Regula câtului, întrebare cu întrebare

Exerciții rezolvate din lecție (33)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Identifică f și g în h(x)=x + 2x + 1, apoi scrie formula derivatei.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.

   Răspuns: (fg)′=f′g−fg′g²

2. Exercițiul 2

   Identifică f și g în h(x)=2x + 1x + 1, apoi scrie formula derivatei.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.

   Răspuns: (fg)′=f′g−fg′g²

3. Exercițiul 3

   Identifică f și g în h(x)=x + 3x + 1, apoi scrie formula derivatei.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.

   Răspuns: (fg)′=f′g−fg′g²

4. Exercițiul 4

   Pentru h(x)=x + 1x + 2, calculează separat f′ și g′.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=x + 1 este afină: f′=1, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x + 2 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.

   Răspuns: f′=1; g′=1

5. Exercițiul 5

   Pentru h(x)=2x + 1x + 2, calculează separat f′ și g′.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=2x + 1 este afină: f′=2, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x + 2 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.

   Răspuns: f′=2; g′=1

6. Exercițiul 6

   Pentru h(x)=x + 4x + 1, calculează separat f′ și g′.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=x + 4 este afină: f′=1, deoarece constanta 4 are derivata 0. g=x + 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.

   Răspuns: f′=1; g′=1

7. Exercițiul 7

   Derivează h(x)=x + 2x + 1, x≠-1.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=x + 2 este afină: f′=1, deoarece constanta 2 are derivata 0. g=x + 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
   5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
   6. N=1(x + 1)−(x + 2)=1x+(1)−1x−(2)=-1. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
   7. Numărătorul este -1; numitorul rămâne (x + 1)². Restricția x≠-1 rămâne valabilă și după simplificare.

   Răspuns: h′(x)=-1(x + 1)²

8. Exercițiul 8

   Derivează h(x)=2x + 1x + 1, x≠-1.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=2x + 1 este afină: f′=2, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x + 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
   5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
   6. N=2(x + 1)−(2x + 1)=2x+(2)−2x−(1)=1. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
   7. Numărătorul este 1; numitorul rămâne (x + 1)². Restricția x≠-1 rămâne valabilă și după simplificare.

   Răspuns: h′(x)=1(x + 1)²

9. Exercițiul 9

   Derivează h(x)=x + 3x + 1, x≠-1.

   Vezi rezolvarea

   1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
   2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
   3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
   4. f=x + 3 este afină: f′=1, deoarece constanta 3 are derivata 0. g=x + 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
   5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
   6. N=1(x + 1)−(x + 3)=1x+(1)−1x−(3)=-2. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
   7. Numărătorul este -2; numitorul rămâne (x + 1)². Restricția x≠-1 rămâne valabilă și după simplificare.

   Răspuns: h′(x)=-2(x + 1)²

10. Exercițiul 10

    Derivează h(x)=x + 1x + 2, x≠-2.

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f=x + 1 este afină: f′=1, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x + 2 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. N=1(x + 2)−(x + 1)=1x+(2)−1x−(1)=1. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. Numărătorul este 1; numitorul rămâne (x + 2)². Restricția x≠-2 rămâne valabilă și după simplificare.

    Răspuns: h′(x)=1(x + 2)²

11. Exercițiul 11

    Derivează h(x)=2x + 1x + 2, x≠-2.

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f=2x + 1 este afină: f′=2, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x + 2 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. N=2(x + 2)−(2x + 1)=2x+(4)−2x−(1)=3. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. Numărătorul este 3; numitorul rămâne (x + 2)². Restricția x≠-2 rămâne valabilă și după simplificare.

    Răspuns: h′(x)=3(x + 2)²

12. Exercițiul 12

    Derivează h(x)=x + 4x + 1, x≠-1.

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
    2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f=x + 4 este afină: f′=1, deoarece constanta 4 are derivata 0. g=x + 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. N=1(x + 1)−(x + 4)=1x+(1)−1x−(4)=-3. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. Numărătorul este -3; numitorul rămâne (x + 1)². Restricția x≠-1 rămâne valabilă și după simplificare.

