Exponențiale, logaritmi și trigonometrie · 15 exerciții

A treia serie adaugă funcțiile speciale: exponențiala, logaritmul și funcțiile trigonometrice.

Materialul marchează această secțiune pentru profilurile Științe ale Naturii și Mate-Info.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 31–45 · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 31ExponențialăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = e^x
Ex. 32Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^2x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2e^2x
Ex. 33Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^(x + 3). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = e^(x + 3)
Ex. 34ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = x·e^x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = (x + 1)e^x
Ex. 35ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (x² − 1)·e^x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = (x² + 2x − 1)e^x
Ex. 36LogaritmM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1x
Ex. 37SumăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = 2ln x − x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x − 1
Ex. 38Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln(3x), x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 33x = 1x
Ex. 39Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln(x² + 1). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2xx² + 1
Ex. 40ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = ln x + 1
Ex. 41TrigonometrieM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = sin x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = cos x
Ex. 42TrigonometrieM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = cos x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −sin x
Ex. 43TangentăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = tg x, pe domeniul său. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1cos²x
Ex. 44Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = sin(2x). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2cos 2x
Ex. 45Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = cos(3x − 1). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −3sin(3x − 1)