Încărcăm partea curentă…

Derivate de la zero · pas cu pas

Derivata: schimbarea, nu valoarea funcției

f(x) este valoarea funcției, iar f′(x), citit «f prim de x», descrie schimbarea ei locală. La f(x)=ax, o creștere a lui x cu 1 schimbă f cu a. Panta dreptei este a și derivata este tot a.

Începem cu o regulă simplă: (ax)′=a. x înseamnă 1·x, iar −x înseamnă −1·x. Un coeficient negativ arată că dreapta coboară când o parcurgem de la stânga la dreapta.

De ținut minte

(ax)′=a

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x.

  1. 1Identificăm expresia f(x)=3x și cerința.
  2. 2Folosim regula (ax)′=a.
  3. 33. Folosim (ax)′=a: (3x)′=3. Coeficientul este 3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

Greșeală frecventă

Greșit: (5x)′=5x

De ce: Ai păstrat funcția inițială. Derivata lui x este 1, deci rămâne 5, fără x.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Derivate de la zero · pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Derivata: schimbarea, nu valoarea funcției

f(x) este valoarea funcției, iar f′(x), citit «f prim de x», descrie schimbarea ei locală. La f(x)=ax, o creștere a lui x cu 1 schimbă f cu a. Panta dreptei este a și derivata este tot a.

Începem cu o regulă simplă: (ax)′=a. x înseamnă 1·x, iar −x înseamnă −1·x. Un coeficient negativ arată că dreapta coboară când o parcurgem de la stânga la dreapta.

  • (ax)′=a

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x.

  1. Identificăm expresia f(x)=3x și cerința.
  2. Folosim regula (ax)′=a.
  3. 3. Folosim (ax)′=a: (3x)′=3. Coeficientul este 3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

Greșeală frecventă: (5x)′=5x Ai păstrat funcția inițială. Derivata lui x este 1, deci rămâne 5, fără x.

Derivata: schimbarea, nu valoarea funcției · încă trei aplicări simple · grupa 11

f(x) este valoarea funcției, iar f′(x), citit «f prim de x», descrie schimbarea ei locală. La f(x)=ax, o creștere a lui x cu 1 schimbă f cu a. Panta dreptei este a și derivata este tot a.

Începem cu o regulă simplă: (ax)′=a. x înseamnă 1·x, iar −x înseamnă −1·x. Un coeficient negativ arată că dreapta coboară când o parcurgem de la stânga la dreapta.

  • (ax)′=a

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x.

  1. Identificăm expresia f(x)=3x și cerința.
  2. Folosim regula (ax)′=a.
  3. 3. Folosim (ax)′=a: (3x)′=3. Coeficientul este 3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

Greșeală frecventă: (5x)′=5x Ai păstrat funcția inițială. Derivata lui x este 1, deci rămâne 5, fără x.

x se schimbă; o constantă rămâne pe loc

Funcția f(x)=x se schimbă odată cu x și are derivata 1. Funcția f(x)=4 are aceeași valoare indiferent de x și are derivata 0. Privește dacă termenul conține sau nu variabila.

Nu contează cât de mare este constanta ori dacă este negativă: (c)′=0. Zero este schimbarea, nu valoarea funcției. Graficul unei constante este orizontal.

  • (x)′=1; (c)′=0

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=4.

  1. Identificăm expresia f(x)=4 și cerința.
  2. Folosim regula (x)′=1; (c)′=0.
  3. 0. 4 este constant: (4)′=0.

Greșeală frecventă: (−13)′=−13 −13 este valoarea funcției. Funcția nu variază, deci derivata este 0.

Un termen liniar și o constantă

În f(x)=ax+b, derivăm cei doi termeni separat. Termenul ax dă a, iar constanta b dă 0. Adunăm derivatele și obținem a.

b mută dreapta în sus sau în jos, fără să îi schimbe panta. Semnul lui a se păstrează: derivarea nu transformă automat un număr negativ în unul pozitiv.

  • (ax+b)′=a+0=a

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−2x + 4.

  1. Identificăm expresia f(x)=−2x + 4 și cerința.
  2. Folosim regula (ax+b)′=a+0=a.
  3. −2. Folosim (ax)′=a: (−2x)′=−2. Coeficientul este −2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  4. 0. 4 este constant: (4)′=0.
  5. −2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−2; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: (−3x+9)′=−3+9 Ai uitat să derivezi și constanta: derivata lui 9 este 0, nu 9.

Coeficientul poate fi o fracție

Fracția din fața lui x este tot un coeficient. Pentru (12)x, derivata este 12; nu există o regulă nouă pentru fracții.

Păstrăm valoarea exactă, inclusiv semnul. 12=0,5 și 14=0,25; forma fracționară evită rotunjirea. Constanta adunată se derivează tot în 0.

  • (kx+b)′=k, inclusiv k fracționar

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−0.5x + 6.

  1. Identificăm expresia f(x)=−0.5x + 6 și cerința.
  2. Folosim regula (kx+b)′=k, inclusiv k fracționar.
  3. −0.5. Folosim (ax)′=a: (−0.5x)′=−0.5. Coeficientul este −12, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  4. 0. 6 este constant: (6)′=0.
  5. −0.5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−0.5; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: ((12)x)′=2 Nu inversăm coeficientul la derivare. Rămâne 12.

Pătratul: coeficientul și exponentul se schimbă separat

Regula este (axn)′=a·n·xn−1, pentru un exponent natural n≥1. La x2, exponentul 2 coboară ca factor; apoi scade cu 1.

La ax2 facem două calcule diferite: a·2 pentru coeficient și 2−1 pentru exponent. Exponentul nou este 1, deci scriem x, fără acel 1.

  • (ax2)′=(a·2)x1=2ax

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x2.

  1. Identificăm expresia f(x)=3x2 și cerința.
  2. Folosim regula (ax2)′=(a·2)x1=2ax.
  3. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (5x2)′=5x Exponentul a scăzut, dar coeficientul nu a fost înmulțit cu 2.

Pătratul: coeficientul și exponentul se schimbă separat · încă trei aplicări simple · grupa 11

Regula este (axn)′=a·n·xn−1, pentru un exponent natural n≥1. La x2, exponentul 2 coboară ca factor; apoi scade cu 1.

