M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

D·0

Teorie înainte de exerciții

De la 2x la primele polinoame · 36 de exerciții

Pornim de la funcții foarte simple: 2x, 5x și 5x². Fiecare nivel adaugă o singură idee nouă, iar formulele sunt explicate înainte de folosire.

Ordinea corectă este: identificăm termenul, coborâm exponentul, scădem exponentul cu 1 și păstrăm semnul.

1

Ce înseamnă derivata, pe scurt

Derivata arată cât de repede se schimbă o funcție. Pentru o dreaptă f(x) = ax + b, viteza de schimbare este mereu a, adică exact coeficientul lui x.

De aceea (2x)′ = 2 și (5x)′ = 5. Constanta b doar mută dreapta în sus sau în jos și are derivata 0.

(2x)′ = 2

(5x)′ = 5

(ax + b)′ = a

(c)′ = 0

2

Regula puterii, fără grabă

Pentru xⁿ, exponentul n coboară în față ca factor, iar exponentul lui x scade cu 1.

(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(5x²)′ = 5·2·x²⁻¹ = 10x

(2x³)′ = 2·3·x³⁻¹ = 6x²

Coeficientul din fața lui x se înmulțește cu exponentul.
Exponentul scade cu 1, nu dispare decât atunci când era 1.
Semnul termenului se păstrează.

3

Polinoamele se derivează termen cu termen

Model foarte simplu

Derivați f(x) = 3x² + 2x − 7.

1.Derivăm 3x²: coborâm 2 și obținem 3·2x = 6x.
2.Derivăm 2x: obținem 2.
3.Derivăm constanta −7: obținem 0.
4.Adunăm rezultatele: f′(x) = 6x + 2.

4

Greșeli pe care le evităm

(5x²)′ nu este 5x; trebuie să înmulțești și cu exponentul 2.
Derivata unei constante este 0, nu constanta însăși.
La f′(a), derivăm întâi funcția și abia după aceea înlocuim x = a.

Verifică-te singur · cu răspunsuriNivelul 1 · 36 de calcule progresive · 36 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Nivel 1 · Funcții liniareM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 2Nivel 1 · Funcții liniareM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 5x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 3Nivel 1 · Funcții liniareM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −4x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−4
Ex. 4Nivel 1 · Funcții liniareM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1
Ex. 5Nivel 1 · ConstanteM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 8. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 6Nivel 1 · ConstanteM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −13. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 7Nivel 1 · Liniară și constantăM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 8Nivel 1 · Liniară și constantăM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 5x − 7. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 9Nivel 1 · Liniară și constantăM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −3x + 9. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3
Ex. 10Nivel 1 · Coeficient fracționarM1 · M2 · M3
Fie f(x) = (12)x + 4. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12
Ex. 11Nivel 2 · PătratulM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 5x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10x
Ex. 12Nivel 2 · PătratulM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x
Ex. 13Nivel 2 · PătratulM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −4x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−8x
Ex. 14Nivel 2 · Sumă simplăM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x
Ex. 15Nivel 2 · Sumă simplăM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 3x² + 2x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x + 2
Ex. 16Nivel 2 · TrinomM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 7x² − 5x + 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14x − 5
Ex. 17Nivel 3 · Puterea a treiaM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x²
Ex. 18Nivel 3 · Puterea a treiaM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x²
Ex. 19Nivel 3 · Puterea a treiaM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −5x³. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−15x²
Ex. 20Nivel 3 · Două puteriM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 4x³ + 3x². Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12x² + 6x
Ex. 21Nivel 4 · Puteri mai mariM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x⁴. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x³
Ex. 22Nivel 4 · Puteri mai mariM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 3x⁴. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12x³
Ex. 23Nivel 4 · Puteri mai mariM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x⁵. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10x⁴
Ex. 24Nivel 4 · Puteri mai mariM1 · M2 · M3
Fie f(x) = −x⁶. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−6x⁵
Ex. 25Nivel 5 · PolinoameM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x³ + x² + x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x² + 2x + 1
Ex. 26Nivel 5 · PolinoameM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x⁴ − 3x² + 5. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8x³ − 6x
Ex. 27Nivel 5 · PolinoameM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 5x⁵ + x³ − 2x. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25x⁴ + 3x² − 2
Ex. 28Nivel 5 · PolinoameM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x⁷ − 4x⁴ + x² − 1. Calculați f′(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7x⁶ − 16x³ + 2x
Ex. 29Nivel 6 · Valoarea derivateiM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 2x. Calculați f′(7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2, deci f′(7) = 2.
Ex. 30Nivel 6 · Valoarea derivateiM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 5x². Calculați f′(3).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 10x, deci f′(3) = 30.
Ex. 31Nivel 6 · Valoarea derivateiM1 · M2 · M3
Fie f(x) = x³ + 2x. Calculați f′(1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x² + 2, deci f′(1) = 5.
Ex. 32Nivel 6 · Valoarea derivateiM1 · M2 · M3
Fie f(x) = 4x² − 3x + 7. Calculați f′(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 8x − 3, deci f′(0) = −3.
Ex. 33Nivel 6 · Alegerea formuleiM1 · M2 · M3
Ce formulă aplicăm direct pentru a deriva x⁵?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, deci (x⁵)′ = 5x⁴.
Ex. 34Nivel 6 · Înțelegerea formuleiM1 · M2 · M3
Când derivăm xⁿ, ce se întâmplă cu exponentul după ce îl coborâm în față?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Scade cu 1: devine n − 1.
Ex. 35Nivel 6 · Verificarea rezultatuluiM1 · M2 · M3
Care este derivata corectă a funcției f(x) = 6x³?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 18x²
Ex. 36Nivel 6 · Corectarea unei greșeliM1 · M2 · M3
Un elev scrie (5x²)′ = 5x. Ce a uitat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A uitat să înmulțească cu exponentul 2: corect este (5x²)′ = 10x.