Produse și compuneri cu funcții speciale · 17 exerciții

Exerciții rezolvate din lecție (17)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Fie f(x) = (2x − 1)·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: 2·e^x + (2x − 1)·e^x.
   2. Dăm factor comun e^x: e^x(2 + 2x − 1).
   3. Reducem: e^x(2x + 1).

   Răspuns: e^x(2x + 1)

2. Exercițiul 2

   Fie f(x) = (x² + x − 1)·e^x. Calculați și factorizați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului, cu f′ = 2x + 1 și g′ = e^x.
   2. (2x + 1)e^x + (x² + x − 1)e^x = e^x(2x + 1 + x² + x − 1).
   3. Reducem termenii: x² + 3x.
   4. Se poate scrie și e^x·x(x + 3). Acesta este tiparul din modelul oficial M_șt-nat.

   Răspuns: e^x(x² + 3x)

3. Exercițiul 3

   Fie f(x) = (x + 1)ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: 1·ln x + (x + 1)·(1x).
   2. Al doilea termen este x + 1x.
   3. Se poate scrie și ln x + 1 + 1x.
   4. Răspuns final: f′(x) = ln x + x + 1x.

   Răspuns: ln x + x + 1x

4. Exercițiul 4

   Fie f(x) = x·sin x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: (x)′·sin x + x·(sin x)′.
   2. Obținem 1·sin x + x·cos x.
   3. Răspuns final: f′(x) = sin x + x·cos x.

   Răspuns: sin x + x·cos x

5. Exercițiul 5

   Fie f(x) = x²·cos x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului, cu f′ = 2x și g′ = −sin x.
   2. 2x·cos x + x²·(−sin x).
   3. Semnul minus vine din derivata cosinusului.
   4. Răspuns final: f′(x) = 2x·cos x − x²·sin x.

   Răspuns: 2x·cos x − x²·sin x

6. Exercițiul 6

   Fie f(x) = √x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului, cu f′ = 12√x și g′ = 1x.
   2. Primul termen: ln x2√x.
   3. Al doilea: √x·(1x) = 1√x, pentru că √xx = 1√x.
   4. Răspuns final: f′(x) = ln x2√x + 1√x.

   Răspuns: ln x2√x + 1√x

7. Exercițiul 7

   Fie f(x) = e^x·sin x. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: e^x·sin x + e^x·cos x.
   2. Dăm factor comun e^x.
   3. Răspuns final: f′(x) = e^x(sin x + cos x).

   Răspuns: e^x(sin x + cos x)

8. Exercițiul 8

   Fie f(x) = (ln x)², x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Exteriorul este u², interiorul u = ln x.
   2. Derivata exteriorului este 2u, iar u′ = 1x.
   3. Înmulțim: 2ln x·(1x).
   4. Răspuns final: f′(x) = 2ln xx.

   Răspuns: 2ln xx

9. Exercițiul 9

   Fie f(x) = e^{sin x}. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm (e^u)′ = e^u·u′, cu u = sin x.
   2. u′ = cos x.
   3. Răspuns final: f′(x) = cos x·e^{sin x}.

   Răspuns: cos x·e^{sin x}

10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = ln xx, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm regula câtului, cu f′ = 1x și g′ = 1.
    2. Numărătorul: (1x)·x − ln x·1 = 1 − ln x.
    3. Împărțim la x².
    4. Răspuns final: f′(x) = 1 − ln xx².

    Răspuns: 1 − ln xx²

11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = e^xx + 1, x ≠ −1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm regula câtului, cu f′ = e^x și g′ = 1.
    2. Numărătorul: e^x(x + 1) − e^x·1 = e^x(x + 1 − 1) = x·e^x.
    3. Împărțim la (x + 1)².
    4. Răspuns final: f′(x) = x·e^x(x + 1)².

    Răspuns: x·e^x(x + 1)²

12. Exercițiul 12

    Fie f(x) = sin xx, x ≠ 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm regula câtului, cu f′ = cos x și g′ = 1.
    2. Numărătorul: cos x·x − sin x·1.
    3. Împărțim la x².
    4. Răspuns final: f′(x) = x·cos x − sin xx².