La ax2 facem două calcule diferite: a·2 pentru coeficient și 2−1 pentru exponent. Exponentul nou este 1, deci scriem x, fără acel 1.

  • (ax2)′=(a·2)x1=2ax

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x2.

  1. Identificăm expresia f(x)=3x2 și cerința.
  2. Folosim regula (ax2)′=(a·2)x1=2ax.
  3. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (5x2)′=5x Exponentul a scăzut, dar coeficientul nu a fost înmulțit cu 2.

Cubul lasă o putere a doua

La ax3, coeficientul nou este a·3, iar exponentul nou este 3−1=2. x2 rămâne o funcție, nu un număr: nu îi dăm o valoare dacă cerința nu indică un punct.

Un coeficient minus se înmulțește tot cu 3. Calculăm produsul cu semnul lui și îl păstrăm în expresia derivatei.

  • (ax3)′=3ax2

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−3x3.

  1. Identificăm expresia f(x)=−3x3 și cerința.
  2. Folosim regula (ax3)′=3ax2.
  3. −9x2. În −3x3, a=−3 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−3x3)′=(−3)·3·x2=−9x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (2x3)′=6x3 Coeficientul este corect, însă exponentul trebuie să scadă la 2.

Cubul lasă o putere a doua · încă trei aplicări simple · grupa 11

La ax3, coeficientul nou este a·3, iar exponentul nou este 3−1=2. x2 rămâne o funcție, nu un număr: nu îi dăm o valoare dacă cerința nu indică un punct.

Un coeficient minus se înmulțește tot cu 3. Calculăm produsul cu semnul lui și îl păstrăm în expresia derivatei.

  • (ax3)′=3ax2

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−3x3.

  1. Identificăm expresia f(x)=−3x3 și cerința.
  2. Folosim regula (ax3)′=3ax2.
  3. −9x2. În −3x3, a=−3 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−3x3)′=(−3)·3·x2=−9x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (2x3)′=6x3 Coeficientul este corect, însă exponentul trebuie să scadă la 2.

Puteri mai mari: aceeași regulă

Puterea 4, 5 sau 6 nu schimbă metoda. Citim coeficientul a și exponentul n, calculăm a·n, apoi n−1. Păstrăm cele două rezultate separat.

Regula predată aici este pentru puteri naturale pozitive. Un exponent fracționar sau negativ cere verificarea domeniului; nu îl introducem fără explicație în aceste exerciții.

  • (axn)′=an xn−1, n≥1 natural

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−2x6.

  1. Identificăm expresia f(x)=−2x6 și cerința.
  2. Folosim regula (axn)′=an xn−1, n≥1 natural.
  3. −12x5. În −2x6, a=−2 și n=6. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x6)′=(−2)·6·x5=−12x5. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (x4)′=3x3 Noul exponent este 3, dar coeficientul vine din exponentul inițial 4.

Derivăm fiecare termen al sumei

Semnele + și − separă termenii. Aplicăm fiecăruia regula potrivită: pătrat, termen liniar ori constantă. Apoi punem rezultatele împreună.

La ax2+bx+c, obținem 2ax+b. Constanta c contribuie cu 0; nu o mai copiem în rezultatul simplificat. Nu înmulțim derivatele termenilor.

  • (f+g)′=f′+g′; (f−g)′=f′−g′

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=2x2 − 4x + 7.

  1. Identificăm expresia f(x)=2x2 − 4x + 7 și cerința.
  2. Folosim regula (f+g)′=f′+g′; (f−g)′=f′−g′.
  3. 4x. În 2x2, a=2 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x2)′=2·2·x=4x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. −4. Folosim (ax)′=a: (−4x)′=−4. Coeficientul este −4, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  5. 0. 7 este constant: (7)′=0.
  6. 4x − 4. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=4x − 4; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: (x2+5)′=2x+5 5 este constantă, iar derivata ei este 0. Rezultatul simplificat este 2x.

Două sau trei puteri, fără calcule înghesuite

O sumă de puteri folosește aceeași regulă la fiecare termen. Nu derivăm tot polinomul ca și cum ar avea un singur exponent.

Păstrăm pe ecran rezultatul fiecărui termen înainte să construim expresia finală. Un termen cu x devine un număr; un termen cu x2 devine un termen liniar.

  • (a xn+b xm)′=an xn−1+bm xm−1

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=3x4 + 2x3 + 5x.

  1. Identificăm expresia f(x)=3x4 + 2x3 + 5x și cerința.
  2. Folosim regula (a xn+b xm)′=an xn−1+bm xm−1.
  3. 12x3. În 3x4, a=3 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x4)′=3·4·x3=12x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. 6x2. În 2x3, a=2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x3)′=2·3·x2=6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  5. 5. Folosim (ax)′=a: (5x)′=5. Coeficientul este 5, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  6. 12x3 + 6x2 + 5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=12x3 + 6x2 + 5; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: (x3+x2)′=5x Exponenții nu se adună. Derivăm separat: 3x2+2x.

Păstrăm minusurile și termenii care lipsesc

Într-un polinom, coeficientul cuprinde semnul din fața termenului. Pentru −3x2, coeficientul este −3, deci noul coeficient este −6.

Puterile care nu apar în polinom nu produc termeni noi. Termenul constant dispare; termenii rămași își păstrează locurile după puteri.

  • (−axn)′=−an xn−1

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=−2x5 + 3x2 − x + 4.

  1. Identificăm expresia f(x)=−2x5 + 3x2 − x + 4 și cerința.
  2. Folosim regula (−axn)′=−an xn−1.
  3. −10x4. În −2x5, a=−2 și n=5. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x5)′=(−2)·5·x4=−10x4. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  5. −1. Folosim (ax)′=a: (−x)′=−1. Coeficientul este −1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  6. 0. 4 este constant: (4)′=0.
  7. −10x4 + 6x − 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−10x4 + 6x − 1; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: (−x6)′=6x5 A dispărut minusul coeficientului −1. Produsul corect este −1·6=−6.

Alegem regula înainte de calcul

O singură putere xn folosește regula puterii. O sumă de termeni se derivează termen cu termen. Formula produsului și formula câtului nu sunt necesare pentru aceste expresii deja dezvoltate.

