M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 1 sesiune
D·2

Teorie înainte de exerciții

Produs, cât și compuneri algebrice · 13 exerciții

A doua serie exersează alegerea regulii potrivite: produs, cât sau lanț, pe funcții polinomiale și raționale.

Derivata produsului nu este produsul derivatelor, iar derivata câtului nu este câtul derivatelor.
1

Formulele elementare și regulile de calcul

De ținut minte

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xn)′ = n·xn−1
(1x)′ = −1x2, (√x)′ = 12√x
(ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g2
  • Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
  • La cos x nu uita semnul minus.
  • Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x−12, scurtează mult calculul.
2

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

De ținut minte

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
(un)′ = n·un−1·u′
(√u)′ = u′2√u
(eu)′ = eu·u′ și (ln u)′ = u′u
(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′
  • Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
  • sin(x2) nu este același lucru cu (sin x)2.
  • La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 46–50, 58, 61–64 și 68–70 · 13 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 46ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (x + 1)(x − 2). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x − 1

  2. Ex. 47ProdusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (x2 + 1)(x3 − 2). Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x(x3 − 2) + 3x2(x2 + 1) = 5x4 + 3x2 − 4x

  3. Ex. 48Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (2x − 1)3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 6(2x − 1)2

  4. Ex. 49Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (x2 + 1)4. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 8x(x2 + 1)3

  5. Ex. 50Radical și produsM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x2·√x, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f(x) = x52, deci f′(x) = (52)x√x.

  6. Ex. 58Produs și factorizareM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (x − 1)3(x + 2). Calculați și factorizați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3(x − 1)2(x + 2) + (x − 1)3 = (x − 1)2(4x + 5)

  7. Ex. 61Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x + 1x − 1, x ≠ 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2(x − 1)2

  8. Ex. 62Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x2 + 1x + 2, x ≠ −2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = x2 + 4x − 1(x + 2)2

  9. Ex. 63Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 1x2 + 4x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x + 4(x2 + 4x + 5)2

  10. Ex. 64Regula câtuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x2 − 1x2 + 1. Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 4x(x2 + 1)2

  11. Ex. 68Cât cu radicalM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = √xx + 1, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1 − x2√x (x + 1)2

  12. Ex. 69Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = (3x − 1)5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 15(3x − 1)4

  13. Ex. 70Radical compusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 2x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x2x2 + 5

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Produs, cât și compuneri algebrice · 13 exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

A doua serie exersează alegerea regulii potrivite: produs, cât sau lanț, pe funcții polinomiale și raționale.

Formulele elementare și regulile de calcul

  • (c)′ = 0, (x)′ = 1, (xn)′ = n·xn−1
  • (1x)′ = −1x2, (√x)′ = 12√x
  • (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x
  • (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
  • (f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g2
  • Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
  • La cos x nu uita semnul minus.
  • Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x−12, scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

  • (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
  • (un)′ = n·un−1·u′
  • (√u)′ = u′2√u
  • (eu)′ = eu·u′ și (ln u)′ = u′u
  • (sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′
  • Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
  • sin(x2) nu este același lucru cu (sin x)2.
  • La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = (x + 1)(x − 2). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Cel mai simplu: desfacem parantezele, f(x) = x2 − x − 2.
    2. Derivăm: 2x − 1.
    3. Se putea folosi și regula produsului: 1·(x − 2) + (x + 1)·1 = 2x − 1.
    4. Răspuns final: f′(x) = 2x − 1.

    Răspuns: 2x − 1

  2. Exercițiul 2

    Fie f(x) = (x2 + 1)(x3 − 2). Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm (f·g)′ = f′g + fg′, cu f = x2 + 1 și g = x3 − 2.
    2. f′ = 2x și g′ = 3x2.
    3. f′g + fg′ = 2x(x3 − 2) + (x2 + 1)·3x2 = 2x4 − 4x + 3x4 + 3x2.
    4. Reducem termenii asemenea: 5x4 + 3x2 − 4x.

    Răspuns: 5x4 + 3x2 − 4x

  3. Exercițiul 3

    Fie f(x) = (2x − 1)3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Exteriorul este u3, interiorul u = 2x − 1.
    2. Derivata exteriorului este 3u2, iar u′ = 2.
    3. Înmulțim: 3(2x − 1)2·2 = 6(2x − 1)2.
    4. Factorul 2 din interior este cel mai des uitat.

    Răspuns: 6(2x − 1)2

  4. Exercițiul 4

    Fie f(x) = (x2 + 1)4. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Exteriorul este u4, interiorul u = x2 + 1.
    2. Derivata exteriorului este 4u3, iar u′ = 2x.
    3. Înmulțim: 4(x2 + 1)3·2x = 8x(x2 + 1)3.

    Răspuns: 8x(x2 + 1)3

  5. Exercițiul 5

    Fie f(x) = x2·√x, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem x2·√x = x52.
    2. Aplicăm formula puterii: (52)·x32.
    3. Rescriem: (52)x√x.
    4. Transformarea în putere fracționară evită regula produsului.

