M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

D·1

Încărcăm partea curentă…

Puteri, fracții și radicali · 32 de exerciții

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

1. Constanta devine zero, iar ax devine a

O constantă nu se schimbă când x se schimbă: derivata ei este 0. Într-un termen de forma ax, rămâne doar coeficientul a. Derivăm separat termenii unei sume și păstrăm semnele.

De ținut minte

(c)′ = 0; (ax + b)′ = a

Nu păstra constanta în derivată și nu pierde semnul coeficientului.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = −4x + 9.

1−4x este termenul care conține x; coeficientul lui este −4.
2Derivata lui −4x este −4, iar derivata constantei 9 este 0.
3Adunăm: f′(x) = −4.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Puteri, fracții și radicali · 32 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

1. Constanta devine zero, iar ax devine a

O constantă nu se schimbă când x se schimbă: derivata ei este 0. Într-un termen de forma ax, rămâne doar coeficientul a. Derivăm separat termenii unei sume și păstrăm semnele.

(c)′ = 0; (ax + b)′ = a

Nu păstra constanta în derivată și nu pierde semnul coeficientului.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = −4x + 9.

−4x este termenul care conține x; coeficientul lui este −4.
Derivata lui −4x este −4, iar derivata constantei 9 este 0.
Adunăm: f′(x) = −4.

2. Exponentul coboară și scade cu unu

Pentru xⁿ, mutăm n în față și îl scădem cu 1 la puterea rămasă. Dacă există un coeficient, îl înmulțim cu n. Astfel regula merge pentru x², x³ și puteri mai mari.

(axⁿ)′ = a·n·xⁿ⁻¹

Nu coborî doar exponentul: și coeficientul, și noul exponent se schimbă.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = −2x⁵.

Coeficientul este −2 și exponentul este 5.
Înmulțim −2·5 = −10 și scădem exponentul: 5 − 1 = 4.
Obținem f′(x) = −10x⁴.

3. Un polinom se derivă termen cu termen

Desfacem polinomul în termeni, aplicăm fiecăruia regula puterii, apoi adunăm rezultatele. Un termen liniar ax devine a, iar termenul fără x devine 0.

(u + v − w)′ = u′ + v′ − w′

Păstrează semnul fiecărui termen. Nu aplica regula produsului unei sume.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 3x³ − 2x + 7.

Pentru 3x³ coborâm exponentul: (3x³)′ = 9x².
Pentru −2x obținem −2, iar constanta 7 devine 0.
Rezultatul este f′(x) = 9x² − 2.

4. Puteri mari în același polinom

Într-un polinom cu mai multe puteri, derivăm separat fiecare termen, chiar dacă între doi exponenți lipsesc puteri intermediare. La x⁸ coborâm 8 și rămâne x⁷; la x⁴ coborâm 4 și rămâne x³. Constanta dispare.

(axⁿ + bx^m + c)′ = anxⁿ⁻¹ + bmx^m−1

Nu inventa termeni pentru puterile care lipsesc din polinom.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 2x⁷ − x⁴ + 5x².

Derivata primului termen este 2·7x⁶ = 14x⁶.
Derivăm apoi −x⁴ în −4x³ și 5x² în 10x.
Adunăm: f′(x) = 14x⁶ − 4x³ + 10x.

5. Coeficientul poate fi fracție sau literă

Literele ori fracțiile din fața lui x sunt coeficienți constanți. Îi înmulțim cu exponentul exact ca pe numerele întregi. La un termen ax, exponentul este 1, chiar dacă nu îl scriem.

((pq)xⁿ)′ = (pq)·n·xⁿ⁻¹

O fracție din coeficient se înmulțește cu exponentul; nu trebuie să dispară automat.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = −(13)x³ + 2x − 5.

Derivata lui −(13)x³ este −(13)·3x² = −x².
Derivata lui 2x este 2; derivata lui −5 este 0.
Obținem f′(x) = −x² + 2.

6. Întâi derivăm, apoi înlocuim punctul

La f′(a) nu calculăm f(a). Mai întâi aflăm expresia derivatei f′(x), inclusiv pentru un polinom cu puteri mari; abia apoi punem x = a.

f′(a) = f′(x)|_x=a

Nu înlocui x în funcția inițială înainte de derivare.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 2x² − 3x + 7, calculează f′(−1).

Derivăm funcția: f′(x) = 4x − 3.
Punem x = −1 în derivată: f′(−1) = 4·(−1) − 3.
Calculăm f′(−1) = −7.

