M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · Tehnologic⏱ 20–30 min
f∘g
Încărcăm partea curentă…
Funcții compuse · ordinea calculelor
Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Două funcții: aplicăm prima funcția din dreapta
În (f∘g)(x), calculăm mai întâi g(x). Apoi punem expresia obținută în locul lui x din formula lui f. Lucrăm în această ordine, chiar dacă numele f apare primul.
Dacă inversăm ordinea și calculăm g(f(x)), putem primi alt rezultat. Scriem fiecare calcul separat înainte să trecem la următoarea funcție, în loc să combinăm formulele dintr-un singur pas.
🧮 De ținut minte
(f∘g)(x)=f(g(x))
✓Citește f∘g din dreapta spre stânga: întâi g, apoi f.
✏️Exemplu cu alte date
Fie f(x)=3x și g(x)=x+2. Calculează (f∘g)(1).
1Prima lucrează g: g(1)=1+2=3.
2Apoi lucrează f: f(3)=3·3=9.
3Prin urmare (f∘g)(1)=9; în ordinea inversă am obține 5.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Funcții compuse · ordinea calculelor: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.
Două funcții: aplicăm prima funcția din dreapta
În (f∘g)(x), calculăm mai întâi g(x). Apoi punem expresia obținută în locul lui x din formula lui f. Lucrăm în această ordine, chiar dacă numele f apare primul.
Dacă inversăm ordinea și calculăm g(f(x)), putem primi alt rezultat. Scriem fiecare calcul separat înainte să trecem la următoarea funcție, în loc să combinăm formulele dintr-un singur pas.
(f∘g)(x)=f(g(x))
•Citește f∘g din dreapta spre stânga: întâi g, apoi f.
Exemplu cu alte date
Fie f(x)=3x și g(x)=x+2. Calculează (f∘g)(1).
Prima lucrează g: g(1)=1+2=3.
Apoi lucrează f: f(3)=3·3=9.
Prin urmare (f∘g)(1)=9; în ordinea inversă am obține 5.
Formula compunerii: înlocuim o expresie întreagă
Pentru a găsi (f∘g)(x), scriem formula lui f, dar în locul fiecărui x punem întreaga expresie g(x). Păstrăm parantezele când g(x) are mai mulți termeni.
La pătrate, (x−a)2 nu este x2−a2; apare și termenul de mijloc. Calculează f(g(x)) și g(f(x)) separat, pentru că schimbarea ordinii poate modifica formula.
f(x)=x2, g(x)=x+2 ⇒ (f∘g)(x)=(x+2)2
•Ridică la pătrat toată paranteza, nu fiecare termen separat.
Exemplu cu alte date
Pentru f(x)=x2+1 și g(x)=x+2, află (f∘g)(x).
În f punem g(x)=x+2 în locul lui x.
Obținem f(g(x))=(x+2)2+1.
Dezvoltăm: x2+4x+4+1=x2+4x+5.
Ecuații și domeniu la compunere
După ce aflăm formula compunerii, putem rezolva o ecuație obișnuită. Dacă expresia conține un radical, ceea ce se află sub radical trebuie să fie nenegativ.
Dacă apare o fracție, numitorul nu poate fi zero. Condițiile de existență se stabilesc înainte de calculele finale și se verifică din nou pentru fiecare soluție obținută.
√g(x) există ⇔ g(x)≥0
•Un calcul algebric poate produce soluții în afara domeniului; verifică-le.
Exemplu cu alte date
Pentru f(t)=√t și g(x)=x+5, află domeniul lui f∘g.
Scriem (f∘g)(x)=√x+5.
Condiția radicalului este x+5≥0.
Rezultă x≥−5, deci domeniul este [−5,+∞).
Compuneri repetate și parametri
La f∘f∘f aplicăm aceeași regulă de trei ori, nu o înmulțim cu 3. Pentru un parametru necunoscut, lucrăm în aceeași ordine și abia apoi rezolvăm ecuația în parametru.
