Funcția inversă și bijectivitatea · pas cu pas

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Notația f⁻¹ nu înseamnă 1f. Ea denumește funcția care inversează corespondența lui f.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

x→

Mai întâi · f

înmulțim cu 2

→

Apoi · f

adunăm 3

2x + 3

→y

Funcția inversă parcurge mașina înapoi: y → y − 3 → (y − 3)/2.

Inversa întoarce drumul de calcul

O funcție inversă primește rezultatul y și recuperează intrarea x. Desfacem operațiile în ordine inversă: mai întâi adunarea sau scăderea de la final, apoi înmulțirea sau împărțirea. Formula inversei se verifică prin compunere.

y = ax + b ⇒ x = y − ba, pentru a ≠ 0

f⁻¹(x) nu înseamnă 1f(x).

Exemplu rezolvat

Găsește inversa lui f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2.

1.Pornim de la y = 3x + 2 și scădem 2: y − 2 = 3x.
2.Împărțim la 3: x = y − 23, deci f⁻¹(x) = x − 23.
3.Verificăm f(f⁻¹(x)) = 3(x − 2)3 + 2 = x.

Verificăm drumul dus și întors

O formulă propusă pentru inversă trebuie să desfacă funcția originală. Calculăm ambele compuneri pe domeniile lor: f(g(x)) și g(f(x)). Dacă ambele întorc intrarea, g este inversa lui f.

f(g(x)) = x și g(f(x)) = x

Nu este suficient să verifici o singură valoare pentru a demonstra formula pe tot domeniul.

Exemplu rezolvat

Verifică dacă g(x) = x − 12 este inversa lui f(x) = 2x + 1, ambele pe ℝ.

1.f(g(x)) = 2(x − 1)2 + 1 = x.
2.g(f(x)) = (2x + 1) − 12 = x.
3.Ambele compuneri sunt identitatea pe ℝ, deci g = f⁻¹.

Injectivă, surjectivă, bijectivă

Injectivă înseamnă că două intrări diferite nu ajung la același rezultat. Surjectivă înseamnă că se obține fiecare element din codomeniul declarat. Bijectivă înseamnă ambele: fiecare ieșire are exact o intrare și astfel există inversă pe întregul codomeniu.

f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b este bijectivă ⇔ a ≠ 0

Domeniul și codomeniul contează: x² nu este injectivă pe ℝ, deoarece f(1) = f(−1).

Exemplu rezolvat

Pentru ce m este f: ℝ → ℝ, f(x) = (m + 1)x − 2 bijectivă?

1.Dacă m = −1, funcția devine constantă, f(x) = −2; intrări diferite au aceeași ieșire.
2.Dacă m ≠ −1, din y = (m + 1)x − 2 obținem unic x = y + 2m + 1, pentru fiecare y real.
3.Concluzia este m ≠ −1: avem simultan injectivitate și surjectivitate.

Domeniul poate schimba răspunsul

Aceeași formulă poate descrie funcții diferite dacă schimbăm domeniul sau codomeniul. Pentru x² pe ℝ, intrările opuse dau aceeași imagine. Dacă permitem numai intrări nenegative și declarăm drept codomeniu numerele nenegative, fiecare ieșire are o intrare unică.

f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² ⇒ f⁻¹(x) = √x

Citește întotdeauna domeniul și codomeniul, nu doar formula.

Exemplu rezolvat

Explică de ce x² nu are inversă pe ℝ, dar are pe [0, ∞) cu același codomeniu.

1.Pe ℝ, f(2) = f(−2) = 4; funcția nu este injectivă. În plus, nu atinge numere negative.
2.Pe [0, ∞), fiecare y ≥ 0 are unica intrare x = √y ≥ 0.
3.Funcția restrânsă este bijectivă, iar inversa ei este rădăcina pătrată.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · Funcția inversă și bijectivitatea · pas cu pas · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Descoperire ghidatăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Pentru f(x) = 2x + 3, cu ce operație începem când vrem să revenim de la y la x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Scădem 3: desfacem întâi ultima operație făcută de f.
Ex. 2Descoperire ghidatăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Dacă y = 2x + 3, exprimă x în funcție de y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = y − 32
Ex. 3Descoperire ghidatăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Determină inversa funcției f(x) = 2x + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f⁻¹(x) = x − 32
Ex. 4Descoperire ghidatăM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Cum verificăm formula inversei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Verificăm că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x pentru orice x.
Ex. 5ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Verifică f(f⁻¹(7)) pentru f(x) = 2x + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f⁻¹(7) = 7 − 32 = 2, iar f(2) = 7: se verifică.
Ex. 6ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
O funcție este injectivă dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Din x₁ ≠ x₂ rezultă f(x₁) ≠ f(x₂) (echivalent: f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂).
Ex. 7ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
O funcție f: A → B este surjectivă dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentru orice y din B există x în A cu f(x) = y (Im f = B).
Ex. 8ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
O funcție este bijectivă dacă este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Injectivă și surjectivă.
Ex. 9ConsolidareM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Pentru ce m funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = (m − 2)x + 1, este bijectivă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m ≠ 2 (panta trebuie să fie nenulă).
Ex. 10Rezolvi singurM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x², este injectivă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: f(−1) = f(1) = 1.
Ex. 11Rezolvi singurM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Determină inversa funcției f(x) = x − 43.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x − 43 dă x = 3y + 4, deci f⁻¹(x) = 3x + 4.
Ex. 12Rezolvi singurM1 · Mate-Info · M2 · Științe
Dacă f⁻¹(5) = 2, ce valoare are f(2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(2) = 5