7. O fracție 1x este o putere negativă

Scriem 1x = x⁻¹ și folosim aceeași regulă a puterii. Exponentul −1 coboară, apoi devine −2. Numitorul nu poate fi zero.

(ax)′ = −ax², pentru x ≠ 0

Semnul minus apare din exponentul −1; nu îl omite.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 7x, pentru x ≠ 0.

Rescriem f(x) = 7x⁻¹.
Aplicăm regula puterii: 7·(−1)x⁻² = −7x⁻².
Revenim la fracție: f′(x) = −7x², cu x ≠ 0.

8. La 1xⁿ aplicăm tot regula puterii

Transformăm axⁿ în ax⁻ⁿ. Exponentul nou este −n − 1, deci după derivare avem xⁿ⁺¹ la numitor. x = 0 rămâne exclus.

(axⁿ)′ = −a·nxⁿ⁺¹, pentru x ≠ 0

Nu deriva numai numărătorul: xⁿ din numitor contează.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 2x⁴, pentru x ≠ 0.

Scriem 2x⁴ = 2x⁻⁴.
Derivăm: 2·(−4)x⁻⁵ = −8x⁻⁵.
Rescriem rezultatul: f′(x) = −8x⁵.

9. Derivata radicalului simplu

Radicalul se poate scrie ca o putere: √x = x¹². Formula devine 12√x. Pentru derivată cerem x > 0; putem apoi înmulți formula cu un coeficient și deriva restul sumei separat.

(√x)′ = 12√x, pentru x > 0

Factorul 2 rămâne la numitorul derivatei lui √x.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 6√x + 4x, pentru x > 0.

Derivata lui 6√x este 62√x = 3√x.
Derivata lui 4x este 4.
Rezultă f′(x) = 3√x + 4.

10. Rescriem produsele și fracțiile cu radical ca puteri

Înainte să folosim o regulă lungă, verificăm dacă putem uni puterile lui x: x·√x = x³², iar √xx = x⁻¹². Tot așa, 1√x = x⁻¹². Aplicăm apoi regula puterii și păstrăm x > 0.

x^a·x^b = x^a+b; x^ax^b = x^a−b

Nu trata x·√x ca x² și nu uita că x trebuie să fie pozitiv.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 3√x, pentru x > 0.

Scriem f(x) = 3x⁻¹².
Derivăm: f′(x) = 3·(−12)x⁻³².
Revenim la radical: f′(x) = −32x√x.

11. Când la numitor este ax+b, folosim lanțul

Numitorul u(x) = ax+b este expresia din interior. Scriem 1u = u⁻¹; derivăm exteriorul și înmulțim cu u′ = a. Excludem punctul unde ax+b = 0.

(1u)′ = −u′u², pentru u ≠ 0

Numitorul se ridică la pătrat, iar derivata expresiei interioare se înmulțește în față.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 13x + 2, x ≠ −23.

Alegem u = 3x + 2 și calculăm u′ = 3.
Aplicăm (1u)′ = −u′u².
Obținem f′(x) = −3(3x + 2)².

12. Radicalul unei expresii: derivăm și interiorul

Dacă în radical este u(x), derivata nu mai este doar 12√u. Numărătorul primește u′(x). Pentru derivată trebuie u(x) > 0; apoi putem simplifica fracția obținută.

(√u)′ = u′2√u, pentru u > 0

Verifică unde este pozitiv interiorul înainte de a deriva.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = 4x − 1, x > 14.

Interiorul este u = 4x − 1, deci u′ = 4.
Punem în formulă: f′(x) = 424x − 1.
Simplificăm: f′(x) = 24x − 1.

13. Combinăm radicalul și fracția, respectând domeniul

La o sumă derivăm fiecare termen separat. Pentru radicalul √u cerem u > 0 ca derivata să existe; pentru 1v cerem v ≠ 0. Răspunsul final este valabil numai unde ambele condiții sunt îndeplinite.

(√u + av)′ = u′2√u − a·v′v²

Condiția de existență a radicalului este diferită de aceea a derivatei la capătul domeniului.

Exemplu rezolvat

Derivează f(x) = x + 2 + 3x − 2, unde x > −2 și x ≠ 2.

Pentru u = x + 2 avem u′ = 1, deci (√u)′ = 12x + 2.
Pentru v = x − 2 avem v′ = 1, deci (3v)′ = −3(x − 2)².
Adunăm: f′(x) = 12x + 2 − 3(x − 2)², pe domeniul dat.