    Răspuns: x·cos x − sin xx²

13. Exercițiul 13

    Fie f(x) = ln(x² + x + 1). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm (ln u)′ = u′u, cu u = x² + x + 1 și u′ = 2x + 1.
    2. Discriminantul trinomului este negativ, deci argumentul este mereu pozitiv și domeniul este ℝ.
    3. Răspuns final: f′(x) = 2x + 1x² + x + 1.

    Răspuns: 2x + 1x² + x + 1

14. Exercițiul 14

    Fie f(x) = e^{x2 − x}. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm (e^u)′ = e^u·u′, cu u = x² − x.
    2. u′ = 2x − 1.
    3. Atenție: întreaga expresie x² − x este la exponent.
    4. Răspuns final: f′(x) = (2x − 1)·e^{x2 − x}.

    Răspuns: (2x − 1)·e^{x2 − x}

15. Exercițiul 15

    Fie f(x) = sin(x²). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Aplicăm (sin u)′ = cos u·u′, cu u = x².
    2. u′ = 2x.
    3. Atenție: sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
    4. Răspuns final: f′(x) = 2x·cos(x²).

    Răspuns: 2x·cos(x²)

16. Exercițiul 16

    Fie f(x) = (ln x)³, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Exteriorul este u³, interiorul u = ln x.
    2. Derivata exteriorului este 3u², iar u′ = 1x.
    3. Răspuns final: f′(x) = 3(ln x)²x.

    Răspuns: 3(ln x)²x

17. Exercițiul 17

    Fie f(x) = ln(√x² + 1). Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. Folosim proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.
    2. Deci f(x) = (12)ln(x² + 1).
    3. Derivăm: (12)·2xx² + 1.
    4. Simplificăm prin 2: xx² + 1. Simplificarea de la început evită regula lanțului dublă.

    Răspuns: xx² + 1

Fișa de antrenament · exercițiile 51–57, 59, 60, 65–67 și 71–75 (17)

1. 51. Produs

   Fie f(x) = (2x − 1)·e^x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2e^x + (2x − 1)e^x = (2x + 1)e^x

2. 52. Produs

   Fie f(x) = (x² + x − 1)·e^x. Calculați și factorizați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = (2x + 1)e^x + (x² + x − 1)e^x = (x² + 3x)e^x = x(x + 3)e^x

3. 53. Produs

   Fie f(x) = (x + 1)ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = ln x + x + 1x

4. 54. Produs

   Fie f(x) = x·sin x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = sin x + x cos x

5. 55. Produs

   Fie f(x) = x²·cos x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2x cos x − x² sin x

6. 56. Produs

   Fie f(x) = √x·ln x, x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = ln x2√x + 1√x = ln x + 22√x

7. 57. Produs

   Fie f(x) = e^x·sin x. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = e^x(sin x + cos x)

8. 59. Regula lanțului

   Fie f(x) = (ln x)², x > 0. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2 ln xx

9. 60. Regula lanțului

   Fie f(x) = e^{sin x}. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = cos x · e^{sin x}

10. 65. Regula câtului

    Fie f(x) = ln xx, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1 − ln xx²

11. 66. Regula câtului

    Fie f(x) = e^xx + 1, x ≠ −1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = xe^x(x + 1)²

12. 67. Regula câtului

    Fie f(x) = sin xx, x ≠ 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = x cos x − sin xx²

13. 71. Regula lanțului

    Fie f(x) = ln(x² + x + 1). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x + 1x² + x + 1

14. 72. Regula lanțului

    Fie f(x) = e^{x2 − x}. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = (2x − 1)e^{x2 − x}

15. 73. Regula lanțului

    Fie f(x) = sin(x²). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x cos(x²)

16. 74. Regula lanțului

    Fie f(x) = (ln x)³, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3(ln x)²x

17. 75. Simplificare

    Fie f(x) = ln(√x² + 1). Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f(x) = (12) ln(x² + 1), deci f′(x) = xx² + 1.