    Răspuns: h′(x)=-3(x + 1)²

13. Exercițiul 13

    Model 1 · h(x) = x + 1x − 1. Pasul 1: ce formulă aplicăm?

    h(x)=x+1x−1, x≠1.

    Vezi rezolvarea

    1. 1. Numitorul se anulează la x=1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠1.
    2. f=x + 1; g=x − 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. (fg)′ = f′g − fg′g². Formula corectă este (fg)′ = f′g − fg′g².
    5. Formula corectă este (fg)′ = f′g − fg′g².

    Răspuns: (fg)′ = f′g − fg′g²

14. Exercițiul 14

    Model 1 · Pasul 2: cum alegem f și g?

    h(x)=x+1x−1, x≠1.

    Vezi rezolvarea

    1. 1. Numitorul se anulează la x=1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠1.
    2. f=x + 1; g=x − 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f = x + 1, g = x − 1. Păstrăm această ordine în formula câtului.
    5. Păstrăm această ordine în formula câtului.

    Răspuns: f = x + 1, g = x − 1

15. Exercițiul 15

    Model 1 · Pasul 3: care sunt f′ și g′?

    h(x)=x+1x−1, x≠1.

    Vezi rezolvarea

    1. 1. Numitorul se anulează la x=1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠1.
    2. f=x + 1; g=x − 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=1; g′=1. f=x + 1 este afină: f′=1, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x − 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. f′ = 1 și g′ = 1. Așadar f′ = g′ = 1.
    6. Așadar f′ = g′ = 1.

    Răspuns: f′ = 1 și g′ = 1

16. Exercițiul 16

    Model 1 · Pasul 4: care este înlocuirea corectă în formulă?

    h(x)=x+1x−1, x≠1.

    Vezi rezolvarea

    1. 1. Numitorul se anulează la x=1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠1.
    2. f=x + 1; g=x − 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=1; g′=1. f=x + 1 este afină: f′=1, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x − 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. h′(x)=1(x − 1)−(x + 1)·1(x − 1)². Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. 1·(x − 1) − (x + 1)·1(x − 1)². Numitorul devine g² = (x − 1)².
    7. Numitorul devine g² = (x − 1)².

    Răspuns: 1·(x − 1) − (x + 1)·1(x − 1)²

17. Exercițiul 17

    Model 1 · Pasul 5: simplificați și alegeți derivata finală.

    h(x)=x+1x−1, x≠1.

    Vezi rezolvarea

    1. 1. Numitorul se anulează la x=1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠1.
    2. f=x + 1; g=x − 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=1; g′=1. f=x + 1 este afină: f′=1, deoarece constanta 1 are derivata 0. g=x − 1 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. h′(x)=1(x − 1)−(x + 1)·1(x − 1)². Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. -2. N=1(x − 1)−(x + 1)=1x+(-1)−1x−(1)=-2. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. h′(x)=-2(x − 1)². Numărătorul este -2; numitorul rămâne (x − 1)². Restricția x≠1 rămâne valabilă și după simplificare.
    8. −2(x − 1)². Rezultă h′(x) = −2(x − 1)², pentru x ≠ 1.
    9. Rezultă h′(x) = −2(x − 1)², pentru x ≠ 1.

    Răspuns: −2(x − 1)²

18. Exercițiul 18

    Acum rezolvați singur: h(x) = 2x + 3x − 2. Calculați h′(x).

    h(x)=2x+3x−2, x≠2.

    Vezi rezolvarea

    1. 2. Numitorul se anulează la x=2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠2.
    2. f=2x + 3; g=x − 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2; g′=1. f=2x + 3 este afină: f′=2, deoarece constanta 3 are derivata 0. g=x − 2 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. h′(x)=2(x − 2)−(2x + 3)·1(x − 2)². Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. -7. N=2(x − 2)−(2x + 3)=2x+(-4)−2x−(3)=-7. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. h′(x)=-7(x − 2)². Numărătorul este -7; numitorul rămâne (x − 2)². Restricția x≠2 rămâne valabilă și după simplificare.
    8. −7(x − 2)². Răspuns: h′(x) = −7(x − 2)², pentru x ≠ 2.
    9. Răspuns: h′(x) = −7(x − 2)², pentru x ≠ 2.

