Produs, cât și compuneri algebrice · 13 exerciții

A doua serie exersează alegerea regulii potrivite: produs, cât sau lanț, pe funcții polinomiale și raționale.

Derivata produsului nu este produsul derivatelor, iar derivata câtului nu este câtul derivatelor.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 46–50, 58, 61–64 și 68–70 · 13 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 46ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (x + 1)(x − 2). Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x − 1
Ex. 47ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (x² + 1)(x³ − 2). Calculați și simplificați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x(x³ − 2) + 3x²(x² + 1) = 5x⁴ + 3x² − 4x
Ex. 48Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (2x − 1)³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 6(2x − 1)²
Ex. 49Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (x² + 1)⁴. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 8x(x² + 1)³
Ex. 50Radical și produsM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x²·√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = x^(52), deci f′(x) = (52)x√x.
Ex. 58Produs și factorizareM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (x − 1)³(x + 2). Calculați și factorizați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3(x − 1)²(x + 2) + (x − 1)³ = (x − 1)²(4x + 5)
Ex. 61Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x + 1x − 1, x ≠ 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2(x − 1)²
Ex. 62Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x² + 1x + 2, x ≠ −2. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = x² + 4x − 1(x + 2)²
Ex. 63Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x² + 4x + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2x + 4(x² + 4x + 5)²
Ex. 64Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x² − 1x² + 1. Calculați și simplificați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 4x(x² + 1)²
Ex. 68Cât cu radicalM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = √xx + 1, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1 − x2√x (x + 1)²
Ex. 69Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (3x − 1)⁵. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 15(3x − 1)⁴
Ex. 70Radical compusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 2x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x2x² + 5