Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Inversa desface operațiile în ordine inversă
Scriem formula completă ca ecuație: y=f(x). Litera y este rezultatul, iar x este numărul pe care vrem să-l recuperăm. Nu alegem o operație izolată fără să vedem ecuația.
Pentru f(x)=ax+b, cu a diferit de zero, pornim de la y=ax+b. Scădem b în ambii membri și obținem y−b=ax. Împărțim întreaga expresie y−b la a: x=y−ba.
Abia la final scriem formula inversei: numim x valoarea dată inversei și obținem f−1(x)=x−ba. Simbolul f−1 nu înseamnă 1f(x). Putem verifica rezultatul înlocuindu-l în formula inițială.
🧮 De ținut minte
y=ax+b → y−b=ax → x=y−ba
f−1(x)=x−ba, dacă a≠0
✓Păstrează ecuația pe fiecare rând: întâi izolezi x, apoi scrii formula inversei.
✏️Exemplu cu alte date
Află inversa lui g(x)=4x−5.
1Pornim de la y=g(x)=4x−5 și adunăm 5 în ambii membri: y+5=4x.
2Împărțim întreaga sumă la 4: x=y+54.
3Scriem formula finală g−1(x)=x+54 și verificăm: g(x+54)=x.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Funcția inversă și bijectivitatea · pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.
Inversa desface operațiile în ordine inversă
Scriem formula completă ca ecuație: y=f(x). Litera y este rezultatul, iar x este numărul pe care vrem să-l recuperăm. Nu alegem o operație izolată fără să vedem ecuația.
Pentru f(x)=ax+b, cu a diferit de zero, pornim de la y=ax+b. Scădem b în ambii membri și obținem y−b=ax. Împărțim întreaga expresie y−b la a: x=y−ba.
Abia la final scriem formula inversei: numim x valoarea dată inversei și obținem f−1(x)=x−ba. Simbolul f−1 nu înseamnă 1f(x). Putem verifica rezultatul înlocuindu-l în formula inițială.
y=ax+b → y−b=ax → x=y−ba
f−1(x)=x−ba, dacă a≠0
•Păstrează ecuația pe fiecare rând: întâi izolezi x, apoi scrii formula inversei.
Exemplu cu alte date
Află inversa lui g(x)=4x−5.
Pornim de la y=g(x)=4x−5 și adunăm 5 în ambii membri: y+5=4x.
Împărțim întreaga sumă la 4: x=y+54.
Scriem formula finală g−1(x)=x+54 și verificăm: g(x+54)=x.
Verificarea inversei prin întoarcere
Dacă f și f−1 sunt inverse, aplicarea lor pe rând ne duce înapoi la valoarea de la care am pornit: f(f−1(y))=y. Această verificare descoperă ușor un semn greșit în formulă.
Putem verifica și invers: f−1(f(x))=x. Nu confundăm compunerea cu produsul; nu înmulțim cele două expresii, ci introducem rezultatul uneia în cealaltă.
f(f−1(y))=y
•Dacă nu recuperezi valoarea inițială, recalculează inversa.
Exemplu cu alte date
Verifică g(g−1(7)) pentru g(x)=4x−5.
Din etapa anterioară avem g−1(7)=7+54=3.
Calculăm g(3)=4·3−5=7.
Am obținut din nou valoarea 7 de la care am pornit.
Injectivitate: rezultate egale înseamnă valori egale ale lui x
În f:A→B, A este domeniul, adică mulțimea valorilor permise pentru x, iar B este codomeniul, mulțimea în care trebuie să se afle rezultatele. Semnul → arată că funcția asociază valori din A unor rezultate din B. Funcția este injectivă dacă două valori diferite din A nu dau același rezultat.
Ca să demonstrăm injectivitatea, alegem două valori oarecare din A, notate x1 și x2. Presupunem f(x1)=f(x2), scriem formulele complete și arătăm că trebuie să fie x1=x2. Indicile 1 și 2 doar deosebesc cele două valori; nu sunt puteri.
f(x1)=f(x2) ⇒ x1=x2
•O singură pereche cu rezultate diferite nu dovedește injectivitatea; demonstrația trebuie să funcționeze pentru oricare x1 și x2.
