Produse și compuneri cu funcții speciale · 17 exerciții

A patra serie combină regulile de calcul cu funcțiile speciale: produse, câturi și compuneri.

La expresii precum ln(√u), simplificarea prealabilă cu proprietățile logaritmului scurtează mult calculul.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 51–57, 59, 60, 65–67 și 71–75 · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 51ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (2x − 1)·e^x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2e^x + (2x − 1)e^x = (2x + 1)e^x
Ex. 52ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (x² + x − 1)·e^x. Calculați și factorizați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = (2x + 1)e^x + (x² + x − 1)e^x = (x² + 3x)e^x = x(x + 3)e^x
Ex. 53ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (x + 1)ln x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = ln x + x + 1x
Ex. 54ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = x·sin x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = sin x + x cos x
Ex. 55ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = x²·cos x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x cos x − x² sin x
Ex. 56ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = √x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = ln x/(2√x) + 1√x = ln x + 22√x
Ex. 57ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^x·sin x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = e^x(sin x + cos x)
Ex. 59Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (ln x)², x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2 ln x/x
Ex. 60Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^(sin x). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = cos x · e^(sin x)
Ex. 65Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln xx, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1 − ln xx²
Ex. 66Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^x/(x + 1), x ≠ −1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = xe^x/(x + 1)²
Ex. 67Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = sin xx, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = x cos x − sin xx²
Ex. 71Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln(x² + x + 1). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x + 1x² + x + 1
Ex. 72Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = e^(x² − x). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = (2x − 1)e^(x² − x)
Ex. 73Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = sin(x²). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x cos(x²)
Ex. 74Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = (ln x)³, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3(ln x)²x
Ex. 75SimplificareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Fie f(x) = ln(x² + 1). Calculați și simplificați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = (12) ln(x² + 1), deci f′(x) = xx² + 1.