    Răspuns: −7(x − 2)²

19. Exercițiul 19

    Model 2 · h(x) = x² + 1x + 2. Pasul 1: care sunt f′ și g′?

    h(x)=x²+1x+2, x≠−2.

    Vezi rezolvarea

    1. −2. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f=x² + 1; g=x + 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. f′ = 2x și g′ = 1. Deci f′ = 2x și g′ = 1.
    6. Deci f′ = 2x și g′ = 1.

    Răspuns: f′ = 2x și g′ = 1

20. Exercițiul 20

    Model 2 · Pasul 2: care este numărătorul derivatei înainte de desfacerea parantezelor?

    h(x)=x²+1x+2, x≠−2.

    Vezi rezolvarea

    1. −2. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f=x² + 1; g=x + 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x + 2)−(x² + 1). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x(x + 2) − (x² + 1). Le scădem în această ordine.
    7. Le scădem în această ordine.

    Răspuns: 2x(x + 2) − (x² + 1)

21. Exercițiul 21

    Model 2 · Pasul 3: cum se simplifică numărătorul?

    h(x)=x²+1x+2, x≠−2.

    Vezi rezolvarea

    1. −2. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f=x² + 1; g=x + 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x + 2)−(x² + 1). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x²+(4)x−x²−(1). Primul produs este 2x(x+2)=2x²+(4)x. Din al doilea produs scădem atât x², cât și constanta 1.
    7. x² + 4x − 1. 2x²−x²=x². Termenul liniar este 4x, iar constanta este -1; rezultă x² + 4x − 1.
    8. Reducem termenii asemenea și obținem x² + 4x − 1.

    Răspuns: x² + 4x − 1

22. Exercițiul 22

    Model 2 · Pasul 4: care este derivata finală?

    h(x)=x²+1x+2, x≠−2.

    Vezi rezolvarea

    1. −2. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f=x² + 1; g=x + 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x + 2)−(x² + 1). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x²+(4)x−x²−(1). Primul produs este 2x(x+2)=2x²+(4)x. Din al doilea produs scădem atât x², cât și constanta 1.
    7. x² + 4x − 1. 2x²−x²=x². Termenul liniar este 4x, iar constanta este -1; rezultă x² + 4x − 1.
    8. h′(x)=x² + 4x − 1(x + 2)². Nu schimbăm g² după reducerea numărătorului. Obținem h′(x)=x² + 4x − 1(x + 2)², pentru x≠-2.
    9. x² + 4x − 1(x + 2)². Rezultă h′(x) = x² + 4x − 1(x + 2)², pentru x ≠ −2.
    10. Rezultă h′(x) = x² + 4x − 1(x + 2)², pentru x ≠ −2.

    Răspuns: x² + 4x − 1(x + 2)²

23. Exercițiul 23

    Acum rezolvați singur: h(x) = x² + 4x, x ≠ 0. Calculați h′(x).

    h(x)=x²+4x, x≠0.

    Vezi rezolvarea

    1. 0. Numitorul se anulează la x=0. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠0.
    2. f=x² + 4; g=x. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x)−(x² + 4). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x²+(0)x−x²−(4). Primul produs este 2x(x+0)=2x²+(0)x. Din al doilea produs scădem atât x², cât și constanta 4.
    7. x² − 4. 2x²−x²=x². Termenul liniar este 0x, iar constanta este -4; rezultă x² − 4.
    8. h′(x)=x² − 4(x)². Nu schimbăm g² după reducerea numărătorului. Obținem h′(x)=x² − 4(x)², pentru x≠0.
    9. x² − 4x². Răspuns: h′(x) = x² − 4x².
    10. Răspuns: h′(x) = x² − 4x².

    Răspuns: x² − 4x²

24. Exercițiul 24

    Calculează derivata lui h(x)=x² + 3x + 1, pentru x≠-1.