Exemplu cu alte date
Arată că g:ℝ→ℝ, g(x)=4x−7, este injectivă.
ℝ este mulțimea numerelor reale. Alegem x1 și x2 reale și presupunem g(x1)=g(x2).
Scriem formulele: 4x1−7=4x2−7.
Adunăm 7 în ambii membri: 4x1=4x2.
Împărțim la 4: x1=x2. Prin urmare g este injectivă.
Surjectivitate: putem obține fiecare rezultat din B
Pentru f:A→B, A este domeniul, iar B este codomeniul. Funcția este surjectivă dacă fiecare număr din B se obține ca rezultat f(x) pentru cel puțin o valoare x din A. Nu trebuie să existe o singură valoare x; este suficient să existe măcar una.
Pentru demonstrație alegem un rezultat oarecare din B și îl notăm y. Scriem ecuația f(x)=y și căutăm x. Verificăm că valoarea găsită aparține domeniului A și că, înlocuind-o în formulă, obținem într-adevăr y. Dacă putem face asta pentru fiecare y din B, funcția este surjectivă.
În notația de mai jos, ∀ înseamnă «pentru orice», ∃ înseamnă «există cel puțin un», iar ∈ înseamnă «aparține mulțimii». Pentru a arăta că o funcție nu este surjectivă, ajunge să găsim un rezultat din B care nu poate fi obținut.
∀y∈B, ∃x∈A astfel încât f(x)=y
•Contează codomeniul: f(x)=x2 pe ℝ→ℝ nu este surjectivă, fiindcă rezultatul −1 nu poate fi obținut. Pe ℝ→[0,+∞) aceeași formulă este surjectivă.
Exemplu cu alte date
Arată că g:ℝ→ℝ, g(x)=2x−5, este surjectivă.
Alegem un rezultat y real oarecare. Căutăm un număr x real pentru care g(x)=y.
Scriem ecuația completă: 2x−5=y.
Adunăm 5: 2x=y+5. Împărțim la 2: x=y+52.
Acest x este real pentru orice y real, deci aparține domeniului ℝ.
Verificăm: g(y+52)=2·(y+52)−5=y+5−5=y.
Am găsit un x permis pentru fiecare y din codomeniu. Așadar g este surjectivă.
Bijectivitate: demonstrăm ambele proprietăți
O funcție este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă. Injectivitatea ne spune că un rezultat nu provine din două valori diferite ale lui x; surjectivitatea ne spune că nu lipsește niciun rezultat din codomeniu.
Pe foaie scriem două demonstrații: întâi plecăm de la f(x1)=f(x2) și obținem x1=x2; apoi alegem orice y din codomeniu și găsim un x permis cu f(x)=y. Abia după ambele concluzii afirmăm că funcția este bijectivă și are inversă pe întregul codomeniu.
bijectivă = injectivă și surjectivă
•A demonstra doar injectivitatea sau doar surjectivitatea nu este suficient pentru bijectivitate.
Exemplu cu alte date
Este g:ℝ→ℝ, g(x)=3x+1, bijectivă?
Injectivitate: presupunem g(x1)=g(x2), deci 3x1+1=3x2+1.
Scădem 1, apoi împărțim la 3: x1=x2. Funcția este injectivă.
Surjectivitate: alegem orice y real și rezolvăm 3x+1=y. Obținem x=y−13, care este real.
Verificăm g(y−13)=3·(y−13)+1=y. Funcția este surjectivă.
Are ambele proprietăți, deci este bijectivă.
Bijectivitatea unei funcții liniare cu parametru
O funcție de forma f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b este bijectivă exact când a≠0. Dacă a=0, devine constantă: orice valoare a lui x produce același rezultat, așa că nu mai este injectivă și nici surjectivă pe ℝ.
Un parametru, aici m, este un număr încă neprecizat din formulă. Cerem ca expresia din fața lui x să fie diferită de zero. Atunci din ax1+b=ax2+b obținem x1=x2; pentru orice y real ecuația ax+b=y are soluția reală x=y−ba. Astfel avem ambele proprietăți.
ax+b pe ℝ este bijectivă ⇔ a≠0
•Nu impune b≠0; termenul liber nu decide bijectivitatea unei funcții liniare pe ℝ.