La exponentul 1, regula dă x0=1. La o constantă folosim direct derivata 0. Recunoașterea formei expresiei ne ajută să evităm o formulă mai complicată decât este nevoie.

  • (xn)′=n xn−1

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=4x5.

  1. Identificăm expresia f(x)=4x5 și cerința.
  2. Folosim regula (xn)′=n xn−1.
  3. 20x4. În 4x5, a=4 și n=5. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x5)′=4·5·x4=20x4. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: La derivare, exponentul rămâne n. Exponentul n coboară în coeficient, apoi exponentul lui x devine n−1.

Verificăm și explicăm o greșeală

Un răspuns poate avea exponentul corect și coeficientul greșit sau invers. Verificăm aceste două părți separat înainte să spunem ce trebuie corectat.

Nu este suficient să alegem expresia bună. Explicăm operația lipsă: înmulțirea cu exponentul, scăderea lui cu 1 sau derivarea unei constante în 0.

  • Coeficient nou = a·n; exponent nou = n−1

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=7x4.

  1. Identificăm expresia f(x)=7x4 și cerința.
  2. Folosim regula Coeficient nou = a·n; exponent nou = n−1.
  3. 28x3. În 7x4, a=7 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (7x4)′=7·4·x3=28x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

Greșeală frecventă: (7x4)′=7x3 S-a modificat numai exponentul. Coeficientul corect este 7·4=28.

f′(a): întâi expresia, apoi un număr

f′(x) este o expresie, iar f′(a) este valoarea ei într-un punct. Derivăm mai întâi f(x), apoi înlocuim fiecare x din derivată cu a.

Nu calculăm mai întâi f(a) și nu derivăm acel număr: am pierde informația despre schimbarea funcției. Înlocuirea și calculul obișnuit sunt scrise împreună, după aflarea derivatei.

  • f(x) → f′(x) → f′(a)

Exemplu rezolvat · alte date

f(x)=2x3 − x + 4. Calculează f′(1).

  1. Identificăm expresia f(x)=2x3 − x + 4 și cerința.
  2. Folosim regula f(x) → f′(x) → f′(a).
  3. 6x2. În 2x3, a=2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x3)′=2·3·x2=6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. −1. Folosim (ax)′=a: (−x)′=−1. Coeficientul este −1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  5. 0. 4 este constant: (4)′=0.
  6. 6x2 − 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=6x2 − 1; constantele au contribuit cu zero.
  7. 5. f′(1)=6·(1)2+(−1)=5. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.

Greșeală frecventă: f(1)=5, deci f′(1)=5 Valoarea funcției nu determină singură derivata. Calculăm expresia f′ înainte de înlocuire.

Evaluarea la 0 sau la un argument negativ

Zero se înlocuiește în derivată la fel ca orice argument. Termenii cu x devin 0, dar termenul constant al derivatei rămâne.

La un argument negativ, îl punem în paranteză. (−1)2=1, dar (−1)3=−1. Puterea și semnul coeficientului sunt două lucruri diferite.

  • f′(a) se evaluează cu semnele și parantezele corecte

Exemplu rezolvat · alte date

f(x)=3x2 − 2x + 5. Calculează f′(-1).

  1. Identificăm expresia f(x)=3x2 − 2x + 5 și cerința.
  2. Folosim regula f′(a) se evaluează cu semnele și parantezele corecte.
  3. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. −2. Folosim (ax)′=a: (−2x)′=−2. Coeficientul este −2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
  5. 0. 5 este constant: (5)′=0.
  6. 6x − 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=6x − 2; constantele au contribuit cu zero.
  7. −8. f′(−1)=6·(−1)+(−2)=−8. Înlocuim fiecare x cu (−1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.

Greșeală frecventă: f′(0)=0 pentru orice polinom. Derivata poate avea un termen constant nenul. De exemplu, pentru f(x)=2x+7 avem f′(0)=2.

Construim singuri derivata întregului polinom

Acum alegem regula pentru fiecare termen fără să primim expresia derivatei. În fiecare pas explicăm derivarea unui termen; calculele coeficientului și exponentului sunt scrise împreună.

La final verificăm trei lucruri: fiecare putere a scăzut cu 1, fiecare coeficient a fost înmulțit cu exponentul lui inițial și niciun termen constant nu a rămas.

  • Derivare termen cu termen

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x)=2x6 − 3x4 + 4x2 − 1.

  1. Identificăm expresia f(x)=2x6 − 3x4 + 4x2 − 1 și cerința.
  2. Folosim regula Derivare termen cu termen.
  3. 12x5. În 2x6, a=2 și n=6. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x6)′=2·6·x5=12x5. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  4. −12x3. În −3x4, a=−3 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−3x4)′=(−3)·4·x3=−12x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  5. 8x. În 4x2, a=4 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x2)′=4·2·x=8x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  6. 0. −1 este constant: (−1)′=0.
  7. 12x5 − 12x3 + 8x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=12x5 − 12x3 + 8x; constantele au contribuit cu zero.

Greșeală frecventă: Derivez doar termenul de grad maxim. Derivata unei sume cere contribuția fiecărui termen, nu doar a celui dominant.

Din derivată în ecuația tangentei · a), b), c)

Tangenta într-un punct derivabil este o dreaptă cu panta f′(a), care trece prin A(a,f(a)). Abscisa a, ordonata f(a) și panta f′(a) au roluri diferite; le calculăm și le păstrăm separat.

Folosim y−f(a)=f′(a)(x−a). Dacă vrem y=mx+b, calculăm b=f(a)−f′(a)·a. Pentru un alt punct B, înlocuim abscisa lui în ecuația dreptei și comparăm rezultatul cu ordonata lui. B poate aparține tangentei fără să aparțină graficului funcției.

Cele trei subpuncte formează o singură problemă, în pași mici. La sfârșit ai și redactarea completă: regula de derivare, cele două valori, formula tangentei și verificarea punctului. Sunt probleme originale de tip Bac, nu subiecte oficiale sau note de test independent.