    Vezi rezolvarea

    1. −1. Numitorul se anulează la x=-1. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-1.
    2. f=x² + 3; g=x + 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x + 1)−(x² + 3). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x²+(2)x−x²−(3). Primul produs este 2x(x+1)=2x²+(2)x. Din al doilea produs scădem atât x², cât și constanta 3.
    7. x² + 2x − 3. 2x²−x²=x². Termenul liniar este 2x, iar constanta este -3; rezultă x² + 2x − 3.
    8. h′(x)=x² + 2x − 3(x + 1)². Nu schimbăm g² după reducerea numărătorului. Obținem h′(x)=x² + 2x − 3(x + 1)², pentru x≠-1.

    Răspuns: h′(x)=x² + 2x − 3(x + 1)²

25. Exercițiul 25

    Model 3 · h(x) = √xx + 1, x > 0. Pasul 1: care sunt f′ și g′?

    h(x)=√xx+1, x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. f′ = 12√x, g′ = 1. Acum putem înlocui în formula câtului.
    7. Acum putem înlocui în formula câtului.

    Răspuns: f′ = 12√x, g′ = 1

26. Exercițiul 26

    Model 3 · Pasul 2: ce expresie obținem în numărător?

    h(x)=√xx+1, x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 12√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. x + 12√x − √x. Numărătorul este x + 12√x − √x.
    8. Numărătorul este x + 12√x − √x.

    Răspuns: x + 12√x − √x

27. Exercițiul 27

    Model 3 · Pasul 3: cum aducem numărătorul la același numitor?

    h(x)=√xx+1, x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 12√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. Cu 2√x, sus și jos. Amplificarea păstrează valoarea fracției când înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr nenul.
    8. x. Pe x>0, pătratul rădăcinii pătrate este x.
    9. 2x2√x. √x·2√x=2x. Numitorul amplificat este 2√x.
    10. −1. Coeficientul lui x din x+d−2x: 1 − 2 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. 1−x. x−2x=−x, iar constanta 1 rămâne. Diferența celor două fracții este 1−x2√x.
    12. 1 − x2√x. Numărătorul devine 1 − x, deci obținem 1 − x2√x.
    13. Numărătorul devine 1 − x, deci obținem 1 − x2√x.

    Răspuns: 1 − x2√x

28. Exercițiul 28

    Model 3 · Pasul 4: care este derivata finală?

    h(x)=√xx+1, x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 1. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 12√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. Cu 2√x, sus și jos. Amplificarea păstrează valoarea fracției când înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr nenul.
    8. x. Pe x>0, pătratul rădăcinii pătrate este x.
    9. 2x2√x. √x·2√x=2x. Numitorul amplificat este 2√x.
    10. −1. Coeficientul lui x din x+d−2x: 1 − 2 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. 1−x. x−2x=−x, iar constanta 1 rămâne. Diferența celor două fracții este 1−x2√x.
    12. 2√x(x + 1)². Împărțirea unei fracții la g² înmulțește numitorul acelei fracții cu g². Nu eliminăm 2√x.
    13. h′(x)=1−x2√x(x + 1)². Pe x>0 avem h′(x)=1−x2√x(x + 1)². Toți factorii numitorului sunt pozitivi; păstrăm și semnul numărătorului.
    14. 1 − x2√x(x + 1)². Rezultă h′(x) = 1 − x2√x(x + 1)², pentru x > 0.
    15. Rezultă h′(x) = 1 − x2√x(x + 1)², pentru x > 0.

    Răspuns: 1 − x2√x(x + 1)²

29. Exercițiul 29

    Calculează derivata lui h(x)=√xx + 3, pentru x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 3. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 32√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. Cu 2√x, sus și jos. Amplificarea păstrează valoarea fracției când înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr nenul.
    8. x. Pe x>0, pătratul rădăcinii pătrate este x.
    9. 2x2√x. √x·2√x=2x. Numitorul amplificat este 2√x.
    10. −1. Coeficientul lui x din x+d−2x: 1 − 2 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. 3−x. x−2x=−x, iar constanta 3 rămâne. Diferența celor două fracții este 3−x2√x.
    12. 2√x(x + 3)². Împărțirea unei fracții la g² înmulțește numitorul acelei fracții cu g². Nu eliminăm 2√x.
    13. h′(x)=3−x2√x(x + 3)². Pe x>0 avem h′(x)=3−x2√x(x + 3)². Toți factorii numitorului sunt pozitivi; păstrăm și semnul numărătorului.