Două funcții comută dacă f∘g=g∘f pe domeniul potrivit, dar acest lucru este o proprietate specială, nu o regulă generală. Un exemplu numeric poate arăta imediat că ordinea contează.
f∘f∘f(1)=f(f(f(1)))
•f(f(x)) nu înseamnă f(x)·f(x).
Exemplu cu alte date
Dacă f(x)=x+3, calculează f(f(f(0))).
Pornim cu x=0: f(0)=3.
Punem rezultatul 3 în locul lui x: f(3)=6.
Încă o dată: f(6)=9; rezultatul este 9.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Pentru (f ∘ g)(2), ce funcție aplicăm prima?
Vezi rezolvarea
(f ∘ g)(2) înseamnă f(g(2)).
Mai întâi calculăm g(2), apoi aplicăm f rezultatului.
Răspuns: g
Exercițiul 2
Dacă f(x) = 2x și g(x) = x + 3, cât este (f ∘ g)(2)?
Vezi rezolvarea
g(2) = 2 + 3 = 5.
f(5) = 2 · 5 = 10.
Răspuns: 10
Exercițiul 3
Pentru aceleași funcții, cât este (g ∘ f)(2)?
Vezi rezolvarea
f(2) = 4.
g(4) = 4 + 3 = 7.
Observăm că f ∘ g și g ∘ f nu sunt, în general, egale.
Răspuns: 7
Exercițiul 4
Pentru f(x) = 2x și g(x) = x + 3, determină formula lui (f ∘ g)(x).
Vezi rezolvarea
(f ∘ g)(x) = f(g(x)).
În f(x)=2x punem g(x)=x+3 în locul lui x: f(x+3)=2(x+3).
Dezvoltăm: 2x + 6.
Răspuns: (f ∘ g)(x) = 2x + 6
Exercițiul 5
Pentru aceleași funcții, determină formula lui (g ∘ f)(x).
Vezi rezolvarea
(g ∘ f)(x) = g(f(x)).
În g(x)=x+3 punem f(x)=2x în locul lui x: g(2x)=2x+3.
Răspuns: (g ∘ f)(x) = 2x + 3
Exercițiul 6
Dacă f(x) = x2 și g(x) = x − 1, atunci (f ∘ g)(x) este:
Vezi rezolvarea
f(g(x)) = [g(x)]2.
Așadar (f ∘ g)(x) = (x − 1)2.
Nu omitem termenul −2x la dezvoltare.
Răspuns: (x − 1)2
Exercițiul 7
Pentru f(x) = x2 și g(x) = x − 1, rezolvă (f ∘ g)(x) = 9.
Vezi rezolvarea
(f ∘ g)(x) = (x − 1)2.
(x − 1)2 = 9 înseamnă x − 1 = ±3.
Rezultă x = −2 sau x = 4.
Răspuns: x = −2 sau x = 4
Exercițiul 8
Dacă f(x) = √x și g(x) = x − 4, domeniul lui f ∘ g este:
Vezi rezolvarea
(f ∘ g)(x) = √x − 4.
Impunem x − 4 ≥ 0.
Rezultă x ≥ 4.
Răspuns: [4, +∞)
Exercițiul 9
Dacă f(x) = x + 1 și g(x) = 3x − 2, determină a dacă (f ∘ g)(a) = 11.
Vezi rezolvarea
(f ∘ g)(x) = f(3x − 2) = 3x − 2 + 1 = 3x − 1.
3a − 1 = 11.
3a = 12, deci a = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 10
Dacă f ∘ g = g ∘ f pentru două funcții, spunem că ele:
Vezi rezolvarea
Egalitatea f ∘ g = g ∘ f se numește comutativitate la compunere.
Ea nu este adevărată pentru orice pereche de funcții.
Răspuns: comută
Exercițiul 11
Pentru f(x) = ax + 1 și g(x) = 2x, determină a dacă (f ∘ g)(1) = 7.