  • m=f′(a)
  • y−f(a)=f′(a)(x−a)
  • b=f(a)−f′(a)·a

Model complet · alte date

Problemă de tip Bac · f(x)=2x2 + 1, x∈ℝ. a) Calculează f′(x). b) Scrie tangenta în punctul de abscisă −1. c) Verifică dacă B(0; −1) aparține acestei tangente.

  1. 4x. În 2x2, a=2 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x2)′=2·2·x=4x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
  2. 0. 1 este constant: (1)′=0.
  3. 4x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=4x; constantele au contribuit cu zero.
  4. 3. f(−1)=2·(−1)2+1=3. Înlocuim fiecare x cu (−1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
  5. −4. f′(−1)=4·(−1)=−4. Înlocuim fiecare x cu (−1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
  6. y−f(a)=f′(a)(x−a). O dreaptă de pantă m care trece prin A(a,f(a)) are ecuația y−f(a)=m(x−a). Pentru tangentă, m=f′(a).
  7. y−(3)=−4(x−(−1)). f(a) este ordonata, f′(a) este panta, a este abscisa. Fiecare are locul lui în formulă.
  8. 4. Produsul pantă · abscisă: (−4) · (−1) = 4. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
  9. −1. Termenul liber b=f(a)−f′(a)·a: 3 − 4 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
  10. y=−4x − 1. Tangenta este y=−4x − 1. Termenul liber nu este în general f(a), pentru că a poate fi diferit de 0.
  11. 0. La c), înlocuim abscisa punctului B în ecuația dreptei: (−4) · 0 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
  12. −1. Adăugăm termenul liber al dreptei: 0 + (−1) = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
  13. Da, B aparține tangentei. Din ecuație obținem −1. Comparăm cu ordonata −1; valorile sunt egale. B nu trebuie să aparțină și graficului funcției.
  14. Redactare pentru Bac: a) Prin derivare termen cu termen, f′(x)=4x. b) f(−1)=3 și f′(−1)=−4. Formula y−f(a)=f′(a)(x−a) dă y=−4x − 1. c) Înlocuind abscisa lui B în dreaptă, obținem −1, egal față de ordonata −1. Deci B aparține tangentei.

Greșeală frecventă: Panta tangentei este f(a). f(a) este ordonata punctului. Panta este derivata f′(a); cele două valori pot fi diferite.

Exerciții rezolvate din lecție (57)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = 2x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 2. Folosim (ax)′=a: (2x)′=2. Coeficientul este 2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. f′(x) = 2·1 = 2.

    Răspuns: 2

  2. Exercițiul 2

    Fie f(x) = 5x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 5. Folosim (ax)′=a: (5x)′=5. Coeficientul este 5, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. Răspuns: f′(x) = 5.

    Răspuns: 5

  3. Exercițiul 3

    Fie f(x) = −4x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. −4. Folosim (ax)′=a: (−4x)′=−4. Coeficientul este −4, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. f′(x) = −4·1 = −4.

    Răspuns: −4

  4. Exercițiul 4

    Derivează f(x)=6x.

    Vezi rezolvarea
    1. 6. Folosim (ax)′=a: (6x)′=6. Coeficientul este 6, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

    Răspuns: 6

  5. Exercițiul 5

    Derivează f(x)=−6x.

    Vezi rezolvarea
    1. −6. Folosim (ax)′=a: (−6x)′=−6. Coeficientul este −6, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

    Răspuns: −6

  6. Exercițiul 6

    Derivează f(x)=7x.

    Vezi rezolvarea
    1. 7. Folosim (ax)′=a: (7x)′=7. Coeficientul este 7, inclusiv semnul; constanta nu intervine.

    Răspuns: 7

  7. Exercițiul 7

    Fie f(x) = x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 1. Folosim (ax)′=a: (x)′=1. Coeficientul este 1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. Răspuns: f′(x) = 1.

    Răspuns: 1

  8. Exercițiul 8

    Fie f(x) = 8. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 0. 8 este constant: (8)′=0.
    2. Derivata unei constante este 0.

    Răspuns: 0

  9. Exercițiul 9

    Fie f(x) = −13. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 0. −13 este constant: (−13)′=0.
    2. Răspuns: f′(x) = 0.

    Răspuns: 0

  10. Exercițiul 10

    Fie f(x) = 2x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 2. Folosim (ax)′=a: (2x)′=2. Coeficientul este 2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. 5 este constant: (5)′=0.
    3. 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=2; constantele au contribuit cu zero.
    4. Adunăm: f′(x) = 2 + 0 = 2.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Fie f(x) = 5x − 7. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 5. Folosim (ax)′=a: (5x)′=5. Coeficientul este 5, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. −7 este constant: (−7)′=0.
    3. 5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=5; constantele au contribuit cu zero.
    4. Răspuns: f′(x) = 5.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Fie f(x) = −3x + 9. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. −3. Folosim (ax)′=a: (−3x)′=−3. Coeficientul este −3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. 9 este constant: (9)′=0.
    3. −3. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−3; constantele au contribuit cu zero.
    4. f′(x) = −3.

    Răspuns: −3

  13. Exercițiul 13

    Fie f(x) = (12)x + 4. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 0.5. Folosim (ax)′=a: (0.5x)′=0.5. Coeficientul este 12, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. 4 este constant: (4)′=0.
    3. 0.5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=0.5; constantele au contribuit cu zero.
    4. 12. Aici a = 12, deci f′(x) = 12.
    5. Aici a = 12, deci f′(x) = 12.

    Răspuns: 12

  14. Exercițiul 14

    Derivează f(x)=−(12)x+9.

    Vezi rezolvarea
    1. −0.5. Folosim (ax)′=a: (−0.5x)′=−0.5. Coeficientul este −12, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. 9 este constant: (9)′=0.
    3. −0.5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−0.5; constantele au contribuit cu zero.

    Răspuns: −0.5

  15. Exercițiul 15

    Derivează f(x)=(14)x−2.

    Vezi rezolvarea
    1. 0.25. Folosim (ax)′=a: (0.25x)′=0.25. Coeficientul este 14, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 0. −2 este constant: (−2)′=0.
    3. 0.25. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=0.25; constantele au contribuit cu zero.

    Răspuns: 0.25

  16. Exercițiul 16

    Fie f(x) = 5x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 10x. În 5x2, a=5 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (5x2)′=5·2·x=10x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Exponentul scade de la 2 la 1: f′(x) = 10x.

