Încărcăm partea curentă…

Relațiile lui Viète · de la formulă la probleme

Suma și produsul rădăcinilor

Dacă ecuația ax2+bx+c=0 are rădăcini reale x1 și x2, relațiile lui Viète ne dau direct suma și produsul lor. Nu trebuie să calculăm separat radicalii atunci când cerința vorbește numai despre sumă sau produs.

Suma este −ba, iar produsul este ca. Minusul apare la sumă, nu la produs. Dacă a nu este 1, împărțirea la a este obligatorie.

De ținut minte

S=x1+x2=−ba
P=x1x2=ca
  • Relațiile vorbesc despre rădăcini reale numai dacă acestea există; verifică Δ când problema o cere.

Exemplu cu alte date

Pentru 3x2−6x−9=0, află S și P fără să rezolvi ecuația.

  1. 1Citim a=3, b=−6, c=−9.
  2. 2S=−−63=2.
  3. 3P=−93=−3; produsul negativ arată rădăcini cu semne opuse.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Relațiile lui Viète · de la formulă la probleme: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Suma și produsul rădăcinilor

Dacă ecuația ax2+bx+c=0 are rădăcini reale x1 și x2, relațiile lui Viète ne dau direct suma și produsul lor. Nu trebuie să calculăm separat radicalii atunci când cerința vorbește numai despre sumă sau produs.

Suma este −ba, iar produsul este ca. Minusul apare la sumă, nu la produs. Dacă a nu este 1, împărțirea la a este obligatorie.

  • S=x1+x2=−ba
  • P=x1x2=ca
  • Relațiile vorbesc despre rădăcini reale numai dacă acestea există; verifică Δ când problema o cere.

Exemplu cu alte date

Pentru 3x2−6x−9=0, află S și P fără să rezolvi ecuația.

  1. Citim a=3, b=−6, c=−9.
  2. S=−−63=2.
  3. P=−93=−3; produsul negativ arată rădăcini cu semne opuse.

Din sumă și produs construim ecuația

Pentru o ecuație monică, adică având coeficientul lui x2 egal cu 1, cunoașterea sumei S și a produsului P permite scrierea ecuației x2−Sx+P=0.

Putem căuta două numere care respectă ambele condiții. Suma singură nu ajunge: 1 și 5 au suma 6, dar produsul 5, în timp ce 2 și 4 au suma 6 și produsul 8.

  • x2−Sx+P=0
  • Nu scrie x2+Sx+P: termenul cu x are coeficientul −S.

Exemplu cu alte date

Construiește ecuația monică pentru rădăcini cu suma 8 și produsul 15.

  1. Scriem forma x2−Sx+P=0.
  2. Punem S=8 și P=15: x2−8x+15=0.
  3. Verificăm cu rădăcinile 3 și 5: suma 8, produsul 15.

Expresii cu rădăcini, fără radicali lungi

Pentru x12+x22 folosim pătratul sumei și scădem de două ori produsul. Pentru 1x1+1x2 aducem la același numitor: sus apare suma, jos produsul.

În a doua formulă produsul trebuie să fie diferit de zero, altfel una dintre fracții nu există. Dacă apare un parametru, înlocuim suma din Viète cu valoarea cerută și rezolvăm ecuația simplă.

  • x12+x22=S2−2P
  • 1x1+1x2=SP, dacă P≠0
  • Nu aduna separat numitorii: 1x1+1x2 nu este 2x1+x2.

Exemplu cu alte date

Dacă S=6 și P=8, cât este x12+x22?

  1. Scriem identitatea x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2.
  2. Înlocuim suma și produsul: 62−2·8.
  3. Calculăm 36−16=20.

Condiții pe rădăcini și sisteme

Când cerința spune că ambele rădăcini sunt pozitive, avem nevoie de trei condiții: să fie reale, suma să fie pozitivă și produsul să fie pozitiv. Fiecare condiție restrânge valorile parametrului.

Dacă știm x+y și xy, numerele x și y sunt rădăcinile unei ecuații monice. După ce aflăm cele două valori, pentru un sistem cerem ambele perechi ordonate, deoarece x și y pot face schimb de locuri.

  • reale: Δ≥0
  • pozitive: S>0 și P>0
  • S>0 și P>0 nu ajung singure dacă rădăcinile nu sunt reale.

Exemplu cu alte date

Rezolvă x+y=7 și xy=12.

  1. Construim ecuația t2−7t+12=0.
  2. Factorizăm (t−3)(t−4)=0, deci valorile sunt 3 și 4.
  3. Perechile ordonate sunt (x,y)=(3,4) și (4,3).

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru x2 − 5x + 6 = 0, care este suma rădăcinilor?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1 și b = −5.
    2. x1 + x2 = −−51 = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Pentru aceeași ecuație, care este produsul rădăcinilor?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1 și c = 6.
    2. x1x2 = 61 = 6.

    Răspuns: 6

  3. Exercițiul 3

    Pentru 2x2 + 3x − 5 = 0, suma rădăcinilor este:

    Vezi rezolvarea
    1. a = 2 și b = 3.
    2. x1 + x2 = −ba = −32.

    Răspuns: −32

  4. Exercițiul 4

    Pentru 2x2 + 3x − 5 = 0, produsul rădăcinilor este:

    Vezi rezolvarea
    1. a = 2 și c = −5.
    2. x1x2 = ca = −52.

    Răspuns: −52

  5. Exercițiul 5

    Construiește ecuația monică având rădăcinile cu suma 7 și produsul 10.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru o ecuație monică, forma este x2 − Sx + P = 0.
    2. Înlocuim S = 7 și P = 10.
    3. Obținem x2 − 7x + 10 = 0.

