Regula câtului, întrebare cu întrebare

Nu memorăm un rezultat lung. Împărțim fiecare derivată într-o succesiune fixă: alegem formula, notăm u și v, calculăm u′ și v′, înlocuim, apoi simplificăm.

Ordinea din numărător este u′v − uv′. Semnul minus și pătratul numitorului sunt cele mai frecvente două greșeli.

Formula și rolul fiecărei litere

(uv)′ = u′v − uv′v²

u = numărător

v = numitor

Scrie formula înainte să înlocuiești expresiile.
Derivează separat u și v.
Păstrează ordinea u′v minus uv′.
Ridică întregul numitor la pătrat.

Model complet înainte de exerciții

f(x) = (x + 1)/(x − 1)

Calculați f′(x), pentru x ≠ 1.

1.Alegem u = x + 1 și v = x − 1.
2.Calculăm u′ = 1 și v′ = 1.
3.Aplicăm formula: f′ = [1·(x − 1) − (x + 1)·1]/(x − 1)².
4.Simplificăm numărătorul: x − 1 − x − 1 = −2.
5.Rezultă f′(x) = −2(x − 1)².

Verifică-te singur · cu răspunsuriAtelier · trei modele și două exerciții independente · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Model 1M1 · M2 · M3
Model 1 · f(x) = x + 1x − 1. Pasul 1: ce formulă aplicăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Formula câtului: (uv)′ = u′v − uv′v².
Ex. 2Model 1M1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 2: cum alegem u și v?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = x + 1 (numărătorul) și v = x − 1 (numitorul).
Ex. 3Model 1M1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 3: care sunt u′ și v′?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u′ = 1 și v′ = 1.
Ex. 4Model 1M1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 4: care este înlocuirea corectă în formulă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1 · (x − 1) − (x + 1) · 1(x − 1)²
Ex. 5Model 1M1 · M2 · M3
Model 1 · Pasul 5: simplificați și alegeți derivata finală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2(x − 1)²
Ex. 6Model 2M1 · M2 · M3
Model 2 · f(x) = x² + 1x + 2. Pasul 1: care sunt u′ și v′?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u′ = 2x și v′ = 1.
Ex. 7Model 2M1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 2: care este numărătorul derivatei înainte de desfacerea parantezelor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x(x + 2) − (x² + 1) · 1
Ex. 8Model 2M1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 3: cum se simplifică numărătorul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x² + 4x − x² − 1 = x² + 4x − 1
Ex. 9Model 2M1 · M2 · M3
Model 2 · Pasul 4: care este derivata finală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = x² + 4x − 1(x + 2)²
Ex. 10Model 3M1 · M2 · M3
Model 3 · f(x) = √xx + 1, x > 0. Pasul 1: care sunt u′ și v′?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u′ = 12√x și v′ = 1.
Ex. 11Model 3M1 · M2 · M3
Model 3 · Pasul 2: ce expresie obținem în numărător?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 12√x − √x
Ex. 12Model 3M1 · M2 · M3
Model 3 · Pasul 3: cum aducem numărătorul la același numitor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 1) − 2x2√x = 1 − x2√x
Ex. 13Model 3M1 · M2 · M3
Model 3 · Pasul 4: care este derivata finală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1 − x2√x (x + 1)²
Ex. 14IndependentM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: f(x) = 2x + 3x − 2. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2(x − 2) − (2x + 3)(x − 2)² = −7(x − 2)²
Ex. 15IndependentM1 · M2 · M3
Acum rezolvați singur: f(x) = x² + 4x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = x + 4x, deci f′(x) = 1 − 4x² = x² − 4x².