    Răspuns: 10x

  17. Exercițiul 17

    Fie f(x) = 2x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 4x. În 2x2, a=2 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x2)′=2·2·x=4x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Rezultă f′(x) = 4x.

    Răspuns: 4x

  18. Exercițiul 18

    Fie f(x) = −4x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. −8x. În −4x2, a=−4 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−4x2)′=(−4)·2·x=−8x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Noul exponent este 1, deci f′(x) = −8x.

    Răspuns: −8x

  19. Exercițiul 19

    Derivează f(x)=x2.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: 2x

  20. Exercițiul 20

    Derivează f(x)=−2x2.

    Vezi rezolvarea
    1. −4x. În −2x2, a=−2 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x2)′=(−2)·2·x=−4x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: −4x

  21. Exercițiul 21

    Derivează f(x)=6x2.

    Vezi rezolvarea
    1. 12x. În 6x2, a=6 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (6x2)′=6·2·x=12x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: 12x

  22. Exercițiul 22

    Fie f(x) = x3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 3x2. În x3, a=1 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x3)′=1·3·x2=3x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Răspuns: f′(x) = 3x2.

    Răspuns: 3x2

  23. Exercițiul 23

    Fie f(x) = 2x3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 6x2. În 2x3, a=2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x3)′=2·3·x2=6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. f′(x) = 6x2.

    Răspuns: 6x2

  24. Exercițiul 24

    Fie f(x) = −5x3. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. −15x2. În −5x3, a=−5 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−5x3)′=(−5)·3·x2=−15x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Răspuns: f′(x) = −15x2.

    Răspuns: −15x2

  25. Exercițiul 25

    Derivează f(x)=3x3.

    Vezi rezolvarea
    1. 9x2. În 3x3, a=3 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x3)′=3·3·x2=9x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: 9x2

  26. Exercițiul 26

    Derivează f(x)=−2x3.

    Vezi rezolvarea
    1. −6x2. În −2x3, a=−2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x3)′=(−2)·3·x2=−6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: −6x2

  27. Exercițiul 27

    Derivează f(x)=4x3.

    Vezi rezolvarea
    1. 12x2. În 4x3, a=4 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x3)′=4·3·x2=12x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.

    Răspuns: 12x2

  28. Exercițiul 28

    Fie f(x) = x4. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 4x3. În x4, a=1 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x4)′=1·4·x3=4x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Rezultă f′(x) = 4x3.

    Răspuns: 4x3

  29. Exercițiul 29

    Fie f(x) = 3x4. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 12x3. În 3x4, a=3 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x4)′=3·4·x3=12x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. f′(x) = 12x3.

    Răspuns: 12x3

  30. Exercițiul 30

    Fie f(x) = 2x5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 10x4. În 2x5, a=2 și n=5. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x5)′=2·5·x4=10x4. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Răspuns: f′(x) = 10x4.

    Răspuns: 10x4

  31. Exercițiul 31

    Fie f(x) = x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 0. 5 este constant: (5)′=0.
    3. 2x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=2x; constantele au contribuit cu zero.
    4. Prin urmare f′(x) = 2x.

    Răspuns: 2x

  32. Exercițiul 32

    Fie f(x) = 3x2 + 2x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 2. Folosim (ax)′=a: (2x)′=2. Coeficientul este 2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 6x + 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=6x + 2; constantele au contribuit cu zero.
    4. Adunăm: f′(x) = 6x + 2.

    Răspuns: 6x + 2

  33. Exercițiul 33

    Fie f(x) = 7x2 − 5x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 14x. În 7x2, a=7 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (7x2)′=7·2·x=14x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −5. Folosim (ax)′=a: (−5x)′=−5. Coeficientul este −5, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 1 este constant: (1)′=0.
    4. 14x − 5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=14x − 5; constantele au contribuit cu zero.
    5. Rezultă f′(x) = 14x − 5.

    Răspuns: 14x − 5

  34. Exercițiul 34

    Fie f(x) = 4x3 + 3x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 12x2. În 4x3, a=4 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x3)′=4·3·x2=12x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 6x. În 3x2, a=3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x2)′=3·2·x=6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. 12x2 + 6x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=12x2 + 6x; constantele au contribuit cu zero.
    4. Adunăm: f′(x) = 12x2 + 6x.

    Răspuns: 12x2 + 6x

  35. Exercițiul 35

    Fie f(x) = x3 + x2 + x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 3x2. În x3, a=1 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x3)′=1·3·x2=3x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. 1. Folosim (ax)′=a: (x)′=1. Coeficientul este 1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    4. 3x2 + 2x + 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=3x2 + 2x + 1; constantele au contribuit cu zero.
    5. Rezultă f′(x) = 3x2 + 2x + 1.

    Răspuns: 3x2 + 2x + 1

  36. Exercițiul 36

    Derivează f(x)=2x3+4x2−x.

    Vezi rezolvarea
    1. 6x2. În 2x3, a=2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x3)′=2·3·x2=6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 8x. În 4x2, a=4 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x2)′=4·2·x=8x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. −1. Folosim (ax)′=a: (−x)′=−1. Coeficientul este −1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    4. 6x2 + 8x − 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=6x2 + 8x − 1; constantele au contribuit cu zero.

    Răspuns: 6x2 + 8x − 1

  37. Exercițiul 37

    Fie f(x) = −x6. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. −6x5. În −x6, a=−1 și n=6. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−x6)′=(−1)·6·x5=−6x5. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. f′(x) = −6x5.

    Răspuns: −6x5

  38. Exercițiul 38

    Fie f(x) = 2x4 − 3x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 8x3. În 2x4, a=2 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x4)′=2·4·x3=8x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −6x. În −3x2, a=−3 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−3x2)′=(−3)·2·x=−6x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. 0. 5 este constant: (5)′=0.
    4. 8x3 − 6x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=8x3 − 6x; constantele au contribuit cu zero.
    5. Răspuns: f′(x) = 8x3 − 6x.

