Relațiile lui Viète · de la formulă la probleme

Viète ne lasă să lucrăm direct cu suma și produsul rădăcinilor, fără să calculăm separat fiecare radical.

Înainte de a folosi rădăcini reale într-o problemă cu parametru, verifică și condiția Δ ≥ 0.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Intersecțiile 2 și 3 sunt rădăcinile; suma lor este 5, iar produsul este 6.

Relațiile lui Viète

x₁ + x₂ = −ba

x₁x₂ = ca

Ecuația monică din S și P: x² − Sx + P = 0

Semnul minus apare numai la sumă.
Împarte mereu la a dacă a ≠ 1.
Viète nu cere calcularea separată a rădăcinilor.

Expresii simetrice

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁x₂

S = 5, P = 6

Calculați x₁² + x₂².

1.Folosim S² − 2P.
2.5² − 2 · 6 = 13.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · Relațiile lui Viète · de la formulă la probleme · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Descoperire ghidatăNucleu comun Bac
Pentru x² − 5x + 6 = 0, care este suma rădăcinilor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁ + x₂ = 5
Ex. 2Descoperire ghidatăNucleu comun Bac
Pentru aceeași ecuație, care este produsul rădăcinilor?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁x₂ = 6
Ex. 3Descoperire ghidatăNucleu comun Bac
Pentru 2x² + 3x − 5 = 0, suma rădăcinilor este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−ba = −32
Ex. 4Descoperire ghidatăNucleu comun Bac
Pentru 2x² + 3x − 5 = 0, produsul rădăcinilor este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ca = −52
Ex. 5ConsolidareNucleu comun Bac
Construiește ecuația monică având rădăcinile cu suma 7 și produsul 10.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 7x + 10 = 0
Ex. 6ConsolidareNucleu comun Bac
Rădăcinile unei ecuații au suma 6 și produsul 8. Care pot fi ele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 și 4
Ex. 7ConsolidareNucleu comun Bac
Dacă x₁x₂ < 0, ce poți spune despre semnele rădăcinilor reale?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au semne opuse: una este pozitivă, cealaltă negativă.
Ex. 8ConsolidareNucleu comun Bac
Știind că x₁ + x₂ = 5 și x₁x₂ = 6, calculează x₁² + x₂².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 12 = 13
Ex. 9ConsolidareNucleu comun Bac
Pentru x² − 5x + 6 = 0, calculează 1x₁ + 1x₂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁ + x₂x₁x₂ = 56
Ex. 10Rezolvi singurNucleu comun Bac
Determină m dacă rădăcinile ecuației x² − (m + 1)x + 6 = 0 au suma 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m + 1 = 5, deci m = 4.
Ex. 11Rezolvi singurNucleu comun Bac
Determină m astfel încât rădăcinile ecuației x² − 4x + m = 0 să fie reale și pozitive.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Reale: Δ = 16 − 4m ≥ 0, deci m ≤ 4. Pozitive: suma 4 > 0 și produsul m > 0. Deci m ∈ (0, 4].
Ex. 12Rezolvi singurNucleu comun Bac
Rezolvă sistemul x + y = 9, xy = 20 folosind Viète.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x și y sunt rădăcinile lui t² − 9t + 20 = 0, adică 4 și 5: soluțiile (4, 5) și (5, 4).