    Răspuns: h′(x)=3−x2√x(x + 3)²

30. Exercițiul 30

    Calculează derivata lui h(x)=√xx + 4, pentru x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 4. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 42√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. Cu 2√x, sus și jos. Amplificarea păstrează valoarea fracției când înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr nenul.
    8. x. Pe x>0, pătratul rădăcinii pătrate este x.
    9. 2x2√x. √x·2√x=2x. Numitorul amplificat este 2√x.
    10. −1. Coeficientul lui x din x+d−2x: 1 − 2 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. 4−x. x−2x=−x, iar constanta 4 rămâne. Diferența celor două fracții este 4−x2√x.
    12. 2√x(x + 4)². Împărțirea unei fracții la g² înmulțește numitorul acelei fracții cu g². Nu eliminăm 2√x.
    13. h′(x)=4−x2√x(x + 4)². Pe x>0 avem h′(x)=4−x2√x(x + 4)². Toți factorii numitorului sunt pozitivi; păstrăm și semnul numărătorului.

    Răspuns: h′(x)=4−x2√x(x + 4)²

31. Exercițiul 31

    Calculează derivata lui h(x)=2x + 2x − 4, pentru x≠4.

    Vezi rezolvarea

    1. 4. Numitorul se anulează la x=4. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠4.
    2. f=2x + 2; g=x − 4. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2; g′=1. f=2x + 2 este afină: f′=2, deoarece constanta 2 are derivata 0. g=x − 4 are coeficientul lui x egal cu 1, deci g′=1.
    5. h′(x)=2(x − 4)−(2x + 2)·1(x − 4)². Primul produs este f′g. Scădem întregul fg′; paranteza din jurul lui f păstrează minusul pentru toți termenii.
    6. -10. N=2(x − 4)−(2x + 2)=2x+(-8)−2x−(2)=-10. Termenii cu x se anulează; minusul din fața lui f schimbă semnul fiecărui termen.
    7. h′(x)=-10(x − 4)². Numărătorul este -10; numitorul rămâne (x − 4)². Restricția x≠4 rămâne valabilă și după simplificare.

    Răspuns: h′(x)=-10(x − 4)²

32. Exercițiul 32

    Calculează derivata lui h(x)=x² + 4x + 2, pentru x≠-2.

    Vezi rezolvarea

    1. −2. Numitorul se anulează la x=-2. Funcția și formula derivatei se folosesc numai pentru x≠-2.
    2. f=x² + 4; g=x + 2. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. f′=2x; g′=1. (x²)′=2x, constantele au derivata 0, iar (x+d)′=1. Nu derivăm raportul ca pe o împărțire a derivatelor.
    5. 2x(x + 2)−(x² + 4). Aplicăm f′g−fg′. g′=1, deci scădem întregul f.
    6. 2x²+(4)x−x²−(4). Primul produs este 2x(x+2)=2x²+(4)x. Din al doilea produs scădem atât x², cât și constanta 4.
    7. x² + 4x − 4. 2x²−x²=x². Termenul liniar este 4x, iar constanta este -4; rezultă x² + 4x − 4.
    8. h′(x)=x² + 4x − 4(x + 2)². Nu schimbăm g² după reducerea numărătorului. Obținem h′(x)=x² + 4x − 4(x + 2)², pentru x≠-2.

    Răspuns: h′(x)=x² + 4x − 4(x + 2)²

33. Exercițiul 33

    Calculează derivata lui h(x)=√xx + 5, pentru x>0.