    Răspuns: 8x3 − 6x

  39. Exercițiul 39

    Fie f(x) = 5x5 + x3 − 2x. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 25x4. În 5x5, a=5 și n=5. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (5x5)′=5·5·x4=25x4. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 3x2. În x3, a=1 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x3)′=1·3·x2=3x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. −2. Folosim (ax)′=a: (−2x)′=−2. Coeficientul este −2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    4. 25x4 + 3x2 − 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=25x4 + 3x2 − 2; constantele au contribuit cu zero.
    5. Rezultă f′(x) = 25x4 + 3x2 − 2.

    Răspuns: 25x4 + 3x2 − 2

  40. Exercițiul 40

    Ce formulă aplicăm direct pentru a deriva x5?

    Vezi rezolvarea
    1. O putere simplă. Avem o singură putere a variabilei x. Alegem regula puterii, fără formula unui raport sau produs.
    2. (xn)′ = n·xn−1. Obținem apoi (x5)′ = 5x4.
    3. Obținem apoi (x5)′ = 5x4.

    Răspuns: (xn)′ = n·xn−1

  41. Exercițiul 41

    Când derivăm xn, ce se întâmplă cu exponentul după ce îl coborâm în față?

    Vezi rezolvarea
    1. n−1. Regula este (xn)′=n·xn−1. Exponentul scade cu 1; devine 0 numai când n=1.
    2. Scade cu 1. De exemplu, x5 devine 5x4.
    3. De exemplu, x5 devine 5x4.

    Răspuns: Scade cu 1

  42. Exercițiul 42

    Care este derivata corectă a funcției f(x) = 6x3?

    Vezi rezolvarea
    1. 18x2. În 6x3, a=6 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (6x3)′=6·3·x2=18x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Rezultă f′(x) = 18x2.

    Răspuns: 18x2

  43. Exercițiul 43

    Un elev scrie (5x2)′ = 5x. Ce a uitat?

    Vezi rezolvarea
    1. 10x. În 5x2, a=5 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (5x2)′=5·2·x=10x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. Să înmulțească și cu exponentul 2. Derivata corectă este 10x.
    3. Derivata corectă este 10x.

    Răspuns: Să înmulțească și cu exponentul 2

  44. Exercițiul 44

    Un elev scrie (3x4)′=12x4. Ce trebuie corectat?

    Vezi rezolvarea
    1. Exponentul trebuie să fie 3. 3·4=12 este corect. Exponentul trebuie să scadă: 4−1=3, deci derivata este 12x3.

    Răspuns: Exponentul trebuie să fie 3

  45. Exercițiul 45

    Un elev scrie (2x+7)′=2+7. Ce termen a fost derivat greșit?

    Vezi rezolvarea
    1. Constanta 7 are derivata 0. Derivata lui 2x este 2. Constanta 7 are derivata 0, deci f′(x)=2.

    Răspuns: Constanta 7 are derivata 0

  46. Exercițiul 46

    Fie f(x) = 2x. Calculați f′(7).

    Vezi rezolvarea
    1. 2. Folosim (ax)′=a: (2x)′=2. Coeficientul este 2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    2. 2. f′(7)=2=2. Înlocuim fiecare x cu (7), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    3. Prin urmare f′(7) = 2.

    Răspuns: 2

  47. Exercițiul 47

    Fie f(x) = 5x2. Calculați f′(3).

    Vezi rezolvarea
    1. 10x. În 5x2, a=5 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (5x2)′=5·2·x=10x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 30. f′(3)=10·(3)=30. Înlocuim fiecare x cu (3), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    3. Răspuns: 30.

    Răspuns: 30

  48. Exercițiul 48

    Fie f(x) = x3 + 2x. Calculați f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. 3x2. În x3, a=1 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x3)′=1·3·x2=3x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 2. Folosim (ax)′=a: (2x)′=2. Coeficientul este 2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 3x2 + 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=3x2 + 2; constantele au contribuit cu zero.
    4. 5. f′(1)=3·(1)2+2=5. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    5. Rezultă f′(1) = 5.

    Răspuns: 5

  49. Exercițiul 49

    Fie f(x) = 4x2 − 3x + 7. Calculați f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. 8x. În 4x2, a=4 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (4x2)′=4·2·x=8x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −3. Folosim (ax)′=a: (−3x)′=−3. Coeficientul este −3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 7 este constant: (7)′=0.
    4. 8x − 3. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=8x − 3; constantele au contribuit cu zero.
    5. −3. f′(0)=8·(0)+(−3)=−3. Înlocuim fiecare x cu (0), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    6. Răspuns: f′(0) = −3.

    Răspuns: −3

  50. Exercițiul 50

    f(x)=2x3−5x+6. Calculează f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. 6x2. În 2x3, a=2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x3)′=2·3·x2=6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −5. Folosim (ax)′=a: (−5x)′=−5. Coeficientul este −5, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 6 este constant: (6)′=0.
    4. 6x2 − 5. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=6x2 − 5; constantele au contribuit cu zero.
    5. −5. f′(0)=6·(0)2+(−5)=−5. Înlocuim fiecare x cu (0), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.

    Răspuns: −5

  51. Exercițiul 51

    f(x)=x2+3x−4. Calculează f′(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 3. Folosim (ax)′=a: (3x)′=3. Coeficientul este 3, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. −4 este constant: (−4)′=0.
    4. 2x + 3. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=2x + 3; constantele au contribuit cu zero.
    5. 1. f′(−1)=2·(−1)+3=1. Înlocuim fiecare x cu (−1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.

    Răspuns: 1

  52. Exercițiul 52

    Fie f(x) = x7 − 4x4 + x2 − 1. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 7x6. În x7, a=1 și n=7. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x7)′=1·7·x6=7x6. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −16x3. În −4x4, a=−4 și n=4. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−4x4)′=(−4)·4·x3=−16x3. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    4. 0. −1 este constant: (−1)′=0.
    5. 7x6 − 16x3 + 2x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=7x6 − 16x3 + 2x; constantele au contribuit cu zero.
    6. Constanta −1 dispare; obținem 7x6 − 16x3 + 2x.

    Răspuns: 7x6 − 16x3 + 2x

  53. Exercițiul 53

    Derivează f(x)=3x6−2x3+4x−5.