    Răspuns: (52)x√x

  6. Exercițiul 6

    Fie f(x) = (x − 1)3(x + 2). Calculați și factorizați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula produsului cu f = (x − 1)3 și g = x + 2.
    2. f′ = 3(x − 1)2, prin regula lanțului, iar g′ = 1.
    3. f′g + fg′ = 3(x − 1)2(x + 2) + (x − 1)3.
    4. Dăm factor comun (x − 1)2: (x − 1)2[3(x + 2) + (x − 1)].
    5. Paranteza devine 3x + 6 + x − 1 = 4x + 5.

    Răspuns: (x − 1)2(4x + 5)

  7. Exercițiul 7

    Fie f(x) = x + 1x − 1, x ≠ 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm (fg)′ = f′g − fg′g2.
    2. f′ = 1 și g′ = 1.
    3. Numărătorul: 1·(x − 1) − (x + 1)·1 = x − 1 − x − 1 = −2.
    4. Răspuns final: f′(x) = −2(x − 1)2.

    Răspuns: −2(x − 1)2

  8. Exercițiul 8

    Fie f(x) = x2 + 1x + 2, x ≠ −2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm (fg)′ = f′g − fg′g2, cu f′ = 2x și g′ = 1.
    2. Numărătorul: 2x(x + 2) − (x2 + 1)·1 = 2x2 + 4x − x2 − 1.
    3. Reducem: x2 + 4x − 1.
    4. Răspuns final: f′(x) = x2 + 4x − 1(x + 2)2.

    Răspuns: x2 + 4x − 1(x + 2)2

  9. Exercițiul 9

    Fie f(x) = 1x2 + 4x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0, deci domeniul este ℝ.
    2. Scriem f(x) = (x2 + 4x + 5)−1.
    3. Derivata exteriorului este −u−2, iar u′ = 2x + 4.
    4. Rezultă −2x + 4(x2 + 4x + 5)2, iar 2x + 4 = 2(x + 2).

    Răspuns: −2(x + 2)(x2 + 4x + 5)2

  10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = x2 − 1x2 + 1. Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula câtului, cu f′ = 2x și g′ = 2x.
    2. Numărătorul: 2x(x2 + 1) − (x2 − 1)·2x = 2x3 + 2x − 2x3 + 2x.
    3. Termenii cu x3 se reduc și rămâne 4x.
    4. Răspuns final: f′(x) = 4x(x2 + 1)2.

    Răspuns: 4x(x2 + 1)2

  11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = √xx + 1, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula câtului, cu f′ = 12√x și g′ = 1.
    2. Numărătorul: x + 12√x − √x.
    3. Aducem la numitorul comun 2√x: (x + 1) − 2x2√x = 1 − x2√x.
    4. Împărțim la (x + 1)2: f′(x) = 1 − x2√x(x + 1)2.

    Răspuns: 1 − x2√x(x + 1)2

  12. Exercițiul 12

    Fie f(x) = (3x − 1)5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Exteriorul este u5, interiorul u = 3x − 1.
    2. Derivata exteriorului este 5u4, iar u′ = 3.
    3. Înmulțim: 5(3x − 1)4·3 = 15(3x − 1)4.

    Răspuns: 15(3x − 1)4

  13. Exercițiul 13

    Fie f(x) = 2x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm (√u)′ = u′2√u, cu u = 2x2 + 5 și u′ = 4x.
    2. Obținem 4x22x2 + 5.
    3. Simplificăm prin 2: 2x2x2 + 5.
    4. Expresia de sub radical este mereu pozitivă.

    Răspuns: 2x2x2 + 5

Fișa de antrenament · exercițiile 46–50, 58, 61–64 și 68–70 (13)

  1. 46. Produs

    Fie f(x) = (x + 1)(x − 2). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x − 1

  2. 47. Produs

    Fie f(x) = (x2 + 1)(x3 − 2). Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x(x3 − 2) + 3x2(x2 + 1) = 5x4 + 3x2 − 4x

  3. 48. Regula lanțului

    Fie f(x) = (2x − 1)3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 6(2x − 1)2

  4. 49. Regula lanțului

    Fie f(x) = (x2 + 1)4. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 8x(x2 + 1)3

  5. 50. Radical și produs

    Fie f(x) = x2·√x, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f(x) = x52, deci f′(x) = (52)x√x.

  6. 58. Produs și factorizare

    Fie f(x) = (x − 1)3(x + 2). Calculați și factorizați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3(x − 1)2(x + 2) + (x − 1)3 = (x − 1)2(4x + 5)

  7. 61. Regula câtului

    Fie f(x) = x + 1x − 1, x ≠ 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2(x − 1)2

  8. 62. Regula câtului

    Fie f(x) = x2 + 1x + 2, x ≠ −2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = x2 + 4x − 1(x + 2)2

  9. 63. Regula lanțului

    Fie f(x) = 1x2 + 4x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x + 4(x2 + 4x + 5)2

  10. 64. Regula câtului

    Fie f(x) = x2 − 1x2 + 1. Calculați și simplificați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 4x(x2 + 1)2

  11. 68. Cât cu radical

    Fie f(x) = √xx + 1, x > 0. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1 − x2√x (x + 1)2

  12. 69. Regula lanțului

    Fie f(x) = (3x − 1)5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 15(3x − 1)4

  13. 70. Radical compus

    Fie f(x) = 2x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x2x2 + 5

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.