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Fie f(x) = 7. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivata unei constante este întotdeauna 0.
2. Graficul este o dreaptă orizontală, deci panta este 0 în orice punct.
3. Răspuns final: f′(x) = 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 2
Fie f(x) = x. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm formula (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ cu n = 1.
2. Obținem 1·x⁰ = 1.
3. Graficul este dreapta y = x, cu panta constantă 1.
4. Răspuns final: f′(x) = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 3
Fie f(x) = 3x − 5. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm termen cu termen.
2. (3x)′ = 3, iar derivata constantei −5 este 0.
3. Răspuns final: f′(x) = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 4
Fie f(x) = x². Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ cu n = 2.
2. Exponentul coboară în față, iar noul exponent este 1.
3. Răspuns final: f′(x) = 2x.
Răspuns: 2x
Exercițiul 5
Fie f(x) = x³. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ cu n = 3.
2. Obținem 3·x².
3. Răspuns final: f′(x) = 3x².
Răspuns: 3x²
Exercițiul 6
Fie f(x) = 5x⁴. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Constanta se păstrează: (c·f)′ = c·f′.
2. (x⁴)′ = 4x³, deci 5·4x³.
3. Răspuns final: f′(x) = 20x³.
Răspuns: 20x³
Exercițiul 7
Fie f(x) = 2x³ − 4x + 1. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm fiecare termen separat.
2. (2x³)′ = 6x², (−4x)′ = −4, iar derivata lui 1 este 0.
3. Răspuns final: f′(x) = 6x² − 4.
Răspuns: 6x² − 4
Exercițiul 8
Fie f(x) = −3x⁴ + 2x² − 7. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. (−3x⁴)′ = −12x³, păstrând semnul minus.
2. (2x²)′ = 4x, iar derivata constantei −7 este 0.
3. Răspuns final: f′(x) = −12x³ + 4x.
Răspuns: −12x³ + 4x
Exercițiul 9
Fie f(x) = x⁵ − 2x³ + x − 9. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. (x⁵)′ = 5x⁴ și (−2x³)′ = −6x².
2. (x)′ = 1, iar derivata lui −9 este 0.
3. Răspuns final: f′(x) = 5x⁴ − 6x² + 1.
Răspuns: 5x⁴ − 6x² + 1
Exercițiul 10
Fie f(x) = 4x⁶ − x⁴ + 3x². Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. (4x⁶)′ = 24x⁵, (−x⁴)′ = −4x³ și (3x²)′ = 6x.
2. Adunăm rezultatele, păstrând semnele.
3. Răspuns final: f′(x) = 24x⁵ − 4x³ + 6x.
Răspuns: 24x⁵ − 4x³ + 6x
Exercițiul 11
Fie f(x) = 1 − 4x. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivata constantei 1 este 0.
2. (−4x)′ = −4.
3. Răspuns final: f′(x) = −4.
Răspuns: −4
Exercițiul 12
Fie f(x) = (23)x³ − (12)x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Constanta din față se păstrează: (23)·3x² = 2x².
2. Analog, (12)·2x = x, cu semnul minus.
3. Derivata constantei 5 este 0.
4. Răspuns final: f′(x) = 2x² − x.
Răspuns: 2x² − x
Exercițiul 13
Fie f(x) = x⁸ − 3x⁵ + 6x² − 1. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. (x⁸)′ = 8x⁷ și (−3x⁵)′ = −15x⁴.
2. (6x²)′ = 12x, iar derivata lui −1 este 0.
3. Răspuns final: f′(x) = 8x⁷ − 15x⁴ + 12x.
Răspuns: 8x⁷ − 15x⁴ + 12x
Exercițiul 14
Fie f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ ℝ. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Literele a, b și c sunt constante, deci se comportă ca niște coeficienți.
2. (ax²)′ = a·2x = 2ax și (bx)′ = b.
3. Derivata constantei c este 0.
4. Răspuns final: f′(x) = 2ax + b.
Răspuns: 2ax + b
Exercițiul 15
Fie f(x) = x⁴ − 2x² + 3x. Calculați f′(1).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm întâi funcția: f′(x) = 4x³ − 4x + 3.
2. Abia apoi înlocuim x = 1.
3. f′(1) = 4 − 4 + 3.
4. Răspuns final: f′(1) = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 16
Fie f(x) = 1x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem 1x = x⁻¹.
2. Aplicăm formula puterii: −1·x⁻² = −1x².
3. Condiția x ≠ 0 se păstrează.
4. Răspuns final: f′(x) = −1x².