    Vezi rezolvarea
    1. 18x5. În 3x6, a=3 și n=6. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x6)′=3·6·x5=18x5. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −6x2. În −2x3, a=−2 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x3)′=(−2)·3·x2=−6x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. 4. Folosim (ax)′=a: (4x)′=4. Coeficientul este 4, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    4. 0. −5 este constant: (−5)′=0.
    5. 18x5 − 6x2 + 4. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=18x5 − 6x2 + 4; constantele au contribuit cu zero.

    Răspuns: 18x5 − 6x2 + 4

  54. Exercițiul 54

    Derivează f(x)=−2x5+3x3−x2+6.

    Vezi rezolvarea
    1. −10x4. În −2x5, a=−2 și n=5. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−2x5)′=(−2)·5·x4=−10x4. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 9x2. În 3x3, a=3 și n=3. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (3x3)′=3·3·x2=9x2. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    3. −2x. În −x2, a=−1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (−x2)′=(−1)·2·x=−2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    4. 0. 6 este constant: (6)′=0.
    5. −10x4 + 9x2 − 2x. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=−10x4 + 9x2 − 2x; constantele au contribuit cu zero.

    Răspuns: −10x4 + 9x2 − 2x

  55. Exercițiul 55

    Problemă de tip Bac · f(x)=x2 + x + 2, x∈ℝ. a) Calculează f′(x). b) Scrie tangenta în punctul de abscisă 1. c) Verifică dacă B(0; 1) aparține acestei tangente.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. 1. Folosim (ax)′=a: (x)′=1. Coeficientul este 1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 2 este constant: (2)′=0.
    4. 2x + 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=2x + 1; constantele au contribuit cu zero.
    5. 4. f(1)=1·(1)2+1·(1)+2=4. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    6. 3. f′(1)=2·(1)+1=3. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    7. y−f(a)=f′(a)(x−a). O dreaptă de pantă m care trece prin A(a,f(a)) are ecuația y−f(a)=m(x−a). Pentru tangentă, m=f′(a).
    8. y−(4)=3(x−(1)). f(a) este ordonata, f′(a) este panta, a este abscisa. Fiecare are locul lui în formulă.
    9. 3. Produsul pantă · abscisă: 3 · 1 = 3. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    10. 1. Termenul liber b=f(a)−f′(a)·a: 4 − 3 = 1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. y=3x + 1. Tangenta este y=3x + 1. Termenul liber nu este în general f(a), pentru că a poate fi diferit de 0.
    12. 0. La c), înlocuim abscisa punctului B în ecuația dreptei: 3 · 0 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    13. 1. Adăugăm termenul liber al dreptei: 0 + 1 = 1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    14. Da, B aparține tangentei. Din ecuație obținem 1. Comparăm cu ordonata 1; valorile sunt egale. B nu trebuie să aparțină și graficului funcției.
    15. Redactare pentru Bac: a) Prin derivare termen cu termen, f′(x)=2x + 1. b) f(1)=4 și f′(1)=3. Formula y−f(a)=f′(a)(x−a) dă y=3x + 1. c) Înlocuind abscisa lui B în dreaptă, obținem 1, egal față de ordonata 1. Deci B aparține tangentei.

    Răspuns: Da, B aparține tangentei

  56. Exercițiul 56

    Problemă de tip Bac · f(x)=2x2 − x + 1, x∈ℝ. a) Calculează f′(x). b) Scrie tangenta în punctul de abscisă 1. c) Verifică dacă B(0; 1) aparține acestei tangente.

    Vezi rezolvarea
    1. 4x. În 2x2, a=2 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (2x2)′=2·2·x=4x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −1. Folosim (ax)′=a: (−x)′=−1. Coeficientul este −1, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 1 este constant: (1)′=0.
    4. 4x − 1. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=4x − 1; constantele au contribuit cu zero.
    5. 2. f(1)=2·(1)2+(−1)·(1)+1=2. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    6. 3. f′(1)=4·(1)+(−1)=3. Înlocuim fiecare x cu (1), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    7. y−f(a)=f′(a)(x−a). O dreaptă de pantă m care trece prin A(a,f(a)) are ecuația y−f(a)=m(x−a). Pentru tangentă, m=f′(a).
    8. y−(2)=3(x−(1)). f(a) este ordonata, f′(a) este panta, a este abscisa. Fiecare are locul lui în formulă.
    9. 3. Produsul pantă · abscisă: 3 · 1 = 3. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    10. −1. Termenul liber b=f(a)−f′(a)·a: 2 − 3 = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. y=3x − 1. Tangenta este y=3x − 1. Termenul liber nu este în general f(a), pentru că a poate fi diferit de 0.
    12. 0. La c), înlocuim abscisa punctului B în ecuația dreptei: 3 · 0 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    13. −1. Adăugăm termenul liber al dreptei: 0 + (−1) = −1. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    14. Nu, B nu aparține tangentei. Din ecuație obținem −1. Comparăm cu ordonata 1; valorile sunt diferite. B nu trebuie să aparțină și graficului funcției.
    15. Redactare pentru Bac: a) Prin derivare termen cu termen, f′(x)=4x − 1. b) f(1)=2 și f′(1)=3. Formula y−f(a)=f′(a)(x−a) dă y=3x − 1. c) Înlocuind abscisa lui B în dreaptă, obținem −1, diferit față de ordonata 1. Deci B nu aparține tangentei.

