Ecuații · nucleul comun

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false; la logaritmi, fiecare argument trebuie să fie strict pozitiv.

Necunoscuta din exponent

În 2^x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

a^u = a^v ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1

Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, a^x = b se rezolvă prin x = log_ab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3^x+1 = 81.

1.Scriem 81 = 3⁴, deci 3^x+1 = 3⁴.
2.Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
3.Verificăm: 3³⁺¹ = 3⁴ = 81. Soluția este 3.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

√A = B ⇔ A = B² și B ≥ 0

x² = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

1.Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x².
2.Factorizăm x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
3.Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Verificarea elimină soluțiile false

√A = B ⇔ A = B² și B ≥ 0

x² = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

1.Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x².
2.Factorizăm x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
3.Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Logaritmul este o întrebare despre exponent

log_aB întreabă la ce putere ridicăm baza a pentru a obține B. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul B strict pozitiv. Condiția se scrie înainte de transformarea ecuației.

log_aB = c ⇔ B = a^c, cu a > 0, a ≠ 1, B > 0

Argumentul unui logaritm nu poate fi zero; condiția este strictă.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log₂(x − 1) = 3.

1.Condiția este x − 1 > 0, adică x > 1.
2.Din definiție: x − 1 = 2³ = 8, deci x = 9.
3.9 > 1 și log₂8 = 3, deci soluția 9 este admisă.

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

log_aA + log_aB = log_a(AB), pentru A > 0, B > 0

Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log₂x + log₂(x − 3) = 2.

1.Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
2.log₂[x(x − 3)] = 2 ⇒ x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
3.Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log₂4 + log₂1 = 2 + 0 = 2.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleul comun · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1ExponențialăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația 2^x = 8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2^x = 2³, deci x = 3.
Ex. 2ExponențialăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația 3^x−1 = 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 1 = 2, deci x = 3.
Ex. 3ExponențialăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația 4^x = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2^(2x) = 2¹, deci x = 12.
Ex. 4ExponențialăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația 9^x = 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = log₉7 = (12)log₃7
Ex. 5RadicalToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația x + 5 = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 5 = 16, deci x = 11.
Ex. 6RadicalToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația 2x − 1 = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x − 1 = 9, deci x = 5.
Ex. 7RadicalToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația x + 4 = x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x ≥ 0 și x + 4 = x², deci x = 1 + √172.
Ex. 8LogaritmicăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația log₂x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2⁵ = 32
Ex. 9LogaritmicăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația log₃(x + 1) = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 1 = 9, deci x = 8.
Ex. 10LogaritmicăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația log₅(x² + 9) = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 9 = 25, deci x = 4 sau x = −4.
Ex. 11LogaritmicăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația log₂x + log₂(x − 2) = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x > 2 și x(x − 2) = 8, deci x = 4.
Ex. 12LogaritmicăToate profilurile
Rezolvați în ℝ ecuația log₂(x² − 3x + 2) = log₂(x + 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 3x + 2 = x + 2, deci x² − 4x = 0: x = 0 sau x = 4. Ambele respectă condițiile de existență: S = {0, 4}.