Exemplu cu alte date
Pentru ce m este g(x)=(m+3)x−1 bijectivă pe ℝ?
Panta este a=m+3.
Cerem a≠0, adică m+3≠0.
Rezultă m≠−3; pentru m=−3 funcția ar fi constantă.
Cum arătăm că o funcție nu este injectivă
Pentru a respinge injectivitatea, căutăm două valori diferite din domeniu care au același rezultat. Le scriem explicit și calculăm funcția în fiecare. Această pereche se numește contraexemplu: arată unde nu este respectată definiția.
La formule care conțin doar x2 putem încerca un număr și opusul lui: pătratele lor sunt egale. Verificăm totuși că ambele numere sunt în domeniul declarat. Dacă domeniul este restrâns, perechea aleasă poate să nu mai fie permisă.
x1≠x2 și f(x1)=f(x2) ⇒ f nu este injectivă
•Nu folosi două valori egale: contraexemplul cere valori diferite ale lui x.
Exemplu cu alte date
Arată că g:ℝ→ℝ, g(x)=x2+4, nu este injectivă.
Alegem 2 și −2, două numere reale diferite.
Calculăm g(2)=22+4=8.
Calculăm g(−2)=(−2)2+4=8.
Deși 2≠−2, rezultatele sunt egale. Așadar g nu este injectivă.
Inversa unei formule cu fracție
Dacă formula conține o fracție liniară, începem cu y=f(x), înmulțim cu numitorul și izolăm x. Schimbăm apoi litera y cu x. Verificarea prin compunere rămâne pasul final.
Numitorul unei astfel de formule este un număr nenul. Înmulțim ambii membri ai ecuației cu el, apoi adunăm sau scădem termenul rămas pentru a-l izola pe x. Nu împărțim încă o dată la numitorul inițial.
f−1(y)=x ⇔ f(x)=y
•În f−1, exponentul −1 marchează funcția inversă, nu reciproca numerică.
Exemplu cu alte date
Află inversa lui g(x)=x+25.
Scriem y=x+25 și înmulțim cu 5: 5y=x+2.
Scădem 2: x=5y−2.
Deci g−1(x)=5x−2; verificare: g(5x−2)=x.
Citirea unei valori a inversei
Notația f−1(5)=2 spune că, atunci când știm rezultatul 5, inversa ne recuperează valoarea 2 folosită în formula inițială. Deci f(2)=5. Nu ridicăm 5 la puterea −1 și nu calculăm 1f(5).
În general, f−1(y)=x înseamnă exact f(x)=y. Litera y reprezintă rezultatul funcției inițiale, iar x reprezintă valoarea pusă în formula ei. Când citim o valoare a inversei, inversăm rolurile celor două numere, nu semnele lor.
f−1(y)=x ⇔ f(x)=y
•Primul număr din notația inversei devine rezultatul funcției inițiale, nu valoarea pusă în locul lui x.
Exemplu cu alte date
Știm că g−1(8)=3. Cât este g(3)?
g−1(8)=3 spune că inversa recuperează 3 din rezultatul 8.
Prin definiția inversei, această relație este echivalentă cu g(3)=8.
Prin urmare răspunsul este 8. Nu putem deduce de aici că g(8)=3.
Atelier: alegerea domeniului pentru bijectivitate
Injectivitatea interzice două intrări diferite cu același rezultat. Surjectivitatea cere ca fiecare element din codomeniul declarat să fie atins. Formula singură nu decide bijectivitatea: domeniul și codomeniul contează.
La x2 pe ℝ nu avem injectivitate, fiindcă x și −x au același pătrat. Pe [0, ∞), funcția este strict crescătoare și atinge orice număr nenegativ, deci este bijectivă spre [0, ∞).
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
pentru orice y din codomeniu, există x din domeniu cu f(x) = y
Model cu alte date
f:[0, ∞)→[3, ∞), f(x) = x2 + 3. Demonstrează bijectivitatea și află f−1(12).
Dacă x12 + 3 = x22 + 3 și x1,x2 ≥ 0, atunci x1 = x2: injectivitate.
