Exponențiale, logaritmi și trigonometrie · 15 exerciții

Exerciții rezolvate din lecție (15)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Fie f(x) = e^x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Funcția exponențială naturală este singura care rămâne neschimbată prin derivare.
   2. (e^x)′ = e^x.
   3. Răspuns final: f′(x) = e^x.

   Răspuns: e^x

2. Exercițiul 2

   Fie f(x) = e^2x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (e^u)′ = e^u·u′, cu u = 2x.
   2. u′ = 2, deci derivata este 2e^2x.
   3. Factorul din interior nu trebuie uitat.

   Răspuns: 2e^2x

3. Exercițiul 3

   Fie f(x) = e^{x + 3}. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (e^u)′ = e^u·u′, cu u = x + 3.
   2. Aici u′ = 1, deci derivata coincide cu funcția.
   3. Atenție: întregul x + 3 este la exponent, nu doar x.
   4. Răspuns final: f′(x) = e^{x + 3}.

   Răspuns: e^{x + 3}

4. Exercițiul 4

   Fie f(x) = x·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: (x)′·e^x + x·(e^x)′.
   2. Obținem 1·e^x + x·e^x.
   3. Dăm factor comun e^x: e^x(x + 1).
   4. Răspuns final: f′(x) = e^x(x + 1).

   Răspuns: e^x(x + 1)

5. Exercițiul 5

   Fie f(x) = (x² − 1)·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (f·g)′ = f′g + fg′, cu f = x² − 1 și g = e^x.
   2. f′ = 2x, iar g′ = e^x.
   3. 2x·e^x + (x² − 1)·e^x = e^x(2x + x² − 1).
   4. Ordonăm: e^x(x² + 2x − 1).

   Răspuns: e^x(x² + 2x − 1)

6. Exercițiul 6

   Fie f(x) = ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Formula elementară este (ln x)′ = 1x, valabilă pe domeniul x > 0.
   2. Se reține împreună cu perechea ei: derivata exponențialei este ea însăși.
   3. Răspuns final: f′(x) = 1x.

   Răspuns: 1x

7. Exercițiul 7

   Fie f(x) = 2ln x − x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Derivăm termen cu termen.
   2. (2ln x)′ = 2x, iar (−x)′ = −1.
   3. Răspuns final: f′(x) = 2x − 1.

   Răspuns: 2x − 1

8. Exercițiul 8

   Fie f(x) = ln(3x), x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (ln u)′ = u′u, cu u = 3x și u′ = 3.
   2. Obținem 33x, care se simplifică la 1x.
   3. Se putea observa și că ln(3x) = ln 3 + ln x, iar ln 3 este constantă.
   4. Răspuns final: f′(x) = 1x.

   Răspuns: 1x

9. Exercițiul 9

   Fie f(x) = ln(x² + 1). Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (ln u)′ = u′u, cu u = x² + 1 și u′ = 2x.
   2. Argumentul este mereu pozitiv, deci domeniul este ℝ.
   3. Răspuns final: f′(x) = 2xx² + 1.

   Răspuns: 2xx² + 1

10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm regula produsului: (x)′·ln x + x·(ln x)′.
    2. Obținem 1·ln x + x·(1x).
    3. Al doilea termen se simplifică la 1.
    4. Răspuns final: f′(x) = ln x + 1.

    Răspuns: ln x + 1

11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = sin x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Formula elementară: (sin x)′ = cos x.
    2. Unghiul se consideră în radiani, ca la limitele fundamentale.
    3. Răspuns final: f′(x) = cos x.

    Răspuns: cos x

12. Exercițiul 12

    Fie f(x) = cos x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Formula elementară: (cos x)′ = −sin x.
    2. Semnul minus este esențial și se uită frecvent.
    3. Răspuns final: f′(x) = −sin x.

    Răspuns: −sin x

13. Exercițiul 13

    Fie f(x) = tg x, pe domeniul său. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Formula este (tg x)′ = 1cos²x, unde cos x ≠ 0.
    2. Se poate obține și din regula câtului aplicată lui sin xcos x.
    3. Răspuns final: f′(x) = 1cos²x.

    Răspuns: 1cos²x

14. Exercițiul 14

    Fie f(x) = sin(2x). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm (sin u)′ = cos u·u′, cu u = 2x.
    2. u′ = 2, deci derivata este 2cos(2x).
    3. Răspuns final: f′(x) = 2cos(2x).

    Răspuns: 2cos(2x)

15. Exercițiul 15

    Fie f(x) = cos(3x − 1). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm (cos u)′ = −sin u·u′, cu u = 3x − 1.
    2. u′ = 3, deci derivata este −3sin(3x − 1).
    3. Păstrează semnul minus înainte de a înmulți cu 3.

    Răspuns: −3sin(3x − 1)

Fișa de antrenament · exercițiile 31–45 (15)

1. 31. Exponențială

   Fie f(x) = e^x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = e^x

2. 32. Regula lanțului

   Fie f(x) = e^2x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2e^2x

3. 33. Regula lanțului

   Fie f(x) = e^{x + 3}. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = e^{x + 3}

4. 34. Produs

   Fie f(x) = x·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = (x + 1)e^x

5. 35. Produs

   Fie f(x) = (x² − 1)·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = (x² + 2x − 1)e^x

6. 36. Logaritm

   Fie f(x) = ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 1x

7. 37. Sumă

   Fie f(x) = 2ln x − x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2x − 1

8. 38. Regula lanțului

   Fie f(x) = ln(3x), x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 33x = 1x

9. 39. Regula lanțului

   Fie f(x) = ln(x² + 1). Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2xx² + 1

10. 40. Produs

    Fie f(x) = x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = ln x + 1

11. 41. Trigonometrie

    Fie f(x) = sin x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = cos x

12. 42. Trigonometrie

    Fie f(x) = cos x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −sin x

13. 43. Tangentă

    Fie f(x) = tg x, pe domeniul său. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1cos²x

14. 44. Regula lanțului

    Fie f(x) = sin(2x). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2cos 2x

15. 45. Regula lanțului

    Fie f(x) = cos(3x − 1). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −3sin(3x − 1)