Puteri, fracții și radicali · 30 de exerciții

Prima serie fixează formulele elementare: constante, puteri, polinoame, apoi puteri negative și radicali.

Scrie domeniul înainte de a deriva: la 1x, la √x și la fracții el este parte din răspuns.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 1–30 · 30 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1ConstantăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 7. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 0
Ex. 2PutereM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1
Ex. 3Funcție de gradul IM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 3x − 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3
Ex. 4PutereM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x
Ex. 5PutereM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x²
Ex. 6CoeficientM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 5x⁴. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 20x³
Ex. 7PolinomM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 2x³ − 4x + 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 6x² − 4
Ex. 8PolinomM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = −3x⁴ + 2x² − 7. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −12x³ + 4x
Ex. 9PolinomM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x⁵ − 2x³ + x − 9. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 5x⁴ − 6x² + 1
Ex. 10PolinomM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 4x⁶ − x⁴ + 3x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 24x⁵ − 4x³ + 6x
Ex. 11Funcție de gradul IM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1 − 4x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −4
Ex. 12Coeficienți fracționariM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = (23)x³ − (12)x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x² − x
Ex. 13PolinomM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x⁸ − 3x⁵ + 6x² − 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 8x⁷ − 15x⁴ + 12x
Ex. 14Caz generalM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ ℝ. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2ax + b
Ex. 15Valoarea derivateiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x⁴ − 2x² + 3x. Calculați f′(1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 4x³ − 4x + 3, deci f′(1) = 3.
Ex. 16Putere negativăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −1x²
Ex. 17Putere negativăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 4x, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −4x²
Ex. 18Putere negativăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x², x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2x³
Ex. 19Putere negativăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 3x³, x ≠ 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −9x⁴
Ex. 20RadicalM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = √x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 12√x
Ex. 21RadicalM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 2√x − 3x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1√x − 3
Ex. 22Radical și produsM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x·√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = (32)√x
Ex. 23Sumă mixtăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = √x + 1x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 12√x − 1x²
Ex. 24SimplificareM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = √xx, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = x^(−12), deci f′(x) = −12x√x.
Ex. 25Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x + 1, x ≠ −1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −1(x + 1)²
Ex. 26Regula lanțuluiM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 12x − 3, x ≠ 32. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2(2x − 3)²
Ex. 27Radical compusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 3x + 1, x > −13. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 323x + 1
Ex. 28Radical compusM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = x² + 4. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = xx² + 4
Ex. 29Putere fracționarăM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1√x, x > 0. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −12x√x
Ex. 30Sumă cu domeniuM1 · Mate-Info · M2 · Științe · M3 · Tehnologic
Fie f(x) = 2x + 5 + 2x − 1. Domeniul este x > −52 și x ≠ 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 12x + 5 − 2(x − 1)²