Pentru y ≥ 3 alegem x = √y − 3 ≥ 0; f(x) = y: surjectivitate.
Inversa este √y − 3, iar f−1(12) = √9 = 3.
Exerciții rezolvate din lecție (16)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Pentru f: ℝ→ℝ, f(x)=2x+3, determină formula funcției inverse f−1(x).
Vezi rezolvarea
Scriem y=2x+3 și scădem 3: y−3=2x.
Împărțim la 2: x=y−32.
Schimbăm numele variabilei libere: f−1(x)=x−32.
Răspuns: f−1(x)=x−32
Exercițiul 2
Pentru g: ℝ→ℝ, g(x)=3x−2, determină formula inversei g−1(x).
Vezi rezolvarea
Pornim de la y=3x−2 și adunăm 2: y+2=3x.
Împărțim la 3: x=y+23.
Prin urmare g−1(x)=x+23.
Răspuns: g−1(x)=x+23
Exercițiul 3
Pentru h: ℝ→ℝ, h(x)=5x+1, determină formula inversei h−1(x).
Vezi rezolvarea
Pornim de la y=5x+1 și scădem 1: y−1=5x.
Împărțim la 5: x=y−15.
Deci h−1(x)=x−15.
Răspuns: h−1(x)=x−15
Exercițiul 4
Cum verificăm formula inversei?
Vezi rezolvarea
Funcția și inversa se anulează reciproc.
De aceea f ∘ f−1 și f−1 ∘ f sunt funcția identitate.
Răspuns: f(f−1(x)) = x
Exercițiul 5
Verifică f(f−1(7)) pentru f(x)=2x+3. Ce rezultat obții?
Vezi rezolvarea
f−1(7)=7−32=2.
f(2)=2·2+3=7.
Am recuperat valoarea inițială 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 6
O funcție este injectivă dacă:
Vezi rezolvarea
Dacă f(x1)=f(x2), trebuie să rezulte x1=x2.
Aceasta este definiția injectivității.
Răspuns: f(x1) = f(x2) implică x1 = x2
Exercițiul 7
O funcție f: A → B este surjectivă dacă:
Vezi rezolvarea
Surjectivitatea cere ca imaginea funcției să fie întreg codomeniul B.
Pentru fiecare y din B există cel puțin un x din A astfel încât f(x)=y.
Răspuns: pentru orice y ∈ B există x ∈ A cu f(x) = y
Exercițiul 8
O funcție este bijectivă dacă este:
Vezi rezolvarea
Bijectiv înseamnă simultan injectiv și surjectiv.
Doar atunci există o funcție inversă definită pe întreg codomeniul.
Răspuns: injectivă și surjectivă
Exercițiul 9
Pentru ce m funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = (m − 2)x + 1, este bijectivă?
Vezi rezolvarea
Panta este m − 2.
Cerem m − 2 ≠ 0.
Rezultă m ≠ 2.
Răspuns: m ≠ 2
Exercițiul 10
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x2, este injectivă?
Vezi rezolvarea
f(1) = 1 și f(−1) = 1.
Valorile diferite x=1 și x=−1 dau același rezultat.
Funcția nu este injectivă pe ℝ.
Răspuns: Nu, deoarece f(1) = f(−1)
Exercițiul 11
Determină inversa funcției f(x) = x − 43.
Vezi rezolvarea
3y = x − 4.
x = 3y + 4.
Schimbăm variabilele: f−1(x) = 3x + 4.
Răspuns: f−1(x) = 3x + 4
Exercițiul 12
Dacă f−1(5) = 2, ce valoare are f(2)?
Vezi rezolvarea
f−1(5)=2 înseamnă că f(2)=5.
Prin urmare valoarea cerută este 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 13
Pentru f: ℝ→ℝ, f(x)=3x−2, află inversa și f−1(10).
Vezi rezolvarea
x=y+23. Adunăm 2, apoi împărțim cu 3, număr nenul.
f−1(x)=x+23. Inversa găsește valoarea inițială a lui x pornind de la rezultat; nu este reciproca funcției.
f−1(10)=4, deoarece f(4)=10. 10+23=4; verificarea întoarce valoarea inițială.