    Răspuns: x2 − 7x + 10 = 0

  6. Exercițiul 6

    Rădăcinile unei ecuații au suma 6 și produsul 8. Care pot fi ele?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 + 4 = 6.
    2. 2 · 4 = 8.
    3. Cele două condiții sunt îndeplinite.

    Răspuns: 2 și 4

  7. Exercițiul 7

    Dacă x1x2 < 0, ce poți spune despre semnele rădăcinilor reale?

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul a două numere cu același semn este pozitiv.
    2. Un produs negativ arată că rădăcinile au semne opuse.

    Răspuns: au semne opuse

  8. Exercițiul 8

    Știind că x1 + x2 = 5 și x1x2 = 6, calculează x12 + x22.

    Vezi rezolvarea
    1. x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2.
    2. Înlocuim: 52 − 2 · 6 = 25 − 12.
    3. Rezultatul este 13.

    Răspuns: 13

  9. Exercițiul 9

    Pentru x2 − 5x + 6 = 0, calculează 1x1 + 1x2.

    Vezi rezolvarea
    1. 1x1 + 1x2 = x1 + x2x1x2.
    2. Prin Viète, suma este 5 și produsul 6.
    3. Rezultatul este 56.

    Răspuns: 56

  10. Exercițiul 10

    Determină m dacă rădăcinile ecuației x2 − (m + 1)x + 6 = 0 au suma 5.

    Vezi rezolvarea
    1. x1 + x2 = −ba = m + 1.
    2. Impunem m + 1 = 5.
    3. Rezultă m = 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Determină m astfel încât rădăcinile ecuației x2 − 4x + m = 0 să fie reale și pozitive.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru rădăcini reale: Δ = 16 − 4m ≥ 0, deci m ≤ 4.
    2. Suma este 4 > 0.
    3. Produsul este m și trebuie să fie pozitiv: m > 0.
    4. Combinând, 0 < m ≤ 4.

    Răspuns: 0 < m ≤ 4

  12. Exercițiul 12

    Rezolvă sistemul x + y = 9, xy = 20 folosind Viète.

    Vezi rezolvarea
    1. Construim ecuația t2 − 9t + 20 = 0.
    2. Factorizăm: (t − 4)(t − 5) = 0.
    3. Valorile sunt 4 și 5.
    4. Perechile ordonate sunt (4, 5) și (5, 4).

    Răspuns: (x, y) = (4, 5) sau (5, 4)

  13. Exercițiul 13

    Fără să afli rădăcinile lui x2−5x+3=0, calculează x12+x22.

    Vezi rezolvarea
    1. x1+x2=5; x1x2=3. Suma este −ba, iar produsul ca.
    2. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2. Pătratul sumei conține suplimentar 2x1x2; scădem acest termen.
    3. 25−6=19. Calculăm întâi puterea și produsul, apoi scăderea.

    Răspuns: 25−6=19

Fișă progresivă · Relațiile lui Viète · de la formulă la probleme (12)

  1. 1. Descoperire ghidată

    Pentru x2 − 5x + 6 = 0, care este suma rădăcinilor?

    Vezi răspunsul

    x1 + x2 = 5

  2. 2. Descoperire ghidată

    Pentru aceeași ecuație, care este produsul rădăcinilor?

    Vezi răspunsul

    x1x2 = 6

  3. 3. Descoperire ghidată

    Pentru 2x2 + 3x − 5 = 0, suma rădăcinilor este:

    Vezi răspunsul

    −ba = −32

  4. 4. Descoperire ghidată

    Pentru 2x2 + 3x − 5 = 0, produsul rădăcinilor este:

    Vezi răspunsul

    ca = −52

  5. 5. Consolidare

    Construiește ecuația monică având rădăcinile cu suma 7 și produsul 10.

    Vezi răspunsul

    x2 − 7x + 10 = 0

  6. 6. Consolidare

    Rădăcinile unei ecuații au suma 6 și produsul 8. Care pot fi ele?

    Vezi răspunsul

    2 și 4

  7. 7. Consolidare

    Dacă x1x2 < 0, ce poți spune despre semnele rădăcinilor reale?

    Vezi răspunsul

    Au semne opuse: una este pozitivă, cealaltă negativă.

  8. 8. Consolidare

    Știind că x1 + x2 = 5 și x1x2 = 6, calculează x12 + x22.

    Vezi răspunsul

    x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 25 − 12 = 13

  9. 9. Consolidare

    Pentru x2 − 5x + 6 = 0, calculează 1x1 + 1x2.

    Vezi răspunsul

    x1 + x2x1x2 = 56

  10. 10. Rezolvi singur

    Determină m dacă rădăcinile ecuației x2 − (m + 1)x + 6 = 0 au suma 5.

    Vezi răspunsul

    m + 1 = 5, deci m = 4.

  11. 11. Rezolvi singur

    Determină m astfel încât rădăcinile ecuației x2 − 4x + m = 0 să fie reale și pozitive.

    Vezi răspunsul

    Reale: Δ = 16 − 4m ≥ 0, deci m ≤ 4. Pozitive: suma 4 > 0 și produsul m > 0. Deci m ∈ (0, 4].

  12. 12. Rezolvi singur

    Rezolvă sistemul x + y = 9, xy = 20 folosind Viète.

    Vezi răspunsul

    x și y sunt rădăcinile lui t2 − 9t + 20 = 0, adică 4 și 5: soluțiile (4, 5) și (5, 4).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.