Încărcăm partea curentă…

P.A. prin modele și tabele · nivel M4

Recunoaștem o creștere constantă

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu același număr. Acest număr se numește rație. Ca să verificăm, scădem termenii vecini și comparăm toate diferențele.

Termenii șirului, în ordine

Regula: +3
  1. a14
  2. a27
  3. a310
  4. a413
  5. a516

Citim: «a1 este 4», «a2 este 7», «a3 este 10». Indicele mic arată locul termenului.

De ținut minte

r=a2−a1=a3−a2

Exemplu cu alte date

Șirul 6, 10, 14, 18 este P.A.?

  1. 110−6=4 și 14−10=4.
  2. 218−14=4: diferența nu s-a schimbat.
  3. 3Da, este P.A. cu rația 4.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

P.A. prin modele și tabele · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți o idee, urmărești un exemplu cu alte date, apoi rezolvi câteva exerciții. Teoria acelei idei rămâne disponibilă și la exercițiu.

Recunoaștem o creștere constantă

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu același număr. Acest număr se numește rație. Ca să verificăm, scădem termenii vecini și comparăm toate diferențele.

  • r=a2−a1=a3−a2

Exemplu cu alte date

Șirul 6, 10, 14, 18 este P.A.?

  1. 10−6=4 și 14−10=4.
  2. 18−14=4: diferența nu s-a schimbat.
  3. Da, este P.A. cu rația 4.

Termenul de pe o poziție

Primul termen este punctul de pornire. De la poziția 1 la poziția n sunt n−1 treceri; la fiecare adunăm rația. Numărăm trecerile înainte să calculăm.

  • an=a1+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Dacă a1=7 și r=3, cât este a5?

  1. De la a1 la a5 sunt patru treceri.
  2. a5=7+4·3=7+12.
  3. a5=19; șirul începe 7,10,13,16,19.

Doi termeni cunoscuți

Scriem fiecare termen folosind a1 și r. Scădem relațiile ca să dispară a1, aflăm rația, apoi o înlocuim și calculăm ce cere problema.

  • aj−ai=(j−i)r

Exemplu cu alte date

Dacă a2=9 și a6=25, află rația și a1.

  1. Între pozițiile 2 și 6 sunt patru treceri: 25−9=4r.
  2. 16=4r, deci r=4.
  3. a2=a1+r: 9=a1+4, deci a1=5.

Suma primilor n termeni

Sn este suma tuturor celor n termeni, nu valoarea ultimului termen. Adunăm primul cu ultimul, înmulțim cu n și împărțim la 2.

  • Sn=n(a1+an)2

Exemplu cu alte date

Calculează 4+7+10+13.

  1. Sunt 4 termeni; primul este 4, ultimul este 13.
  2. S4=4(4+13)2=2·17.
  3. S4=34; verificare: 4+7+10+13=34.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Privește șirul 4, 7, 10, 13, 16. Care este regula?

    Vezi rezolvarea
    1. 7 − 4 = 3.
    2. 10 − 7 = 3 și 13 − 10 = 3.
    3. Regula este «adunăm 3», deci r = 3.

    Răspuns: Adunăm 3

  2. Exercițiul 2

    Care șir este o progresie aritmetică?

    Vezi rezolvarea
    1. 9 − 5 = 4.
    2. 13 − 9 = 4 și 17 − 13 = 4.
    3. Diferența este constantă, deci r = 4.

    Răspuns: 5, 9, 13, 17

  3. Exercițiul 3

    În șirul 4, 7, 10, 13, 16, ce valoare are a4?

    Vezi rezolvarea
    1. Numărăm termenii în ordine: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10.
    2. Al patrulea termen este 13.
    3. Așadar a4 = 13.

    Răspuns: 13

  4. Exercițiul 4

    Câte treceri sunt de la a1 la a5?

    Vezi rezolvarea
    1. Trecerile sunt a1→a2, a2→a3, a3→a4 și a4→a5.
    2. Sunt 4 treceri.
    3. De aceea a5 = a1 + 4r.

    Răspuns: 4

  5. Exercițiul 5

    Se dau a5 = 14 și a9 = 26. Pasul 1: cum scriem cei doi termeni în funcție de a1 și r?

    Vezi rezolvarea
    1. a5 = a1 + (5 − 1)r = a1 + 4r.
    2. a9 = a1 + (9 − 1)r = a1 + 8r.
    3. Obținem ecuațiile 14 = a1 + 4r și 26 = a1 + 8r.

    Răspuns: a5 = a1 + 4r și a9 = a1 + 8r

  6. Exercițiul 6

    Se dau a5 = 14 și a9 = 26. Pasul 2: cât este rația r?

    Vezi rezolvarea
    1. 26 = a1 + 8r și 14 = a1 + 4r.
    2. Scădem: 26 − 14 = 4r.
    3. 12 = 4r, deci r = 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Se dau a5 = 14 și r = 3. Pasul 3: cât este a1?

    Vezi rezolvarea
    1. 14 = a1 + 4 · 3.
    2. 14 = a1 + 12.
    3. Rezultă a1 = 2.
    4. Verificare: a9 = 2 + 8 · 3 = 26.

    Răspuns: 2

  8. Exercițiul 8

    Acum rezolvă singur: într-o P.A. se dau a3 = 10 și a7 = 26. Determină a12.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem a3 = a1 + 2r și a7 = a1 + 6r.
    2. Scădem: 26 − 10 = 4r, deci 16 = 4r și r = 4.
    3. Din 10 = a1 + 2 · 4 rezultă a1 = 2.
    4. a12 = a1 + 11r = 2 + 11 · 4 = 46.
    5. Verificare: a7 = 2 + 6 · 4 = 26.

    Răspuns: 46

  9. Exercițiul 9

    În P.A. 2, 5, 8, 11, 14, cât este suma primilor 5 termeni?

    Vezi rezolvarea
    1. S5 = 5(2 + 14)2.
    2. S5 = 5 · 8.
    3. S5 = 40.

    Răspuns: 40

  10. Exercițiul 10

    Într-o P.A., a3 = 11 și a7 = 27. Află rația.

    Vezi rezolvarea
    1. a7 − a3 = (7 − 3)r.
    2. 27 − 11 = 4r, deci 16 = 4r.
    3. r = 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Un elev rezolvă 3 probleme în prima zi și cu 2 mai multe în fiecare zi următoare. Câte rezolvă în ziua a șasea?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 3 și r = 2.
    2. a6 = 3 + (6 − 1) · 2.
    3. În ziua a șasea rezolvă 13 probleme.

    Răspuns: 13

  12. Exercițiul 12

    Află suma primelor 10 numere impare pozitive.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele impare formează o P.A. cu rația 2.
    2. S10 = 10(1 + 19)2.
    3. S10 = 100.

    Răspuns: 100

Exerciții M4 · rezolvare construită pas cu pas (1)

  1. 1. Pasul 1

    Scrie a5 și a9 în funcție de a1 și r.

    Vezi răspunsul

    a5 = a1 + 4r și a9 = a1 + 8r

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.