    Răspuns: Nu, B nu aparține tangentei

  57. Exercițiul 57

    Problemă de tip Bac · f(x)=x2 − 2x + 4, x∈ℝ. a) Calculează f′(x). b) Scrie tangenta în punctul de abscisă 2. c) Verifică dacă B(0; 0) aparține acestei tangente.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x. În x2, a=1 și n=2. Regula (axn)′=a·n·xn−1 dă (x2)′=1·2·x=2x. Exponentul coboară în coeficient și scade cu 1.
    2. −2. Folosim (ax)′=a: (−2x)′=−2. Coeficientul este −2, inclusiv semnul; constanta nu intervine.
    3. 0. 4 este constant: (4)′=0.
    4. 2x − 2. Adunăm derivatele, nu le înmulțim. f′(x)=2x − 2; constantele au contribuit cu zero.
    5. 4. f(2)=1·(2)2+(−2)·(2)+4=4. Înlocuim fiecare x cu (2), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    6. 2. f′(2)=2·(2)+(−2)=2. Înlocuim fiecare x cu (2), calculăm puterile înaintea produselor și păstrăm semnele.
    7. y−f(a)=f′(a)(x−a). O dreaptă de pantă m care trece prin A(a,f(a)) are ecuația y−f(a)=m(x−a). Pentru tangentă, m=f′(a).
    8. y−(4)=2(x−(2)). f(a) este ordonata, f′(a) este panta, a este abscisa. Fiecare are locul lui în formulă.
    9. 4. Produsul pantă · abscisă: 2 · 2 = 4. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    10. 0. Termenul liber b=f(a)−f′(a)·a: 4 − 4 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    11. y=2x. Tangenta este y=2x. Termenul liber nu este în general f(a), pentru că a poate fi diferit de 0.
    12. 0. La c), înlocuim abscisa punctului B în ecuația dreptei: 2 · 0 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    13. 0. Adăugăm termenul liber al dreptei: 0 + 0 = 0. Efectuăm această singură operație și păstrăm rezultatul pe ecran.
    14. Da, B aparține tangentei. Din ecuație obținem 0. Comparăm cu ordonata 0; valorile sunt egale. B nu trebuie să aparțină și graficului funcției.
    15. Redactare pentru Bac: a) Prin derivare termen cu termen, f′(x)=2x − 2. b) f(2)=4 și f′(2)=2. Formula y−f(a)=f′(a)(x−a) dă y=2x. c) Înlocuind abscisa lui B în dreaptă, obținem 0, egal față de ordonata 0. Deci B aparține tangentei.

    Răspuns: Da, B aparține tangentei

Nivelul 1 · 36 de calcule progresive (36)

  1. 1. Nivel 1 · Funcții liniare

    Fie f(x) = 2x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    2

  2. 2. Nivel 1 · Funcții liniare

    Fie f(x) = 5x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    5

  3. 3. Nivel 1 · Funcții liniare

    Fie f(x) = −4x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    −4

  4. 4. Nivel 1 · Funcții liniare

    Fie f(x) = x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1

  5. 5. Nivel 1 · Constante

    Fie f(x) = 8. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    0

  6. 6. Nivel 1 · Constante

    Fie f(x) = −13. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    0

  7. 7. Nivel 1 · Liniară și constantă

    Fie f(x) = 2x + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    2

  8. 8. Nivel 1 · Liniară și constantă

    Fie f(x) = 5x − 7. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    5

  9. 9. Nivel 1 · Liniară și constantă

    Fie f(x) = −3x + 9. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    −3

  10. 10. Nivel 1 · Coeficient fracționar

    Fie f(x) = (12)x + 4. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    12

  11. 11. Nivel 2 · Pătratul

    Fie f(x) = 5x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    10x

  12. 12. Nivel 2 · Pătratul

    Fie f(x) = 2x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    4x

  13. 13. Nivel 2 · Pătratul

    Fie f(x) = −4x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    −8x

  14. 14. Nivel 2 · Sumă simplă

    Fie f(x) = x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    2x

  15. 15. Nivel 2 · Sumă simplă

    Fie f(x) = 3x2 + 2x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    6x + 2

  16. 16. Nivel 2 · Trinom

    Fie f(x) = 7x2 − 5x + 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    14x − 5

  17. 17. Nivel 3 · Puterea a treia

    Fie f(x) = x3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2

  18. 18. Nivel 3 · Puterea a treia

    Fie f(x) = 2x3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    6x2

  19. 19. Nivel 3 · Puterea a treia

    Fie f(x) = −5x3. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    −15x2

  20. 20. Nivel 3 · Două puteri

    Fie f(x) = 4x3 + 3x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    12x2 + 6x

  21. 21. Nivel 4 · Puteri mai mari

    Fie f(x) = x4. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    4x3

  22. 22. Nivel 4 · Puteri mai mari

    Fie f(x) = 3x4. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    12x3

  23. 23. Nivel 4 · Puteri mai mari

    Fie f(x) = 2x5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    10x4

  24. 24. Nivel 4 · Puteri mai mari

    Fie f(x) = −x6. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    −6x5

  25. 25. Nivel 5 · Polinoame

    Fie f(x) = x3 + x2 + x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    3x2 + 2x + 1

  26. 26. Nivel 5 · Polinoame

    Fie f(x) = 2x4 − 3x2 + 5. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    8x3 − 6x

  27. 27. Nivel 5 · Polinoame

    Fie f(x) = 5x5 + x3 − 2x. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    25x4 + 3x2 − 2

  28. 28. Nivel 5 · Polinoame

    Fie f(x) = x7 − 4x4 + x2 − 1. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    7x6 − 16x3 + 2x

  29. 29. Nivel 6 · Valoarea derivatei

    Fie f(x) = 2x. Calculați f′(7).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2, deci f′(7) = 2.

  30. 30. Nivel 6 · Valoarea derivatei

    Fie f(x) = 5x2. Calculați f′(3).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 10x, deci f′(3) = 30.

  31. 31. Nivel 6 · Valoarea derivatei

    Fie f(x) = x3 + 2x. Calculați f′(1).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2 + 2, deci f′(1) = 5.

  32. 32. Nivel 6 · Valoarea derivatei

    Fie f(x) = 4x2 − 3x + 7. Calculați f′(0).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 8x − 3, deci f′(0) = −3.

  33. 33. Nivel 6 · Alegerea formulei

    Ce formulă aplicăm direct pentru a deriva x5?

    Vezi răspunsul

    (xn)′ = n · xn−1, deci (x5)′ = 5x4.

  34. 34. Nivel 6 · Înțelegerea formulei

    Când derivăm xn, ce se întâmplă cu exponentul după ce îl coborâm în față?

    Vezi răspunsul

    Scade cu 1: devine n − 1.

  35. 35. Nivel 6 · Verificarea rezultatului

    Care este derivata corectă a funcției f(x) = 6x3?

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 18x2

  36. 36. Nivel 6 · Corectarea unei greșeli

    Un elev scrie (5x2)′ = 5x. Ce a uitat?

    Vezi răspunsul

    A uitat să înmulțească cu exponentul 2: corect este (5x2)′ = 10x.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.