    Vezi rezolvarea

    1. x>0. √x există pentru x≥0, dar formula derivatei 12√x cere x>0. Cu d>0, numitorul x+d este pozitiv pe acest interval.
    2. f=√x; g=x + 5. f păstrează întreaga expresie de sus, g întreaga expresie de jos. Nu inversăm rolurile lor.
    3. (fg)′=f′g−fg′g². Notăm f expresia de sus și g expresia de jos. Derivăm separat f și g, apoi scriem f′g−fg′ peste g². Formula cere g≠0.
    4. 12√x. Regula este (√x)′=12√x, pentru x>0. La x=0 nu putem folosi această expresie.
    5. 1. Derivata lui x este 1, iar a constantei este 0.
    6. x + 52√x−√x. f′g este x+d2√x. Din el scădem fg′=√x·1.
    7. Cu 2√x, sus și jos. Amplificarea păstrează valoarea fracției când înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr nenul.
    8. x. Pe x>0, pătratul rădăcinii pătrate este x.
    9. 2x2√x. √x·2√x=2x. Numitorul amplificat este 2√x.
    10. −1. Coeficientul lui x din x+d−2x: 1 − 2 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. 5−x. x−2x=−x, iar constanta 5 rămâne. Diferența celor două fracții este 5−x2√x.
    12. 2√x(x + 5)². Împărțirea unei fracții la g² înmulțește numitorul acelei fracții cu g². Nu eliminăm 2√x.
    13. h′(x)=5−x2√x(x + 5)². Pe x>0 avem h′(x)=5−x2√x(x + 5)². Toți factorii numitorului sunt pozitivi; păstrăm și semnul numărătorului.

    Răspuns: h′(x)=5−x2√x(x + 5)²

Atelier · trei modele și două exerciții independente (15)

1. 1. Model 1

   Model 1 · h(x) = x + 1x − 1. Pasul 1: ce formulă aplicăm?

   Vezi răspunsul

   Formula câtului: (fg)′ = f′g − fg′g².

2. 2. Model 1

   Model 1 · Pasul 2: cum alegem f și g?

   Vezi răspunsul

   f = x + 1 (numărătorul) și g = x − 1 (numitorul).

3. 3. Model 1

   Model 1 · Pasul 3: care sunt f′ și g′?

   Vezi răspunsul

   f′ = 1 și g′ = 1.

4. 4. Model 1

   Model 1 · Pasul 4: care este înlocuirea corectă în formulă?

   Vezi răspunsul

   h′(x) = 1 · (x − 1) − (x + 1) · 1(x − 1)²

5. 5. Model 1

   Model 1 · Pasul 5: simplificați și alegeți derivata finală.

   Vezi răspunsul

   h′(x) = −2(x − 1)²

6. 6. Model 2

   Model 2 · h(x) = x² + 1x + 2. Pasul 1: care sunt f′ și g′?

   Vezi răspunsul

   f′ = 2x și g′ = 1.

7. 7. Model 2

   Model 2 · Pasul 2: care este numărătorul derivatei înainte de desfacerea parantezelor?

   Vezi răspunsul

   2x(x + 2) − (x² + 1) · 1

8. 8. Model 2

   Model 2 · Pasul 3: cum se simplifică numărătorul?

   Vezi răspunsul

   2x² + 4x − x² − 1 = x² + 4x − 1

9. 9. Model 2

   Model 2 · Pasul 4: care este derivata finală?

   Vezi răspunsul

   h′(x) = x² + 4x − 1(x + 2)²

10. 10. Model 3

    Model 3 · h(x) = √xx + 1, x > 0. Pasul 1: care sunt f′ și g′?

    Vezi răspunsul

    f′ = 12√x și g′ = 1.

11. 11. Model 3

    Model 3 · Pasul 2: ce expresie obținem în numărător?

    Vezi răspunsul

    x + 12√x − √x

12. 12. Model 3

    Model 3 · Pasul 3: cum aducem numărătorul la același numitor?

    Vezi răspunsul

    (x + 1) − 2x2√x = 1 − x2√x

13. 13. Model 3

    Model 3 · Pasul 4: care este derivata finală?

    Vezi răspunsul

    h′(x) = 1 − x2√x (x + 1)²

14. 14. Independent

    Acum rezolvați singur: h(x) = 2x + 3x − 2. Calculați h′(x).

    Vezi răspunsul

    h′(x) = 2(x − 2) − (2x + 3)(x − 2)² = −7(x − 2)²

15. 15. Independent

    Acum rezolvați singur: h(x) = x² + 4x, x ≠ 0. Calculați h′(x).

    Vezi răspunsul

    h(x) = x + 4x, deci h′(x) = 1 − 4x² = x² − 4x².