Răspuns: −1x²
Exercițiul 17
Fie f(x) = 4x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Constanta 4 se păstrează în față.
2. (1x)′ = −1x², deci 4·(−1x²).
3. Răspuns final: f′(x) = −4x².
Răspuns: −4x²
Exercițiul 18
Fie f(x) = 1x², x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem 1x² = x⁻².
2. Aplicăm formula puterii: −2·x⁻³.
3. Răspuns final: f′(x) = −2x³.
Răspuns: −2x³
Exercițiul 19
Fie f(x) = 3x³, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem 3x³ = 3x⁻³.
2. Derivăm: 3·(−3)x⁻⁴ = −9x⁻⁴.
3. Răspuns final: f′(x) = −9x⁴.
Răspuns: −9x⁴
Exercițiul 20
Fie f(x) = √x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aceasta este o formulă elementară: (√x)′ = 12√x.
2. Se poate obține și scriind √x = x¹² și aplicând formula puterii.
3. Condiția x > 0 este necesară pentru existența derivatei.
4. Răspuns final: f′(x) = 12√x.
Răspuns: 12√x
Exercițiul 21
Fie f(x) = 2√x − 3x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm fiecare termen: 2·12√x = 1√x.
2. (−3x)′ = −3.
3. Răspuns final: f′(x) = 1√x − 3.
Răspuns: 1√x − 3
Exercițiul 22
Fie f(x) = x·√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Cea mai simplă cale: scriem x·√x = x³².
2. Aplicăm formula puterii: (32)·x¹² = (32)√x.
3. Se putea folosi și regula produsului, cu același rezultat.
4. Răspuns final: f′(x) = (32)√x.
Răspuns: (32)√x
Exercițiul 23
Fie f(x) = √x + 1x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm fiecare termen separat.
2. (√x)′ = 12√x.
3. (1x)′ = −1x².
4. Răspuns final: f′(x) = 12√x − 1x².
Răspuns: 12√x − 1x²
Exercițiul 24
Fie f(x) = √xx, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Simplificăm întâi: √xx = x¹²x^1 = x⁻¹².
2. Aplicăm formula puterii: (−12)·x⁻³².
3. Rescriem: −12x√x.
4. Simplificarea de la început scurtează mult calculul.
Răspuns: −12x√x
Exercițiul 25
Fie f(x) = 1x + 1, x ≠ −1. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem f(x) = (x + 1)⁻¹.
2. Derivata exteriorului u⁻¹ este −u⁻², iar derivata interiorului este 1.
3. Rezultă −1(x + 1)².
4. Răspuns final: f′(x) = −1(x + 1)².
Răspuns: −1(x + 1)²
Exercițiul 26
Fie f(x) = 12x − 3, x ≠ 32. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem f(x) = (2x − 3)⁻¹.
2. Derivata exteriorului este −(2x − 3)⁻², iar derivata interiorului este 2.
3. Nu uita factorul 2 din interior.
4. Răspuns final: f′(x) = −2(2x − 3)².
Răspuns: −2(2x − 3)²
Exercițiul 27
Fie f(x) = 3x + 1, x > −13. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm formula (√u)′ = u′2√u.
2. Aici u = 3x + 1, deci u′ = 3.
3. Rezultă 323x + 1.
4. Condiția 3x + 1 > 0 asigură existența derivatei.
Răspuns: 323x + 1
Exercițiul 28
Fie f(x) = x² + 4. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm (√u)′ = u′2√u, cu u = x² + 4 și u′ = 2x.
2. Obținem 2x2x² + 4.
3. Simplificăm prin 2.
4. Expresia de sub radical este mereu pozitivă, deci domeniul este ℝ.
Răspuns: xx² + 4
Exercițiul 29
Fie f(x) = 1√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Scriem 1√x = x⁻¹².
2. Aplicăm formula puterii: (−12)·x⁻³².
3. Rescriem cu radical: −12x√x.
4. Răspuns final: f′(x) = −12x√x.
Răspuns: −12x√x
Exercițiul 30
Fie f(x) = 2x + 5 + 2x − 1. Domeniul este x > −52 și x ≠ 1. Calculați f′(x).
Vezi rezolvarea
1. Domeniul cere 2x + 5 > 0 și x ≠ 1.
2. Primul termen: (√u)′ = u′2√u cu u′ = 2, deci 222x + 5 = 12x + 5.
3. Al doilea termen: 2·(x − 1)⁻¹ are derivata −2(x − 1)².
4. Răspuns final: f′(x) = 12x + 5 − 2(x − 1)².
Răspuns: 12x + 5 − 2(x − 1)²
Exercițiul 31
Pentru f(x)=x²+2x, calculează f′(3).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm separat: f′(x)=2x+2.
2. Înlocuim x=3: f′(3)=2·3+2.
3. Obținem f′(3)=8.
Răspuns: 8
Exercițiul 32
Pentru f(x)=3x²−x, calculează f′(−1).
Vezi rezolvarea
1. Derivăm: f′(x)=6x−1.
2. La x=−1: f′(−1)=6·(−1)−1.
3. Rezultatul este −7.
Răspuns: −7

