x) + 3 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. t = log2(x); t2 − 4t + 3 = 0 — Expresia log2(x) se repetă. O înlocuim peste tot cu t; x>0.
    2. t ∈ {1; 3} — Factorizarea este (t − 1)(t − 3)=0, deci t=1 sau t=3. Încă nu am aflat x.
    3. x ∈ {2; 8} — log2(x)=1 dă x=2, iar log2(x)=3 dă x=8. Ambele valori sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

    Răspuns: x ∈ {2; 8}

  14. Exercițiul 14

    Rezolvă (log3(x))2 − 1·log3(x) − 2 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. t = log3(x); t2 − 1t − 2 = 0 — Expresia log3(x) se repetă. O înlocuim peste tot cu t; x>0.
    2. t ∈ {-1; 2} — Factorizarea este (t + 1)(t − 2)=0, deci t=-1 sau t=2. Încă nu am aflat x.
    3. x ∈ {13; 9} — log3(x)=-1 dă x=13, iar log3(x)=2 dă x=9. Ambele valori sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

    Răspuns: x ∈ {13; 9}

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă (log2(x))2 + 1·log2(x) − 2 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. t = log2(x); t2 + 1t − 2 = 0 — Expresia log2(x) se repetă. O înlocuim peste tot cu t; x>0.
    2. t ∈ {-2; 1} — Factorizarea este (t + 2)(t − 1)=0, deci t=-2 sau t=1. Încă nu am aflat x.
    3. x ∈ {14; 2} — log2(x)=-2 dă x=14, iar log2(x)=1 dă x=2. Ambele valori sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

    Răspuns: x ∈ {14; 2}

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă (log5(x))2 − 2·log5(x) + 0 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. t = log5(x); t2 − 2t + 0 = 0 — Expresia log5(x) se repetă. O înlocuim peste tot cu t; x>0.
    2. t ∈ {0; 2} — Factorizarea este (t + 0)(t − 2)=0, deci t=0 sau t=2. Încă nu am aflat x.
    3. x ∈ {1; 25} — log5(x)=0 dă x=1, iar log5(x)=2 dă x=25. Ambele valori sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

    Răspuns: x ∈ {1; 25}

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă log(x−1)(16) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 1 și x ≠ 2 — Baza x − 1 trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul 16 este deja pozitiv.
    2. (x − 1)2 = 16 — Ridicăm baza întreagă x − 1 la puterea 2 și obținem argumentul 16.
    3. x = 5 — Baza pozitivă este 4, deoarece 4 la puterea 2 dă 16. Din x − 1=4 rezultă x=5. Baza 4 este diferită de 1.

    Răspuns: x = 5

  18. Exercițiul 18

    Rezolvă log(x−2)(27) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 2 și x ≠ 3 — Baza x − 2 trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul 27 este deja pozitiv.
    2. (x − 2)3 = 27 — Ridicăm baza întreagă x − 2 la puterea 3 și obținem argumentul 27.
    3. x = 5 — Baza pozitivă este 3, deoarece 3 la puterea 3 dă 27. Din x − 2=3 rezultă x=5. Baza 3 este diferită de 1.

    Răspuns: x = 5

  19. Exercițiul 19

    Rezolvă log(x+1)(81) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x > -1 și x ≠ 0 — Baza x + 1 trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul 81 este deja pozitiv.
    2. (x + 1)2 = 81 — Ridicăm baza întreagă x + 1 la puterea 2 și obținem argumentul 81.
    3. x = 8 — Baza pozitivă este 9, deoarece 9 la puterea 2 dă 81. Din x + 1=9 rezultă x=8. Baza 9 este diferită de 1.

    Răspuns: x = 8

  20. Exercițiul 20

    Rezolvă log(x−3)(18) = -3.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 3 și x ≠ 4 — Baza x − 3 trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul 18 este deja pozitiv.
    2. (x − 3)-3 = 18 — Ridicăm baza întreagă x − 3 la puterea -3 și obținem argumentul 18.
    3. x = 5 — Baza pozitivă este 2, deoarece 2 la puterea -3 dă 18. Din x − 3=2 rezultă x=5. Baza 2 este diferită de 1.

    Răspuns: x = 5

  21. Exercițiul 21

    Rezolvă log4x + log2x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. t2 + t = 3 — log4x=log2xlog24=t2. Nu înmulțim cu 2.
    2. t = 2 — t2+t=3t2=3, deci t=2.
    3. x = 4 — log2x=2, deci x=22=4. Verificare: log44+log24=1+2=3.

    Răspuns: x = 4

  22. Exercițiul 22

    Rezolvă log9x − log3x = −1.

    Vezi rezolvarea
    1. t2 − t = −1 — log9x=log3xlog39=t2; minusul din enunț rămâne.
    2. t = 2 — t2−t=−t2=−1, deci t=2.
    3. x = 9 — log3x=2 dă x=32=9. Verificare: log99−log39=1−2=−1.

    Răspuns: x = 9

  23. Exercițiul 23

    Rezolvă log2x · log4x = 8.

    Vezi rezolvarea
    1. t22 = 8 — log4x=t2, iar produsul este t·(t2)=t22.
    2. t ∈ {−4; 4} — t2=16 are două soluții: −4 și 4. Logaritmul poate fi negativ.
    3. x ∈ {116; 16} — log2x=−4 dă x=116; log2x=4 dă x=16. În fiecare caz produsul este 8.

    Răspuns: x ∈ {116; 16}

  24. Exercițiul 24

    Rezolvă logx4 + log4x = 52.

    Vezi rezolvarea
    1. 1t + t = 52 — Notăm t=log4x, cu x>0 și x≠1. Atunci logx4=1log4x=1t. Condiția x≠1 înseamnă și t≠0.
    2. t ∈ {12; 2} — 2t2−5t+2=0 se descompune (2t−1)(t−2)=0. Rădăcinile sunt 12 și 2, ambele nenule.
    3. x ∈ {2; 16} — x=412=2 sau x=42=16. Ambele sunt pozitive și diferite de 1. Sumele sunt 2+12, respectiv 12+2.

    Răspuns: x ∈ {2; 16}

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.