Încărcăm partea curentă…

Ecuații · nucleul comun

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

De ținut minte

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații · nucleul comun: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

  • au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

  • √A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Verificarea elimină soluțiile false

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

  • √A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Logaritmul este o întrebare despre exponent

logaB întreabă la ce putere ridicăm baza a pentru a obține B. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul B strict pozitiv. Condiția se scrie înainte de transformarea ecuației.

  • logaB = c ⇔ B = ac, cu a > 0, a ≠ 1, B > 0
  • Argumentul unui logaritm nu poate fi zero; condiția este strictă.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2(x − 1) = 3.

  1. Condiția este x − 1 > 0, adică x > 1.
  2. Din definiție: x − 1 = 23 = 8, deci x = 9.
  3. 9 > 1 și log28 = 3, deci soluția 9 este admisă.

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

  • logaA + logaB = loga(AB), pentru A > 0, B > 0
  • Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + log2(x − 3) = 2.

  1. Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
  2. log2[x(x − 3)] = 2 ⇒ x2 − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
  3. Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log24 + log21 = 2 + 0 = 2.

Exerciții rezolvate din lecție (15)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru x + 4 = x, pasul 1: ce condiție impune membrul drept?

    Vezi rezolvarea
    1. Radicalul x + 4 este nenegativ.
    2. Prin egalitate, și membrul drept x trebuie să fie nenegativ.
    3. Așadar impunem x ≥ 0.

    Răspuns: x ≥ 0

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: după ridicarea la pătrat, ce ecuație obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Ridicăm la pătrat: x + 4 = x2.
    2. Mutăm toți termenii în același membru.
    3. Obținem x2 − x − 4 = 0.

    Răspuns: x2 − x − 4 = 0

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: ce soluție păstrăm după verificarea condiției x ≥ 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile 1 ± √172.
    2. 1 − √172 este negativă și se elimină.
    3. Rămâne x = 1 + √172.
    4. Răspuns final: S = {1 + √172}.

    Răspuns: x = 1 + √172

  4. Exercițiul 4

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x = 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 8 = 23.
    2. Ecuația devine 2x = 23.
    3. Egalăm exponenții și obținem x = 3.
    4. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  5. Exercițiul 5

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x−1 = 9.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 9 = 32.
    2. Avem 3x−1 = 32, deci x − 1 = 2.
    3. Rezultă x = 3.
    4. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  6. Exercițiul 6

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 4 = 22, deci 4x = 22x.
    2. Egalăm cu 21: 2x = 1.
    3. Rezultă x = 12.
    4. Răspuns final: S = {12}.

    Răspuns: {12}

  7. Exercițiul 7

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x = 7.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 7 nu este o putere convenabilă a lui 9.
    2. Folosim definiția: ax = b ⇔ x = logab.
    3. Rezultă x = log97.
    4. Răspuns final: S = {log97}.

    Răspuns: {log97}

  8. Exercițiul 8

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 5 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x + 5 ≥ 0.
    2. Ridicăm la pătrat: x + 5 = 16.
    3. Rezultă x = 11, care respectă condiția.
    4. Răspuns final: S = {11}.

    Răspuns: {11}

  9. Exercițiul 9

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x − 1 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este 2x − 1 ≥ 0, adică x ≥ 12.
    2. Ridicăm la pătrat: 2x − 1 = 9.
    3. 2x = 10, deci x = 5; verificarea este corectă.
    4. Răspuns final: S = {5}.

    Răspuns: {5}

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0.
    2. Din definiție, log2x = 5 ⇔ x = 25.
    3. Rezultă x = 32, care respectă domeniul.
    4. Răspuns final: S = {32}.

    Răspuns: {32}

  11. Exercițiul 11

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x + 1) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x + 1 > 0, adică x > −1.
    2. Transformăm în formă exponențială: x + 1 = 32 = 9.
    3. Rezultă x = 8, admis.
    4. Răspuns final: S = {8}.

    Răspuns: {8}

  12. Exercițiul 12

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 + 9) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Argumentul x2 + 9 este pozitiv pentru orice x real.
    2. x2 + 9 = 52 = 25, deci x2 = 16.
    3. Rezultă x = −4 sau x = 4; ambele valori sunt admise.
    4. Răspuns final: S = {−4, 4}.

    Răspuns: {−4, 4}

  13. Exercițiul 13

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x + log2(x − 2) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile dau x > 2.
    2. Unim logaritmii: log2[x(x − 2)] = 3.
    3. x(x − 2) = 23 = 8, deci (x − 4)(x + 2) = 0.
    4. Din domeniu rămâne x = 4.
    5. Răspuns final: S = {4}.

    Răspuns: {4}

  14. Exercițiul 14

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x2 − 3x + 2) = log2(x + 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile sunt x2 − 3x + 2 > 0 și x + 2 > 0.
    2. Bazele sunt identice, deci egalăm argumentele: x2 − 3x + 2 = x + 2.
    3. x2 − 4x = 0, deci x = 0 sau x = 4.
    4. Ambele valori fac argumentele pozitive.
    5. Răspuns final: S = {0, 4}.

    Răspuns: {0, 4}

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă x + 7 = 4. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 7 ≥ 0, deci x ≥ −7.
    2. x + 7 = 16, deci x = 9.
    3. 9 + 7 = √16 = 4; soluția este admisă.

    Răspuns: 9

Fișa integrală · nucleul comun (12)

  1. 1. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x = 8.

    Vezi răspunsul

    2x = 23, deci x = 3.

  2. 2. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x−1 = 9.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 2, deci x = 3.

  3. 3. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x = 2.

    Vezi răspunsul

    22x = 21, deci x = 12.

  4. 4. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x = 7.

    Vezi răspunsul

    x = log97 = (12)log37

  5. 5. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 5 = 4.

    Vezi răspunsul

    x + 5 = 16, deci x = 11.

  6. 6. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x − 1 = 3.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 9, deci x = 5.

  7. 7. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 4 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 4 = x2, deci x = 1 + √172.

  8. 8. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x = 5.

    Vezi răspunsul

    x = 25 = 32

  9. 9. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x + 1) = 2.

    Vezi răspunsul

    x + 1 = 9, deci x = 8.

  10. 10. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 + 9) = 2.

    Vezi răspunsul

    x2 + 9 = 25, deci x = 4 sau x = −4.

  11. 11. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x + log2(x − 2) = 3.

    Vezi răspunsul

    x > 2 și x(x − 2) = 8, deci x = 4.

  12. 12. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x2 − 3x + 2) = log2(x + 2).

    Vezi răspunsul

    x2 − 3x + 2 = x + 2, deci x2 − 4x = 0: x = 0 sau x = 4. Ambele respectă condițiile de existență: S = {0, 4}.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.