Fișa de antrenament · exercițiile 1–30 (30)

1. Constantă
Fie f(x) = 7. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 0
2. Putere
Fie f(x) = x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 1
3. Funcție de gradul I
Fie f(x) = 3x − 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 3
4. Putere
Fie f(x) = x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 2x
5. Putere
Fie f(x) = x³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 3x²
6. Coeficient
Fie f(x) = 5x⁴. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 20x³
7. Polinom
Fie f(x) = 2x³ − 4x + 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 6x² − 4
8. Polinom
Fie f(x) = −3x⁴ + 2x² − 7. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −12x³ + 4x
9. Polinom
Fie f(x) = x⁵ − 2x³ + x − 9. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 5x⁴ − 6x² + 1
10. Polinom
Fie f(x) = 4x⁶ − x⁴ + 3x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 24x⁵ − 4x³ + 6x
11. Funcție de gradul I
Fie f(x) = 1 − 4x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −4
12. Coeficienți fracționari
Fie f(x) = (23)x³ − (12)x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 2x² − x
13. Polinom
Fie f(x) = x⁸ − 3x⁵ + 6x² − 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 8x⁷ − 15x⁴ + 12x
14. Caz general
Fie f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ ℝ. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 2ax + b
15. Valoarea derivatei
Fie f(x) = x⁴ − 2x² + 3x. Calculați f′(1).
Vezi răspunsul
f′(x) = 4x³ − 4x + 3, deci f′(1) = 3.
16. Putere negativă
Fie f(x) = 1x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −1x²
17. Putere negativă
Fie f(x) = 4x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −4x²
18. Putere negativă
Fie f(x) = 1x², x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −2x³
19. Putere negativă
Fie f(x) = 3x³, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −9x⁴
20. Radical
Fie f(x) = √x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 12√x
21. Radical
Fie f(x) = 2√x − 3x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 1√x − 3
22. Radical și produs
Fie f(x) = x·√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = (32)√x
23. Sumă mixtă
Fie f(x) = √x + 1x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 12√x − 1x²
24. Simplificare
Fie f(x) = √xx, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f(x) = x⁻¹², deci f′(x) = −12x√x.
25. Regula lanțului
Fie f(x) = 1x + 1, x ≠ −1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −1(x + 1)²
26. Regula lanțului
Fie f(x) = 12x − 3, x ≠ 32. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −2(2x − 3)²
27. Radical compus
Fie f(x) = 3x + 1, x > −13. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 323x + 1
28. Radical compus
Fie f(x) = x² + 4. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = xx² + 4
29. Putere fracționară
Fie f(x) = 1√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = −12x√x
30. Sumă cu domeniu
Fie f(x) = 2x + 5 + 2x − 1. Domeniul este x > −52 și x ≠ 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsul
f′(x) = 12x + 5 − 2(x − 1)²

1. Constanta devine zero, iar ax devine a

Puteri, fracții și radicali · 32 de exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

1. Constanta devine zero, iar ax devine a

Exemplu rezolvat

2. Exponentul coboară și scade cu unu

Exemplu rezolvat

3. Un polinom se derivă termen cu termen

Exemplu rezolvat

4. Puteri mari în același polinom

Exemplu rezolvat

5. Coeficientul poate fi fracție sau literă

Exemplu rezolvat

6. Întâi derivăm, apoi înlocuim punctul

Exemplu rezolvat

7. O fracție 1x este o putere negativă

Exemplu rezolvat

8. La 1xn aplicăm tot regula puterii

Exemplu rezolvat

9. Derivata radicalului simplu

Exemplu rezolvat

10. Rescriem produsele și fracțiile cu radical ca puteri

Exemplu rezolvat

11. Când la numitor este ax+b, folosim lanțul

Exemplu rezolvat

12. Radicalul unei expresii: derivăm și interiorul

Exemplu rezolvat

13. Combinăm radicalul și fracția, respectând domeniul

Exemplu rezolvat

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Fișa de antrenament · exercițiile 1–30 (30)

8. La 1xⁿ aplicăm tot regula puterii